רק מעטים מכירים כיום את סיפורו של בלז פסקל, אך תרומתו מצויה בשורשי החשיבה המדעית והמתמטית שלנו
מאת שגב נוה טסה, באדיבות מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע.
ש גאונים שההיסטוריה אוהבת לזכור. אך יש גם כאלה שתרומתם נטמעה כל כך עמוק במבנה הידע המודרני עד שקשה להבחין בה. בלז פסקל (Pascal) שייך לקבוצה השנייה. בניגוד למדענים גדולים אחרים, כמו אייזק ניוטון וגלילאו גליליי, שסיפור חייהם מוכר לרבים, פסקל זכור יותר כמושג, ולא כאדם. פיזיקאים מכירים את שמו מיחידת הלחץ פסקל, אנשי מחשבים שגדלו בשנות השבעים והשמונים של המאה העשרים מכירים את פסקל בתוך שפת תכנות ידידותית, ובעיני סטטיסטיקאים ולוגיקאים הוא טיעון פילוסופי: “ההימור של פסקל”.
מאחורי הסמלים האלה עומד מדען צרפתי קצר-ימים בן המאה ה-17. ב-39 שנות חייו הוא היה מתמטיקאי, פיזיקאי, ממציא, הוגה דעות דתי ופעיל חברתי בולט. הוא היה שותף לעיצוב כמה מן הדרכים המרכזיות שמשמשות אותנו עד היום להבין ולנהל את עולמנו – מן המכשירים הראשונים לחישוב מספרים, דרך ניסויים פיזיקליים מדויקים בלחץ של נוזלים ושל אוויר ועד היכולת לכמת אי-ודאות ולגבש על פיה החלטות רציונליות.
במובן מסוים אפשר לראות בפסקל איש אשכולות מסוגו של לאונרדו דה-וינצ’י. גם הוא היה גאון רב-תחומי, שחצה חדשות לבקרים את הגבולות המפרידים בין מתמטיקה, פיזיקה יישומית, הנדסה והגות דתית ופילוסופית, בתקופה שבה הדיסציפלינות המדעיות עדיין לא התגבשו כפי שאנו מכירים אותן כיום.
אבל בעוד דה-וינצ’י הותיר אחריו ציורים, רישומי מכונות ושרידים חזותיים שקל להציג במוזיאונים ולהפוך אותם לאייקונים תרבותיים, תרומתו של פסקל הייתה מופשטת יותר ברובה. הוא הותיר אחריו חוקים פיזיקליים, מושגים מתמטיים ודרכי חשיבה על אי-ודאות, סיכון ואמונה, שהוטמעו בהדרגה בתשתיות המדע והתרבות המערבית. דווקא מפני שהרעיונות האלה נטמעו בכל כך הרבה תחומים – ממכניקה והידרוסטטיקה ועד תורת ההסתברות והתיאולוגיה, קשה לנו להצביע עליהם כיום ולומר, “את זה הגה פסקל”.
מתמטיקאי, פיזיקאי, ממציא, הוגה דעות דתי ופעיל חברתי בולט. דיוקנו של בלז פסקל, 1690 לערך | ויקיפדיה, נחלת הכלל
הילד שלא היה אמור לגעת במתמטיקה
בלז פסקל נולד בשנת 1623 בעיר קלרמון-פרן בצרפת. אביו אטיין היה גובה מיסים, מתמטיקאי חובב ואוטודידקט, ובחר להעניק לבנו חינוך ביתי. מתוך חשש שבנו יישבה לחלוטין בקסמם של המספרים ויזניח את לימודי השפות והטבע, אסר האב על פסקל הצעיר ללמוד מתמטיקה לפני גיל ההתבגרות ואף סילק מביתו את ספרי המתמטיקה.
האיסור הזה רק העצים את סקרנותו של בלז. בגיל 12, כשהבין באופן אינטואיטיבי שגיאומטריה עוסקת בצורות וביחסים ביניהן, הוא החל לגבש לעצמו, על רצפת הבית, משפטים בסיסיים בגיאומטריה. הצלחתו הייתה מרשימה – בין השאר הוא גילה בכוחות עצמו שסכום הזוויות במשולש שווה לגודלן של שתי זוויות ישרות. כשאביו פענח את יצירות הגיר על הרצפה, הוא נכנע, סיפק לבנו את ספרי “יסודות” של המתמטיקאי היווני הנודע אוקלידס, ומאותו רגע והלאה ההבנה המתמטית של פסקל התקדמה במהירות הבזק.
בגיל 16 כבר כתב פסקל חיבור על חתכיו של החרוט שבו ניסח את “המשושה של פסקל“, משפט יסוד בתחום הגיאומטריה הפרויקטיבית, שמסבירה איך צורות משתנות בהתאם לנקודת המבט שלנו. לדוגמה זוג מסילות רכבת ישרות מקבילות לא ייפגשו לעולם, אבל אם עומדים ביניהן ועוקבים אחריהן במבטנו, נדמה לנו שהן מתקרבות זו לזו ואף נוגעות זו בזו באופק. משפט המשושה של פסקל קובע כי שלוש נקודות החיתוך של הצלעות הנגדיות של משושה שצלעותיו מצויות על עקומת חרוט – למשל אליפסה או מעגל – נמצאות תמיד על ישר אחד.
במקביל לעיסוקו הרב בצורות, פסקל התעניין מאוד גם בתבניות שטמונות במספרים. הוא פיתח למשל את מה שנקרא לימים “משולש פסקל”: פירמידה של מספרים שמתחילה בספרה 1 בראשה, ומתרחבת כלפי מטה בשורות. כל שורה חדשה מתחילה ומסתיימת במספר 1, ואילו כל מספר אחר בתוכה הוא פשוט סכום שני המספרים שנמצאים ישירות מעליו. התבנית הזאת הייתה מוכרת שנים רבות, אך פסקל היה הראשון שחקר את תכונותיה לעומק ואף קישר בינה לבין תורת ההסתברות.
גלגלי השיניים של החשבון
לאחר הישגיו המתמטיים בנעוריו ובראשית חייו הבוגרים ניסה פסקל את כוחו בכיוונים מעשיים יותר. בשנת 1640 מונה אביו לגובה מיסים ברואן שבחבל נורמנדי, ונדרש להשקיע שעות על גבי שעות בחשבונות מס מורכבים. לנוכח ייסורי אביו החליט פסקל הצעיר לפתח מכשיר שיקל עליו בעבודתו.
כך נולדה ב-1642 הפסקלין (Pascaline), מכונת חישוב מכנית משוכללת שנעזרה בתבניות מסובכות של תנועת גלגלי שיניים לביצוע פעולות של חיבור וחיסור שהיו נחוצות לחישובי שומות מס למיניהן. ההישג היה מרשים במיוחד משום שהמטבע הצרפתי במאה ה-17 לא היה עשרוני, ואפילו לא עקבי. המכונה תוכננה להתמודד עם מערכת מוניטרית שהמטבע הקטן ביותר בה היה הדנייה (Denier). שנים עשר דנייה היו סו בודד (Sou) ועשרים סו היו ליברה (Livre) אחד. כך שהמורכבות ההנדסית הייתה רבה מאוד.
פסקל בנה כחמישים מכונות חישוב כאלה ושכלל אותן בהדרגה במשך עשר השנים הבאות. בשנת 1649 אף קיבל זיכיון מלכותי – מעין פטנט – מלואי ה-14 לייצור מסחרי של המכונה. הפסקלין לא זכתה להצלחה מסחרית – היא הייתה יקרה מדי (500-100 ליברות. רוצים לחשב כמה זה בסו או בדנייה?), שבירה, רגישה לתקלות ואף סבלה מדי פעם משגיאות. ובכל זאת, חשיבותה ההיסטורית הייתה רבה: היא המחישה שמכונות יכולות לבצע עבורנו חישובים מורכבים במהירות וביעילות, והייתה אבן דרך מוקדמת בנתיב הארוך למחשבונים ולמחשבים המודרניים.
המחישה שמכונות יכולות לבצע עבורנו חישובים מורכבים במהירות וביעילות. מכונת פסקלין מ-1652 | צילום: Rama, Wikipedia
איך שוקלים אוויר?
בשנים ההן, אמצע המאה ה-17, החוגים האינטלקטואליים באירופה התפלמסו בשאלה שנשמעת כיום כמעט טריוויאלית: האם הפיזיקה מאפשרת את קיומו של רִיק? מאז ימי אריסטו הדעה המקובלת הייתה ש”הטבע סולד מרִיק”, ושלא יכול להתקיים חלל ריק.
ניסויים מוקדמים שעשה המדען האיטלקי אוונג’ליסטה טוריצ’לי (Torricelli) הראו שכאשר הופכים צינור שקוף מלא בכספית לתוך קערה עם כספית, חלק מהנוזל נשפך למטה, ובחלקו העליון והאטום של הצינור נוצר חלל שלא היה בו דבר. טוריצ’לי טען שזהו רִיק, אך מתנגדיו התעקשו שהטבע יוצר שם חומר שקוף נסתר כדי למנוע את הרִיק, והוא זה שמחזיק את עמוד הכספית ולא מניח לו ליפול.
פסקל הבין שכדי להכריע בוויכוח, עליו להוכיח שעמוד הכספית מוחזק בכלל על ידי כוח חיצוני: משקל האוויר שמחוץ לצינור, שדוחף את הנוזל שבקערה בחזרה לתוך הצינור. הוא שיער שאם ייקח את המכשיר למקום גבוה, שבו שכבת האטמוספרה שמעלינו דקה וקלה יותר, לחץ האוויר יפחת ועמוד הכספית יצנח.
בשנת 1648 עלה גיסו של פסקל עם המכשיר לפסגת הר במרכז צרפת. כפי שחזה פסקל, גובה עמוד הכספית ירד ככל שהמטפס הגביה – ראיה חותכת לכך שלחץ האוויר החיצוני הוא שקובע את גובה הנוזל. בכך מוטט הניסוי את הטיעון הפילוסופי הישן על “אימת הרִיק” של הטבע, והוכיח שהחלל שבתוך הצינור הוא אכן רִיק. הניסוי תרם לא רק להבנת האטמוספרה – הוא גם המחיש שמדידה שיטתית יכולה להכריע ויכוח פילוסופי בעניין טבעו של העולם – או במקרה הזה, טבעם של הרִיק והאוויר. עקרונות הלחץ שגיבש פסקל, שמוכרים כיום כחוק פסקל, עומדים בבסיסם של מכשירים יומיומיים כמו מזרקים, מערכות בלימה הידראוליות ומכבשים תעשייתיים.
גובה עמוד הכספית ירד ככל שהמטפס הגביה, ראיה חותכת לכך שלחץ האוויר החיצוני הוא שקובע את גובה הנוזל. "גברים נושאים ברומטר גדול מטפסים על הר", תחריט עץ מ-1867 | ויקימדיה, נחלת הכלל
מדע שנולד ממשחק מזל
פסקל מילא תפקיד מרכזי מאוד גם בפיתוח יסודות תורת ההסתברות. חקירתו החלה ב-1654 בשאלה מעשית שהציג לו האציל הצרפתי שבלייה דה-מרה (de Méré): איך אפשר לחלק בצורה הוגנת את כספי ההימור במשחק שהופסק בעיצומו. בעקבות השאלה החל פסקל בהתכתבות ענפה עם עמיתו המתמטיקאי והמשפטן פייר דה פרמה (Fermat), שבמהלכה השניים לא הסתפקו במענה לשאלה לגופה, אלא דנו במכלול השאלות הנוגעות למשחקי מזל.
עד המאה ה-17, אי-ודאות נתפסה כעניין של מזל, אינטואיציה או כביטוי של רצון האל. פסקל ופרמה הציעו גישה חדשה ומעשית הרבה יותר, שמאפשרת לחשב את הסיכויים להתרחשותם של אירועים. באמצעות ניתוח שיטתי של כל התרחישים האפשריים הם פיתחו את מושג התוחלת – הממוצע המשוקלל של התוצאות האפשריות, כלומר הערך המייצג של ההתפלגות. כך נולדה תורת ההסתברות.
קשה להפריז בחשיבותה של תורת ההסתברות. היא עומדת בבסיסם של הסטטיסטיקה, הכלכלה, ענף הביטוח, מדעי הנתונים ואפילו ענפים מסוימים של הפיזיקה המודרנית. בעולם שבו העתיד אינו ידוע, פסקל היה בין הראשונים שהראה שאפשר להתמודד עם חוסר ודאות בצורה רציונלית.
פסקל ופרמה הציעו גישה חדשה ומעשית הרבה יותר, שמאפשרת לחשב את הסיכויים להתרחשותם של אירועים. "מטילי הקוביות" של ז'ורז' דה לה טור, 1650 | ויקימדיה, נחלת הכלל
ההימור האחרון
חייו של פסקל לא היו קלים. הוא סבל ממחלות כרוניות, מכאבים קשים ובריאותו הייתה רעועה. עיסוקו במדע היה תנודתי: תקופות של פעילות אינטנסיבית התחלפו בפרקי זמן שבהם שבת ממנו לחלוטין.
מספרים למשל שבשנת 1658, בעת שסבל מכאב שיניים חמור, החל פסקל להעסיק את עצמו בבעיות מתמטיות הקשורות לעקומת הציקלואידה – המסלול שמתווה נקודה על גלגל מתגלגל. בעבודה קדחתנית של ימים ספורים פתר פסקל בעיות של חישוב שטחים ונפחים, בשיטות יצירתיות שקדמו לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (חדו”א) שהגו שנים לא רבות לאחר מכן אייזק ניוטון וגוטפריד פון לייבניץ (Leibniz). לפי הסיפור, בשלב הזה הכאב שכך, ופסקל ראה בכך אות משמיים שמותר לו להמשיך לעסוק במתמטיקה.
בשנת 1654 חווה פסקל חוויה דתית ומיסטית עמוקה. בהשפעתה הוא הקדיש לאחר מכן את זמנו להגות פילוסופית ותאולוגית, ובראשה הספר “הגיגים”. בספר הזה הוא ניסח בין השאר את “ההימור של פסקל”: טיעון לוגי-הסתברותי שלפיו, בתנאי אי-ודאות לגבי קיומו של האל, הבחירה הרציונלית היא להאמין: אם האל לא קיים ובחרתם להאמין בו בכל זאת, לא הפסדתם דבר; אבל אם הוא קיים ואינכם מאמינים בו, תשלמו על כך מחיר יקר.
בהצגת תרחיש ההימור התאולוגי הזה, פסקל לא זנח את הכלים המתמטיים שרכש ופיתח בעמל רב לאורך חייו. ההפך הוא הנכון – הוא יישם אותם על שאלה אחרת לגמרי. היה זה ניסיון להתמודד עם חוסר ודאות קיומי באמצעות אותו סוג חשיבה שפיתח לפני כן עבור משחקי מזל, ניסויים פיזיקליים וקבלת החלטות רציונליות.
פסקל הלך לעולמו בשנת 1662, בגיל צעיר מאוד: 39 בלבד. אין לדעת מה עוד היה משיג אילו האריך ימים יותר. אך גם כך הוא השאיר חותם עמוק כמעט בכל תחום שבו עסק – מהידרוסטטיקה והסתברות, דרך מכונות חישוב ועד תאולוגיה. ייתכן שדווקא משום שתרומתו הייתה כה עמוקה ומופשטת, הוא פחות נוכח בזיכרון התרבותי מגאונים אחרים בסדר הגודל שלו.
ובכל זאת, מורשתו של פסקל נמצאת סביבנו בכל אשר נפנה: באופן שבו אנו מחשבים, מודדים, מעריכים סיכונים ומקבלים החלטות בעולם לא ודאי. אולי זהו גורלם של חלק מהמאורות הגדולים שקידמו את האנושות – להיזכר לא בתור אגדות, אלא להפוך לחלק שקט ובלתי נפרד מהמציאות עצמה.
לכתבות ולתכנים נוספים: מכון דוידסון לחינוך מדעי
