סיקור מקיף

דברים שיורמים יודעים: האם מספר כוכבי השמיים זוגי? עד כמה טבעיים הם המספרים הטבעיים.

השאלה נשלחה בעקבות הטור על השיטה העשרונית ובו סיפורם של תרבויות חסרות בסיס ספירה. "האם יש אנשים שחיים בלי מספרים בכלל?"

 מספרים. מתוך Jumpstory
מספרים. מתוך Jumpstory

יש להניח שהשואל מתכוון למספרים הטבעיים: 1,2,3…משום שעד לפני כמה מאות שנים כל בני האדם הסתדרו בלי המספרים השליליים ורוב בני האדם לא מכירים את המספרים המרוכבים עד עצם היום הזה. המתמטיקאי לאופולד קרונקר קבע כי "האל יצר את המספרים הטבעיים – כל השאר הוא יציר האדם" אבל המחקר מערער אפילו על חלקת האלוהים האחרונה: גם המספרים הטבעיים עצמם הם יצירה תרבותית.

מחקרי מיפוי מוח הראו שיש לנו יכולת לייצוג ספציפי של מספרים קטנים מ 4 : תאי עצב שיפעלו כשאנו רואים 2 פריטים אבל יפעלו פחות כשמופיע פריט אחד או שלושה. אבל לנו "נוירון200 ” או אפילו "נוירון 7" במוח. עצמו עיניים ונסו לדמיין קבוצה של שבעה עצמים. סביר שיצרתם את ה7 באמצעות קבוצה של 4 וקבוצה של 3 (או שתי שלשות ופריט בודד) ולא 7 עצמים בשורה. חוק וובר בפסיכולוגיה קובע כי אנו מבחינים בהבדלים יחסיים ולא מוחלטים : נרגיש בקלות בהבדל שבין 3 גרם ל6 גרם אבל לא נחוש בתוספת המשקל בין 50 ל53 גרם. בניסוח מתמטי הרי שהתפיסה הכמותית הטבועה בנו לוגריתמית ולא לינארית. המרחק ה"טבעי" שבין 2 ל4 גדול בהרבה מזה שבין 8 ל10 וזה שבין 198 ל200 אפסי. תפיסת הכמות האינטואיטיבית היא זו של סדרי גודל. כך, לאחר הנצחון על גולית מבטאות הנשים את הערצתן לדוד בסקלה לוגריתמית "ותענינה הנשים המשחקות ותאמרן הכה שאול ב 103 ודוד ב 104” (שמואל א' פרק י"ח פסוק ז') ופונקציה מעריכית משתלבת בשירת האזינו בספר דברים "אֵיכָה יִרְדֹּף 1 103 ו 2 יָנִיסוּ 104" . מתבקשת, לכן, השאלה הפרובוקטיבית: האם "200" טבעי לנו יותר מ π, שורש שתיים או i (שורש מינוס אחד) או שה"טיבעיות" של המספרים הטבעיים תלוית תרבות.

ציר המספרים שמרווח קבוע של 1 קוצב אותו מ0 לאינסוף נולד עם המסחר, הכסף והמיסים. ואכן, את שיטות הספירה הסדורות (בסיס 10 המצרי או בסיס 60 הבבלי) יצרו הציוויליזציות הראשונות שהשתמשו בכסף ונזקקו לספור את הרכוש. בעברית אולי מרמזת על כך הקרבה בין "עשר" ל"עושר". כל עוד חיינו בקבוצות קטנות, המספקות צרכי עצמן מסביבתן הקרובה ומבודדות מחברות אחרות לא היה צורך לדייק . בקבוצת ציידים- לקטים מעין זו מספיקה שפה שיש בה מושגים של יותר – פחות ויחיד -רבים ואין תועלת ממשית מציר מספרים אינסופי מופשט. חוקרי ארכאו-מתמטיקה טוענים כי התפתחות המושגים המתמטיים התקדמה עם ההתפתחות החומרית שיצרה את עזרים מתמטיים כשרשראות חרוזים, חשבוניות או כלי כתיבה. על פי גישה זו החשבוניה ושרשרת החרוזים ששריד לה נותר בשרשרת התפילה המוסלמית – המסבחה (مسبحة) לא רק סייעו לאדם לחשב אלא יצרו ציר המספרים שלנו. בני שבטים כגון ה Yupno הסופרים בעזרת אברי גוף פתחו שיטות מורכבות לפתור בעיות דוגמת 16-7 ההליך מחייב אותם לצעוד לאחור על פני אברי הגוף השונים מ16 (המיוצגת אצלם בזרת כף רגל ימין) אחורה כאשר הם מונים בו זמנית את הצעדים על אצבעות הידיים מערכת המספרים של בני תרבויות אלו חסרה מאפיין הנראה לנו מובן מאליו: לינאריות. ציר המספרים הקווי (שניתן להאריך ללא גבול) נוצר עם השימוש בעצמים כגון שרשראות חרוזים, צדפים או אסימוני חרס (ששימשו לספירה במסופוטמיה) למניית עצמים. הצורך בדיוק כמותי התעצם ככל שגדלה המורכבות הכלכלית והחברתית אבל אפילו הרמב"ם מכיר בכך שכשמדובר במספרים גדולים מאבד הדיוק את משמעותו " יש לשׂכל האנושי גבול, שם הוא נעצר. יש דברים שמתברר לאדם שאי-אפשר להשׂיגם, והוא לא ירגיש את נפשו משתוקקת לדעת אותם. ..כגון שאין אנו יודעים אם מספר כוכבי השמיים זוג או פרט" (מורה נבוכים א'). כיום המספרים הגדולים ביותר שאנחנו נדרשים לדעת בדיוק הם המספרים הראשוניים הענקיים המשמשים להצפנה והם גדולים ממספר כוכבי השמיים אבל גם היכולת שלנו לבטא במדוייק מספרים גדולים מאוד מוגבלת (איננו יודעים למשל מהי הספרה הראשונה במספר גרהאם).
אצל ילידי מערב אוסטרליה אין צורך ב"מספר כוכבי השמיים" כדי לחדול מהתשוקה לדיוק. המילים MARAKUJU וMARAKUJARRA משמשות לציון "בערך יד אחת" ו"בערך שתי ידיים" כדי להביע גדלים בסביבות ה5 או בסביבות 10 בלי להידרש להבדל שבין 9 ל11 למשל, פרט לצעירי השבט ש"התקלקלו" במסחר נראה שאין הדבר מפריע לחיי היומיום.
בעבודתו המונומנטלית של גלנדון לין על המתמטיקה של הילידים באיי האוקיינוס השקט מתועד שבט המכיר את ציר המספרים האינסופי אך מגביל את השימוש בו: אגוזי קוקוס בהם סוחר השבט עם שכניו נספרים בדיוק גם כשמספרם מגיע לאלפים אך עצמים אחרים, לשימוש פנימי, נספרים בשיטות "פרימיטיביות" חסרות דיוק. רוב השפות השבטיות לא טורחות לציין במדויק מספרים גדולים כ100 או 200.

 

תרבויות חסרות מספרים עוד יותר מצויות בעומק האמזונס, לבני Mundurucu אין מילה לייצוג 4 ובשבט ה Piraha המילה "הרבה" מחליפה שלוש ו כל מספר גדול יותר. בני השבטים משמשים, לכן, כמעין שפני ניסוי טבעיים לחוקרי התפיסה המתמטית. המחקרים הללו מערערים את המוסכמות בדבר הגבול שבין "טבע" לתרבות וממחישים עד כמה מעצבת השפה את עולמנו ולא רק מתארת אותו. בני השבטים מצליחים להבדיל בין קבוצות בהתאם למספר הפריטים בהם,. לשם כך הם משתמשים בטכניקה בה משתמשים ילדים וקלפנים: יצירת זוגות "אחד לי ואחד לך" כך שהקבוצה הגדולה היא זו שנשארים בה פריטים שאין להם בן זוג. האפשרות להבדיל בין "קצת" ל"הרבה" חשובה בקבלת החלטות והיא משותפת כנראה לכל בני האדם. עם זאת היכולת הזו מוגבלת כשקשה לחבר פיזית או ויזואלית את העצמים לזוגות. כך, למשל, כשהוצגו לבני הPiraha ציורים של שתי קבוצות קוים מאונכים הצליחו הנחקרים לזהות שיוויון מספרי עד ל 9-10 איברים בקבוצה אבל כאשר הוצגה קבוצת קוים מאונכים ומולה צבר נקודות או קוים אופקיים התבלבלו הנשאלים בקבוצות של יותר מ4. כשהתבקשו להעתיק מהזכרון קבוצת קוים שהוצגה להם הצליחו רק מחצית מהנשאלים לשחזר קבוצה בת 5 איברים ואף לא אחד הצליח לשחזר קבוצה בת 7 קוים. היכולת הנראית לנו אינטואיטיבית להמשיך במחשבה את ציר המספרים באמצעות צעדים של 1 קדימה ואחורה תלויית תרבות עוד יותר. כשאין שמות למספרים אין אבחנה בהבדלים מספריים: בני השבט לא יבחינו שמספרן של נקודות מצוירות קטן כשימחקו אחת מתוך 10 או לחזות כמה פריטים יהיו אם יוסיפו או יחסרו כמות כלשהי לקבוצה.

ילדים לומדים בערך בגיל שנתיים וחצי לדקלם מספרים מ1 ל10 אבל תעבור עוד כשנה עד שיוכלו לשייך את המילים לגדלים בעולם הממשי כלומר לבצע מטלה כמו "קח 5 צעצועים". מתברר, אבל, שהשינון הזה חיוני, השפה האנושית מעצבת את המוח ומאלפת אותו לייצוג כמויות בציר שאינו "טבעי" יותר מכל צורת ייצוג אחרת של כמויות.

עלתה בדעתכם שאלה מעניינת, מסקרנת, מוזרה, הזויה או מצחיקה? שלחו ל [email protected]

עוד בנושא באתר הידען:

שיתוף ב print
שיתוף ב email
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב linkedin
שיתוף ב twitter
שיתוף ב facebook

82 תגובות

  1. מדינת קליפורניה.

    מקרא:

    מוביל מים: קליפורניה אקוודוקט.

    הים הגדול: האוקיינוס השקט.

    אקלים: מוגדר בקליפורניה כ"ים תיכוני".

    מדבר מואב: מדבר מואבי.

    ים המלח: ים סלטון.

    שבר וולקני: סאן אנדריאה.

    חצי אי: באחה קליפורניה.

    נואיבה: נואיבה רוסריו.

    שכנה מצפון: אורגון.

    אגם: לייק טאהו.

    רמה וולקנית: סיירה נוודה.

    הכרך הגדול: לוס אנג'לס.

    כביש החוף: פסיפיק קואסט הייווי.

    עיר המפרץ: סאן פרנסיסקו.

    כרמל: העיירה כרמל.

    48: קליפורניה נרכשה ממקסיקו ב1848, אחרי מלחמת ארה"ב – מקסיקו שנסתיימה באותה שנה.

    49: הבהלה לזהב, תחילת ההגירה ההמונית לקליפורניה.

    מהגרים: מכל העולם, בעיקר ממקסיקו.

    ה' במאי: סינקו דה מאיו, חג לאומי גדול במקסיקו וקליפורניה.

    עכשיו, אם נראה לכם שגם מדינת ישראל מתאימה לנתונים בשלמות, זכרו שעיירת הנופש בסיני נקראת נואיבה (בית דגושה) ולא נואיבה (בית רפויה). וזאת בדיוק הנקודה שמבדילה בין שתי המדינות – הנקודה שבתוך הב'.

  2. אתה צודק, עצברבירו.

    הידיעה הטבעית שלי אומרת לי שאדם שלא מפסיק לדבר שטויות, אינו מתייחס לשום ביקורת וחוזר כל הזמן על אותם משפטים נבובים וחלולים, הוא פסיכי על כל הראש.

  3. ישראל, אל תזלזל בידיעתך הטבעית, כל מה שאתה יודע מבוסס עליה

    נושא הידיעה הטבעית על קצה המזלג

    ידיעות טבעיות מושגות בעקבות מעשים.
    האדם רואה ויודע, שומע ויודע , נוגע ויודע , הולך ויודע , מאזין לפעימות ליבו ויודע , נושם ויודע , מתאמץ ומתעייף והוא יודע, והוא גם יודע שהוא יודע. האדם מתחבר אל המציאות דרך מעשים ממשיים גופניים , ובעקבותיהם הוא משיג ידיעות טבעיות.

    הידיעה הטבעית טבועה באדם והוא לא מודע לה.
    אדם הנתקל "במשהו" זר ולא מוכר המונח על פני האדמה, מפעיל מיד את ידיעתו הטבעית, בלי לדעת כי הוא מפעיל אותה.

    הוא מביט מרחוק ומשיג את צורת "המשהו" ואת צבעו.
    עתה הוא מתקרב בזהירות, ומזיז את "המשהו" בדחיפה קלה עם הנעל.
    לאחר מכן האדם מתכופף ונוגע "במשהו" בעדינות בקצה אצבעו.
    לאחר מכן הוא מרים אותו בזהירות כדי לחוש את משקלו, ואפילו טועם אותו בזהירות בקצה הלשון.

    לאחר כל המעשים האלה, האדם כבר השיג כמה ידיעות על "המשהו".
    "למשהו" יש צורה ייחודית וצבע ייחודי, הוא קשה ומחוספס, טעמו חריף מאוד , וכשמרימים אותו מהקרקע מתעייפים קצת.

    אם האדם הזה היה ממציא שפה, הוא היה קובע שמות לידיעות הטבעיות שהוא השיג.
    צורה…זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות ראייה
    צבע …זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות ראייה
    קשה…זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות מגע ישיר
    חריף…זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות טעימה
    מחוספס ..זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות מגע ישיר

    שם של ידיעה טבעית, הוא רעיון חדשני.

    האדם הזה לא קיבל ידיעות מאדם אחר.
    האדם הזה לא קיבל ידיעות באמצעות מלים.
    האדם הזה רכש ידיעות בעקבות מעשים.
    האדם הזה הכיר בפלא…..המעשה מביא לידיעה

    הענקת שם לידיעה טבעית , היא ההמשך הטבעי של יצירת שפה.

    בשלב ראשון של השפה העניק האדם שמות ליישים ממשיים, (עץ, סלע, הר , ענן , וכו) ובהמשך הוא העניק שמות לידיעות טבעיות הבאות אל האדם בעקבות מעשה שהוא עושה.

    הנוגע בדופן תנור משיג ידיעה טבעית, ששמה המוסכם הוא חם
    יכל להיות גם הסכם אחר , כמו חררר קלימצ וכו'

    א.עצבר

  4. ישראל, אל תזלזל בידיעתך הטבעית, כל מה שאתה יודע מבוסס עליה.

    על קצה המזלג, עקרונות הידיעה הטבעית

    ידיעות טבעיות מושגות בעקבות מעשים.
    האדם רואה ויודע, שומע ויודע , נוגע ויודע , הולך ויודע , מאזין לפעימות ליבו ויודע , נושם ויודע , מתאמץ ומתעייף והוא יודע, והוא גם יודע שהוא יודע. האדם מתחבר אל המציאות דרך מעשים ממשיים גופניים , ובעקבותיהם הוא משיג ידיעות טבעיות.

    הידיעה הטבעית טבועה באדם והוא לא מודע לה.
    אדם הנתקל "במשהו" זר ולא מוכר המונח על פני האדמה, מפעיל מיד את ידיעתו הטבעית, בלי לדעת כי הוא מפעיל אותה.

    הוא מביט מרחוק ומשיג את צורת "המשהו" ואת צבעו.
    עתה הוא מתקרב בזהירות, ומזיז את "המשהו" בדחיפה קלה עם הנעל.
    לאחר מכן האדם מתכופף ונוגע "במשהו" בעדינות בקצה אצבעו.
    לאחר מכן הוא מרים אותו בזהירות כדי לחוש את משקלו, ואפילו טועם אותו בזהירות בקצה הלשון.

    לאחר כל המעשים האלה, האדם כבר השיג כמה ידיעות על "המשהו".
    "למשהו" יש צורה ייחודית וצבע ייחודי, הוא קשה ומחוספס, טעמו חריף מאוד , וכשמרימים אותו מהקרקע מתעייפים קצת.

    אם האדם הזה היה ממציא שפה, הוא היה קובע שמות לידיעות הטבעיות שהוא השיג.
    צורה…זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות ראייה
    צבע …זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות ראייה
    קשה…זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות מגע ישיר
    חריף…זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות טעימה
    מחוספס ..זה שם של ידיעה טבעית המושגת בעקבות מגע ישיר

    שם של ידיעה טבעית, הוא רעיון חדשני.

    האדם הזה לא קיבל ידיעות מאדם אחר.
    האדם הזה לא קיבל ידיעות באמצעות מלים.
    האדם הזה רכש ידיעות בעקבות מעשים.
    האדם הזה הכיר בפלא…..המעשה מביא לידיעה

    הענקת שם לידיעה טבעית , היא ההמשך הטבעי של יצירת שפה.
    בשלב ראשון של השפה העניק האדם שמות ליישים ממשיים, (עץ, סלע, הר , ענן , וכו) ובהמשך הוא העניק שמות לידיעות טבעיות המושגות בעקבות מעשה.

    הנוגע בדופן תנור משיג ידיעה טבעית, והוא יכול להעניק לה כל שם שירצה.
    כל צירוף אותיות יכול לשמש כשם, וצירופי האותיות הבאים יכולים לשמש כשם לידיעה הטבעית הבאה לאדם בעקבות מגע כף ידו בדופן תנור.

    רקמינצו , צקלול , מנטיאנטי, לולי , חררר , חם.
    האדם בחר בצירוף האותיות חם.

    א.עצבר

  5. נו, אז באיזו מדינה מדובר?

    ים המלח, הכרמל, מדבר מואב, מזרח תיכון, מוביל ארצי, 48..

    עצברבור, מה אומרת לך הידיעה הטבעית? מונגוליה?

  6. כתבת מאי….

    ישראל אכן גובלת בקו רוחב 33 בצפון, בערך…. אז ישראל…. מצד שני CA גובלת בערך בקו 33 בדרום?

    השבר ס"א בקליפורניה הוא במערב ולא במזרח, להבדיל מישראל. ולכן ישראל…

  7. ד"ר שורק
    אתה מדבר כמו חלוץ אמריקאי מן המאה ה19… :))
    האמת שאני תומך בדעתך.. והלוואי שעצבר במקרה הזה היה צודק… 🙂

  8. ואף אחד עדיין לא פתר את החידה שלי!

    אולי עצבריוצמח יפתור אותה עיי שימוש בידיעה טבעית..

    דע את ארצך

    איזו היא המדינה?

    בחידה שלפניכם מתוארות תכונות המשותפות כולן למדינה אחת ויחידה בעולם. עליכם לקרוא את החידה במלואה, ולנחש באיזו מדינה מדובר. אם נראה לכם כי מכלול התכונות יכול להתאים ליותר ממדינה אחת, בדקו שנית את הנתונים. תיווכחו כי ישנה נקודה בה שונות המדינות זו מזו, ורק למדינה אחת מתאימים הנתונים במלואם.

    איזו מדינה –
    בעלת אקלים מזרח תיכוני, שטופת שמש, פורייה במחציתה הצפונית ומדברית בדרומה?
    מוביל מים ארצי מוליך את מימי הצפון דרומה?
    שוכנת בגבול המערבי של היבשת וגובלת בקו הרוחב 33?
    משתרעת מצפון לדרום לחופו של הים הגדול שבמערבה?
    בגבולה המזרחי – ים המלח. במזרחה – מדבר מואב, עמק המוות והשבר הוולקני הגדול (אשר ראשי התיבות שלו: ס"א) המשתרע מצפון לדרום?
    שכנתה הצפונית (אשר שמה מסתיים ב-”on”) ידועה כארץ הארזים, המים וההרים.
    בגבולה הצפוני מזרחי אגם מים מתוקים, וממזרח לו רמה וולקנית גבוהה.
    מדרום מערב למדינה, חצי אי גדול ובו עיירת הנופש נואיבה_____ (בית רפויה).
    במרכז המדינה , לחוף הים, שוכן הכרך הגדול במדינה, וממנו מוביל כביש החוף צפונה, אל עיר המפרץ הגדולה והיפה הסמוכה לכרמל.

    איזו מדינה-
    קבלה את עצמאותה בשנת 48, אחרי המלחמה הגדולה באותה שנה.
    משנת 49 החלה הגירה גדולה אליה ובתוך שנים מועטות שילשה את אוכלוסייתה.
    רוב תושביה מהגרים ובני מהגרים, שבמשך שנים רבות הייתה משאת נפשם של מהגרים לא לגליים, שניסו להעפיל אליה בדרך לא דרך וקראו לה "הארץ המובטחת" ואשר רבים מהם מצאו עצמם במחנות עקורים.
    באיזו מדינה אחד החגים הלאומיים העיקרים חל בתאריך ה' בחודש מאי?

  9. לא חצי רדיוס, רבע..

    החלק השני אינו מסובך, רק ייארך קצת זמן לפתור אותו עם יישום מינימום בקלקולוס (לוקחים את הנגזרת ופותרים ל0).

    חידת המטבעות והקוביות שהצגתי לך לעומת זאת

    https://www.hayadan.org.il/cern-physicists-report-the-discovery-of-unique-new-particle-1207202/comment-page-15#comment-734445

    אינה פתירה מתמטית בשום צורה, וזאת למרות שיש לה פיתרון מפליא במציאות. כזכור מובטח שם פרס כספי, אז אם הוא גבוה מספיק המיישם יוכל לזכות בו.

  10. ישראל שפירא!
    נכון מאד החלק הראשון.
    פתרון החלק השני מיועד לתלמידי תיכון 5 יחידות לפני בגרות אתה בחרת חצי רדיוס אך בחישוב ניתן להגיע לרדיוס הקטן ביותר. משאיר לפותרים.

  11. יורם, יוסי, התשובה לשאלותיכם ברורה כשמש: יבוצע ניסוי ההיקפן!

    הברווז שוחה לרבע רדיוס הבריכה ומתחיל לשחות במעגל עד שהשועל נמצא בדיוק מולו אך בצד השני, אז הוא חותך לשפה ופורש כנפיים.

    לגבי החלק השני..יבוצע ניסוי ההיקפן!

  12. אצבעוני
    פסילה הוא סימן לזה שכולם רואים שאתה קשקשן בלתי נלאה.

    הניסוי שלך לא מדוייק. כשתפנים את זה, ושתלמד חשבון של תיכון, תבין שיצאת אהבל.

  13. (חידה עתיקה)- במכון ויצמן לפני שהוקם המאיץ היה אגם מים עגול ברדיוס של 100 מטר. במרכז האגם צף ברווז שנפשו חשקה לצאת מהאגם. אך לצערו הרב, בשפת האגם המתין לו שועל רעב. מבדיקות וצילומים שהברווז ערך התברר לו שמהירות הריצה של השועל היא פי ארבע ממהירות השחייה שהוא מסוגל לשחות. פירושו של דבר לכאורה , לכל נקודה שהברווז יחתור השועל יגיע לפניו. מאחר והברווז השתייך לאלפיון העליון ולמד אצל תרצה הוא מצא מוצא. (לשועל עקב הקורונה מותר היה לשהות רק על שפת האגם). שאלה? 1. מה המסלול שחילץ את הברווז (החלק הקל). 2. מה אורך המסלול המינימלי שעל הברווז לעבור ע"מ להינצל (החלק הקשה).

  14. אני מרגיש עצמי חריג כאן. אתה מדבר על פאי משתנה וכולם חושבים על מתמטיקה. אני חושב על כסף. נניח שבאמת פאי משתנה כלומר אני יכול לקחת דיסק עגול, להוריד ממנו טבעת חיצונית כך שהרדיוס יקטן מעט אבל בגלל שפאי אף הוא השתנה במעגל הקטן יותר שיצרתי השטח לא השתנה. כיוון שלא שיניתי את העובי של הדיסקית גם הנפח והמסה נשמרו. עכשיו מאותה כמות חומר אצור את הדיסקית המקורית במידות ההתחלה ושוב אחתוך טבעת.. אם אצור את הדיסק שלי מזהב אוכל לקלף ממנו לנצח טבעות דקות של זהב, למכור אותן ולהישאר עם אותה כמות זהב ליצור ממנו דיסקיות חדשות. כשאצבור מספיק הון ממכירת טבעות הזהב אקנה מכשיר מדוייק לחיתוך לייזר שיעשה את העבודה באופן אוטומטי, לא אזדקק יותר לעבודה. אוכל לקרוא להנאתי על ניסוי ההיקפן מבוקר ועד ערב (כמובן שלא אערוך אותו ולא אפרסם כדי שלא כולם יעלו על הטריק ומחיר הזהב יצנח..).

  15. לישראל וניסים הרגעו.
    אין צורך ביותר מ 60 סיבובים של ציר הפלדה, כדי לגלות שערך פאי של ציר הפלדה , קצת יותר גדול מערך פאי של גלגל הפלדה
    יש צורך שנציגי האקדמיה של המדעים המדויקים, יחזרו על ניסוי ההיקפן.
    ניסוי ההיקפן הוא מיוחד, כיוון שהוא בא לקבוע אי-שוויון
    כאשר אי השוויון חורג מעבר לתחום השגיאה, הניסוי הצליח.

    הדיבורים לא יועילו,
    ניסים יגיד מה שהוא רוצה, (ואני מכבד את דבריו) ,
    אתה תניד מה שאתה רוצה (ואני מכבד את דבריך)
    והמציאות הפיזיקלית תניד את האמת באצעות ניסוי.

    אני רגיל להמתין, הנושא כבר הועלה לפני 15 שנים בפורום מתמטיקה, וגם שם הוא זכה לפסילה.
    פסילה זו , היא הסימן המובהק לרעיון מהפכני.
    לכל רעיון מהפכני הזמן שלו, וגם הזמן של ניסוי ההיקפן יגיע.

    א.עצבר

  16. דקה..

    אם אינך מבצע עוד השבוע את הניסוי עם פי 20 סיבובים – 20 דקות לדבריך – ומראה יוטיוב של הניסוי, הרי זה כאילו שהכרזת על עצמך שאתה שרלטן וקשקשן.

    ממה אתה מפחד עצברשווילי, מהמציאות?

  17. aetzbar
    למה אתה ממשיך לשקר?? הראיתי לך שאפילו מעלה אחת של שינוי טמפרטורה יוצרת שגיאה שגדולה מהדיוק שצריך.

    אתה באמת כזה אטום??

  18. ההיקפן הוא מכשיר מדידה מדויק ורגיש, וגם אחרי 60 סיבובים של ציר הפלדה, ניתן להבחין כי גלגל הפלדה עשה "סיבוב שלם וקצת יותר" ( קצת יותר זה הוא מעבר לתחום השגיאה)
    זוהי ההפתעה הגדולה – כל הצופים בניסוי מצפים לסיבוב שלם של גלגל הפלדה, והנה יש "קצת יותר"
    אין כל סיבה לסובב את ציר הפלדה 120 סיבובים, אם 60 סיבובים כבר יוצרים את ההפתעה בגדולה.
    משך הניסוי דקה , ואחריה כבר יש בעולם גיאומטריה חדשה.

    א.עצבר

  19. למה?

    תפסיק לבלבל את השכל עם הבקשה שלך שהניסוי ייערך עיי מוסדות אקדמים. אף אחד לא יבצע אותו עם פחות מ1000 סיבובים. העובדה שאינך עושה זאת בעצמך מראה שאינך מאמין בשטויות שלך בעצמך.

    איזו חוצפה מצידך הייתה להטריח אותי עם הבקשה לחשב את אורך הקשת על פי המיתר והקוטר, רק כדי להודיע בסוף שהתוצאה אינה קבילה על פי הגאומטריה העצברית ההזויה שלך.

  20. aetzbar
    מצד שני – הוספת יושרה גם הייתה פותרת לכולם את הבעיה. אני מבין שאין לך יכולת לרכוש השכלה, אבל יושרה לא דורשת אינטליגנציה…

  21. לישראל
    הכל טוב , ובא ממקום טוב,
    אבל ההסברים מיותרים ואין בהם תועלת, ותוספת סיבובים לציר הפלדה ממש מיותרת.

  22. לישראל וניסים

    המשיכו כך, אתם ממלאים את המצופה מכם בהצלחה.
    צוחקים, מקנטרים, לועגים, מתחכמים, ממש תיאטרון המציג איך נלכד האדם, במערבולת אי הידיעה.
    קומדיה תיאטרלית מדעית היא חידוש מרענן ,מפתיע ומשונה.
    בקומדיה זו נחשף הצופה הנדהם נחשף לשאלת השנה – פאי קבוע או הוא השתנה.
    שאלה מוחצת, קשה ומתסכלת, המוצגת בתיאטרון המדע כנורא מבלבלת.

    א.עצבר

  23. ניסינו בטוב, לא?

    ניסינו להסביר במתמטיקה, גאומטריה, קלקולוס, הצענו לערוך את הניסוי בצורה יותר מדוייקת (יארך בערך שעה), הצענו לשלוח מתנדבים שייערכו את הניסוי באמצעות הציוד הקיים, כל נסיונותינו נתקלו בתגובה אחת בלבד: ייערך ניסוי ההיקפן!

    והאם לא נשמח אם ניסוי כזה ייערך? והאם לא נשתאה ונתפעל אם התוצאות יהיו של פאי משתנה? בוודאי שכן!

    אך עצברמורון אינו מעוניין בדעתינו. הוא תקע לראשו הנבוב את הרעיון שאנו אילו שנגרום לאקדמיה לערוך את הניסוי עבורו. אז לא נשאר לנו אלא להסתלבט על הקרקפוט האולטימטיבי ולהריץ קטעים על חשבונו.

    ייערך ניסוי ההיקפן!

  24. ניסים

    גם אתה עושה מעצמך צחוק. עדיין לא הבנת שלא משנה מה תגיד או תסביר עצבריין ימשיך להגיד יבוצע ניסוי ההיקפן?

    אין חוק שאוסר על אף אחד להגות את כל התאוריות הכי הזויות מטורפות ומטומטמות. אין גם חוק שאוסר לפרסם אותן ולהתדיין עם פריירים תמימים שמשתפים פעולה מתוך רצון טוב ועקר להאיר את האמת להוגה המטורף.

    אבל ההוגה אינו מעוניין להקשיב, רק להשמיע. ולכן כל מילה של דיון איתו היא בזבוז זמן.

    אין גם חוק שמחייב אותי להקשיב לשטויות האילו.

    יבוצע ניסוי ההיקפן!

  25. aetzbar
    ישראל עושה ממך צחוק. אני זה שכן איתך.

    ישראל
    חוץ מידידינו, מספר האנשים עם IQ חד-ספרתי הוא זניח. האמת … גם ידידינו זניח.

  26. לניסים
    במקום לדבר, ולדבר, ולדבר, ולדבר, ולדבר, ולדבר , ולדבר, חזור על ניסוי ההיקפן.
    ואם אינך יכול, הצטרף לקריאה של ישראל "יבוצע ניסוי ההיקפן"
    ואם אינך רוצה להצטרף וזמנך בידך, אולי תמצא עניין במאמר המצורף.
    https://doalogue.co.il/wiki/%D7%A2%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%AA%D7%9F_%D7%95%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%AA%D7%9F_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%92%D7%9E%D7%95%D7%AA

  27. ניסים, חסוך מילותיך והצטרף אלינו בקול קורא לאקדמיה:

    יבוצע ניסוי ההיקפן! עכשיו!

    חשבתי אולי שעצבריניו מסתלבט עלינו, אך יש אינדיקציות לא מעטות שהוא רציני.

    מה עם i q חד ספרתי?

    עצברברון

    בל נכביר מילים לשוא, כל רגע שחולף משהה את מהפיכת הגיאומטריה הגדולה.

    יבוצע ניסוי ההיקפן!

  28. לישראל
    הברקת בהבחנתך, הרי צריך לטפל בתופעת ההלם הרגשי , הבא בעקבות שינוי פרדיגמה.
    אין ספק שעולם המתמטיקה יהיה בהלם, בעקבות המעבר מקבוע בטוח ומרגיע, אל משתנה שקשה לבלוע.

    https://doalogue.co.il/wiki/%D7%A2%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%AA%D7%9F_%D7%95%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%AA%D7%9F_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%92%D7%9E%D7%95%D7%AA

  29. aetzbar

    אתה טעית בניסוי שלך. הראתי לך איפה טעית. הודית בטעות… כמה דביל אתה יכול להיות, באמת?

    הידע המתמטי שלך, וגם הידע שלך בפיסיקה, הוא של תלמיד יסודי חלש. בכל לשון של בקשה – תפסיק להביך את עצמך.

  30. עצברובסקי אח סלנו, חוששתני שהמכון המדעי היחידי שאולי יתעניין בדיונים המתקיימים בנושא ההיקפן וגיאומטריה עצברית, הוא מכון שלוותא לבריאות הנפש.

  31. לישראל
    אבי בליזובסקי ידוע ומוכר במוסדות המדע בארץ, ובהחלט הוא יכול לבקש חוות דעת ממכון ויצמן , על הדיונים המתנהלים בימים אלו בידען, בנושאי מתמטיקה וגיאומטריה.
    א.עצבר

  32. חחח… אבי, אתה משווה את עצבריהו לטראמפ? או איינשטיין? או אלוהים? איזה עלבון! מי הם בכלל, מה הם פעלו, האם הם בנו את ההיקפן? ומה הם מבינים בגאומטריה עצברית, העתיד של כולנו?

    אני מתערב איתך שהם מאמינים שפאי הוא קבוע, האפסים.

  33. ״אני ממש תומך בקריאה זו אל נציגי האקדמיה "איזרו אומץ, וחיזרו על ניסוי ההיקפן".

    הידד! האח!

    וגם: יבוטל החוק השני של התרמודינמיקה! רק צרות הוא יודע לגרום!

  34. לניסים

    ניסים הגיב:
    26 ביולי 2020 בשעה 10:21
    ישראל
    אין לי בעיה עם אידיוטים. סה"כ – לחצי מהאנשים יש IQ דו ספרתי….

    אבל, אני לא אוהב שקרנים. ואצבר הוא שקרן עלוב.

    האם אתה יודע את האמת ?
    אמת אנושית אינה וודאית, כי הסימן המובהק של האנושיות היא הטעות.
    האדם יכול תמיד לטעות, אבל המציאות הפיזיקלית אינה טועה.
    גם ניסוי פיזיקלי אינו טועה.
    גלילי היה הראשון שהציג ניסוי פיזיקלי עם גופים נופלים מראש מגדל.
    אחרי גלילי כבר הוסכם שהניסוי הוא הפוסק האחרון במדע.

    הניסוי יכול לקבוע איזו אמת אנושית נכונה, זו של פאי קבוע או זו של פאי משתנה.
    אפשר להשתמש באלפי מלים כדי לחזק את האמת האנושית של פאי קבוע
    אפשר להשתמש באלפי מלים כדי לחזק את האמת האנושית של פאי משתנה
    אבל אפשר להשתמש במעשה יחיד , והוא יקבע איזו אמת אנושית היא הנכונה.
    מעשה זה, הוא ניסוי ההיקפן.

    אתה צריך להיות בעד חזרה על ניסוי ההיקפן, כדי להראות שהאמת האנושית שלך היא הנכונה.
    אתה צריך שניסוי ההיקפן יקבע כי האמת האנושית שלך היא הנכונה, וכך תוכל לפסול לחלוטין את האמת האנושית שלי.

    אז הצטרף לקריאה אל נציגי האקדמיה – לחזור על ניסוי ההיקפן
    ישראל החל בקריאה , אתה הבא אחריו, ואולי תצרף את אנונימי ונטע.
    אני ממש תומך בקריאה זו אל נציגי האקדמיה "איזרו אומץ, וחיזרו על ניסוי ההיקפן".

    א.עצבר

  35. "הקריאה "יבוצע ניסוי ההיקפן" מתחילה להדהד ברשת"

    אכן..

    אני גם בעד לבטל את נגיף הקורונה.

    מי מצטרף לקריאה?

    יבוטל נגיף הקורונה!

  36. ישראל
    אין לי בעיה עם אידיוטים. סה"כ – לחצי מהאנשים יש IQ דו ספרתי….

    אבל, אני לא אוהב שקרנים. ואצבר הוא שקרן עלוב.

  37. כאמור, הדיבורים לא יועילו
    נציגי האקדמיה מוזמנים לחזור על ניסוי ההיקפן.
    אין לי ספק שהניסוי יוכיח כי יחס הקטרים גדול מיחס ההיקפים.
    אם הניסוי יוכיח כי יחס הקטרים = ליחס ההיקפים, אצהיר כי טעיתי.

    א.עצבר

  38. aetzbar
    "ניסוי מכני מדויק מאוד."

    למה אתה משקר?? שאלו אותך מה הדיוק בניסוי שלך, ולא ידעת לענות.

  39. ישראל

    "ואז הופיע עיגול פינות, שבלם את התפתחות הגיאומטריה במשך 2000 שנים.
    עיגול הפינות אמר: החישוב הזה שהגיע למספר היחס 3.14159 , יתאים בקירוב טוב מאוד, למספר היחס בין היקפו של כל קו עגול סגור, לשני רדיוסים שלו.
    עיגול הפינות הזה קיים מאז ימי ארכימדס, והוא נלמד כיום באוניברסיטאות."

    כמה אידיוט בן-אדם אחד יכול להיות?

  40. לניסים
    אלה היו התגובות שלך

    ניסים הגיב:
    26 ביולי 2020 בשעה 07:04
    aetzbar
    פיתחתי שוב את ההוכחה למשפט שציינת …. ולא הייתי צריך לשאול מה ערכו המספר של הרדיוס.

    בבקשה – אתה יכול להראות לי איפה טעיתי?

    ניסים הגיב:
    26 ביולי 2020 בשעה 06:15
    aetzbar
    אתה יכול בבקשה להראות לי איפה ניכנס הרדיוס בהוכחת המשפט הזה?

    הנה אני משתדל להראות זאת?
    אם אינך לוקח בחשבון את ערכו הממשי של הרדיוס ( וערך ממשי מביעים במספר של מ"מ כמו
    0.07 מ"מ , 3.4 מ"מ , 128 מ"מ , 756 מ"מ, 546788 מ"מ , וכן הלאה) הרי ברור ומובן מאליו, כי אין כל חשיבות לאורך הממשי של הרדיוס, ואותה תוצאה חישובית תהיה תקפה לגבי כל אורך ממשי של רדיוס..

    ואיך אתה יודע שאין כל חשיבות לאורך הממשי של הרדיוס ?

    החישוב שלך מייצג את החישוב המתמטי המקובל מאז ימי ארכימדס, ופירושו פשוט.
    המתמטיקה החליטה באופן שרירותי שאין כל חשיבות לאורךהממשי של הרדיוס.

    לכן , המתמטיקה קיבלה תוצאה המתאימה להחלטתה השרירותית :
    פאי קבוע בכל רדיוס ממשי ( מרדיוס המתקרב לאפס מ"מ, ועד לרדיוס המתקרב לאינסוף מ"מ)

    מהחלטה שרירותי זו נובעת המשוואה הבאה.
    יחס הקטרים של שני מעגלים הנבחרים באופן אקראי= בדיוק ליחס ההיקפים שלהם.

    ניסוי ההיקפן בדק אם משוואה זו מופיעה במציאות ? וזאת על ידי ניסוי מכני מדויק מאוד.
    הניסוי קבע: יחס הקטרים (תמיד גדול) מיחס ההיקפים.
    ההפרש זעיר אבל בטוח ווודאי מעבר לכל ספק.

    מהפרש זעיר זה התפתחה לה גיאומטריה חדשה עם רעיון של פאי משתנה.
    גיאומטריה זו כבר לא שייכת למתמטיקה ולחישובים שלה, אלא היא שייכת לפיזיקה ולמדידות שלה.
    לא פלא, שהמתמטיקאים דוחים את הגיאומטריה החדשה, ואינם מוכנים לקבלה.

    א.עצבר

  41. aetzbar
    פיתחתי שוב את ההוכחה למשפט שציינת …. ולא הייתי צריך לשאול מה ערכו המספר של הרדיוס.

    בבקשה – אתה יכול להראות לי איפה טעיתי?

  42. אווריסט גלואה – גאון ו… הפסד של האנושות….

    עצבר:

    "אפס" זהו ביטוי רציונלי של המציאות.
    אם זיכרוני אינו מטעה אותי, ההודים גילו את הערך הזה.
    המשמעות של הערך האפסי בקיום ה- יקומי – הוא לאין שיעור גבוה יותר מערכו בקיום הבלשני…

    מר. עצבר,
    לידיעתך.

  43. לניסים

    רצ"ב משפט קלסי הנובע מהחשבון של ניוטון ולייבניץ

    הגבול אליו שואף היחס (אורך קשת חלקי אורך המיתר שלה)
    כאשר אורך הקשת שואף לאפס
    הוא 1

    משפט זה אינו שלם, ויש להשלימו כך
    אם הקשת האמורה שייכת לקו עגול סגור שאורכו 2 ק"מ , המשפט נכון , והיחס שואף ל 1
    אם הקשת האמורה שייכת לקו עגול סגור שאורכו 0.1 מ"מ המשפט אינו נכון, והיחס ישאף ל 1.007
    א.עצבר

  44. לפאי לא יכול להיות ערך שונה מהערך התאורטי מסיבה פשוטה.

    ניקח את המספרים הבאים:

    1, 0 e i

    לאילו בינינו שאינם מכירים את e או i נציין ש e בקלקולוס הוא בסיס הלוגריתם הטבעי של 1, בערך 2.718 (למרות שהידיעה הטבעית אומרת לנו שזה פשוט אי בודד בים), ו i הוא השורש של מינוס אחד.

    אם ניקח את נוסחאת אויילר, e בחזקת i פאי פלוס 1 שווה ל0, נראה שאם ערכו של פאי משתנה אז מתחייב שלפחות אחד מהקבועים האחרים משתנה גם הוא באופן פרופורציוני.

    אז מי מהם?

    וניסים, לא להרוס את חידת המדינה שלי, היא מתקשרת לידיעה טבעית.

  45. יהודה: פאיי הוא מספר טרנסצנדטי!
    על הישר הממשי יש: מספרים שלמים, מספרים רציונליים (מספרים שניתן לבטא אותם באמצעות שברים ומספרים שלמים), מספרים ממשיים (מספרים שלא ניתן לבטא אותם באמצעות שברים ומספרים שלמים), מספרים מורכבים (הרחיבו את שדה המספרים הממשיים ע"מ לתת פתרונות לכל הפולינומים עם מקדמים רציונליים) מספר כזה לא נמצא על הישר, המספר פאיי אינו פותר שום פולינום ולכן הוא נקרא מספר טרנסצנדטי
    המתמטיקאי הצרפתי (גאון מפוספס) אווריסט גלואה התייחס למספר זה במה שמכונה "תורת גלוואה". פאיי הוא גבול בין שני סדרות מתכנסות (עולה ויוקדת) של אורכי משולשים כאשר בסדרה אחת כל נקודות המשולש ממרחקן ממרכז המעגל גדול מ-רדיוס וסדרה שנייה הפוך. גלואה נהרג בגיל 21 בדו קרב על בחורה ההפסד כולו שלנו

  46. לניסים
    מעולם לא חישבו המתמטיקאים את מספר היחס בין היקף מעגל לקוטרו.

    המתמטיקאים תמיד חישבו את מספר היחס בין אורך בסיס של משולש שווה שוקים, לאורך שוק המשולש.
    את אורך השוק ייצגו ב 1 , ובחרו זווית חוד של 10 מעלות
    אורך הבסיס = סינוס 5 מע' כפול 2 = 0.1743
    36 בסיסים כאלה יוצרים מצולע משוכלל שכלל לא דומה לקו עגול סגור
    האורך המצטבר של 36 הבסיסים = 6.275
    מספר היחס בין ההיקף המצטבר של 36 הבסיסים, לשני אורכי שוק = 3.1375

    אחרי זה בחרו זווית חוד של 1 מעלה וחישבו את אורך הבסיס
    אורך הבסיס = סינוס של 0.5 מע' כפול 2 = 0.01745
    360 בסיסים כאלה יוצרים מצולע משוכלל , שמרחוק, מזכיר בקושי קו עגול סגור.
    האורך המצטבר של 360 הבסיסים = 6.2831
    מספר היחס בין ההיקף המצטבר של 360 הבסיסים, לשני אורכי שוק = 3.1415

    אחרי זה בחרו זווית חוד של 0.1 מעלה וחישבו את אורך הבסיס
    אורך הבסיס = סינוס של 0.05 מע' כפול 2 = 0.0017453
    3600 בסיסים כאלה יוצרים מצולע משוכלל , שאם נביט בו מרחוק, אפשר להתבלבל ולחשוב שזה קו עגול סגור.
    אבל זה לא קו עגול סגור, אלא מצולע משוכלל בן 3600 צלעות.
    האורך המצטבר של 3600 הצלעות = 6.28318
    מספר היחס בין ההיקף המצטבר של 3600 הצלעות , לשני אורכי שוק = 3.14159

    זה מה שחישבו המתמטיקאים, ומעולם לא הופיע בחישוב קטע של קו עגול.
    החישוב תמיד עסק בקטעי קו ישר.

    ואז הופיע עיגול פינות, שבלם את התפתחות הגיאומטריה במשך 2000 שנים.
    עיגול הפינות אמר: החישוב הזה שהגיע למספר היחס 3.14159 , יתאים בקירוב טוב מאוד, למספר היחס בין היקפו של כל קו עגול סגור, לשני רדיוסים שלו.
    עיגול הפינות הזה קיים מאז ימי ארכימדס, והוא נלמד כיום באוניברסיטאות.

    מסקנה: החישוב המתמטי מעולם לא עסק במספר היחס בין אורכו של קו עגול סגור, לאורך קוטרו.
    מסקנה מהמסקנה: הנושא של קו עגול סגור וקוטרו לא שייך למתמטיקה, כיוון שחישובים מתמטיים תקפים רק על קטעי קו ישר.
    מסקנה מהמסקנה של המסקנה, הנושא של קו עגול סגור וקוטר שייך לפיזיקה ולמדידות, ואינו שייך למתמטיקה ולחישובים.

    ניסוי ההיקפן כלל מדידה פיזיקלית ממשית, והוא גילה את רעיון מספר היחס המשתנה.
    לקו עגול סגור שאורכו 0.1 מ"מ , יש מספר יחס ייחודי, ולקו עגול סגור שאורכו 100 מ"מ , יש מספר יחס ייחודי.

    א.עצבר

  47. מספרים מְרוּכַּבִים ולא מספרים מורכבים.
    כך החליטה האקדמיה ללשון עברית.
    בלעז: Complex Numbers.

  48. יהודה
    מעניין שיש המון דרכים לחשב את פאי. השיטה של ארכימדס פשוטה ויפה. יש שיטה פשוטה מאד של מספרים אקראים. וישראל צייין כמה שיטות מתמטיות.

    ואף שיטה לא נותנת פאי משתנה 🙂

  49. ניסים
    את זה גם אני לא ידעתי אבל אני זוכר שבבית הספר היסודי למדו אותנו שפיי הוא 22 שביעיות כלומר 3 ושביעית ואני חשבתי שזה הגודל הנכון והמדוייק.

  50. יהודה
    בסוף המאה ה-19 ניסו להעביר במדינת אינדיאנה בארה"ב חוק שקובע שערכו של פאי הוא 3.2

    אהבלות זה לא מושג מודרני…..

  51. בספר מלכים מופיע התיאור הבא: על בריכה גדולה מנחושת- שהייתה בבית המקדש שניקראת ים הנחושת:

    וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק; עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ, עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ; וקוה[4] שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב. מסקנה : כאן מופיע פיי בגודל של 3.
    זכור לי שגם בתלמוד קיים ויכוח האם יש לדיק בגודלו של פיי על יותר מ 3 או מספיק 3.
    יום טוב
    סבדרמיש יהודה

  52. כתבה מעניינת ונוגעת בשורש העניין.
    מספרים מביעים כמויות, וידיעת הכמות היא טבעית לאדם.
    לא פלא שנוצר השם…מספרים טבעיים

  53. בלי התקדמות במתמטיקה, היינו חיים כמו השבטים המוזכרים בכתבה. לא היה לנו חקלאות, כלכלה, רפואה או טכנולוגיה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

לוגו אתר הידען
דילוג לתוכן