מסע החיפוש אחר חיזוי העתיד – פרק מהספר “מסתורי המספרים” מאת מרכוס דו סוטוי

בספרו “מסתו7י המס9רים  – אודיסיאה מתמטית בחיי היום יום“, מרכוס דו סוטוי לוקח את הקורא אל הנושאים החשובים ביותר של המתמטיקה ובסופו של כל פרק מציג תעלומה מתמטית שאף אחד עדיין לא פיצח. להלן פרק מתוך הספר – “מסע החיפוש אחר חיזוי העתיד” – שעוסק בחיזוי העתיד באמצעות מתמטיקה. 

תרגום מאנגלית: ד”ר אוריאל גבעון. הוצאת ספרי עליית הגג וידיעות ספרים.

אם מסע בזמן היה אפשרי, היה קל לחזות את העתיד – הייתי פשוט יכול לבוא מן השנה הבאה ולספר לכם מה קרה. לרוע המזל, איננו יודעים לנוע בזמן, ויומרות רבות לשיטות לחיזוי העתיד, כמו התבוננות בכדור בדולח או ניחוש באמצעות ההורוסקופ, הן שטויות במיץ. אם אתם באמת רוצים לדעת מה יקרה מחר או בשנה הבאה או הרחק באלף הבא, ההימור הטוב ביותר הוא המתמטיקה.

המתמטיקה יכולה לחזות מתי יתנגש אסטרואיד בכדור הארץ וכמה זמן עוד תוסיף השמש לבעור. אלא שיש דברים שאפילו מתמטיקאים מתקשים לחזות. לדוגמה, יש לנו משוואות שיכולות להסביר את מזג האוויר, את גידול האוכלוסין ואת מערבולות האוויר הנוצרות מאחורי הכדור במשחק כדורגל, אלא שאת חלקן של המשוואות האלה איננו יודעים לפתור. פרס מיליון הדולר של הפרק הזה יינתן למי שיוכל לפצח משוואות של מערבולות ולחזות מה הדבר הבא שיקרה.

היכולת של המתמטיקה לחזות את העתיד נתנה עוצמה אדירה בידיהם של המבינים את שפת המספרים. למן האסטרונומים בני העת העתיקה, שהצליחו לחזות את תנועת כוכבי הלכת בשמי הלילה, ועד למנהלי קרנות הגידור של ימינו, שחוזים את תנועת המחירים בשוק המניות, אנשים משתמשים במתמטיקה לשם הצצה אל העתיד. אוֹגוּסטינוּס זיהה את כוחה של המתמטיקה והזהיר:

הישמרו מן המתמטיקאים ומכל אותם מנבאי נבואות השווא. זה כבר יש סכנה ממשית שמא המתמטיקאים כרתו ברית עם השטן כדי לערפּל את הרוח ולקשור את האדם באזיקי הגיהינום.

יש להודות שחלקים מסוימים של המתמטיקה המודרנית קשים במידה מרושעת ממש, אבל במקום להותיר אותנו בחשכה, מתמטיקאים מחפשים בהתמדה רעיונות חדשים שיטילו אור על אירועי העתיד.

איך הצילה המתמטיקה את טינטין?

באסירי השמש, ספר הקומיקס של אֶרְזֵ’ה, נכלא העיתונאי הבלגי הצעיר טינטין בידי בני שבט האינְקָה אחרי ששוטט בתוך המקדש של אל השמש. בני האינְקָה דנים את טינטין ואת חבריו, קפטן הַאדוֹק ופרופסור קַלְקוּלוּס, לשריפה על המוקד. האש תוצת על ידי זכוכית מגדלת שתמקד את קרני השמש בערימת ענפים. אלא שלטינטין ניתנת הזכות לבחור את זמן ההוצאה להורג. האם יוכל להשתמש בה כדי להציל את עצמו ואת חבריו?

טינטין מבצע את החישובים הדרושים ומבין כי בתוך מספר ימים ייראה מן האזור ליקוי חמה, ולכן הוא מחליט שההוצאה להורג תתבצע בזמן הליקוי (למעשה, מישהו אחר ביצע את החישובים – הוא קורא את התחזית בפיסת עיתון). זמן קצר לפני הליקוי זועק טינטין, “אל השמש לא יקשיב לתפילותיכם! הו שמש נפלאה, אם רצונֵך שנחיה, תני לנו סימן כעת!” ובדיוק כפי שחזתה המתמטיקה, נעלמת השמש ובני השבט המבועתים משחררים את טינטין ואת ידידיו.

המתמטיקה היא מדע של זיהוי תבניות, ועל כן היא נותנת לנו יכולת להסתכל אל העתיד. האסטרונומים הקדומים שצפו בשמי הלילה הבינו עד מהרה שתנועות הירח, השמש וכוכבי הלכת חוזרות על עצמן. תרבויות רבות משתמשות בתבניות השמימיות האלה כדי לעקוב אחר חלוף הזמן. אפשר להמציא לוחות שנה מסוגים שונים, מכיוון שהשמש והירח רוקדים לצלילי מקצב משוגע בדרכם השמימית. ואולם, דבר אחד משותף לכל לוחות השנה, והוא תפקידה של המתמטיקה בהבנת ההיגיון שבמחזורי הירח והשמש לצורך מדידת הזמן. מעניין שלמספר 19 שמוּר תפקיד חשוב בקביעת מועדים של חגים שאינם קבועים, למשל חג הפסחא הנוצרי, בכל שנה.

יחידת הזמן הבסיסית המשותפת לכל לוחות השנה האלה היא היממה בת 24 השעות. אין זה פרק הזמן הנדרש לכדור הארץ כדי להסתובב פעם אחת סביב צירו – הזמן הזה קצר במעט, 23 שעות 56 דקות ו‑4 שניות. אם היינו משתמשים בפרק הזמן המקוצר הזה כדי למדוד את אורכו של היום, היה אובד הסינכּרוּן בין השעון שלנו לבין סיבוב כדור הארץ, עם הצטברות 3 הדקות ו‑56 השניות העודפים, עד שבסופו של דבר היה השעון מראה צהריים בחצות הלילה. לכן, לצורך מעקב אחר הזמן אנחנו מגדירים יום – או יום שמש, אם להשתמש במונח המדויק – כפרק הזמן הנדרש לשמש כדי לחזור אל אותו מיקום בשמים, כפי שנצפה מאותה נקודה על פני כדור הארץ. אחרי הקפה אחת שלמה, כדור הארץ נע במסלולו כ‑1/365 סיבוב, כלומר, נדרש בערך 1/365 סיבוב, או 1/365 נוספים של יום – כ‑3 דקות ו‑56 שניות – כדי שהשמש תשוב לאותה נקודה בשמים.

ליתר דיוק, הקפה אחת של כדור הארץ סביב השמש נמשכת 365.2422 ימי שמש כאלה. לוח השנה הגרגוֹריאני, שנמצא בשימוש ברוב המדינות, מבוסס על קירוב טוב אל המחזור הזה. 0.2422 שווה כמעט רבע, כלומר, על ידי תוספת של יום אחד בכל ארבע שנים שומר הלוח הגרגוֹריאני על קצב מתואם למדי עם תנועת כדור הארץ במסלולו סביב השמש. נדרשים כמה כוונונים, משום ש‑0.2422 לא בדיוק שווה ל‑0.25: בכל 100 שנים מדלגים על שנה מעוברת, ובכל 400 שנים מדלגים על הדילוג ומותירים בעינה את השנה המעוברת.

לוח השנה המוסלמי משתמש במחזור הירחי במקום במחזור השמשי. כאן יחידת היסוד היא החודש הירחי, ו‑12 חודשים כאלה מרכיבים את שנת הירח. אורך החודש הירחי, שתחילתו נקבעת כשנִצפה מולד הירח במֵכָּה, הוא 29.53 ימים, וכתוצאה מכך קצרה השנה הירחית ב‑11 יום לעומת השנה השמשית. 365 לחלק ל‑11 שווה בערך ל‑33, כך שעוברות 33 שנים עד שחודש הרמדאן מבצע מחזור שלם בשנה השמשית. זו הסיבה לכך שהתאריך הגרגוֹריאני של הרמדאן משתנה בכל שנה.

לוח השנה היהודי ולוח השנה הסיני מערבבים בין השניים, ומשתמשים במחזור של מסלול הארץ סביב השמש ובמחזור של מסלול הירח סביב הארץ. הם עושים זאת על ידי הוספת חודש נוסף בכל שנה שלישית בערך, והמפתח לחישוב הוא מספר הקסם 19. 19 שנים שמשיות (=365.2422×19 ימים) שוות כמעט בדיוק ל‑235 חודשים ירחיים (=29.53×235 ימים). בלוח הסיני יש 7 שנים מעוברות בכל מחזור בן 19 שנים כדי לשמור על תזמון הלוחות הירחי והשמשי.

למספר 19 יש חשיבות גם בחישובים של טינטין, מכיוון שרצף ליקויי החמה והלבנה חוזר על עצמו גם הוא בכל 19 שנים. ההתרחשות באסירי השמש מבוססת על רגע מפורסם בהיסטוריה, כאשר מגלה הארצות כריסטופר קולומבוס השתמש בליקוי לבנה, ולא בליקוי חמה, כדי להציל את אנשי הצוות שלו שננטשו בג’מייקה ב‑1503. תחילה היו תושבי המקום ידידותיים, אבל בשלב מסוים נעשו עוינים וסירבו לתת אספקה לקולומבוס וצוותו. למראה אנשיו הצפויים לגווע ברעב, עלתה בדעתו של קולומבוס תוכנית ערמומית. הוא בדק את האלמנך שלו – ספר המשמש ספנים לניווט, ובו תחזיות של זמני הגאות, של המחזורים הירחיים ושל מיקומי הכוכבים – וגילה כי בקרוב עומד להתרחש ליקוי לבנה, ב‑29 בפברואר 1504. קולומבוס כינס את הילידים שלושה ימים לפני האירוע ואיים עליהם: אם לא יביאו אספקה, הוא יגרום לירח להיעלם.

מתי יתרחש הליקוי הבא?

אם ידועה לכם שעת התרחשותו של ליקוי, יש משוואה מתמטית שתאמר לכם מתי יהיה הליקוי הבא. החישוב מתבסס על שני מספרים חשובים.

המספר הראשון הוא אורכו של החודש הסינוֹדי (S)א – 29.5306 ימים. זה הזמן הממוצע שנדרש לירח להקיף את הארץ ולחזור לאותו מקום ביחס לשמש. המספר הזה שווה לזמן הממוצע בין שני מולדי ירח.

המספר השני הוא אורכו של החודש הדרָקוֹני (D)א – 27.2122 ימים. המסלול של הירח סביב הארץ נטוי במקצת ביחס למסלול הארץ סביב השמש. שני המסלולים חוצים זה את זה בשתי נקודות חיתוך המכונות קשרים, כפי שמוצג למטה. החודש הדרקוני הוא הזמן הממוצע שנדרש לירח כדי להגיע מקשר אחד לשני ובחזרה אל הראשון.

לכל זוג מספרים שלמים A ו‑B שתמצאו, כך ש‑A×S קרוב מאוד ל‑B×D, תאריך הליקוי יהיה A×S≈B×D ימים אחרי הליקוי שראיתם. עוד ליקוי יתרחש אחרי A×S≈B×D ימים נוספים. רצף הליקויים יימשך עוד זמן מה, אבל מכיוון שהמשוואה אינה מדויקת, הליקויים ייעשו מרשימים פחות ופחות, עד שהשמש, הירח והארץ כבר לא יהיו על קו ישר אחד. זה יהיה סופו של מחזור הליקויים המסוים הזה.

הנה דוגמה:

A=223 חודשים סינודיים קרוב מאוד ל‑B=242 חודשים דרקוניים, כלומר, לאחר ליקוי, בכל 27.2122×242≈29.5306×223 ימים יתרחש ליקוי נוסף, כמעט זהה. זהו פרק זמן של כ‑6,585 ו‑1/3 ימים, או בערך 18 שנים, 11 ימים ו‑8 שעות. פירושה של ההזזה ב‑8 שעות הוא ששני הליקויים הבאים ייראו ממקומות שונים על פני כדור הארץ.

ואולם, הליקוי השלישי ייראה מאותה נקודה, כלומר, בכל שלוש פעמים 18 שנים, 11 ימים ו‑8 שעות, או 19,756 ימים בקירוב, יהיה ליקוי זהה.

למשל, ליקוי הלבנה שנִצפה מצפון אמריקה ב‑21 בדצמבר 2010 הוא חזרה על הליקוי ב‑9 בדצמבר 1992, שנראה מאירופה. הפעם הקודמת שבה הוא נראה באמריקה היתה ב‑18 בנובמבר 1956. היו כמובן ליקויים נוספים בין התאריכים האלה, אלא שהם השתייכו למחזורי ליקוי אחרים שמתקיימים לצד המחזור הזה. המתמטיקה מסייעת לנו לחשב את תאריך הליקוי הבא בכל מחזור.

שום אספקה לא הגיעה – המקומיים לא האמינו שבכוחו של קולומבוס לגרום לירח להיעלם. אלא שבערבו של 29 בפברואר, כשזרח הירח באופק, הם ראו פתאום שחסרה בו חתיכה קטנה. על פי עדותו של פרדיננד, בנו של קולומבוס, ההיעלמות ההדרגתית של הירח משמי הלילה ביעתה את הילידים עד כדי כך ש”בזעקות קינה גדולות הם נחפזו אל הספינות מכל עבר עמוסים וגדושים באספקה, והתפללו אל האדמירל שידבר עם אלוהיו בשמם.” חישוב מדויק איפשר לקולומבוס לתזמן את המחילה למקומיים כך שתתאים בדיוק להופעה ההדרגתית המחודשת של הירח. הסיפור שנוי במחלוקת, וייתכן שיוּפָּה בידי הספרדים כדי להדגיש את הניגוד בין הכובשים האירופאים הנאורים לבין המקומיים הבורים. אבל מהות הסיפור מציגה את עוצמתה של המתמטיקה.

כוחה של המתמטיקה לחזות התרחשויות בשמי הלילה מתבסס על זיהוי תבניות שחוזרות על עצמן. ואולם, איך נוכל לחזות דבר מה חדש? הסיפור על השימוש במשוואות מתמטיות לחיזוי העתיד מתחיל בניבוי התנהגותם של גופים פשוטים, כמו כדור של כדורגל.