אז מה הם באמת סיכויי הזכייה?

מתברר שההבדל בין שיטות המילוי השונות של טופסי הלוטו אינו פרוצדורלי בלבד

דני הלמן

הגרלת הלוטו הגדולה לשנה זו תתקיים הערב, ורבים שואלים כיצד להיערך למלא את המספרים בטופס. דרכים שונות למילוי פתוחות בפני המהמרים, ובניגוד למה שהיה אפשר לחשוב, מתברר שלא כולן שקולות מבחינת תמונת הסיכויים.

בהגרלה הגדולה יש לנחש שבעה מספרים שונים בין 1 ל-30, במטרה לקלוע לשבעת המספרים הזוכים שיועלו בגורל. ניחוש מוצלח של ארבעה מספרים נכונים או יותר מזכה בפרס כספי, והתאמה מושלמת בין שבעת המספרים שבהימור לאלה שיועלו בגורל תביא למנחש את הפרס הגדול.

אחת האפשרויות המוצעות נקראת “לוטו שיטתי”, ובה רוכש השחקן חבילה של ניחושים באמצעות מילוי טבלה בודדת. המשתתף מסמן על גבי הטופס המיועד סט של שמונה עד 12 מספרים, ובכך מהמר על כל השביעיות שאפשר להרכיב מהמספרים שבסט. כך, למשל, שחקן הממלא טופס שיטתי 9 בוחר סט של תשעה מספרים, ורוכש למעשה הימור על כל אחת מ-36 הקומבינציות של שבעה מספרים שאפשר לבנות מתשעת המספרים שבחר.

לוטו שיטתי מוצע לקהל המנחשים כדרך נוחה להמר באחת על כמות של קומבינציות בהליך קצר ופשוט. חלופה חסכונית אחרת היא מילוי לוטומטי של הטופס באמצעות מחולל המספרים הממוחשב, המייצר בעבור המהמר קומבינציות אקראיות בנות שבעה מספרים. ואולם המשחק השיטתי מותיר את בחירת המספרים בידי רוכש הטופס, שיקול שרבים אינם מפחיתים מערכו.

אלא שאף על פי שלוטו שיטתי עשוי להיראות אך כהליך מילוי שונה באותו משחק מזל, הרי שבפועל מדובר בהימור שנבדל בהתפלגות הסיכויים מהאלטרנטיווה של בחירת סדרות מספרים אקראיות. למעשה, סיכויי הזכייה בפרס כספי עם טופס שיטתי נמוכים מסיכויי הזכייה עם טופס באותו מחיר, שמילויו אקראי.

כדי להדגים זאת נשווה בין טופס שיטתי 9 לעומת החלופה של הימור על 36 סדרות שהפיק מחולל המספרים האקראי. קיימים 2,035,800 הרכבים אפשריים של שבעה מספרים שונים בין 1 ל-30, וכל אחד מהם מועמד שווה-הסתברות לעלות בגורל כניחוש הנכון. הסיכוי של כל קומבינציה הוא איפוא 1 ל-2,035,800, ועבור כל מערך של 36 קומבינציות שונות ההסתברות להכיל את הקומבינציה הזוכה היא 36 ל-2,035,800 או 1 ל-56,550.

יש לציין כאן שאם המילוי האקראי הוא אכן אקראי ועיוור, ואין כל תלות בין קומבינציה אחת לרעותה, אזי לטופס השיטתי יתרון זערורי בסיכויי הקליעה לניחוש הנכון, משום שהטופס הלוטומטי עשוי, בסבירות הקלושה משליש הפרומיל, להכיל בתוכו את אותה קומבינציה יותר מפעם אחת, ובמקרה זה יהיו בו פחות מ-36 קומבינציות שונות. אפשר להימנע מכך כמובן אם סוקרים את המילוי האקראי לשם השמטה והחלפה של כל הופעה חוזרת, אם תתרחש. בצד זאת, כדאי אולי להזכיר שבשיטת הפרסים הנהוגה בלוטו, שבה מתחלק סכום הפרס שווה בשווה בין כל הזוכים, עשוי להתעורר טעם בהימור כפול על אותה קומבינציה: זה כבר התפרסם בארץ סיפורו של זוג צעיר שהיה מנחש בקביעות סדרת מספרים מסוימת. בוקר אחד גילו בני הזוג כי בהגרלה שנערכה אמש עלתה בגורל סדרת המזל שלהם, וכי כל אחד מהם נושא בנפרד כרטיס השתתפות שעליו מסומן הניחוש הנכון. מלבדם היו עוד שני זוכים נוספים, והודות לזכאות הכפולה גרפו לכיסם מחצית הפרס הגדול במקום שליש – הבדל של מיליונים אחדים.

ההבדל בין הטופס השיטתי ללוטומטי מתחיל להתברר כשבוחנים את הסיכוי לפגוע בשישה מספרים נכונים מתוך השבעה. ההסתברות שהטופס השיטתי יכיל קומבינציה ובה לפחות שישה מספרים נכונים היא 1 ל-1,131, בעוד שההסתברות שהטופס הלוטומטי יכיל קומבינציה כזו גבוהה פי יותר משלושה ועומדת על 1 ל-350 בקירוב. מגמה זו בולטת עוד יותר כשמדובר בפחות קליעות. ההסתברות של לפחות ארבעה מספרים נכונים בלפחות אחת מ-36 הסדרות, כלומר ההסתברות לזכות בפרס כספי כלשהו, היא נמוכה מעשרה אחוזים בטופס השיטתי, וגבוהה משבעים אחוז בטופס הלוטומטי.

כדי לקבל מושג בנוגע למקורו של הבדל ההסתברויות, כדאי לחשוב על המקרה הפרטי של זכייה בפרס הגדול, כאשר הניחוש הנכון מופיע בין הסדרות הכלולות בטופס. מהי כעת ההסתברות שבאותו טופס עצמו תימצא בנוסף גם קומבינציה ובה שישה מספרים נכונים בדיוק? בעוד שלגבי 35 הסדרות האקראיות הנותרות מדובר בסיכוי זעום של פחות משליש האחוז, הרי שלגבי הטופס השיטתי מדובר בוודאות מוחלטת: קבוצת שבעה המספרים הזוכים מכילה שבע תת-קבוצות של שישה מספרים נכונים (ניתן ליצור תת-קבוצות כאלה על ידי סילוק כל אחד משבעת המספרים הזוכים). כל תת-קבוצה כזו יכולה לחבור לכל אחד משני המספרים הנותרים בסט השיטתי, השניים שאינם חלק מהשביעייה הזוכה, ובכך ליצור קומבינציה של שבעה מספרים, הכלולה בטופס השיטתי, ובה שישה מספרים נכונים בדיוק. מי שניחש נכונה את שבעת המספרים הזוכים באמצעות טופס שיטתי 9, ניחש אגב כך גם 14 קומבינציות המכילות שישה מספרים נכונים ועוד 21 קומבינציות המכילות חמישה מספרים נכונים.

התקבצות זו של אירועי הזכייה הפוטנציאליים, המובנית לגרסה השיטתית של המשחק, עומדת בבסיס השוני במערך ההסתברויות בין הטופס השיטתי ללוטומטי. במשחק השיטתי “הצלחתה” של כל קומבינציה קשורה בהצלחת חברותיה לטופס, בעוד שבמשחק הלוטומטי מספר הקליעות בקומבינציה אחת הוא בלתי תלוי במספר הקליעות באחרת. המתאם החיובי בין מספר הקליעות בקרב הקומבינציות השיטתיות, מתאם המוכתב על ידי הדמיון הרב בהרכבן, מוליך למשחק בעל מבנה הסתברותי שונה מזה שמתקבל עם ניחושים עצמאיים הנבחרים אקראית. תרחישי הזכייה הפתוחים לשחקן השיטתי מתגודדים יחדיו במתחם מוגבל של מרחב התסריטים האפשריים בהגרלה, מה שמוביל להפחתה ניכרת בהסתברות לפרס.

אפשר אולי לטעון שישנו פיצוי בעבור הסתברות הזכייה המופחתת, כאשר בוחנים את תוחלת הרווח הצפוי, זאת בזכות הפרס הכספי הגבוה המוענק בגין הצלחה שיטתית. ואכן, כל מקרה של זכייה באמצעות טופס שיטתי הוא למעשה זכייה מרובה. כך, למשל, ארבעה מספרים נכונים בתוך הסט של תשעת המספרים בהימור השיטתי, פירושה עשר קומבינציות שונות באותו הטופס, שבהן ארבעה מספרים נכונים, ובהתאם לכך – עשר פעמים הפרס הניתן במחלקה זו.

ואף על פי כן, מי שמכיר בהבדל במערכי ההסתברות עשוי שלא להיות אדיש בבחירה בין האפשרות השיטתית לזו הלוטומטית. למה הדבר דומה? שוו בנפשכם שאתם מבקרים בקזינו, וניצבים מול גלגל הרולטה. בידיכם שתי דסקיות שתוכלו להניח על שולחן ההימור לקראת הסיבוב הבא של הגלגל. האם תעדיפו להניח את שתי הדסקיות על אותו המספר או על שני מספרים שונים? ריכוז ההימור על מספר יחיד משמעו סיכוי נמוך פי שניים לגרוף פרס בערך כפול. נטיות של פיזור סיכוי, כמו אלו שמוצאות ביטוין בתיקי השקעות מגוונים, עשויות היו להוביל להעדפה של הימור מפוצל. אלא שזיהוי הבעיה ככזו איננו טריוויאלי כל עיקר כשהשאלה מגולמת בבחירה בין טפסי השתתפות שונים המוצבים על דוכן הלוטו.

ועם זאת, דווקא במקרה של ההימור בלוטו ההשלכות נראות משמעותיות יותר מאשר במצב דוגמת הרולטה: כאן לא זו בלבד שמקרים שונים של פרסים משניים מאוגדים יחדיו, אלא שהם אף מקובצים בתוך תרחישי זכייה בפרס גבוה יותר. פרס של מאות אחדות הוא בוודאי זניח בעבור מי שזה עתה גרף מיליונים, אך עשוי בהחלט להביא מעט נחת בהגיעו לבדו. רוכשי הכרטיסים היו אולי מעדיפים להותיר אפשרויות זכייה אלו מופרדות.

תחום ההסתברות נחשב ממילא חמקני למדי (גם ללא הגורם המיוחד של תלות קומבינטורית, שמשתרבב כאן לבימת הימורים המונית), ומה שחומק מן העין בסבכי תורת הסיכויים עלול לפעמים לעלות בסיכויים להצלחה.

הכותב הוא דוקטורנט במחלקה לפסיכולוגיה באוניברסיטת תל אביב