מחקרם, שפורסם ב-Nature Communications, מראה שבהקשרי האזנה רגילים, אנו לא מעדיפים בהכרח אקורדים שנמצאים ביחסים מתמטיים אלו בדיוק אלא מעדיפים סטיות קטנות מהן
מחקר חדש מאתגר את תיאוריית המוזיקה המערבית המסורתית על-ידי הראייה כי הערכת ההרמוניה אינה כפופה בהכרח ליחסים מתמטיים, כפי שנחשב בעבר, אלא יכולה להיות מוגברת על ידי חוסרים קלים ושימוש בכלי נגינה שאינם מערביים. המחקר חושף ספקטרום רחב יותר של קונסוננס (הרמוניה) ודיסוננס (לא-הרמוניה) מוזיקליים. התגלית הזו, שהתגלתה באמצעות ניסויים התנהגותיים רחבי היקף, מציעה שיש הרבה מה ללמוד מכלי הנגינה והתיאוריות המוזיקליות של תרבויות אחרות, ופותחת אפשרויות חדשות ליצירתיות והנאה מוזיקלית.
לפי הפילוסוף היווני העתיק פיתגורס, ‘קונסוננס’ – שילוב צלילים נעים לאוזן – נוצרת על-ידי יחסים מיוחדים בין מספרים פשוטים כמו 3 ו-4. בזמן האחרון, חוקרים ניסו למצוא הסברים פסיכולוגיים, אך יחסי המספרים השלמים הללו עדיין מיוחסים ליופי של אקורד, וסטייה מהם נחשבת ליצירת מוזיקה ‘דיסוננטית’, צלילים לא נעימים לשמיעה.
מחקרים מאוניברסיטת קיימברידג’, פרינסטון ומכון מקס פלאנק לאסתטיקה אמפירית גילו שתי דרכים עיקריות בהן פיתגורס טעה.
מחקרם, שפורסם ב-Nature Communications, מראה שבהקשרי האזנה רגילים, אנו לא מעדיפים בהכרח אקורדים שנמצאים ביחסים מתמטיים אלה בדיוק.
“אנו מעדיפים כמויות קטנות של סטייה. אנו אוהבים קצת אי-שלמות מכיוון שזה מעניק חיים לצלילים, וזה מושך אותנו,” אמר המחבר המשותף, ד”ר פיטר הריסון, מהפקולטה למוזיקה באוניברסיטת קיימברידג’ ומנהל מרכז למדעי המוזיקה שם.
החוקרים גם גילו שהתפקיד של יחסים מתמטיים אלה נעלם כאשר מתחשבים בכלי נגינה מסוימים שפחות מוכרים למוזיקאים, קהלים וחוקרים מערביים. כלי נגינה אלו נוטים להיות פעמונים, גונגים, סוגים של קסילופונים וכלי הקשה אחרים. בפרט, הם חקרו את ה’בוננג’, כלי נגינה מגמלן היאוונזי העשוי מאוסף גונגים קטנים.
“כשאנו משתמשים בכלים כמו הבוננג, המספרים המיוחדים של פיתגורס נעלמים ואנו נתקלים בתבניות חדשות לגמרי של קונסוננס ודיסוננס,” אמר ד”ר הריסון.
“הצורה של כמה כלי הקשה משמעותה שכאשר אתה מכה בהם, והם מהדהדים, הרכיבים התדריים שלהם אינם מכבדים את היחסים המתמטיים המסורתיים. כאשר זה קורה אנו מוצאים שדברים מעניינים מתרחשים.”
“המחקר המערבי התמקד כל-כך הרבה בכלי נגינה מוכרים של תזמורת, אך תרבויות מוזיקליות אחרות משתמשות בכלים שבגלל צורתם והפיזיקה שלהם, נחשבים למה שאנחנו קוראים ‘לא-הרמוניים’.
החוקרים יצרו מחקר מקוון שבו השתתפו למעלה מ-4,000 אנשים מארה”ב ודרום קוריאה ב-23 ניסויים התנהגותיים. למשתתפים הושמעו אקורדים והם נתבקשו לתת לכל אחד דירוג נעימות מספרי או לכוון ולהתאים צלילים מסוימים באקורד כדי להפוך אותו לנעים יותר. הניסויים ייצרו למעלה מ-235,000 חוות דעת.
הניסויים חקרו אקורדים מוזיקליים מנקודות מבט שונות. חלקם התמקדו באינטרוולים מוזיקליים מסוימים וביקשו מהמשתתפים לשפוט אם הם מעדיפים אותם מכוונים באופן מושלם, מעט חדים או מעט חלשים. החוקרים הופתעו לגלות העדפה משמעותית לחוסר שלמות קל, או ל’א-הרמוניות’. ניסויים נוספים חקרו את תפיסת ההרמוניה עם כלי נגינה מערביים ולא מערביים, כולל הבוננג.
החוקרים מצאו כי הקונסוננסים של הבוננג מתאימים בצורה נאה לסולם המוזיקלי המסויים הנמצא בתרבות האינדונזית ממנה הוא מגיע. הקונסוננסים האלה לא ניתנים לשחזור על פסנתר מערבי, לדוגמה, מכיוון שהם יפלו בין מרווחי הטונים של הסולם המסורתי.
“הממצאים שלנו מאתגרים את הרעיון המסורתי שלפיו ההרמוניה יכולה להיות רק בדרך אחת, שהאקורדים חייבים לשקף את היחסים המתמטיים אלו. אנו מראים שיש הרבה יותר סוגים של הרמוניה שם בחוץ, ושיש סיבות טובות למה תרבויות אחרות פיתחו אותם,” אמר ד”ר הריסון.
חשוב לציין, המחקר מציע שהמשתתפים בו – שאינם מוזיקאים מקצועיים ולא מכירים מוזיקה יאוונזית – היו מסוגלים להעריך אינסטינקטיבית את הקונסוננסים החדשים של צלילי הבוננג.
“יצירת מוזיקה היא כולה חקירת האפשרויות היצירתיות של קבוצת תכונות נתונה, לדוגמה, למצוא אילו סוגים של מנגינות ניתן לנגן בחליל, או אילו סוגי צלילים ניתן ליצור עם הפה שלך,” אמר הריסון.
“הממצאים שלנו מציעים שאם משתמשים בכלים שונים, אפשר לפתח שפה הרמונית חדשה לגמרי שאנשים מעריכים אינסטינקטיבית, הם לא צריכים ללמוד אותה כדי להעריכה. הרבה מהמוזיקה הנסיונית ב-100 השנים האחרונות של מוזיקה קלאסית מערבית הייתה קשה למאזינים מכיוון שהיא כוללת מבנים מופשטים מאוד שקשה ליהנות מהם. לעומת זאת, ממצאים פסיכולוגיים כמו שלנו יכולים לעזור לעודד מוזיקה חדשה שמאזינים נהנים ממנה אינסטינקטיבית.”
הזדמנויות מרגשות למוזיקאים ומפיקים
ד”ר הריסון מקווה שהמחקר יעודד מוזיקאים לנסות כלי נגינה לא מוכרים ולראות אם הם מציעים הרמוניות חדשות ופותחים אפשרויות יצירתיות חדשות.
“הרבה מוזיקת פופ כיום מנסה לשלב הרמוניה מערבית עם מנגינות מקומיות מהמזרח התיכון, הודו וחלקים אחרים של העולם. זה יכול להצליח יותר או פחות, אבל אחת הבעיות היא שהמנגינות יכולות להישמע דיסוננטיות אם מנגנים אותן עם כלי נגינה מערביים.
“מוזיקאים ומפיקים יכולים אולי להצליח יותר בשילוב אם הם ייקחו בחשבון את ממצאינו וישקלו שינוי ב’טמבר’, איכות הצליל, על-ידי שימוש בכלי נגינה ממשיים או סינתטיים שנבחרו במיוחד. אז הם באמת יכולים להשיג את הטוב משני העולמות: הרמוניה ומערכות סולמות מקומיות.”
הריסון ושותפיו חוקרים סוגים שונים של כלי נגינה ומתכננים מחקרי המשך כדי לבחון מגוון רחב יותר של תרבויות. בפרט, הם רוצים להשיג תובנות ממוזיקאים המשתמשים בכלים ‘לא-הרמוניים’ כדי להבין אם הם הפנימו מושגים שונים של הרמוניה לעומת המשתתפים המערביים במחקר זה.
עוד בנושא באתר הידען:
12 תגובות
מה המשותף לפיתגורס ואיינשטיין? C בריבוע
עוד תגובה לריקי – הכיול המשווה (כיול זה התרגום שלי ל temperament) לא נוצר לצורך מעבר סולמות – במאה ה 16 לא חשבו במונחים של סולמות ובמונחים של פראזה בטוניקה כזו או אחרת, או פראזה שעוברת מסולם לסולם. ממליץ על הערוץ early music sources המצוין של עילם רותם ביוטיוב להרחבה. ה equal זה שיטה מאוד נוחה לכלי מיתר עם שריגים. למרבה הפלא, דווקא פרסקובלדי, שהמוסיקה שלו לאורגן נשמעת יוצא מן הכלל עם meantone temperament רבע קומה (אסור להחמיץ) , דווקא המליץ על equal.
כל טוב לכולם.
זה לא חדש בכלל, בקשי bekesy קיבל פרס נובל ב 1961 על גילויים בתפקודה של הממברנה הבאסילרית ולאחר מכן עשו מחקרים חדשים כשבבסיסם התיאורטי ישנה הבחנה שונה מקונסוננס דיסוננס, אלא במקומן מדובר על מימד של מיזוג טונאלי ועל מימד של קוהרנטיות טונאלית (שזה יותר קרוב לקונסוננס דיסוננס), ושאלו (ואחרים כמו מובהקות ה pitch) תלויים בשלל פרמטרים, כשקוהרנטיות ספציפית תלויה במרחק של התדר משני קצוות החוליה או הרכיב הספציפי (כל רכיב כזה רגיש לטווח תדרים) בתוך הממברנה הבאזילרית שמתמיר את האנרגיה המכנית לפולסים עצביים.
כותב המאמר לא מדייק. הכיוון המשווה נולד במאה ה16 הרבה שנים אחרי מותו של פיטגורס. הכיוון המשווה נוצר מסיבות טכניות בלבד למעבר קל בין סולמות וטרנספוזיציות. פיטגורס אומנם העלה את הרעיון אך בתקופתו הוא לו מומש כלל. גם כיום מעבר לכיוון המשווה ישנם כמה מאות סוגים של כיוון.
שורש הטעות של פיתורגס זה שורש 2
איזה תכמן הפיתגורס הזה .
ועוד למדנו על המשפט של העבריין הזה שנים .
מענין כה שנים קיבל במשפט ?
משפט פיתגורס זה מקרה ידוע
לא בדקתי מי כתב את זה, ולא רוצה להעליב, אבל מצטער, עשית סלט, והטענה המרכזית לא נכונה בכלל.
היחס הרציונלי בין התדרים טבעי לאוזן, והוא הבסיס להרמוניות ולסולמות בכל התרבויות. היחס הרציונלי בא לידי ביטוי בכל כלי אקוסטי, באוברטונים.
המשיכה לדיסוננסים היא עניין אחר. דיסוננסים הם מרווחים שנמצאים רחוק יותר בסדרה ההרמונית. הם מייצרים ציפייה לפתרון, והציפייה, גם אם לא נפתרת, גורמת לחריפות מסויימת שהופכת את המכלול המוזיקלי למעניין ומרגש.
אם מחפשים דוגמא ליחסים לא רציונליים במוזיקה, אפשר להצביע על הכיוון המושווה. בכלים אקוסטיים הכיוון המושווה הוא מקורב, ולא מושווה לחלוטין, ולכן מקיים בקירוב יחסים רציונליים. במידי ובכלל בשימוש מלאכותי בצלילים, ככל שמנסים להשיג כיוון מושווה כך הוא פחות טבעי.
בתרבויות אחרות, ככל שמנגנים על כלים אקוסטיים, הטבע עושה אל שלו ושומר על יחסים הרמוניים. גם ברבעי טונים.
זה על רגל אחת.
תסמכו על פיתגורס ותקשיבו לנגנים ולא למחשבים.
זו היתה כוונתי, אם תכתוב אלא המשפט לא יהיה הגיוני. בכל אופן הפכתי לרבים – אלו
כתבתם “אלה” במקום “אלא”
🙂
לא ברור כיצד המחקר “מאתגר” משהו בתפיסה המערבית. סטיות קטנות, משמע כיוון לא מושלם כפי שהיה טרם התקופה הקלאסית. מוזיקאים כמו גארדינר מנסים לשחזר זאת בביצועיהם. נדמה שהתגליות המשמעותיות כאן הן: 1 ישנה העדפה אוניברסלית לכיוון לא מושווה. 2. האובר טונים שנוצרים בכיוון שכזה, יכולות ליצור מערכות טונאליות מעט שונות בתרבויות לא מערביות. אבל זו השערה, חסר מידע.
פיתגורס לא טעה, אבל המתמטיקאים שבאו אחריו, טעו והטעו דורות של תלמידים.
הנה לדוגמה טעות איומה של המתמטיקאים, שחשבו שלכל המעגלים יש מספר פאי יחיד, והוא קצת יותר גדול מ 3.14
המלצה לקבלת פרס נובל, על פי 2 קריטריונים המקובלים בפרס.
1:מחקר יוצא דופן,
2:המצאה ראשונית של ציוד או טכנולוגיה.
המחקר יוצא הדופן מפריך אמת מתמטית עתיקה בת אלפי שנים, שאמרה:
לכל גודל של מעגל – ( מקוטר אפס מ”מ , ועד קוטר אינסוף מ”מ)
יש מספר פאי יחיד והוא קצת יותר גדול מ 3.14
יש לזכור כי מספר פאי של מעגל מתקבל,
מאורך מילימטרי של היקף המעגל (חלקי) אורך מילימטרי של קוטר המעגל.
אם הרעיון של מספר פאי יחיד הוא נכון, אז נובעת ממנו המשוואה הבאה.
המספר המביע את יחס אורכי הקטרים של שני מעגלים נבחרים,
חייב להיות (שווה בדיוק) למספר המביע את יחס אורכי ההיקפים של המעגלים.
אבל אם רעיון המספר היחיד אינו נכון, אז המספר המביע את יחס אורכי הקטרים של שני מעגלים נבחרים, (לא שווה) למספר המביע את יחס אורכי ההיקפים שלהם.
ברור שאי השוויון הזה יהיה זעיר ,אבל הוא יהיה קיים ללא צל של ספק.
היות ולא קיים חישוב מתמטי המסוגל להכריע בין שתי האפשרויות, צץ בי הרעיון להמציא מכשיר מכני – שיכריע בין שתי האפשרויות בדרך של ניסוי מעשי, הכולל מדידה מדויקת מאוד מאוד .
חלפו 20 שנים עד שהמצאתי את המכשיר הזה, והוא קיבל את השם היקפן.
תיאור המדידה של ההיקפן מופיע בסרטון.
ההיקפן פועל בעזרת מעגלים ממשיים המופיעים בגלילי פלדה מדויקים מאוד.
קוטרם של הגלילים 120 מ”מ ו 2 מ”מ.
יחס אורכי הקטרים הוא 60 , וההיקפן גילה שיחס אורכי ההיקפים הוא 59.958
תוצאה זו אומרת שההיקפן הוא מכשיר מדידה מדויק מאוד.
תוצאה זו גם אומרת, שרעיון מספר פאי יחיד המתאים לכל המעגלים – אינו נכון.
ניסוי ההיקפן פורסם בשנת 2017, ולא נמצא אפילו מתמטיקאי אחד, שקיבל אותו.
גם לא נמצא אף מתמטיקאי שהיה מוכן לחזור על ניסוי ההיקפן.
המתמטיקאים כנראה נעלבו מפסילת הרעיון של מספר פאי יחיד המתאים לכל המעגלים, והם בחרו ללעוג ולזלזל בניסוי ההיקפן.
כך הפסידה המתמטיקה את האפשרות להנחיל למדע גיאומטריה חדשה של מעגלים.
בגיאומטריה זו יש לכל גודל של מעגל מספר פאי פרטי, ואינסוף מספרי פאי פרטיים אלו נמצאים בתחום מספרי צר מאוד בין 3.14 ל 3.16 בגיאומטריה זו גם קיימת נוסחה, המאפשרת מעבר מקוטר מילימטרי של מעגל, אל מספר פאי פרטי של המעגל.
אבל המתמטיקה העדיפה להתעלם מניסוי ההיקפן ומהתוצאה הדרמתית שלו, והיא המשיכה ללמד סטודנטים את השקר של מספר פאי יחיד המתאים לכל המעגלים.
פרס נובל יכול לסלק את השקר של מספר פאי יחיד, והוא גם ישנה את לימודי המתמטיקה והגיאומטריה בכל העולם. כל אדם יכול להמליץ על קבלת פרס נובל.
ניסוי ההיקפן והתוצאה שלו ראויים לפרס נובל.
א.עצבר
ההקשר לפיתגורס טיפשי. מן הסתם המוסיקה שניגנו בזמנו והטעם המוסיקלי היו שונים מהיום. ייתכן שמה שאמר היה נכון לזמנו.