טרטליה – המתמטיקאי המגמגם ורחב הלב

האיטלקי שניצל בילדותו מטבח, אך נשאר מגמגם כתוצאה מפציעתו, תרם במאה ה-16 למתמטיקה פתרון למשוואת בדרגה שלישית

לאורך השנים חזיתי בנפלאות האדם המוגבל שהצליח להביא את חלקיו הבריאים לכדי יכולות שרובנו לא האמנו כי ניתן לעשות בהם שימוש כה נרחב. אך מה בנוגע למוגבלות שעיקרה קושי בדיבור ? כיצד ניתן לפצות על כך ? התשובה הטובה ביותר לדעתי ניתנה על ידי שמאי במסכת אבות : “אמור מעט ועשה הרבה”. ואכן, ההיסטוריה העמידה במרכז הבימה העולמית מספר אנשים שהעדיפו את השתיקה במעשה על פני הרברבנות שבדיבור, האחד מוציא עם מעבדות לחירות, השני טוען שמוצא האדם מן הקוף והשלישי כותב על זחל שמעשן נרגילה תוך כדי ישיבה על פטרייה. הפעם בחרתי להביא את סיפורו של גאון מתמטי נוסף שהעדיף את הנייר על הלשון, לאו דווקא בענייני משוואות כמו גם ב-“מלחמות” כבוד ותככים מהסוג שלא היה מבייש תוכנית ריאליטי ממוצעת. עולם המתמטיקה נראה סגור ואפור מבחוץ אך מתחת לפני הקרקע המגמה הרותחת גועשת ופורצת לעיתים כאילו רצתה לומר – “היי, אני לא מה שחשבתם במשך כל השנים האלה”.

ניקולו פונטנה (Niccolo Fontana) נולד בשנת 1500 למשפחה ענייה בעיר ברשיה שבאיטליה והחל ללמוד בבית-הספר בגיל ארבע אך רציחתו של אביו שנתיים מאוחר יותר הביאו את המשפחה למצב של עוני מחפיר, גרמה לפונטנה לעזוב את לימודיו ובעצם החלה את מסכת חייו האומללים והכעוסים. כשהיה בן 12, לגיון צרפתי הצליח לכבוש את העיירה והחל רוצח בדם קר את תושבי המקום – 46 אלף במספר ; כל זה בא כפעולת תגמול על מפלה והשפלה אותם חוו כתוצאה מפעולותיהם של אנשי מחתרת מהעיר ברשיה. פונטנה ומשפחתו הצליחו למצוא מחסה זמני באחת הכנסיות בעיירה אך לוחם צרפתי הצליח להכות בפניו באמצעות הכידון וגרם לפציעה קשה מאוד של הלסת והחך. פונטנה נשאר לדמם במקומו ואף שאמו מצאה אותו במצב זה היא לא יכלה להרשות לעצמה לממן את טיפולו הרפואי, אך עשתה כל שביכולתה לדאוג לבריאותו והחלמתו ואכן הצליחה בכך. בהמשך חייו פונטנה נהג באופן קבוע לעטות זקן עבות בכדי להסתיר את הצלקות השזורות בפניו, אך הדבר שנשאר גלוי לכל עקב פציעתו היא הבעייתיות בשטף הדיבור מה שהביא לכינוי הגנאי שהודבק לו – “טרטליה”, שמשמעו באיטלקית – המגמגם.

פונטנה היה אוטודידקט במתמטיקה ויכולותיו המופלאות התגלו לכל באופן הברור ביותר מה שהביא אדם עשיר בשם לודוביקו בלביסוניו להיות הפטרון של הגאון הפוטנציאלי. הלה עבר להתגורר בעיר פדואה אך סכסוך בין השניים הביא לפרידה ופונטנה נאלץ לממן עצמו באמצעות שיעורי מתמטיקה ומשרת מורה בבית-ספר מקומי בעיר ורונה, שם נודע כבעל כישורים מיוחדים ואף השתתף במספר תחרויות מתמטיות מקומיות. אחת מתחרויות אלו העלתה את קרנו בקרב עולם המדע באותה העת כאשר התחרה עם מתמטיקאי זניח בשם פיור (Fior) בנוגע לפתירת משוואות מעוקבות, כלומר כאלה שיש בהם משתנה בחזקה שלישית. יש להקדים ולהציג שתי עובדות והסבר הנוגעים לתפיסה הרווחת באותה תקופה.

בכדי לנסות ולבאר מה משמעותו של פתרון כללי למשוואות ממעלה ראשונה, שנייה, שלישית וכן הלאה נוכל לחשוב על כדורסלן מוכשר שעומד במרחק מה מהסל ובידיו מספר כדורים בהתאם לתחרות בה הוא משתתף. אם בידיו יש כדור-סל אחד, אז השיטה המקובלת לקלוע לסל היא פשוט לאחוז היטב בכדור משני צידיו ולזרוק אותו בזווית וכוח מסוימים, אך מה בנוגע לתחרות בה יש בידי הכדורסלן 2 כדורים והוא אמור לזרוק אותם לסל בבת אחת ? עומדות בפניו שתי אופציות – לזרוק כדור אחד בכל יד או האופציה הקורצת יותר והיא זריקת שניים בבת אחת ביד אחת מה שבוודאי יוכיח כי הוא מקצוען אמיתי במידה ויקלע.

משוואות מעוקבות מתנהגות כאילו היו בידי הכדורסלן 4, 5 או 6 כדורים והוא נדרש בחושיו המחודדים להבין כיצד יש לזרוק לסל שילובים של 3 כדורים בבת אחת ביחד עם כדור נוסף ביד אחרת או אפילו קשה יותר – שני כדורים ביד האחרת ועדיין לקלוע בכל פעם. בוודאי יסכים איתי כל קורא כי כדי לעשות זאת נדרש כישרון פנומנלני, הלא כן ? ובכן, עובדה אחת מתוך השתיים שהזכרתי היא שאת הפתרון הראשון לסוג משוואות כאלה נתן כבר בעבר מתמטיקאי איטלקי חשוב בשם דל-פרו (del Ferro) אך היה זה פתרון מצומצם למצב ספציפי כלשהו ולא נכללו בו כל מגוון האפשרויות העומדות בפני הרכבה של משוואות שכאלה, ובהתאם לתיאור הקודם – הוא ידע כיצד לזרוק לסל 3 כדורים ביד אחת ועוד כדור אחד ביד השנייה, ואילו פונטנה ידע לעשות זאת עם 5 כדורים, 3 ביד אחת ו-2 ביד אחרת.

העובדה השנייה הינה התפיסה כי מתמטיקאים היו בעצם בעלי מקצוע ולא אנשי תיאוריה כפי שנהוג כיום, אי לכך כל תגלית אותה גילו – שמרוה לעצמם כסוד מקצועי, שהוא כידוע – פתירת משוואות. דבר זה היה מוכר ואף ניתן לראות זאת באורך חייהם של מתמטיקאים אחרים כגון פרמה (Fermat), ניוטון (Newton) וכמו כן גם דל-פרו אשר שמר בקנאות על שיטת פתרון זאת. אולם רק כשהיה על ערש דווי החליט לשתף את תלמידו פיור בסודו האישי. פיור החל לתפוח כטווס בקהילתו כאשר נודע שהוא אוצר במוחו מידע כה חשוב באותו הזמן ואף הזמין את פונטנה לדו-קרב המוחות בשנת 1535 אותו הזכרתי לפני כן. כל אחד ממשתתפי התחרות שלח 30 שאלות למשתתף האחר וזה היה צריך לענות עליהן בזמן הקצר ביותר ; פיור חשב שפונטנה לא מכיר את השיטה לפתירת המשואות כפי שהיו ידועות לו ולמרבה הפלא אכן כך היו פני הדברים עד לבוקרו של יום התחרות בו קיבל פונטנה מעין הבזק המיוחד לגאונים שנמצאים במצב מלחיץ והצליח לעמוד על פתרונה של משוואה ממעלה שלישית כפי שהייתה ידועה לפיור.

פונטנה הצליח לפתור את כל השאלות שהציג לו פיור תוך פחות משעתיים ואילו האחרון לא הצליח לפתור כלום. פונטנה, במעשה אצילי, החליט לוותר על הפרס הכספי ונותר גאה בעצם זכייתו. ההדים אותם עוררה תחרות זו הגיעו גם לעיר מילאנו שהייתה מקום מושבו של מתמטיקאי אחר בשם ג'ירולאמו קארדאנו (Cardano), שאחז בדעתו של המתמטיקאי העילוי פ'ציולי (Pacioli) כי אין פתרון כללי למשוואות ממעלה שלישית. מטבע הדברים, קארדאנו רצה להניח את ידיו על השיטה של פונטנה ובשלב מסוים ביקש את רשותו להוסיף שיטה זו לספר חדש אותו עמד להוציא לאור. פונטנה מצידו סרב לחלוטין להצעה מכיוון שעמד להוציא ספר בעצמו שם יכתוב ביתר פירוט על שיטה זו ; קארדאנו לא אמר נואש והמשיך ללחוץ עליו אך נתקל בחומה גבוהה של סירוב מתמיד. אולם, ברגע אחד נכנע להפצרותיו החוזרות ונשנות של קארדאנו כאשר זה הציע לו להיפגש עם אחד מחשובי הפטרונים במילאן בטענה כי אדם זה יוכל להוציאו מהמצב הכלכלי והמקצועי הירוד בו היה שרוי ;

פונטנה החליט לקבל את ההצעה וערך ביקור במילאן בשנת 1539. לצערו הרב, הפטרון לא היה בעיר באותו הזמן דבר אשר גרם למרמור קשה אך בכל זאת החליט לגלות את סודו לקארדאנו לאחר שזה הפעיל עליו לחץ מסיבי. פונטנה השביע אותו לבל יגלה את הסוד לאדם אחר גם כשימות וביקש ממנו לרשום זאת תמיד באמצעות קוד אשר הוחבא במילותיו של שיר. פונטנה, להוט לעזוב את ביתו של קארדאנו, קיבל לידיו מכתב המלצה עבור אותו פטרון אך משום מה החליט לשים פעמיו אל עבר ביתו. במהלך המסע חזרה טען פונטנה כי חששות עלו בו שמא שגה בהחלטתו לשתף אדם אחר בממצאיו. כשהגיע לונציה כבר היה בטוח בכך שעשה שגיאה וחמתו בערה בו.

באותה שנה קארדאנו פרסם שני ספרי מתמטיקה חשובים והמליץ על כך לפונטאנה במכתב אישי, הלה תר באובססיביות אחר רמזים להכנסת השיטה לפתירת המשוואות בספרים וחש הקלה כאשר התבדה, אולם מכתב התגובה ששלח לעמיתו היה מלא זעם והמעטה בערכם של הספרים. קארדאנו ותלמידו המבריק פרארי (Ferrari) הצליחו לשכלל את השיטה לכדי פתירת כל סוג של משוואה בחזקה שלישית ואף עלה בידם לפתור את המשוואות שבהן יש משתנה שהוא בחזקה רביעית, הישג שערכו לא יסולא בפז בעולם המתמטי. ובכל זאת, למרות שהיה ידוע בקהילה כי ישנו פתרון ברור ומסודר, פונטנה עמד בסירובו לתת פומבי לשיטתו. הסיפור מקבל תפנית כאשר קארדאנו ופרארי עורכים טיול בבולוניה, שם נודע להם כי דווקא דל-פרו הוא זה שמצא את השיטה לפתירת המשוואות ולא פונטנה ; דברים אלו גרמו לקארדאנו להבין כי למרות שנשבע לא לגלות את שיטתו של פונטנה – לא חלה עליו שבועה נוספת כזאת המעמידה את שיטתו של דל-פרו במרכזה, ואכן בשנת 1545 פרסם קארדאנו את ספרו החשוב ביותר ומעמודי התווך של המתמטיקה בימי הביניים – ארס מאגנה, בו היטיב לתאר את שיטת הפתרון למשוואות עם חזקה שלישית ורביעית וכל יתר העבודה שערך עם תלמידו בנוגע לשיטתו של פונטנה.

קארדאנו לא שכח להביא את שמם של פונטנה, דל-פרו ופרארי בספרו כממציאי השיטות האלו. למרות כל זאת, פונטנה רתח מזעם כאשר הבין כי קארדאנו התיר את שבועתו ושנאתו כלפיו הפכה לאובססיביות לשמה כפי שמתואר היטב בספרו האישי שהודפס כשנה לאחר מכן בו הוא מביא את הצד שלו לסיפור ולא חוסך שבטו מקארדאנו באמצעות העלבות אישיות. קארדאנו, שספרו המשובח העמיד אותו כגדול המתמטיקאים של תקופתו לא נפגע מדברים אלו, אך פרארי החליט להשיב מכת-מחץ ויצא בחריפות כנגד פונטנה ואף הזמין אותו לקרב מוחות פומבי בנושא פתירת משוואות. פונטנה מצידו ראה בתחרות עם פרארי מעשה ילדותי, בעיקר כי האחרון היה עדיין מתמטיקאי זניח, אולם קרב כנגד קארדאנו שבאותה עת נחשב לעילוי גם בשירה ורפואה – יעלה את יוקרתו לרמה הגבוהה ביותר. קארדאנו הרגיש זילות בכבודו לערוך קרב שכזה אך הוא ותלמידו החלו בחליפת מכתבים בעלי תוכן משמיץ וארסי עם פונטנה, והלה מצידו לא נשאר חייב עד שבשנת 1548 הוצעה לו משרת מרצה בכיר בעירו, אך על מנת לקבלה היה אמור לערוך סיור למילאנו בו נדרש להתחרות כנגד פרארי. תחרות שכזו אכן נערכה ולמרבה הפלא פונטנה ברח ביום השני מכיוון שיריבו עלה עליו בידיעותיו בנוגע לפתירת המשוואות, מה שהביא לניצחונו החשוב. הפסדו של פונטנה גרר אחריו סנקציות לא קלות, אחת מהן היא הפסקת מימון שכרו – דבר שגרם לו לחזור למשרתו הקודמת ולבעיות כלכליות כפי שהיה רגיל אליהן בעבר.

כיום אנו מכנים את פיתרון המשוואה של חזקה שלישית כשיטת טרטליה-קארדאנו, אולם פונטנה (בכינויו טרטליה) תרם רבות לעולם המתמטיקה גם בנושאים אחרים כגון הכנסתה לשדה הקרב הארטילרי, בה הוא מתאר שיטות ירי חדשות והמצאות מכאניות מופלאות, מאמר פופולארי בנוגע לאריתמטיקה (תחום נרחב ומרתק במתמטיקה העוסק בטכניקות מתקדמות של כפל, חילוק וכדומה), היה גם הראשון לתרגם לאיטלקית את אחד משני ספרי המתמטיקה החשובים ביותר – “האלמנטים” של אוקלידס ורבים ממאמריו של ארכימדס.

ניקולו “טרטליה” פונטנה, האיש שפתר הבעיה שהעסיקה מתמטיקאים לאורך מאות רבות של שנים נפטר בעוני ובדידות מחפירים בעיר ונציה בשנת 1557.

למאמרים הקודמים בסדרה

• גאוס – נסיך המתמטיקאים
• אווריסט גלואה