מושגי יסוד בפיזיקה קוונטית: אי-שוויון בל – שעמד בבסיס פרס נובל

בהשראת זוכי פרס נובל לפיזיקה לשנת 2022, נדון במשפט בל מבלי להציג נוסחאות ואי-שוויונים. בכתבה זו נמחיש כיצד ניסויים בחלקיקים שזורים סותרים את ההנחה שקיימים משתנים חבויים ושמכניקת הקוונטים אכן אמינה

בשנת 1935, איינשטיין פודולסקי ורוזן פרסמו ניסוי מחשבתי שהטיל ספק בשלמותה של מכניקת הקוונטים. במאמר המפורסם נטען שאם שני חלקיקים באים במגע אחד עם השני לזמן קצר ואז מתרחקים, ניתן לערוך ניסוי בו ימדדו במדויק גדלים פיזיקאליים שאינם חליפיים , למשל מיקום ותנע. תוצאות הניסוי המחשבתי הובילו את החוקרים להסיק שעל אף שמכניקת הקוונטים מצליחה לנבא בהצלחה ניסויים רבים, היא איננה שלמה. למעשה הטיעון היה שמכניקת הקוונטים היא בסך הכל יריית הפתיחה לקראת פיתוח תורה שתתאר נאמנה את הטבע ותעניק הסבר מעמיק יותר מדוע תנע ומיקום אינם ניתנים למדידה סימולטנית. במשך שלושה עשורים מפרסום המאמר, הספקות של איינשטיין נותרו פילוסופיות בלבד. על כך אמר הפיזיקאי היהודי אוטו שטרן “אין סיבה שנשבור את הראש יותר בניסיון להבין האם באמת קיימים דברים שלא ניתנים לידיעה ולא בשאלה העתיקה כמה מלאכים ניתן להשיב על קצה המחט”, בניסיון לזלזל בספקנותו של איינשטיין. כל זאת השתנה בשנת 1964 כאשר הפיזיקאי ג’ון בל הראה מתמטית (במה שידוע היום בתור משפט בל או אי שוויון בל) שהתפיסה האיינשטיינית לגבי שבריריותה של מכניקת הקוונטים איננה נכונה. ניסויים שבוצעו במעבדות ברחבי העולם הראו פעם אחר פעם שמכניקת הקוונטים קונסיסטנטית ושהאילוצים שאיינשטיין דרש על היקום אינם נכונים. במאמר זה אסביר את אי שוויון בל שנשבר ניסיונית על ידי זוכי פרס הנובל לשנת 2022 (מבלי להראות אי שוויונים למניהם). אני אניח שהקוראים לא מכירים דבר במכניקת הקוונטים. אני לא אשרבב מילים כמו סופרפוזיציה, פונקציית הגל, שזירה או ספין (אותם אשאיר בסוף לקורא המנוסה). הפרק הבא אפילו לא יניח היכרות בסיסית בפיזיקה קלאסית. יחד עם זאת אדגיש שלא מדובר בהסבר קליל, אותם אפשר למצוא בשפע באינטרנט. התפיסה שעומדת מאחורי הכתבה הזו היא להסביר את הרעיון של בל בצורה הפשוטה ביותר, אבל לא פשוט מידי כדי לא לשבש את הפיזיקה בדרך.

מערכת הניסוי

נתחיל בתיאור מכשיר המכיל כמה קופסאות שחורות שמסוגלות לבצע כמה פעולות. איננו יודעים בדיוק מה מתחולל בקופסאות השחורות, אבל אנחנו יודעים מה יתרחש ברגע שנפעיל אותן, ממש כמו שאנחנו יודעים מה יקרה אם נשנה את התדר ברדיו מבלי לדעת את התורה האלקטרומגנטית. אומנם מכשיר זה לא באמת קיים, אך אין סיבה שהוא לא יכול להיבנות. אדגיש שכל מה שיוסבר כאן יתאר הפשטה של ניסויים שאכן התרחשו, ושהמכשיר הדמיוני מתאר בתמציתיות סט רחב של פעולות במערכות ניסוי מורכבות. המכשיר מכיל שלושה חלקים בלתי תלויים שאינם מחוברים אחד לשני. כשאני אומר “אינם מחוברים” או “בלתי תלויים” אני מתכוון שאין שום חיבור פיזי בין שלושת החלקים, כלומר אין חוט, צינור או כבל שמחבר אותם, וגם אין כוחות שהם מפעילים אחד על השני. הם אומנם יכולים להיות מונחים על אותו השולחן אבל השפעתו לא תהיה רלוונטית לניסוי שיפורט בהמשך.

ממה המכשיר מורכב? שניים משלושת חלקי המכשיר הם גלאים. נסמן אותם באותיות הלועזיות A ו-B. לכל גלאי קיים מחוג שיכול להיות מכוון לאחת משלוש אפשרויות, אותן נסמן בספרות 1,2,3 (ראו סרטוט), ושתי נורות, האחת בצבע ירוק והאחת בצבע אדום. כאשר הגלאי פועל הוא יאיר בצבע האדום או ירוק. זה לא משנה כיצד הגלאי קובע באיזה צבע להאיר, מה שחשוב הוא שהמכשיר מתווך מידע למי שמבצע את הניסוי. החלק השלישי הוא קופסא המונחת בין שני הגלאים (מסומנת באות C) ועליה לחצן. בכל פעם שנלחץ הלחצן, יפלטו מהמכשיר שני חלקיקים הנעים בכיוונים הפוכים אל עבר הגלאים. ברגע שהחלקיק יפגע בגלאי, תדלק אחת מהנורות, ורק אחת מהן. מאחר וחלקי המכשיר אינם מחוברים אחד לשני, הנורות יכולות להידלק רק כאשר החלקיק יגיע אליהן ולא בדרך אחרת. הניסוי המחשבתי שתיארנו יפעל מספר רב של פעמים באופן הבא: כל אחד מהגלאים מכוון באופן רנדומאלי לאחד משלושת המספרים. מאחר וקיימים שני גלאים והמחוג יכול להיות מכוון לאחת משלושת המספרים, מספר הניסויים השונים שניתן לערוך במכשיר זה הוא תשעה. נסמן אותם לפי המספרים עליהם המחוגים מכוונים, כלומר: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3). למשל (1,3) יתאר ניסוי שבו הגלאי הראשון כוון למספר 1 והגלאי השני למספר 3. לאחר מכן נלחץ על הכפתור שנמצא מעל קופסא C, ושני חלקיקים יפלטו. לאחר כמה רגעים האור בכל אחד מהגלאים ידלק. שימו לב שהאור לא חייב להידלק באופן סימולטני בשני הגלאים. ניתן להזיז את הגלאים כך שימצאו במרחקים שונים אחד מהשני וכתוצאה מכך הגלאים ידלקו בזמנים שונים. דרך אגב, ניתן גם לכוון את המחוג גם לאחר שהחלקיק שוחרר, אבל כל עוד הוא עדיין לא פגע בגלאי. לאחר ששני הגלאים האירו, נרשום בצד את תוצאת הניסוי. במחברת הניסוי שלנו נרשום תחילה את שם הניסוי ואת תוצאותיו בעזרת האותיות G ו-R כקיצור לצבע הירוק והאדום בהתאמה. למשל (1,3) GR יתאר ניסוי שבו הגלאי הראשון כוון על 1 והאיר בצבע הירוק (Green) והגלאי השני כוון על 3 והאיר בצבע אדום (Red). לאחר מספר רב של חזרות, נצבור מידע סטטיסטי שיעזור לנו לקבוע מה ההסתברות ששני הגלאים מאירים באותו צבע או בצבע שונה. הדבר דומה להטלת מטבע מספר רב של פעמים. אם מדובר במטבע הוגן, לאחר מספר רב של ניסויים, כמחצית מההטלות יצאו עץ והמחצית השניה פאלי. כמובן שבעולם האמיתי קיימות שגיאות במדידות, אך שגיאות אלו יצמצמו ככל שנריץ יותר ויותר ניסויים.

תוצאות הניסוי:

הסטטיסטיקה שהצטברה ממכשירי המדידה הובילה לשתי תוצאות מעניינות:

1. במקרים בהם הגלאים כוונו על אותם מספרים (1,1), (2,2), (3,3) שני הגלאים האירו תמיד באותו הצבע כלומר RR או GG.
2. במקרים בהם המחוגים כוונו למספרים שונים (1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(1,3),(2,3), כרבע מהמקרים הצבעים היו זהים וכשלושה רבעים מהמקרים הצבעים היו שונים, כלומר RG או GR.

נתמקד תחילה בניסוי הראשון בו שני המחוגים כוונו על אותו המספר  – השאלה הטבעית שנרצה לענות עליה היא מדוע שני הגלאים הבהבו באותו הצבע בכל ניסוי? מאחר ושני הגלאים אינם מחוברים בשום צורה, אין ביכולתם לדעת לאיזה מספר הגלאי הסמוך כוון. יחד עם זאת, ניתן להסביר בקלות את תוצאת הניסוי כשחלקיקים נלקחים בחשבון. ביחס למספר שהגלאי מכויל, ניתן לשייך לחלקיק שמונה אפשרויות למדידה: RRR, RRG, RGR, GRR, GGR, GRG, RGG, GGG. כלומר, RGG יסמל שעבור חלקיק מסוים שנפלט מהקופסא האמצעית (C), המדידה עבורו תהיה אדום אם המחוג מכוון על 1, ירוק אם המחוג מכוון על 2 וירוק שוב אם המחוג מכוון על 3. נשים לב שתוצאות הניסוי מקטלגות למעשה שמונה סוגים שונים של חלקיקים. כעת נחזור למקרה הראשון: העובדה ש-RG או GR איננה אפשרית כאשר שני המחוגים מכוונים לאותו המספר מעידה ששני החלקיקים חייבים להיות מאותו הסוג (נסו לשכנע את עצמכם מדוע זה בהכרח נכון ושלא קיימת אפשרות אחרת). מאחר וקופסא C אינה מחוברת לגלאים A ו-B, היא לא יכולה לדעת מראש אם המחוגים מכוונים לאותו מספר או לא ולפיכך נסיק שתכונה זו קיימת גם במקרה השני.

נמשיך למקרה השני כאשר שני המחוגים מכוונים למספרים שונים – אומנם תוצאות הניסוי לא קובעות באופן חד ערכי את סוג החלקיק שקופסא C תייצר (משום שהניסוי מגלה מידע חלקי על החלקיק- רק שניים מתוך שלושת הצבעים מתגלים משני הגלאים), עדיין נוכל לחשוף כמה מסקנות מעניינות. נניח והחלקיק הוא מסוג RRG, אזי רק שניים מתוך ששת הכיולים האפשריים יגרמו לשני הגלאים להאיר באותו הצבע. כיולים אלו הם כמובן: (1,2) ו-(2,1). הדבר נכון כמובן גם עבור שאר הסוגים שמערבים את שני הצבעים (RGR, GRR, GGR, GRG). עבור RRR ו-GGG הגלאים יאירו באותו הצבע במאה אחוז מהמקרים. בסה”כ אם קופסא C פולטת באופן ספונטני ובהסתברות שווה את כל סוגי החלקיקים, ההסתברות ששני הגלאים יאירו באותו הצבע כאשר שניהם מכוונים למספרים שונים היא קצת יותר משליש. לעומת זאת, ההסתברות שנמדדה ממכשיר המדידה היא דווקא רבע (25%)! נותרנו עם סתירה. ההסבר התצפיתי למקרה הראשון לא מתיישב עם מה שמדדנו מהגלאים במקרה השני. זו התמצית לאי שוויון בל והסתירה בין התחזית של “משתנים חבוים” (העובדה שהחלקיקים יודעים מראש מה תהיה תוצאת הניסוי, כפי שסיווגנו אותם) לבין מה שמתרחש נסיונית (התואמת את מכניקת הקוונטים).

הקשר הקוונטי

בפרק זה אחבר את חלקי המכשיר לעולם האמיתי. מכאן ואילך אאלץ להשתמש במונחים מקצועיים בכדי להסביר את מה שבאמת מתרחש בניסוי, יחד עם זאת אני אמשיך לדבר בקווים כללים ולא אכנס לפרטים. נתחיל בגלאים – תפקידם למדוד את כיוון המגנט הפנימי של החלקיק. מגנט זה לעיתים מכונה ספין. ההבדל המרכזי בין “מגנט קוונטי” לבין מגנט “קלאסי” (כלומר בין חלקיק למגנט מקרוסקופי), הוא ש״מגנט חלקיקי״ יכול להימצא אך ורק בשתי אפשרויות בהתאם לכיול מכשיר המדידה. כאשר מודדים את הספין, מופעל שדה מגנטי על החלקיק. לשדה זה, הנוצר בסביבת הגלאי, משויך קוטב צפוני ודרומי בדומה למגנטים יום יומיים שאתם מכירים. כאשר החלקיק הקוונטי עובר דרך מכשיר המדידה, הספין שלו ימדד בכיוון הצפוני או הדרומי של הגלאי וימצא אך ורק באחת משתי האפשרויות האלו. לעומת זאת, מגנט קלאסי יכול להיות במצבי בייניים, ובכל אוריינטציה שיבחר (לא להתבלבל בין סופרפוזיציה לבין מצב בייניים שהוא מצב קלאסי לחלוטין עם אוריינטציה כללית). המספר שהמחוג מצביע בגלאים מתאר את האוריינטציה של מכשיר המדידה. למשל, הספרה 2 מעידה שהמכשיר הסתובב ב-120 מעלות ביחס לאוריינטציה שנקבעה למספר 1. באופן דומה, המספר 3 מייצג סיבוב ב-240 מעלות ביחס ל-1.  כאשר החלקיק פוגע במכשיר המדידה, הצבע שידלק יעיד על כיוונו של הספין, כלומר האם הוא מכוון עם השדה המגנטי של מכשיר המדידה, או ההפך. בעת הרצת הניסוי, קופסא C משחררת שני חלקיקים בעלי ספין הדומה לאלקטרונים, הנמצאים במצב שזור. כשאני כותב “מצב שזור” אני מתכוון לכך שבעת המדידה, שני החלקיקים קובעים במיידית את מצבם, או במילים אחרות, מדידה של אחד החלקיקים תקבע מראש את תוצאת הניסוי על החלקיק השני. במקרה שלנו, כל פעם שחלקיק אחד יגרום למכשיר המדידה להאיר באור ירוק, המכשיר השני יאיר באור הירוק בהכרח (לאחר שהחלקיק השני יפגע בו). כעת מתבקש לשאול מה יקרה אם שני מכשירי המדידה לא מכוילים לאותה אוריינטציה? במקום זאת, נתחיל בשאלה פשוטה יותר – מה יקרה לחלקיק השני לאחר המדידה של החלקיק הראשון? הוא יתקבע על אחד מהצבים, אבל אל תשכחו שלצבע (השקול לספין מעלה או מטה, או באוריינטציה ישרה או הפוכה לשדה המגנטי של הגלאי) משויך בהכרח למספר. כלומר, אם המדידה של חלקיק אחד תקבע את החלקיק השני להימצא במצב 1G למשל, הוא עדיין ימצא במצב של חוסר וודאות לגבי המדידה בגלאי השני אם הוא כוון על מספר אחר. תורת הקוונטים מלמדת שמצב זה נמצא בסופרפוזיציה של מצבים ממרחב המדידות של הגלאי האחר. כלומר אם הגלאי השני נמצא על מספר 2, G1  הוא מצב השקול לסופרפוזיציה של מצבי המדידה ביחס לאוריינטציה של הגלאי השני, שהם 2G ו- 2R (לקבל ירוק או אדום בגלאי שהמחוג שלו מכוון על 2). מה שקובע את ההסתברות שהגלאי השני יאיר בצבע כזה או אחר היא זווית האוריינטציה. במקרה שבו הזווית היא 120 מעלות אנחנו משחזרים את תוצאות הניסוי שתוארו מעלה.

הכתבה ברובה נכתבה בהשראת מאמרו של הפיזיקאי נתנאל דוד מרמין.

יש לכם שאלה או נושא שתרצו שאכתוב עליו? פנו אליי לכתובת [email protected]

עוד בנושא באתר הידען:

• הראש בניו יורק והזנב בלוס אנג’לס: על חתולים מפורסמים במדע
• התרומה הישראלית הגדולה לגילוי החלקיק הקטן
• גלאי חדש יקבע את מקורם של גלי כבידה