שבועות ספורים לאחר פרסום תורת היחסות הכללית מצא האסטרונום הגרמני־יהודי קרל שוורצשילד את הפתרון המדויק הראשון למשוואות איינשטיין. הפתרון, שנשלח מחזית מלחמת העולם הראשונה, הניח לימים את היסוד לתיאור המתמטי של חורים שחורים
בדצמבר 1915, שבועות ספורים לאחר שאלברט איינשטיין הציג את הנוסח הסופי של משוואות תורת היחסות הכללית, הגיעה אליו מן החזית הרוסית מעטפה ובה פתרון מתמטי מפתיע. השולח היה קרל שוורצשילד, אסטרונום גרמני־יהודי ששירת בצבא הגרמני. בעודו עוסק בחישובים בליסטיים ובתצפיות מטאורולוגיות הצליח שוורצשילד לעשות דבר שאיינשטיין עצמו טרם עשה: למצוא פתרון מדויק למשוואות השדה החדשות.
במכתב ששלח לאיינשטיין ב־22 בדצמבר כתב שוורצשילד כי המלחמה נהגה בו בידידות מספקת כדי לאפשר לו, למרות קולות הירי, להתרחק מכל אלה ולשוטט בעולם הרעיונות של איינשטיין. כעבור שבועות אחדים הציג איינשטיין את עבודתו בפני האקדמיה הפרוסית למדעים. המאמר פורסם בשנת 1916 והיה לפתרון המדויק הראשון של משוואות היחסות הכללית.
מן הטלסקופ הביתי אל מצפה הכוכבים
קרל שוורצשילד נולד ב־9 באוקטובר 1873 בפרנקפורט למשפחה יהודית, הבכור מבין שישה ילדים. כבר בנעוריו בנה לעצמו טלסקופ וגילה משיכה יוצאת דופן למתמטיקה ולאסטרונומיה. בגיל 16 בלבד פרסם שני מאמרים שעסקו בחישוב מסלוליהם של כוכבים כפולים.
הוא למד באוניברסיטאות שטרסבורג ומינכן, וב־1896 קיבל תואר דוקטור בעקבות מחקר על יציבותם של גופים מסתובבים המורכבים מנוזל. לאחר מכן עבד במצפה הכוכבים קופנר בווינה, שם עסק בפוטומטריה אסטרונומית – מדידה מדויקת של עוצמת אורם של גרמי שמים.
אחת מתרומותיו מאותה תקופה הייתה זיהוי תופעה הנקראת כיום “אפקט שוורצשילד”: לוחות צילום אינם מגיבים תמיד לאור ביחס פשוט וישיר למשך החשיפה. לתגלית הייתה חשיבות רבה בתקופה שבה הצילום נעשה כלי מרכזי באסטרונומיה.
לאחר תקופה באוניברסיטת מינכן עבר שוורצשילד לגטינגן, שהייתה אחד המרכזים החשובים בעולם למתמטיקה ולפיזיקה. הוא פעל בסביבה שבה עבדו חוקרים כמו דויד הילברט, פליקס קליין והרמן מינקובסקי. בשנת 1909 התמנה למנהל המצפה האסטרופיזיקלי בפוטסדאם, וב־1913 נבחר לחבר באקדמיה הפרוסית למדעים. קורות חייו ועבודתו המדעית מתועדים בביוגרפיות של אוניברסיטת סנט אנדרוז ושל אגודת מקס פלאנק.
פתרון מדויק לבעיה חדשה
עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה התגייס שוורצשילד לצבא הגרמני, אף שכבר היה מדען מוכר ומנהל מצפה כוכבים. הוא שירת בתחנה מטאורולוגית ולאחר מכן ביחידות ארטילריה בחזית המערבית ובחזית המזרחית. במסגרת תפקידו עסק בין השאר בהשפעת הרוח וצפיפות האוויר על מסלולי קליעים.
גם בתנאי החזית המשיך לעסוק בפיזיקה תאורטית. משוואות איינשטיין תיארו כיצד חומר ואנרגיה מעקמים את המרחב־זמן, אך בשל מורכבותן לא היה ברור כיצד נראים פתרונותיהן במקרים ממשיים.
שוורצשילד בחר במקרה פשוט לכאורה: שדה הכבידה מחוץ לגוף כדורי, סטטי וחסר מטען חשמלי. הוא הצליח לגזור פתרון מדויק המתאר את מבנה המרחב־זמן מסביב לגוף כזה. הפתרון המקורי הוצג לאקדמיה ב־13 בינואר 1916 וניתן לקריאה בסריקה של המאמר המקורי.
איינשטיין התרשם מן התוצאה. הוא לא ציפה, לדבריו, שאפשר יהיה לנסח את הפתרון המדויק בפשטות כזאת.
הרדיוס ששינה את הפיזיקה
מתוך הפתרון עולה גודל אופייני המכונה כיום רדיוס שוורצשילד:
rₛ = 2GM/c²
כאן G הוא קבוע הכבידה, M היא מסת הגוף ו־c היא מהירות האור. אם מסה מסוימת נדחסת לתוך כדור שרדיוסו קטן מרדיוס שוורצשילד שלה, היא יוצרת – על פי התיאור המודרני – חור שחור.
רדיוס שוורצשילד של השמש הוא כשלושה קילומטרים. כלומר, כדי להפוך את מסת השמש לחור שחור היה צורך לדחוס אותה מכדור שרדיוסו כ־696 אלף קילומטרים לכדור שרדיוסו כשלושה קילומטרים בלבד. עבור כדור הארץ מדובר ברדיוס של כתשעה מילימטרים.
חשוב להבחין בין שני מושגים שלעתים מתערבבים. רדיוס שוורצשילד מסמן במקרה של חור שחור את אופק האירועים – הגבול שממנו אור אינו יכול להגיע לצופה חיצוני. הוא אינו הסינגולריות הפיזיקלית עצמה. ההתנהגות החריגה של הנוסחאות ברדיוס זה נובעת מבחירת מערכת הקואורדינטות, ואפשר לסלקה באמצעות קואורדינטות מתאימות. הסינגולריות שבה עקמומיות המרחב־זמן נעשית בלתי חסומה נמצאת, במסגרת הפתרון הקלאסי, במרכז – ב־r=0.
שוורצשילד עצמו לא תיאר את הפתרון במונחים המודרניים של חורים שחורים. הבנת אופק האירועים, הקריסה הכבידתית והמבנה הגלובלי של המרחב־זמן התפתחה בהדרגה בעבודתם של חוקרים שבאו אחריו. רק עשרות שנים מאוחר יותר הובן מלוא הקשר בין הפתרון שלו לבין חורים שחורים. סקירה היסטורית של ההתפתחות מופיעה באתר אגודת מקס פלאנק.
חודשים אחרונים של יצירה מדעית
באותה תקופה חיבר שוורצשילד גם פתרון המתאר את המרחב־זמן בתוך כדור בעל צפיפות אחידה. נוסף על עבודתו ביחסות הוא הספיק לפרסם מחקר בתורת הקוונטים שעסק באפקט שטרק – פיצול קווים ספקטרליים בהשפעת שדה חשמלי.
בעת שירותו חלה שוורצשילד במחלת עור אוטואימונית קשה. הוא שוחרר מן השירות ושב לפוטסדאם במרס 1916. ב־11 במאי אותה שנה מת, בגיל 42 בלבד.
חייו המדעיים היו קצרים, אך טווח עבודתו היה רחב בצורה יוצאת דופן: אסטרונומיה תצפיתית, אופטיקה, פוטומטריה, מכניקה, תורת הקוונטים ויחסות כללית. בישיבת הזיכרון של האקדמיה הפרוסית הדגיש איינשטיין את יכולתו של שוורצשילד לזהות במהירות את הקשרים המתמטיים העמוקים שבין תחומים שונים.
כיום שמו של שוורצשילד מונצח ברדיוס, במטריקה, במכתש על הירח ובמצפה הכוכבים הנושא את שמו. יותר מכול הוא נותר מחובר לפתרון שמצא בחזית – פתרון מתמטי שלא נועד מלכתחילה לתאר חורים שחורים, אך הפך לאחת מאבני היסוד של הפיזיקה שלהם.
שאלות ותשובות
מהו פתרון שוורצשילד? פתרון מדויק למשוואות היחסות הכללית המתאר את המרחב־זמן מחוץ למסה כדורית, סטטית, לא מסתובבת וחסרת מטען.
מהו רדיוס שוורצשילד? רדיוס התלוי במסת הגוף. כאשר המסה מרוכזת בתוך רדיוס זה, נוצר על פי היחסות הכללית חור שחור.
האם אופק האירועים הוא סינגולריות? לא. אופק האירועים הוא גבול סיבתי. הסינגולריות הפיזיקלית של פתרון שוורצשילד נמצאת במרכז החור השחור.
האם שוורצשילד גילה את החורים השחורים? הוא מצא את הפתרון המתמטי שעליו מבוסס תיאורם, אך הפירוש המודרני של חורים שחורים התגבש רק בעשורים הבאים.
עוד בנושא באתר הידען
- נפילה חופשית במסלול עקום
- הלוויין Gravity Probe B הוכיח: איינשטיין צדק
- אסטרונומים מאמתים תיאוריה של איינשטיין: חור שחור מעוות את המרחב־זמן
- התנגשות חורים שחורים מאשרת את תורת איינשטיין ואת תחזית הוקינג
- מהם גלי כבידה?
לפרסום המקורי: פתיחת הפרסום המקורי
