נילס הנריק אבל – סיפור טראגי ממעלה חמישית

עוד סיפור של מתמטיקאי גאון שגדל בעוני, כתב מאמר מתמטי חשוב ראשון בגיל 20 ומת בגיל 27, כשעמד על סף התהילה

נילס הנריק אבל
נילס הנריק אבל

כלל ברור הוא שתרבות מתבססת בראש ובראשונה על האנשים היוצרים אותה והדרך שבה אנשים אלו יכולים לתת את שיקוי האל-מוות לקבוצה בה הם חיים היא אך ורק על ידי הספר הכתוב והחינוך.

המדינה המתקראת נורבגיה מתפארת ביופי ארצה אשר שם אותה בין מדינות בודדות אותן אנחנו מכנים – גן עדן קטן. מלבד העובדה כי מדובר בתרבות שחרטה על דגלה שנאת עמים זרים במשך מאות שנים נראה כי הכלל הרשום מעלה נעלם מעיניה כליל. תרבות, כהגדרתה, החלה להתקיים בנורבגיה כבר לפני כעשרת אלפים שנים אך התפוקה הנובעת מאיכותם של האנשים המרכיבים את הקבוצה הנורבגית היא נמוכה להפליא.

ישנו פתגם ידוע בשפת היידיש שטוען כי – " כשהמזל מגיע , העמד לו כסא! ". מזל מתמטי גדול עמד לנורבגים רק לפני כ-200 שנה והם אכן העמידו לו כסא, אך חבל שהעמידוהו הפוך. המאמר הבא מספר על תרבות ריקה מתוכן שפספסה מזל מסוג כזה המגיע רק פעם אחת.

נילס הנריק אבל (Niels Henrik Abel) נולד ב-1802 בנורבגיה לאב שהיה פוליטיקאי ושתיין ולאם פוליטיקאית גם כן שהייתה ידועה ברמת מוסר נמוכה להפליא ; עד כמה היא הייתה נמוכה אשאיר זאת למחשבת קוראי. נילס היה אחד משבעת הילדים במשפחת אבל הענייה להחריד שכן באותה עת המצב הכלכלי במולדתו היה בכי רע. עוני זה שהגיע עד למצב בו מזווה האוכל בביתם היה ריק מתכולה הביא לידי כך שאביו של אבל – שלא עמד בהוצאות בית ספר לבנו – העניק לו חינוך עצמאי בשיתוף כומר מקומי עד כשהגיע לגיל 13, אז היה באפשרות המשפחה לשלוח רק את אבל ואחיו הגדול ללימודים בבית הספר הדתי כריסטיאנה. שנתיים לפני כן נלקחו המורים הטובים ביותר משם והועברו לאוניברסיטה שהייתה מעין מוסד ההמשך של בית הספר הקודם, מה שהוריד את רמתו הלימודית לשפל תחתיות. אבל לא התברג כתלמיד מוצלח במיוחד והיה כאחד האדם עם נטייה קלה למתמטיקה ופיסיקה. שנת 1817 הייתה הנקודה בה נפרץ הסכר מבחינתו של אבל לאחר שזכה למורה חדש למתמטיקה בשם ברנט הולומבי (Holmboë). ראוי לציין כי הולומבי החליף את המורה הקודם למתמטיקה לאחר שהלה העניש את אחד התלמידים בצורה כל כך קשה עד שגרם למותו.

זמן קצר לאחר שהגיע, הולומבי שם לב לניצוץ של אבל והתחיל ממלא את כרסו של הצעיר במאמרים אוניברסיטאיים מתוך משנתם המתמטית של אוילר (Euler), ניוטון (Newton) וחבריהם ועד מהרה הבין כי מדובר בעילוי בעל פוטנציאל אדיר. לאחר כשנה בה נתן את עינו בכוכב העולה החל הולומבי לכוון את רעיונותיו של אבל ספציפית לעבר עבודתם של לגראנז' (Lagrange) ולפלאס (Laplace).

לרוע מזלו של אבל בשנת 1820 אביו נפטר בחרפה גדולה שנבעה כתוצאה מנטייתו לטיפה המרה באופן שעלה על מידותיו וכן סקנדלים משפטיים שקריים שהיה מעורב בהם בשנותיו האחרונות.

האב, שהיה התומך העיקרי במשפחה, המיט גם אסון כלכלי חמור עוד יותר על אשתו וילדיו דבר שלמעשה שמט את הקרקע האקדמית מתחת לרגליו של אבל. הולומבי עשה כל שביכולתו לעזור ואכן הצליח להשיג לאבל מלגת לימודים וקיום שהקנו לו את היכולת ללמוד באוניברסיטת כריסטיאנה בגיל 19. בגיל 20 עלה בידיו של אבל להציג את מאמרו המתמטי הראשון שעסק באחת הבעיות החשובות ביותר דאז באלגברה: פתרון למשוואה ממעלה חמישית על ידי רדיקלים. במאמרי הקודם על המתמטיקאי האיטלקי טרטליה (Tartaglia) פרטתי בדוגמא "ספורטיבית" מה משמעותו של פתרון למשוואות ממעלה שלישית, ודוגמא זו נכונה גם כאן כאשר עתה הכדורסלן אמור לקלוע 5 כדורים בו זמנית ביד אחת לתוך הסל.

ההיסטוריה של פתרון משוואות התחילה עוד בימי היוונים כאשר פיתגורס או אחד מתלמידיו מצא את הפתרון הכללי למשוואה ממעלה שנייה, לאחר מכן המשיכו אותם המתמטיקאים האיטלקים טרטליה, קארדאנו ופרארי במשוואת ממעלה שלישית ורביעית, ועתה הגיע תורו של אבל בטיפול במשוואות ממעלה חמישית. הדרך שבה נקט היא באמצעות מושג הקרוי רדיקלים. קשה לפרט במדויק במה מדובר אך אגיד שמבחינה כללית רדיקל משמעותו שורש ומכאן פתרון באמצעות רדיקל נעשה על ידי שימוש בשורשים. כשאנחנו אומרים שיש למשוואה "שורש" זה אומר שמצאנו את הפתרון (או הפתרונות) שלה כאשר השוונו את המשוואה ל-0. לדוגמא הביטוי X2-1 יהפוך למשוואה כאשר נשווה אותו למשהו, בהנחה וההשוואה תהיה ל-0, אז הפתרונות הם כאמור 1 ו-(1-) ואלו שורשי המשוואה. הרעיון בשימוש ברדיקלים הוא למצוא משוואה לשורשים עצמם באמצעות המקדמים (של המשוואה). אבל, כזכור, הציע במאמר מתמטי פתרון לבעיה בהיותו בן 20 בלבד אולם בבדיקה עצמית חוזרת גילה כי צצה לה טעות שנדרש בעבורה פתרון אחר. על מנת להבין עד כמה מבריק וחריף היה מוחו המתמטי של אבל יהיה ראוי להשוות זאת לבחור ממוצע בימינו שסיים את לימודיו התיכוניים בגיל 18 ; בהנחה שמיד לאחר מכן הוא ממשיך את לימודיו לתואר ראשון במתמטיקה נדרשת ממנו היכולת להתמודד עם בעיה מתמטית עיקרית ויסודית שהעסיקה את טובי המוחות מאז ימיו של טרטליה וקארדאנו (כ-250 שנה) וזאת לאחר שנתיים בלבד באקדמיה.

בל נשכח כי אבל היה עני מרוד והתנאים בהם ערך את מחקריו היו נחשבים (גם אז) לקשים ביותר; אם כן, על אף העובדה כי הפתרון לא היה מדויק לחלוטין עדיין יהיה קשה ביותר למצוא אדם כל כך צעיר בעל יכולות פנטסטיות שכאלה. בעקבות הטעות הזאת המליץ לו המנחה אשר נדרש לבדיקת המאמר להתמקד בתחום חשוב אחר שעסק באינטגרלים. באופן פשטני ביותר נאמר כי אינטגרל היא שיטה למצוא שטח של איזור מסוים ומהווה ביחד עם הדיפרנציאל את שני היסודות , ככל הנראה, החשובים ביותר בעולם המתמטיקה.

ההמלצה הזאת הייתה כנראה החשובה בחייו של אבל והיא אכן נשאה פרי ; מיד לאחר מכן הוא נלקח תחת חסותו של פרופסור הנסטין (Hansteen) מהמחלקה לאסטרונומיה באוניברסיטת כריסטיאנה. הנסטין תמך בו כלכלית וגם מוראלית ואשתו אף התייחסה אליו כאל בנה שלה. שנת 1823 (כשהיה בן 21) הייתה משמעותית בשבילו ובמהלכה פרסם מספר מאמרים מרתקים בתחום האמור. שנה לאחר מכן הגיע לפסגת חייו כאשר חזר לעבוד על המשוואה ממעלה חמישית והצליח להוכיח כי לא ניתן לפתור אותה באמצעות רדיקל. שוב, למרות שמדובר בבעיה סבוכה שאין זה המקום להסבירה אוכל רק לומר כי רק יחידי סגולה בודדים מסוגלים להגיע להבנה כה מעמיקה של עולם המתמטיקה. אבל רצה שעבודותיו יגיעו גם לשולחנם של גדולי המתמטיקה בצרפת וגרמניה אולם לא הכיר את השפות המדוברות בארצות אלו ולכן שקד על לימודיהן במשך שנתיים עד שידע אותן על בוריין, דבר שהיה לעזרתו כאשר פרסם קובץ מאמרים בשפה הצרפתית מכספו האישי, שגם כך היה מועט ביותר. רק בכדי לסבר את האוזן עד כמה מצבו הכלכלי היה גרוע גם בתקופה הנידונה, ראוי לציין כי ברשותו של אבל לא היה סכום מספיק של כסף על מנת לתאר את ההוכחות שלו במלואן ולכן היה צריך "לכווץ" אותן על מנת שכולן יכנסו למספר דפים קטן.

במהלך 4 השנים הבאות ערך אבל מסע דילוגים בין צרפת לגרמניה בניסיון להתקבל להגמוניית המתמטיקאים המקומית אך זכה למחוות צוננות מרבים מהם, בעיקר מאלו הצרפתים אותם לא חיבב, בלשון המעטה. בשנת 1827 חזר לביתו בנורבגיה כשהוא במצב בריאותי גרוע ועני עוד יותר לאחר שנכנס לחובות. כשחזר לאוניברסיטת כריסטיאנה הוענק לו סכום כסף מסוים בכדי להעמידו על רגליו אך ראשי המוסד דאגו לכך שמענק זה יקוזז מכל משכורת עתידית אותה יקבל באם יעבוד שם. למרות שאבל היה מוכר בנורבגיה כעילוי מתמטי, דבר שהיה נדיר ביותר באותה העת, לא נעשה ולו המאמץ הקטן ביותר לסייע לו באופן אמיתי בעבודותיו שיכלו להביא כבוד ויוקרה למדינה.

בכדי לגייס עוד קצת כסף אבל החל לתת שיעורים פרטיים לילדי בית-ספר ואילו אשתו הועסקה כאומנת במשפחת חברים של אבל. שיפור קל במצבו הכלכלי הגיע כאשר פרופסור הנסטין נשלח לסיביר בכדי לחקור את הכח המגנטי של כדור הארץ ואבל החליף אותו כמרצה באוניברסיטה ובאקדמיה צבאית.

בשנת 1828 חזר אבל לעסוק בתחום אותו כל כך אהב והוא מציאת פתרון כללי לשימוש ברדיקלים על משוואות – מה שיוכח כמה שנים לאחר מכן על ידי אווריסט גלואה (Galois).

אבל התמקד גם בתחום הקרוי משוואות אליפטיות ועבד ביחד עם מתמטיקאי ענק אחר בשם יעקובי (Jacobi) ; לג'נדר (Legendre) שהיה מתמטיקאי צרפתי נודע העיר כי לדעתו העבודות האלה מציבות את שניהם בשורה הראשונה של גדולי המוחות לזמנם.

הערות מסוג זה עזרו לאבל להוציא עוד ועוד מחקרים מתמטיים שחשיבותם לא תסולא בפז, אולם במקביל בריאותו הידרדרה בצורה משמעותית ובעצם היה מדובר בתחילת סופו של הגאון המתמטי. עמיתו של אבל – המתמטיקאי קרל (Crelle), עשה כל שביכולתו על מנת למצוא לו משרה הולמת בגרמניה והוא אכן הצליח לעשות זאת, אולם זה היה מאוחר מדי ואבל נפטר יומיים לפני שקרל בישר לו את הידיעה המשמחת.

ימיו האחרונים של אבל לווו בחולשה קשה מאוד ושיעולים ללא הפסקה אך מצב קשה זה לא מנע ממנו להמשיך ולעסוק במתמטיקה על אף שיכל לצאת ממיטתו רק לכמה דקות בלבד. אבל נהג לספר על עוניו הקשה בשנים הקודמות ועל טוב ליבה של אשת פרופסור הנסטין. הכאב היה בלתי נסבל במיוחד ב-5 לאפריל באותה שנה ובבוקרו של היום למחרת אבל נפח את נשמתו והוא בן 27 בלבד.

בשנת 1830 הוענק פרס הוקרה על ידי האקדמיה הפריסאית ליעקובי ואבל (לאחר מותו) על עבודתם יוצאת הדופן בחשיבותה.

שיתוף ב print
שיתוף ב email
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב linkedin
שיתוף ב twitter
שיתוף ב facebook

17 תגובות

  1. אחרי שסיימתי 3 יחידות בתיכון אמרתי ננסה 5. אין לי מושג איך אנשים עוברים את זה. אז לכותב הכתבה כדי שאבין כמה חכם במתמטיקה היה הבל אולי תנסה לתאר זאת ביחידות במתמטיקה. נראה לי לפחות 7 יחידות.

  2. טוב ברח לי המקש במשפט האחרון אז הנה הסיום:
    באינדוקציה זה נכון לגבי קושי, לגרנז', קנטור, טיילור, דקארט, ניוטון, לייבניץ, ורבים אחרים, שפיתוחיהם נלמדים כיום ע"י מליוני סטודנטים ברחבי העולם בשנתיים הראשונות ללימודי המתימטיקה שלהם באוניברסיטה. מעניין לפיכך מדוע כה מעטים המתימטיקאים שמותירים אחריהם פיתוחים מתימטיים בעלי משמעות כבירה כפי שעשו אלו הרשומים לעיל, ומדוע כל האלכסנדרוביצים למיניהם (גדי ושכמותו) לא יכלו לפתח הוכחות פשוטות בתכלית כנ"ל. אגב אשמח מאד לקבל הפנייה (REFERENCE) לעבודות מתימטיות או מדעיות אחרות שבוצעו ע"י גדי אלכסנדרוביץ' שכן עבודות אלו (פרי פיתוחו של סטודנט ממוצע כגדי) בוודאי מהוות פריצות דרך בכל קנה מידה.

  3. גדי אלכסנדרוביץ' יקירי,
    לשיטתך, מה שאבל עשה (ואחריו גלואה) היה פשוט ביותר מאחר וכיום כל תלמיד שנה א' במתימטיקה מסוגל להבין ולשחזר את ההוכחה. כלומר, אין להתלהב מיכולתו של אבל (או של גלואה ודומיהם). נאמר כי במקרה הגרוע ביותר היה על האנושות להשאר בבערות יחסית ולהמתין כ-200 שנים בלבד עד להופעתו של בעל יכולת בינונית ביותר כמו גדי אלכסנדרוביץ', שהיה מבצע את תהליך ההוכחה הפשוט הנ"ל בשנתו הראשונה באוניברסיטה, ומספק לאנושות את ההבנה שלא ניתן למצוא פתרון כללי למשוואה בת 5 נעלמים. מאליו מובן שגדי אלכסנדרוביץ' הצנוע והעניו אף היה מוותר מיד על כל יומרה להקרא גאון מתימטי או ממציא או מגלה מאחר ועבודתו יכולה היתה להיעשות ע"י כל תלמיד שנה א' במתימטיקה. באינדוקציה זה נכון לגבי קושי, לגרנז', קנטור, טיילור, דקארט, ניוטון, לייבניץ, ורבים אחרים, שפיתוחיהם נלמדים כיום ע"י מליוני סטודנטים בשנתיים הראשונות של

  4. לירן, אנא קבל את דברי כביקורת בונה המייצגת את דעתי בלבד.
    במידה ועשית זאת בכוונת תחילה ובאופן מודע הרי אני האחרון שאתערב בכתיבתך. אם זאת במידה והסיבה להחלטה זו הינה הסלידה והפחד ממטמתיקה הרי שבעיני זו סיבה קצת מוזרה. ביחוד כאשר המאמר מופיע באתר כגון הידען בו לרוב האנשים (כך אני משער) יש עניין מסויים בתחום ומתפרסמים בו ידיעות מורכבות בהרבה (כמו הידיעות של ד"ר משה נחמני) הזוכים לקהל קוראים נאמן (ואני בינהם).

    כל אחד מאיתנו יכול לפתוח את ויקפדיה ולבדוק בעצמו איך פותרים משוואה ממעלה שלישית ורביעית. אם זאת אני חושב שזה היה מוסיף המון במידה והיה מתווסף הסבר כלשהו, ולו בשפה פשוטה וללא משוואות, המסביר את המשמעות של גילויים אילו והעבודה הכרוחה בכך בכדי שגם אדם שאיננו בקיע במטמתיקה (ואולי גם פוחד מימנה) יוכל להתוודות ולחוות במלא העצמה את עבדותו של האיש והעומק הגלום בו.

  5. זה עוד כלום לעומת מה שהם עשו לנילס הולגרסון!!

    אותו הם הפכו לגמד הויקינגים האלה.

  6. אם כל מה שלירן התכוון לומר הוא שכדי להגיע להישגים של אבל צריך הבנה כזו – אחלה. קיבלתי את הרושם שהוא גורר את זה לכיוון של המשפט האחרון של פרמה, כלומר שכבר ההוכחה עצמה היא כה קשה שצריך הבנה עמוקה במתמטיקה כדי לקרוא אותה.

    אם לא לזו הכוונה אז התלונה שלי מופנית רק לניסוח הלא ברור (ולכך שנמנעים, כרגיל, מכניסה לפרטים המעניינים באמת, אבל כבר התלוננו על זה כאן).

  7. גדי,
    מה הבעיה לעלות 40 קומות ברגל? אני יכול לעלות אפילו לקומה 50, עם מעלית…
    זה בערך מה שאמרת 🙂
    אבל התחיל לסלול את השביל להבנת הפתרון והבעיה, ולא צעד בדרך שאחרים הלכו בה. כנ"ל למשל תורת היחסות, או כל דבר אחר. להבין אותו זה פחות בעייתי מאשר להגות אותו.

  8. לירן, האם אתה חושב שלהגיד על אי פתירות המשוואה ממעלה חמישית עם רדיקלים ש"רק יחידי סגולה בודדים מסוגלים להגיע להבנה כה מעמיקה של עולם המתמטיקה" זה מה שיעודד התעניינות? זה מה שיגרום לאלו שלא מחבבים, לחבב? שאומרים להם שאין להם שום סיכוי להבין את זה?

  9. תשובות :

    ב.ז – פירוט אודות כלים מתמטיים שכאלה ניתן למצוא בכל ספריה אקדמית למתמטיקה או פיסיקה.
    הרחבה עליהם היא לא מעניינה של מטרת כתיבת המאמרים הזאת. אני תמיד מנסה להסביר (בטוקבקים יש לציין) שהמאמרים האלו אמורים לגעת באדם הפשוט, זה שהקשר בינו לבין מתמטיקה הוא מקרי בהחלט, מה שלרוב גורם לסלידה מהתחום הזה. לפני שהתחלתי לכתוב החלטתי שאני מוציא לחלוטין כל דבר הקשור במשוואות או הסברים מתמטיים סבוכים היות ודבר שכזה מיידית יגרום לזניחת הקריאה.
    אני לא כותב כדי ללמד מתמטיקה אלא כדי לגרום למתמטיקה להתחבב על כאלה שלא מחבבים אותה.
    אחת המטרות העיקריות שלי היא שבעקבות מה שרשמתי אנשים באמת יעשו את הצעד הזה לעבר התעניינות במתמטיקה; אם בעקבות הדברים אתה חושב שרדיקלים זה משהו מרתק, אז שני דברים :
    דבר ראשון עשיתי את שלי ואני שמח על כך, דבר שני הוא כפי שציינתי – בכל ספריה מתמטית יש ספרים גדולים ומפורטים שיכולים להסביר את הדברים הרבה יותר טוב ממני.

    בהצלחה

  10. זיו, לא ביקשתי ממנו לפרט (זה בלתי אפשרי במסגרת כתבה שכזו) אלא לא להפחיד. אם יש דבר אחד שממש מצער אותי, הוא ההילה ה"בלתי אפשרית" שאוהבים לפעמים לקשור למתמטיקה.

  11. תודה מיכאל, אך אני חושש כי ויקיפדיה איננה חדשה לי או כל אחד אחר כאן באתר. ומי שרוצה להתעמק בפיתרון משוואות ממעלה חמישית או החייו של אבל ידע גם לפנות לספריה.
    אם זאת אני עדיין חושב שטוב היה אילו הדברים היו מפורטים ומוסברים יותר בהרחה במאמר עצמו ולו למען ה"שלמות העלילתית". הדבר היה חסר לי מעט גם במאמר על טרטליה.

  12. גדי,

    לא כל הקוראים הם תלמידי תואר ראשון במתמטיקה..
    כמוני .. הכתבה מעניינת מאוד ולמדתי ממנה רבות… לא תמיד צריך לפרט ה כ ו ל..

    חג שמח!

  13. הייתי שמח אם ניתן היה לפרט ולהסביר יותר אודות רדיקלים ואלמנטים מתמטיים אחרים המוזכרים במאמר. במקום לפתור אותם בהסבר בן שורה או אנולוגיה פשוטה.

    אני חושב שהדבר היה מוסיף נפח נוסף למאמר, ביחוד לאותם אנשים בינינו שהידע שלהם במטמתיקה מסתכמת בקורסי מבוא כלליים.

  14. "שנה לאחר מכן הגיע לפסגת חייו כאשר חזר לעבוד על המשוואה ממעלה חמישית והצליח להוכיח כי לא ניתן לפתור אותה באמצעות רדיקל. שוב, למרות שמדובר בבעיה סבוכה שאין זה המקום להסבירה אוכל רק לומר כי רק יחידי סגולה בודדים מסוגלים להגיע להבנה כה מעמיקה של עולם המתמטיקה."

    הגזמת. כל סטודנט לתואר ראשון במתמטיקה בימינו מסוגל להבין את הבעיה ופתרונה, ובעומק גדול יותר מזה שאבל עצמו הגיע אליו (העומק שתורת גלואה מספקת). זה לא גורע מהגאונות של אבל (שהקדים את גלואה והמציא את הכל פחות או יותר מאפס) או מהיופי של כל זה, אבל לא צריך לשוות להכל הילה מיסטית ובלתי אפשרית.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

דילוג לתוכן