האם יש מספרים "חמים" בלוטו? מה אומרת תורת ההסתברות

אפרת שואלת: כיצד ייתכן שבאופן תיאורטי יש סיכוי שווה לכל אחד מהמספרים המוגרלים בלוטו להיבחר, בעוד שבמציאות זה לא כך וישנם מספרים שחוזרים על עצמם הרבה יותר מאחרים (לדוגמה: 3 ו-8 נבחרים הרבה יותר מ-36, לפי נתונים שקראתי ברשת).

מצטער אפרת: נראה שהסטטיסטיקה השתנתה בזמן שחלף מאז שלחת את השאלה ועד שבדקתי. הנתונים לא מספקים אישוש לכך ש-3 ו-8 הם מספרים ברוכי לוטו יותר משאר 35 אחיהם לקבוצת המספרים הטבעיים עד 37. על פי אתר מפעל הפיס, בשנתיים שקדמו לכתיבת הטור (2018–2020) בארץ המספרים הזוכים בתדירות הגבוהה ביותר הם 1, 32 ו-33. מספר 3 עלה בגורל רק 13 פעמים בשנה שקדמה לכתיבת הטור ומספר 8 הוגרל 19 פעמים, זאת בהשוואה ל-24 הופעות של 33 באותו פרק זמן.

כשל המהמר: למה קשה לנו לקבל אקראיות

אבל התמיהה האמיתית היא עצם ההתעניינות ב"מספרים חמים". הלוטו מבוסס על הגרלה אקראית של 6 מספרים בין 1 ל-37. פעמיים בשבוע מתערבלים הכדורים נושאי הספרות מחדש ואין כל השפעה לתוצאות עבר על סיכוי של מספר בהגרלה הבאה. ובכל זאת אפרת, לא רק את מחפשת תבניות בעבר, אלא אפילו אתר מפעל הפיס מציג בגאווה דף "מידע סטטיסטי" המאפשר למהמר לדעת, למשל, כמה פעמים עלה המספר 7 מאז ספטמבר 2005 ועד לכתיבת שורות אלו בספטמבר 2020 (263 פעמים למי שבאמת אוהב טריוויה מיותרת).

אקראיות היא מושג קשה לעיכול. עידנים של אבולוציה עיצבו את התודעה לחפש תבניות וחוקיות, ומשחקי מזל מערערים את הדרך בה אנו תופשים ומפרשים את העולם. מעקב אחר מהמרים ברולטה העלה כי לאחר רצף של 6 חזרות על אותו צבע (אדום או שחור) יהמרו למעלה מ-80% מהשחקנים על הצבע המנוגד, למרות שגלגל המשחק אינו זוכר את התוצאות הקודמות, והשחקנים עצמם לא היו יושבים סביבו אילולא האמינו שהקזינו מספק להם רולטה אקראית. טעות מסוג זה, כלומר ציפייה שהאירוע האקראי הבא יקרב את המדגם שלנו לאיזון, נקראת כשל המהמר (gambler’s fallacy), והיא נפוצה ומושרשת באינטואיציה שלנו.

במדינת מרילנד בארה"ב פועלת, מזה שנים רבות, הגרלה בה זוכה בכל יום מספר בן 3 ספרות (מ-0 עד 999). מתברר כי ביום שלאחר זכיית מספר מסוים יורדת שכיחות ההימורים עליו בחדות, ונשארת נמוכה מהצפוי במשך שבועות ארוכים.

יש מי שטוען כי הנטייה שלנו ל"כשל המהמר" נובעת מכך שהאופן בו אנו חוזים אירועים על פי תצפיות מוקדמות מותאם למדגמים קטנים וסגורים. אם נביט בתלמידים היוצאים מכיתה לאחר הצלצול ונראה שחמשת הראשונים לצאת הם בנים, הגיוני להמר שתלמידה ולא תלמיד תהיה מספר 6, פשוט משום שלאחר שיצאו חלק מהבנים גדל חלקן היחסי של הבנות בקרב הנשארים בכיתה. כשל המהמר, על פי תפיסה זו, הוא פשוט השלכה ממצבים נפוצים כאלו להגרלות בהן הקלפים נטרפים מחדש לאחר כל הימור.

"יד חמה" ו"מספרים חמים"

סוג שני של טעות היא הנחת "יד חמה" – מונח הלקוח מעולם הכדורסל, שם נוטים שחקנים ומאמנים להניח שמי שקלע כמה זריקות ברציפות יקלע גם את הזריקה הבאה, ולכן כדאי למסור לו את הכדור. במחקר רחב היקף שבדק העדפות מהמרים בלוטו של דנמרק התברר שחלק מהם נוטים ל"כשל המהמר", ואילו אחרים נוטים להניח "יד חמה" ולהמר על מספרים שעלו בגורל בעבר הקרוב.

שני הכשלים נראים כהפוכים, אבל מתברר שאותם אנשים נוטים להיכשל בשניהם. מייד לאחר שמספר זוכה ניכר "כשל המהמר", וההימורים עליו יורדים בחדות מתוך ציפייה שגויה שהמדגם "יתקן את עצמו". אבל אם אותו מספר יעלה בגורל כמה פעמים ברציפות, המהמרים עוברים לכשל היד החמה, כאילו מתערער ביטחונם באקראיות ההגרלה.

נראה שמפעל הפיס שלנו מנסה לעודד טעויות כאלו במידע הסטטיסטי שהוא חולק: את כשל היד החמה מעודד הפיס בדף הנקרא "מספרים חמים", בו מצוירת להבה כתומה ליד מספרים שעלו הרבה פעמים בגורל, ואת כשל המהמר בדף "מספרים לוהטים", בו מספרים שהוגרלו פחות מקושטים בלהבה כחולה.

מה האינטרס של מפעל הפיס בהנגשת הסטטיסטיקה הזו? מחקרים מראים כי גם מי שנופל ל"כשל המהמר" וגם אלו המניחים "יד חמה" נוטים להימורים יותר ממי שיש לו הבנה טובה של עקרונות ההסתברות. מי שטורחים לברר תוצאות הגרלות עבר ולבסס את ניחושי הלוטו שלהם על בסיס המידע הזה ממלאים יותר טורים ומזרימים יותר כסף למארגנים מסתם מהמרים.

סיכוי זהה, תוחלת רווח שונה

לכאורה, אפרת, כל צירוף מספרים בלוטו נושא עמו סיכוי זהה לזכייה, אבל לא כל צירוף נושא אותה תוחלת רווח: כיוון שהפרס מתחלק בין המנחשים, כדאי לבחור צירוף שאם אכן יעלה בגורל ישאיר אותך לבד עם כל הקופה.

מפעל הפיס, שמציף אותנו באינפורמציה עקרה על תוצאות הגרלות שלפני 10 ו-15 שנים, שומר לעצמו את המידע המעניין באמת: אילו מספרים וצירופים חביבים על המהמרים. ובכל זאת היו מי שמצאו קווים לדמותו של טור הלוטו האופייני, מתוך בדיקת המכנה המשותף להגרלות בהן התחלקו מנחשים רבים בפרס הראשון, ולעומתם צירופי מספרים שהשאירו את הפרס להגרלה הבאה.

מהמרים רבים משלבים בהימור תאריכים חשובים כימי הולדת ונישואין. כיוון שיש לכל היותר 31 ימים בחודש אך 37 מספרים לבחירה, הרי שמספרים גבוהים יוזנחו לעומת הנמוכים. בבריטניה, שם הכיל הטופס עד 2015 49 מספרים לבחירה, נמצא כי כמחצית ההגרלות היתומות מזוכים הכילו לפחות 3 מספרים שמחוץ לתחום הניחוש של חובבי התאריכים. במוצאי השבת שקדמה לכתיבת הטור, בספטמבר 2020, נערכה ההגרלה ללא זכייה גדולה, ואני מהמר ש-2 המספרים העוקבים 33 ו-34 שעלו בגורל אחראים לכך.

גם מי שמנסה למלא טור "אקראי" יוצר בלא משים תבניות הרחוקות מאקראיות: אדם כזה נוטה להניע את העיפרון מעל מרכז הטופס ולפזר את הניחושים באופן "הוגן" על פניו. בטורים כאלו כמעט שאין מספרים עוקבים, למרות שהסבירות לזוג מספרים עוקבים בשישייה היא כ-60%, ובפרט נמנעים הממלאים המנסים לשחזר אקראיות ממספרים הנמצאים זה מעל זה בטופס, והם פוסחים על המספרים שבקצות השורה. מתברר כי צירופי מספרים היושבים על הטופס באופן כזה שמהמרים תופסים כ"אקראי", כלומר מרוחים באופן שאינו מקפח אף צד של טבלת המספרים, מניבים מספר רב של שותפים לפרס. מספרים פופולריים במיוחד בקרב המנחשים הם 7 וכפולותיו, 9, 11 והמספרים המיסטיים 12 ו-13.

כמה קטן הסיכוי לזכות

אבל אפרת, גם טור הלוטו בעל הסיכוי הטוב ביותר להימלט מההמון נושא עמו סיכוי של כ-1 ל-16 מיליון לזכות בפרס הגדול (ניחוש 6 המספרים וגם המספר החזק). קשה לתפוס עד כמה קטן הסיכוי הזה, וניתן רק לסבר את האוזן באנלוגיות: יש יותר סיכוי שאדם שתבחרי באקראי מבין תושבי המדינה יהיה רמטכ"ל לשעבר מאשר לזכות בלוטו, והסיכוי של אדם צעיר ובריא למות ביום בו הוא ממלא את הטופס גבוה משמעותית מסיכוי הזכייה שלו. למה אם כן זוכה המשחק המוזר לפופולריות רבה כל כך בכל רחבי העולם? לחידה זו יוקדש טור משלה.

עלתה בדעתכם שאלה מעניינת, מסקרנת, מוזרה, הזויה או מצחיקה? שלחו ל[email protected]

שאלות ותשובות

האם יש בלוטו מספרים שעולים בגורל יותר מאחרים?

לא. הלוטו מבוסס על הגרלה אקראית של 6 מספרים בין 1 ל-37, והכדורים מתערבלים מחדש בכל הגרלה, כך שלתוצאות עבר אין כל השפעה על סיכויו של מספר בהגרלה הבאה. גם נתוני מפעל הפיס אינם מאששים את הטענה ש-3 ו-8 עולים בגורל יותר משאר המספרים.

מהו כשל המהמר?

כשל המהמר הוא הציפייה שהאירוע האקראי הבא "יאזן" את התוצאות הקודמות, למשל הימור על הצבע המנוגד ברולטה אחרי רצף של 6 חזרות על אותו צבע. במחקר על מהמרי הלוטו בדנמרק נמצא שחלק מהם נוטים לכשל זה.

מהי "יד חמה" ואיך היא קשורה ל"מספרים חמים"?

"יד חמה" היא ההנחה שמי שהצליח כמה פעמים ברציפות ימשיך להצליח, מונח שמקורו בכדורסל. בלוטו היא מתבטאת בהימור על מספרים שעלו בגורל לאחרונה, ובמחקר בדנמרק נמצא שחלק מהמהמרים נוטים אליה.

אם לכל צירוף יש סיכוי זהה, האם משנה איזה צירוף בוחרים?

הסיכוי לזכות זהה, אבל תוחלת הרווח שונה, כי הפרס מתחלק בין כל המנחשים הנכונים. צירופים פופולריים, כמו תאריכי לידה (מספרים עד 31) או פיזור "אקראי" לכאורה על פני הטופס, מניבים שותפים רבים לפרס.

מה הסיכוי לזכות בפרס הגדול בלוטו?

גם לטור בעל הסיכוי הטוב ביותר להימלט מההמון, הסיכוי לזכות בפרס הגדול הוא כ-1 ל-16 מיליון. לפי הכותב, יש יותר סיכוי שאדם שנבחר באקראי מבין תושבי המדינה יהיה רמטכ"ל לשעבר.

עוד בנושא באתר הידען

• דברים שיורמים יודעים: למה אנחנו אוהבים את הלוטו והאם ניתן לנצח את הרולטה?
• לזכות בלוטו, בלי שותפים – על הטיות קוגניטיביות ובאגים במוח
• צירוף המקרים בלוטו: הגזמה פראית
• אז מה הם באמת סיכויי הזכייה?
• נס ברחוב ההסתברות