תאוריה חדשה לפתרון בעיית שלושת הגופים – אחת הבעיות הוותיקות במדע

                                                                                                                                           מחקר ישראלי בראשות פרופ’ ברק קול מהאוניברסיטה העברית מבשר על גישה חדשה לבעיית שלושת הגופים וחוזה במדויק את הסטטיסטיקה של התנהגות המערכת

בעיית שלושת הגופים הכרחית להבנה של מגוון תהליכים אסטרונומיים ואף להבנה של מחלקה רחבה של בעיות במכניקה ולכן היא העסיקה את מיטב הפיזיקאים, האסטרונומים והמתמטיקאים למעלה משלוש מאות שנים. ניסיונותיהם הובילו לגילויים של מספר תחומי מדע חשובים, אך פתרונה נותר בגדר מסתורין ותעלומה.

בסוף המאה ה-17 סר אייזיק ניוטון הצליח להסביר את תנועתו של כל אחד מכוכבי הלכת סביב השמש על ידי חוק יחיד ופשוט המתאר את כוח המשיכה ביניהם. הוא שאף להסביר גם את תנועת הירח, ומכיוון שתנועתו נקבעת הן על ידי כדור הארץ והן על ידי השמש, התעניין בבעיה של חיזוי תנועתם של שלושה גופים כלשהם הנעים בחלל בהשפעתו של כוח הכבידה ההדדי ביניהם (ראו איור מצורף), בעיה שזכתה בהמשך לכינוי “הבעיה התלת-גופית”. ואולם, בניגוד לבעיה הדו-גופית, ניוטון לא הצליח למצוא עבורה פתרון מתמטי סגור וכללי. אם כן, בעיית שלושת הגופים קלה להגדרה אך קשה לפתרון.

בשלהי המאה ה-19, לאחר כמאתיים שנות מחקר פורה בתחום כולל על ידי אוילר, לגרנז’ ויעקובי, גילה המתמטיקאי הגדול פואנקרה (Poincare), שהבעיה מציגה רגישות גבוהה למיקומם ומהירותם ההתחלתיים של הגופים. לדבר משמעות מרחיקת לכת – רגישות זו מעידה שלא קיים פתרון דטרמיניסטי (קבוע מראש) ומדויק לבעיה התלת-גופית. במאה ה-20 פיתוחם של מחשבים איפשר לבחון מחדש את הבעיה בעזרת סימולציות המדמות את תנועת הגופים. הסימולציות הראו כי בדרך כלל מערכת תלת-גופית תחווה פרקי זמן של תנועה כאוטית (אקראית) וביניהן פרקי זמן של תנועה סדירה עד שלבסוף המערכת מתפרקת לזוג הסובב סביב מרכז המסה המשותף ולגוף שלישי המתרחק או נחלץ מהם. בשל הרגישות לתנאי התחלה גם הסימולציה הממוחשבת לא מספקת פתרון אמין עבור מערכת תלת-גופית בודדת, ואולם ביצוע סימולציות עבור אוספים גדולים של מערכות הוביל בשנת 1976 לרעיון שניתן לחזות את הסטטיסטיקה של תנועת המערכת, ובפרט לחזות את סיכוי ההיחלצות של כל אחד משלושת הגופים. במובן זה, השאלה המקורית, למצוא פתרון דטרמיניסטי, התגלתה כלא נכונה, והוכר כי השאלה הנכונה היא למצוא פתרון סטטיסטי.

קביעתו של הפתרון הסטטיסטי הוכחה כמשימה לא קלה בשל מספר אלמנטי קושי המתקיימים בבעיה זו: המערכת מציגה תנועה כאוטית המתחלפת בתנועה סדירה, והמערכת לא חסומה ומאפשרת התפרקות. פריצת דרך בנושא אירעה כאשר דר’ ניקולס סטון ממכון רקח לפיסיקה באוניברסיטה העברית ושותפיו השתמשו בשיטת חישוב חדשה, והשיגו לראשונה ביטוי מתמטי סגור עבור הפתרון הסטטיסטי. לאחרונה אף שופרה שיטה זאת על ידי יונדב ברי גינת ופרופ’ חגי פרץ מהטכניון. אך שיטה זו, כמו כל קודמותיה בנושא הפתרון הסטטיסטי, נשענת על הנחות מסוימות. בהשראתן של תוצאות אלוהחל פרופ׳ ברק קול ממכון רקח לפיזיקה באוניברסיטה העברית בבחינה מחודשת של ההנחות. נמצא כי ההנחה שהתנועה אקראית אינה מדויקת משום שאינה מביאה בחשבון את התנועה הסדירה שלאחר ההתפרקות, וכי באחד המשתנים ישנו מרכיב שרירותי.

במחקר שיפורסם בקרוב בכתב העת המדעיCelestial Mechanics and Dynamical Astronomy, הוצעה תאוריה חדשה לפתרון הסטטיסטי, אשר מתקנת פגמים אלו על ידי בסיס מושגי שונה. סיכויי ההיחלצות הנחזים על ידי תאוריה זו שונים מכל העבודות שקדמו לה, ופרופ’ קול מדגיש כי “בחינתן על ידי מיליוני סימולציות ממוחשבות הראתה התאמה גבוהה בין התאוריה והסימולציה”. התאמה זו מוכיחה כי הבנת המערכת דורשת שינוי תפיסתי וכי הבסיס המושגי החדש מתאר את המערכת היטב. מתברר אם כן, כי ניתן לחדש גם לגבי יסודותיה של בעיה כה וותיקה.

השלכותיו של מחקר זה רחבות. הוא צפוי להשפיע הן על פתרונן של מגוון בעיות אסטרופיזיקליות והן בהבנה של מחלקה שלמה של בעיות במכניקה. באסטרופיזיקה הוא עשוי לשמש למציאת המנגנון שיוצר זוגות של גופים קומפקטיים המהווים מקור של גלי כבידה, וכן להעמיק את ההבנה של הדינמיקה בתוך צבירי כוכבים. במכניקה, הבעיה התלת-גופית הינה אב-טיפוס למגוון בעיות כאוטיות, ולכן התקדמות בה צפויה להקרין על בעיות נוספות במחלקה חשובה זו.

למאמר המדעי

עוד בנושא באתר הידען:

• תאוריה: היקום דומה לכדורגל – והוא סופי
• חוקרים מישראל ומצ’ילה פתרו את חידת שלושת הגופים של ניוטון מלפני 330 השנים
• בעיית שלושת הגופים – למה בכל זאת למרות ההתרסקות מדובר בהישג גדול