ובכל זאת, אולי הניטרינו לא עבר את מהירות האור

הפיסיקאים מצילים את הניטרינו מלהיות ניטרינו טכיוני: חלק ראשון במעקב אחר נסיונות תיאורטיים להסביר את תוצאות ניסוי אופרה מבלי להפר את תורת היחסות

גלאי הניוטרינו בגראן סאסי באיטליה, שם התגלו חלקיקים שלכאורה מהירים מהאור
גלאי הניוטרינו בגראן סאסי באיטליה, שם התגלו חלקיקים שלכאורה מהירים מהאור

מאז שפורסמו תוצאות ניסוי הניטרינו הפיסיקאים הציעו כ-80 הסברים שונים לתוצאת הניסוי: חלקם הציעו תיאוריות חדשות שתסברנה מדוע הניטרינים מסוגלים להגיע בזיק של ננו שנייה לפני האור. חלקם הסבירו מדוע התוצאה אינה מתיישבת עם הידע הקיים וחלקם ניסו לגייס את הארסנל המודרני ביותר של המדע – הכבידה הקוונטית, תורת המיתרים, ממדים רבים וכדומה כדי לנסות ולהבין מדוע דווקא ניטרינים אנרגטיים יכולים אולי להקדים את האור. הקהילייה המדעית השתכנעה עד כה משני הסברים. ההסבר הראשון, הסבר פיסיקאלי, שעוסק בהתנהגות הניטרינים עצמם והוא ניתן עלי ידי זוג פיסיקאים מאוניברסיטת בוסטון, שלדון גלשו וסידני קולמן. ההסבר השני עוסק בטעות בחישוב הזמנים במערך ה-GPS והוא ניתן על ידי רונלד ואן אלבורג מאוניברסיטת גרונינגן מהולנד (שיוצג בחלק השני).

בחלק זה נתמקד בהסבר הראשון של שלדון גלשו וסידני קולמן מאוניברסיטת בוסטון שמציעים (בעקבות מחקרם בקרינת צ'רניקוב), אילו הניטרינים היו נעים במהירות גבוהה מזו של האור, אפילו במעט, הם היו סובלים מפליטת זוגות ברמשטרלונג: אלקטרון-פוזיטרון. דבר זה היה גורם לקרן הניטרינים להתדלדל מניטרינים בעלי אנרגיה גבוהה. בהגיעה לגלאי האופרה הקרן כבר הייתה מאבדת את מרבית האנרגיה שלה והייתה עוברת עיוותים ספקטראליים. מכיוון שזה לא נתגלה עובדה זו סותרת את ממצאי גלאי האופרה לפיהם הניטרינים נעים במהירות על-אורית. הפיסיקאי מאט סטרסלר מסביר את הנושא בצורה מקיפה והסברו מובא כאן לטובת הקורא הישראלי.

האם יתכנו ניטרינים טכיוניים? הפיסיקאים מסרבים להאמין ומנסים במלוא המרץ לחפש הסברים פיסיקאליים מדוע לא יתכנו ניטרינים טכיוניים.

הפיסיקאי התיאורטיקן מאט סטרסלר מסביר מדוע לא יתכנו ניטרינים שנעים במהירות גבוהה מזו של האור (ניטרינים טכניוניים). הסברו מובא כאן לטובת הקוראים הישראלים.

כמה ימים לאחר ההודעה של CERN שני פיסיקאים מהמחלקה לפיסיקה באוניברסיטת בוסטון, אנדרו כהן ושלדון גלשו, סירבו להאמין לתוצאות הניסוי ופרסמו מאמר שמפריך אותן.

אנדרו כהן הוא מומחה לפיסיקה של אנרגיות גבוהות ואילו שלדון גלשו הוא זוכה פרס נובל עבור עבודתו על הכוח הגרעיני החלש. בשנות התשעים גלשו כתב שני מאמרים עם הפיסיקאי המנוח סידני קולמן על קרינת צ'רניקוב.
צ'רניקוב חקר את האור הכחול שמופיע כאשר עצמים רדיואקטיביים – שמכילים אטומים שגרעיניהם דועכים לגרעינים אחרים על ידי פליטת חלקיקים באנרגיות גבוהות – היו ממוקמים ליד מים וחומרים שקופים אחרים.
כל חלקיק טעון, כמו אלקטרון, שנע באנרגיה מספיק גבוהה, במים, אוויר ובכל תווך שקוף אחר יאיר באור כחלחל. אור זה נע החוצה מהחלקיק בזווית כלשהי מתנועת החלקיק. זהו מעין בום על פוטוני (כמו איזה בום על קולי) שנע באוויר במהירות על אורית. האור בתווך שקוף יחצה את התווך במהירות שונה ממהירות האור בואקום בגלל האינטראקציות בין האור לחלקיקים הטעונים – האלקטרונים והגרעינים האטומיים – שמרכיבים את התווך. למשל במים האור נע בערך 25% לאט יותר מאשר בחלל הריק ולכן זה קל עבור אלקטרון בעל אנרגיה גבוהה לנוע מהר יותר מהאור במים, בעוד שהוא נותר איטי יותר מהאור בואקום. אם אכן חלקיק כזה חוצה את המים הוא יוצר גל הלם אלקטרומגנטי, שקול לגל ההלם שמטוס סילון יוצר בצפיפות האוויר. וגל הלם זה מקרין החוצה מהחלקיק בדיוק כמו שהגל הסוני קורן מהמטוס. הוא נושא עמו אנרגיה בצורות שונות – אורכי גל – של קרינה אלקטרומגנטית, כולל אור נראה. ישנה יותר אנרגיה שנוצרת בקצה הסגול של הספקטרום מאשר בקצה האדום וזו הסיבה מדוע האור נראה לעין כחלחל.

קרינת צ'רניקוב משמשת אמצעי לגילוי חלקיקים בעלי אנרגיות גבוהה: ניתן לצפות בנוכחות שלהם על ידי האור שהם מקרינים וחקירת תבנית האור שהם קורנים. מתבנית זו למדים על המסלול של החלקיק בתווך, כמה אנרגיה הוא נושא ומהי מסתו (אלקטרונים מתפזרים בתווך ויוצרים טבעת תזזיתית, בעוד שחלקיקים כבדים יותר לא יעשו זאת).
שלדון גלשו וסידני קולמן בחנו את תורת היחסות של אינשטיין לאור קרינת צ'רניקוב. בוחנים קרניים קוסמיות, חלקיקים שנעים אלינו מהחלל החיצון, והם פוגעים באטמוספרה. כתוצאה יש מטר של חלקיקים שאותן מגלים על הקרקע. קרניים קוסמיות יכולות לשאת אנרגיה גובהה ביותר, עד 100 מיליון פעמים יותר מהאנרגיה של הפרוטונים במאיץ ההדרונים הגדול. חלקיקים אלה הם ככל הנראה נוצרים במרחק של הרבה שנות אור מכדור הארץ, באירועים אסטרונומיים מאוד חזקים, כמו סופרנובות.
נניח עתה שמהירות האור לא הייתה גבול עליון וחלקיקים אלה היו נעים במהירות שהיא גבוהה מזו של האור בואקום בחלל החיצון. זוכרים מה קרה כאשר האלקטרונים נעו במהירות שהיא גדולה יותר מהאור? קרינת צ'רניקוב. ולכן חלקיקים אלה של הקרינה הקוסמית בעלי אנרגיה אולטרא גבוהה היו עוברים גם כן קרינת צ'רניקוב. ומכיוון שיש להם מרחק כה עצום לנוע, הם היו מאבדים הרבה מהאנרגיה שלהם בצורת קרינה זו. יוצא שאיבוד אנרגיה זה יכול להיות מאוד מהיר, ושחלקיקים אלה לא היו יכולים לנוע למרחקים אסטרונומיים ולשמור על האנרגיה האולטרא גבוהה שלהם ולהגיע לכדור הארץ. הם מסוגלים להגיע לכדור הארץ ולא לאבד את האנרגיה הגבוהה שלהם רק אם מהירותם תישאר מאוד קרובה למהירות האור או מתחת למהירות האור. אם הקרניים הקוסמיות באנרגיות אולטרא גבוהות מסוגלות לנוע במהירות גבוהה מזו של האור, אז אנחנו לא יכולים לראות שום קרניים קוסמיות באנרגיות גבוהות בכלל, כי בדרך הם יאבדו את מרבית האנרגיה שלהם בטרם הם יגיעו לכדור הארץ. העובדה שאנחנו כן צופים בהם קרוב לכדור הארץ מוכיחה שהחלקיקים נעים במהירות שהיא פחותה ממהירות האור. ולכן תצפית זו שמה גבול עליון למהירות האור.

 

עתה כהן וגלשו הרחיבו את הטיעון הזה לעבר פליטת זוגות ברמשטרלונג – אלקטרון פוזיטרון – והשתמשו בזה כדי לטעון שהתוצאה שנתקבלה בגלאי OPERA היא בעלת חוסר קונסיסטנטיות פנימית. הם טוענים שהאפקט עצמו של מסע מהיר יותר מהאור שאותו גלאי האופרה לכאורה צפה אמור (כפי שהמודל הסטנדרטי מנבא) לגרום לעיוותים בקרן הניטרונים שבבירור לא נצפו בניסוי. ולכן קרן הניטרונים לא נעה במהירות על-אורית.

 

המאמר שלהם עושה שימוש בפיסיקה קונבנציונאלית בלבד – בכוח הגרעיני החלש ובתורת השדות הקוונטית, חוק שימור האנרגיה והתנע, יחסים בין אנרגיה ותנע ומהירות עבור החלקיקים השונים המעורבים וכמה תוצאות ניסוייות קודמות. הוא לא פונה לתיאוריות ספקולטיביות כמו תורת הכבידה הקוונטית או תורות מיתרים ואינו פונה לפיסיקה של ממדים גבוהים יותר כדי להסביר מדוע הניטרינים כן יכולים לנוע מהר מהאור או לא יכולים לנוע מהר מהאור.

 

ראוי להסביר מספר דברים על הניטרינים מהסופרנובה של 1987 לפני שנכנסים לעובי הקורה. הסופרנובה היא פצצה גרעינית של הטבע. בליבה הקורסת של הסופרנובה מספר עצום של פרוטונים מומרים על ידי בליעת אלקטרונים לניטרונים, כאשר בתהליך זה נפלטים ניטרינים. אלה הם הניטרינים האלקטרונים. ב-1987 אנחנו התוודינו להתפוצצות סופרנובה, כוכב ענק וכחול בשביל החלב, הענן המגלני הענק, במרחק של 160,000 שנות אור מאיתנו, שניתן היה לראות אותו מדרום לקו המשווה. חלק קטן מהאנרגיה של הסופרנובה נפלט כאור ואילו מרבית האנרגיה של הסופרנובה נפלטה בצורת בערך 10 טריליון נירטינים אלקטרונים שהגיעו לכאן. אלפי טריוליוני ניטרינים חלפו דרך גלאי הניטרינים בכדור הארץ והיו שפגעו בגלאים ונרשמו והפיסיקאים גילו את התנגשויות הניטרינים בנתוניהם. הם גילו שניטרינים הגיעו 20 שעות לפני התצפית של הסופרנובה. בינתיים הם הביטו בתצלומים ישנים יותר, שהראו שהאור הנראה מהסופרנובה הגיע שלוש שעות אחרי שהניטירנים הגיעו לכדור הארץ.

 

מכיוון שגל ההלם מהתפוצצות הסופרנובה היה צריך להגיע מהכוכב המתפוצץ בטרם הפסולת יכלה לזרוח, זאת בעוד שהניטרינים מההתפוצצות יכלו מיד לעוף דרך הכוכב ללא הפרעה, הייתה עקבה של כמה שעות בין ההגעה של הניטרינים להגעה של האור. ולכן התוצאה היא שהניטרינים נעו לאט יותר מהאור או במהירות כמו זו של האור. הם נעו במשך 168,000 שנים, בערך 5 טריליון שניות, והגיעו לכדור הארץ 3 שעות (10,000 שניות) לפני האור. אילו הניטרינים היו נעים אפילו אחד חלקי מיליון יותר מהר מהאור הם היו מגיעים חודשים לפני האור ולא שלוש שעות לפני האור.

 

האנרגיה של הניטרינים מהסופרנובה הייתה בכמה מאות סדרי גודל קטנה יותר מזו של הניטרונים בקרן ה-OPERA, ולכן לא ניתן להסיק מתצפית זו שתצפית ה-OPERA היא שגויה. אם תוצאת ה-OPERA היא נכונה, אז האפקט שנצפה גודל עם האנרגיה של הניטרינו. ולכן שואלים האם הניטרינים של הסופרנובה הם מסוג אחד, והם עשויים שתהיה להם מהירות אחת, בעוד שאלה ב-OPERA עשויים להיות סוג ניטרינים אחר ולכן נעים במהירות אחרת? מסתבר שלא יתכנו סוגים שונים של ניטרינים שינועו במהירויות שונות כדי להתאים בין תוצאות ניסוי ה-OPERA לתוצאות אירוע הסופרנובה 1987.

 

הניטרינים כמו הלפטונים הטעונים (אלקטרונים, מיואנים וטאו) מופיעים בשלושה סוגים שתלויים במסה של הניטרינו. הסיווג הוא מעט יותר מסובך. אבל כרגע נסווג לפי המסה. נניח שנתחיל בניטרינים בעלי אנרגיה גבוהה, ניטרינים אלקטרונים. ניטרינים אלה הם תערובת של שלושת סוגי הניטרינים בעלי מסה שונה. הניטרינים מתפשטים בחלל, אבל הם מכילים שלושה סוגי ניטרינים בעלי מסות שונות ולכן הם נעים במהירויות מעט שונות, כולם במהירויות מאוד קרובות לזו של האור. מדוע מהירויות מעט שונות? כי המהירות של עצם תלויה גם באנרגיה שלו וגם במסתו ושלושת סוגי הניטרינים הם בעלי מסות שונות. אמנם השוני במהירויות זעום, אבל הוא קיים.

 

אז התחלנו בניטרינים אלקטרונים שמורכבים משלושה סוגי ניטרינים בעלי מסות שונות. אולם שלושת סוגי הניטרינים בעלי המסות השונות גורמים לניטרינו האלקטרוני המקורי, בעודו נע בחלל, להיהפך לתערובת של ניטרינו אלקטרוני, ניטרינו מיואני וניטרינו-טאו. כמות התערובת תלויה בהבדלי המהירויות ולכן באנרגיה של הניטרינו ובהפרשי המסות של הניטרינו. דבר זה קרוי תנודות חלקיקי ניטרינו. כיצד בדיוק התנודות מתרחשות תלוי במסות של הניטרינים וכיצד סוגי הניטרינים שמסווגים לפי המסה והניטרינים שמסווגים לפי הכוח הגרעיני החלש מתערבבים זה עם זה.

 

בגלל תנודות ניטרינים הניטרינים של הסופרנובה הם לא מסוג אחד ובעלי מהירות אחת בעוד שהניטרינים מגלאי ה-OPERA הם מסוג אחר ונעים במהירות אחרת. ולכן תוצאות ניסוי הסופרנובה צריכות להתיישב עם תוצאות ניסוי ה-OPERA. אם תוצאת ניסוי ה-OPERA נכונה מהירות כל שלושת סוגי הניטרינו – הניטרינו המיואוני, הנירטינו האלקטרוני והניטרינו טאו – צריכה לגדול עם האנרגיה ולהיות שונה מזו של האור בערך באחד חלקיי מיליארד או פחות.

 

נחזור לקרינת צ'רניקוב. במים מהירות האור היא רק שלושת רבעי ממה שהיא בואקום וחלקיקים באנרגיה גבוהה יכולים בקלות לנוע מהר יותר מאשר האור נע במים. מיואונים בקרניים קוסמיות עושים זאת בממטרים, כאשר הם מגיעים לגשם לים קרוב למהירות האור בואקום.

 

ניטרינים הם לא טעונים חשמלית ובמבט ראשון הם לא פולטים קרינת צ'רניקוב. אבל מסתבר שזה גם כן לא מדויק, בגלל שלניטרונים יש מומנט מגנטי מאוד קטן – הם פועלים כמגנטים מאוד חלשים – שנוצר מאפקט קוונטי שקשור בכוחות האלקטרומגנטיים והגרעיני החלש. כתוצאה הם גם כן יפלטו צורה מאוד מעומעמת של קרינת צ'רניקוב. היא יותר מידי מעומעמת כדי להשפיע על מדידות ה-OPERA.

 

אבל אנדרו כהן ושלדון גלשו מציינים במאמרם שעבור ניטרינים ישנו תהליך יותר משמעותי: הניטרינים יסבלו מפליטת זוגות ברמשטרלונג, מה שיגרום לקרן הניטרינים להתדלדל מניטרינים בעלי אנרגיה גבוהה. בהגיעה לגרן ססו הקרן כבר תאבד את מרבית האנרגיה שלה ותעבור עיוותים ספקטראליים. האם נצפו עיוותים אלה? דומה שזה סותר את תוצאת האופרה לפיה הניטרינים נעים במהירות על-אורית.

 

ניטרינו שנע מספיק מהר יכול בעקרון לאבד אנרגיה על ידי פליטת חלקיק ואנטי חלקיק תואם באמצעות אפקטים של הכוח הגרעיני החלש. אילו הניטרינו יכל לנוע מהר יותר מהאור הוא היה פולט אלקטרון ופוזיטרון ומאבד אנרגיה בזוגות ברמשטרלונג. תהליך זה הוא במידה מסוימת כמו קרינת צ'רניקוב. קרינת צ'רניקוב נפלטת כמספר רב של פוטונים בתדירויות רבות וברציפות. התהליך של כהן וגלשו הוא שונה בגלל שהכוח הגרעיני החלש הוא חלש בהקשר זה. נפלט זוג אלקטרון פוזיטרון בעוד הניטרינו נע, כאשר הפליטה הראשונה מתרחשת בקפיצות דיסקרטיות כתופעה קוונטית אחרי כמה עשרות קילומטרים.

 

אילו הניטרינים של OPERA נעו מהר יותר מהאור בואקום בכמות שנמדדה בגלאי OPERA אז ניטרינים באנרגיה גבוהה יותר לא היו יכולים לסיים את המסע בן ה-730 קילומטרים מ-CERN למעבדת גרן ססו מבלי לאבד כמות נכבדה מהאנרגיה שלהם. למעשה עם כל פליטת זוגות ברמשטרלונג, ניטרינו OPERA יאבד 3/4 מהאנרגיה שלו בבת אחת. מרבית הניטרינים של קרן ה-OPERA הם בטווח האנרגיה של 20 עד 40 GeV, כאשר חלק מהם הם בטווח של מתחת ל-20 GeV. פליטת זוגות ברמשטרלונג על פני 730 ק"מ אמורה לרוקן בצורה משמעותית את הניטרינים באנרגיה גבוהה ולהעביר את רובם לטווח האנרגיות של ה-20 GeV. ולכן גלאי ה-OPERA לא היה יכול לראות מהירות על אורית מבלי לגלות עיוותים אלה באנרגיה, עיוות ספקטראלי. העובדה שגלאי OPERA לא גילה עיוות זה ובמקום מצא שהניטרינים הגיעו מוקדם מהאור ב-60 ננו שניות, מראה שמשהו השתבש בתצפית של OPERA.

 

בסוף המאמר שלהם כהן וגלשו נותנים את טיעון המחץ שתומך בטיעון שלהם. הם טוענים שניטרינים, שהם פי 100 או 1000 יותר אנרגטיים מאלה שבקרן ה-OPERA כבר נצפו בשני ניסויים אחרים, הסופר-קמיוקנדה ביפן וטלסקופ האייס קיוב. הם גם אמורים לפלוט זוגות ברמשטרלונג וגלאי יבחין בעיוותים ספקטראליים משמעותיים אם הם ינועו במעט מעל למהירות האור.

ניטרינים אלה לא אבדו את מרבית האנרגיה שלהם בעודם נעים את המרחק הזה של 500 ק"מ עד לגלאי. ולכן כמו קרן ה-OPERA דומה שהם לא פלטו זוגות ברמשטרלונג כמו הניטרינים בקרן ה-OPERA. ואם הם לא עשו זאת, הם היו צריכים לנוע קרוב מאוד למהירות האור בחלל הריק.

שיתוף ב print
שיתוף ב email
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב linkedin
שיתוף ב twitter
שיתוף ב facebook

491 תגובות

  1. טוב, מדובר על זאן ברנדוט שהיה אחד הגנרלים המצטיינים של נפוליאון. הוא התחתן עם דזירה קלארי שהייתה אהובתו של נפוליאון. נפוליאון ויתר עליה לטובת ג'וזפין אולם אחיו יוסף התחתן עם אחותה.

    ברנדוט ניצח את השוודים ושבה קצינים וחיילים רבים. בשוודיה מלך עד אז בית ואסה שאחרוני מלכיו לא היו, איך נגיד את זה, בקו הבריאות הנפשית.
    השוודים המיואשים זימנו את ברנדוט אויבם ואישתו לבוא ומלוך על שוודיה! לאחר שהפך למלך הצטרף ברנדוט לברית האנטי נפוליאונית והשתתף בראש כוחות שודיים בכיבוש צרפת.
    לשניים נולד בן אחד ויחיד בשם אוסקר שויתר ללא קרב על נורבגיה וכך החלה שושלת המלוכה הנוכחית של שוודיה. בית ברנדוט. היום המלך הוא קארל גוסטף ה16 לבית ברנדוט.

    הטוויסט הוא כמובן רצח הרוזן פולקה ברנדוט ע"י אנשי הלח"י ב-1948.

  2. ר.ח
    צטער! אני לא יודע מה לענות.
    הפרק בהיסטוריה בו אני מתעסק כעת הוא ימי בית שני, והארוע הכי דומה בו לחידתך הוא כיבוש בבל בידי כורש ללא שפיכת טיפת דם אחת (חוץ מהוצאה להורג סמלית אחת) ותמיכת כל תושבי האימפריה הבבלית בכורש כמלכם. יש לזה טוויסט יהודי (הצהרת כורש) וטוויסט ישראלי (הצהרת בלפור שהתממשה בשנת 1948). זה הכי קרוב שמצאתי, ורחוק מאד מנפוליון.

  3. התכוונתי – בקשר לחתול – איך זה נפתר לוגית, אם זה נפתר בכלל. זכרתי שהזכרת את זה קודם, וחשבתי שאולי אתה זוכר את הסיכומים של החברה בקופנהגן. זה אולי לא נראה קשור לנושא שאנחנו דנים בו, אבל בעקיפין זה דווקא קשור מאוד.
    לילה טוב.

  4. גדול, ר.ח., אינפורמציה חשובה. ותזכיר לי, מה עלה בגורלו של החתול של שרודי? הוא חי או מת בסוף?

  5. ישראל,

    לשאלתך, לפי ויקפידיה הגיעו ב- MIT לחצי מילארדית המעלה מהאפס המוחלט וכמו כן נמדדה (ואל תשאל אותי איך) בערפילית הבומרנג טמפרטורה של מעלה אחת מעל האפס המוחלט. קר שם בחוץ.

  6. ר.ח.
    אבל עדיין הם יזדקקו לגורם חיצוני, וזאת בניגוד לאפשרות 1:
    "1. כל התאומים יוכלו לסנכרן פגישה אצל אמא רק באמצעות שעוני צסיום, מבלי להשתמש במחשב על."

    חוץ מזה שמה שאתה אומר זה שלגורם חיצוני במערכת הזמן של תאום 18 יש את אותו הזמן של תאום 18 – מה שברור מאליו.

    שעוני הטמפ' נלעומת זאת, ותנים לך את אותו הזמן בכל מערכת. הנה ההגדרה מ:

    http://www.hayadan.org.il/demonstrating-relativity-1403111/#comment-288387

    "אני טוען ש"שעוני טמפרטורה" יראו תמיד את אותו הזמן ברגע נתון ובמקום נתון ביקום. הם אינם מצריכים כל סינכרון בינהם ואם נשלוף כמה מהם מן האריזה, הם יראו מיד, ללא כל כיונון, את אותו הזמן בדיוק: הזמן שחלף מאז המפץ הגדול.
    בניגוד לשעונים רגילים, כולל שעוני צסיום, שעוני טמפרטורה אינם מושפעים מתאוצות. אם נשים זה לצד זה "שעון טמפרטורה" ושעון צסיום, ונכייל אותם לזמן מוסכם במערכת שאינה מואצת, גם אחרי מיליון שנה צילום של שניהם יראה בדיוק את אותו הזמן בשניהם. לעומת זאת, אם המערכת מואצת, יפגר שעון הצסיום אחרי "שעון הטמפרטורה", ומכיוון שמנגנון החיים עובד כמו שעון צסיום, כל מי שנמצא באותה מערכת יזדקן לאט יותר. זה עובד במיוחד עם תאומים.

    שעוני טמפרטורה הם התגשמות חזונו של איינשטיין על שעונים במרחב, כי כאמור שניים מהם תמיד יראו אותו הזמן באותה נקודה במרחב. ( כמובן, כאשר הם במצב מנוחה יחסי). שעונים רגילים לעומת זאת, יכולים להראות זמנים שונים, אולם זמנים אילו אינם אמיתיים, טובים רק למערכת בה הם נמצאים, ואפשרי ששניים מהם יראו זמנים שונים לגמרי באותה נקודה במרחב ברגע נתון. באותה המידה, אם נפריד שני גזרים צעירים ונכניס אחד מהם למקרר, נראה שהוא מזדקן לאט יותר מאחיו, ועימו כל מערכת הייחוס שלו (הירקות האחרים במקרר). למרות זאת אין הדבר מהווה "פרדוקס תאומי הגזר". פשוט הזמן של הירקות במקרר אינו נכון, וזאת יוכיח להם כל שעון שנמצא איתם ביחד."

    שים לב גם שכרגע אנחנו מטפלים במקרה פרטי בלבד – פרדוקס התאומים, או מערכת מואצת. הדברים מסובכים הרבה יותר כשמדברים על התארכות הזמנים במערכת שאינה מואצת.

    אגב, יש לי שאלה.
    אני זוכר מספרו של ג'ול ורן "מסע אל הירח" שה"אסטרונאוטים" במסע ביצעו מדידה של טמפרטורת החלל באמצעות מדחום פשוט.

    השאלה: אם נבצע מדידת טמפרטורה בצל של החלל באמצעות מדחום קלוין פשוט, מה היא תראה? האם היא יכולה לדוגמה להראות טמפרטורה של מעלה אחת מעל לאפס המוחלט? או ש2.73K הוא המינימום.

    נראה לי הכי – עבדאללה מלך ירדן. יאללה, תגלה.

  7. ישראל,

    באותה מידה תאום 17 יכול היה להסתכל על כל דבר שמשתנה עם הזמן. למשל הוא יכול היה לתת גיחה לים המלח בווגה שידוע שמתייבש בקצב של מטר בשנה. לחילופין יכול היה להסתכל לשמיים על המרחק בין כוכב פרוקסימו אלפא לכוכב פרוקסימו ביתא שמתרחקים בקצב קבוע, על שביט גרוסמן-עוז שמבקר את ווגה כל 13 שנה, כבר דיברנו? (הוא גם פשוט יכול לקפוץ לבקר את הנרייטה היפה ולראות אם הזדקנה וכמה). כלומר כל תופעה המשתנה עם הזמן שנמצאית מחוץ למערכת הנוסעת תיתן את התשובה ושעון הטמפ' אינו ייחודי ואינו מראה זמן אבסולוטי.

    אמרתי לך כבר שזה לא נפוליון. קרוב, אבל בפירוש לא נפוליון.המלך הוא מלך והטוויסט הוא טוויסט. הטוויסט קרה ב-1948.

    יובל, מה אתה אומר?

  8. אפשרות 1 אומרת ש:

    "1. כל התאומים יוכלו לסנכרן פגישה אצל אמא רק באמצעות שעוני צסיום, מבלי להשתמש במחשב על."

    בואו נראה אם זה מסתדר עם הבעיה שעומדת בפני תאום מס' 17.

    הוא יצא ביחד עם אחיו, תאום 18, לנופש המאורגן עיי "גלקטורס".

    שניהם התענגו להם על מנעמי הגלקסיה, כאשר תאום 17 הרגיש פתאום צורך לעשן. מכיוון ש18 לא סובל סיגריות, ביקש 17 לצאת לסיבוב קצר בחלל בחללית הספורט המשפחתית.

    למודי נסיון מר, שלפעמים אחרי סיבוב כזה מגלים התאומים שעשרות שנים מפרידים ביניהם, מסכמים שני התאומים את הנתונים שלפניהם:

    1. מבחינה ביולוגית – שניהם בני עשרים בדיוק.

    2. תאום 18 נשאר בחללית האם עם שעון צסיום ושעון טמפ'. מכיוון שהמערכת שלו אינה מואצת, שני השעונים יראו תמיד את אותו הזמן, שהוא גם הגיל הביולוגי של 18.

    3. תאום 17 יוצא לחלל עם שעון צסיום בלבד.

    הם נפרדים לשלום. 17 – ככל בני ה17 – לוחץ על דוושת הגז של רכב הספורט, קורע את הגלקסיה בתאוצות איומות ונוראות, וחוזר לחללית האם בה מצפה לו אחיו אחרי זמן שלפי שעונו ארך 20 דקות בלבד.

    אולם לפני שהוא נוקש בדלת חללית האם, מתחיל לכרסם בו חשש .

    הרי ידוע לכל שכאשר מגיעים בני משפחת תאומי לגיל הביולוגי של 47, ועד שהם עוברים את גיל 50, חל שינוי קיצוני באישיותם, והם הופכים להיות אלימים ותוקפנים, ויורים בכל מי שנכנס בדלת.

    כיצד יוכל 17 להיות בטוח ש18 איננו בגיל האמור? עם כל התאוצות שחווה 17, אין לא שום אפשרות לדעת עם לא האט הזמן של שעון הצסיום שהוא נושא מספיק כדי ש18 יזדקן ב28 שנים לדוגמה, ונמצא כעת בקריז שלו.

    17 מצר על כך שאין לו את מחשב העל. אילו היה לו, אולי יכול היה המחשב לעשות סדר בבלגן, אילו מדד וחישב המחשב את כל התאוצות והזמנים, והיה מסוגל להעריך בקירוב את הזמן של תאום 18.

    אך עוד יותר הוא מצר על כך שלא לקח את שעון הטמפ'. כאשר הוא עומד בפתח הדלת, שעון הטמפ' היה נייח ביחס לשעון הטמפ' של 18, הזמן בשני השעונים היה זהה, ולכן גם זמן זהה לשעון הצס' של 18, ולגיל הביולוגי של 18. וכך יכול היה 17 לדעת אם להיכנס בדלת בלי חשש, או ש18 ישלח אותו לשדות הציד הנצחיים של הרוח הגלקטית.

    לא?

    נפוליאון – אם כדבריך "לסיפור יש בסופו של דבר גם טוויסט יהודי/ישראלי.", הרי שהוא אינו יכול להיות לפני למעלה מ63 שנה. אתה בטוח שהיו בתקופה הנדונה מלכים חוץ מאצל הערבים? או שאולי לא מדובר ב"מלך" אלא שליט, ולא מדובר ב"ישראלי" אלא "עם ישראל"?

    דילמה קצת דומה לזו של תאום 17.

    ומה עם החידה שלי? מ.ר.?

  9. ישראל,
    אתה מתעלם משתי מילים שכתבתי בקביעות בהודעותי. "מערכת ייחוס". אין זמן מוחלט. שעון התאומים מתייחס לשעון של סבתא. אולם אם סבתא גרה על כוכב שנע בתוך גלקסיה שנעה יש כאן מערכות ייחוס לזמן כמו למרחב. כך הבנתי את היחסות כשלמדתי עליה.
    שעוני הטמפ' שלך מהווים מערכת ייחוס נרחבת ומעניינת כי לכאורה הם מקיפים את כל הייקום וניתן לייחס אליהם כל דבר. אולם גם הם מתייחסים למערכת גדולה יותר?
    דומה הדבר שאת המיקום שלנו אנו מודדים על כדור הארץ.אולם כדור הארץ נע סביב השמש שמעה בגלקסיה שגם היא נעה ואולי כל הצביר וכל היקום נע, אז מה המקום המדוייק שלנו? ניתן רק לדבר על מיקום יחסי. כך גם על זמן יחסי ולא מוחלט.

    מ.ר וישראל
    אין ויכוח לגבי 3. לגבי 1 הנחת העבודה (שנראה לי שלא נכונה אולם ישראל כעס שלא בוחרים את החלופות שלו) הייתה שנדרש מחשב על לעשות חישובים יחסותיים ולא היא. אני מניח שיידרש חישוב יחסית פשוט לכל תאום להבין באיזה מהירויות טס וכיצד הן תשפענה על השעון. כך שלא פסלתי את 1 באופן קטיגורי ובודאי שלא בגלל שיש זמן מוחלט.

    לגבי החידה –
    דוד:לא, גם אם היה חבר של הפלישתים כפליט משאול בודאי שלא הוזמן על ידם להיות מלכם.

    נפוליאון : לא, אבל קרוב מאד. דרך אגב, החידה מדברת על אחד הסיפורים המוזרים והלא טריוויאלים בהסטוריה שמשום מה לא מפורסם כל כך במחוזותינו. לא מדובר כאן על בני אותו עם אלא על בני עם אחר שביקשו מהקצין שניצח אותם להיות המלך. תתארו לכם את המצרים מבקשים ממשה דיין אחרי מלחמת ששת הימים להחליף את נאצר. לסיפור יש בסופו של דבר גם טוויסט יהודי/ישראלי. זהו עכשיו אתם יכולים לפתור.

  10. ר.ח:
    אינך "מקבל על הראש" אבל נראה לי שהאלטרנטיבות שבחרת אינן נכונות.

    שעון הצזיום אמנם מואץ אבל בשאלה מובאת בחשבון האפשרות לעשות חישובים כך שלא מדובר בללכת לפגישה כשהשעה היעודה מופיעה בשעון הצזיום אלא לעשות חישוב שיאמר מה צריך שעון הצזיום להראות כאשר השעה היעודה מגיעה אצל אמא ולהגיע לפגישה בשעה זו (בהנחה שיכולים להגיע – זה לא פשוט כלל, אבל נניח שמשתמשים בטלה-פורטציה).

    אלטרנטיבה 3 לא מדברת על שעון הטמפרטורה שנמצא אצל אמא אלא על שעוני הטמפרטורה שנמצאים אצל הילדים. אלה אינם חיצוניים וכולם מושפעים מהשפעת התנועה שלהם על תוצאות מדידותיהם.
    גם לגביהם – ניתן כנראה לחשב מה צריכה להיות השעה בהם כאשר השעה היעודה תגיע אצל אמא.

    לכן עניתי כבר קודם שהאלטרנטיבות שאני בוחר בהן הן 1 ו 3.

    ישראל:
    אינני יודע מדוע אתה חושב שתשובתי אינה ברורה.

  11. אחרי שראיתי את פתרון בעיית מ.ר. בקישור של יובל, אני מוותר על מספר הארדוש שלי.

  12. נפולאון די מתאים לחידה. כשהוא ברח מאלבה ועלה על פריז, כוחותיו של לואי ה18 נכנעו לו בהמוניהם, הצטרפו אליו והכתירו אותו כמלכם. הוא אפילו שלח מכתב ללואי ובו ביקש ממנו לשלוח עוד חיילים, כדי להגדיל את צבאו.

    דוד, לפני שנהיה מלך, היה קצין והרבה להתרועע עם סרני הפלישתים.

    אם בחרת ב 2 + 3, בחרת בזמן מוחלט.

    התכונן לקבל על הראש מ מ.ר. כפרת בעיקר.

  13. ישראל,

    אם אתה כל כך מתעקש אז 2 ו 3
    1 לא כי השעון של כל אחד מהם יראה משהו אחר ולכן גם 2 כן.
    3 כן כי השעון מסתכל על מערכת ייחוס חיצונית. באותה מידה יכלו להגיד "ניפגש אצל אמא כשאצלה שוקעת השמש".

    לגבי דוד, אז דוד כשמו כן הוא מלך ולא קצין ואף אחד לא קרא לו למלוך הוא דרך על הרבה גויות בדרך למלוכה. בקיצור תשובה לא נכונה.

  14. ר.ח.
    שעון הצסיום של אמא מראה תמיד את אותו הזמן כמו שעון הטמפ'. זוהי מערכת שאינה מואצת.

    אתה יכול לבחור כל אחת מה א פ ש רו י ו ת – לא חלופות – אבל בחר.
    נא לא להתבלבל עם חידות על קווים ונקודות – זוהי בעיה אמיתית וקיומית לבעיה יקומית.

    בקשר לחידה שלך – הייתי אומר דוד המלך. עם כל המלחמות שלו עם הפלישתים, והשאולים והזברבירים, ולאור קסמו הרב, אז מתאים לו הסיפור.

    ואפרופו בית דוד, עוד חידה:

    מה היה שמה של אמו של אבשלום בן מעכה?

  15. ישראל,

    1) קודם זה לא חלופות מה שאתה מציג. אפשר שכמה מהן תהיינה נכונות (למשל 2 ו 4 ואז נשארים ללא תשובה). חוץ מזה שהן לא מכסות את מגוון האפשרויות. כל שעון שיהיה מחוץ למערכת הנוסעת יוכל לשמש כמערכת הייחוס כולל שעון הצזיום החדש של אמא שיראה בדיוק את אותה שעה כמו שעון הטמפרטורות שלה.

    2) לגבי החידות – אני מסכים עם מ.ר . כל עוד אתה חושף שפתרת את החידה באמצעי זה או אחר זה לגיטימי.אתם בודאי מכירים את הסיפור על המדחום וגובה המגדל? (אם לא תחפשו קצת..) המציג פתרונות יצירתיים ולא מקובלים לשאלה מתימטית במהותה (משלם לשומר עם המדחום שיראה לי את מפת הבניין למשל). שקר זה כאשר אתה מסלף את הדרך שבה פתרת ואז לא רק שזה פתטי, יש גם את הבחילות האלה.

    3) לגבי החידה הגיאוגרפית, קשה קשה אבל יש לי הרגשה שזה פתיר. קבלו בתמורה חידה הסטורית אמיתית:
    מי היה הקצין שניצח בקרב, שבה מאות מאויביו והם בתמורה זימנו אותו להיות מלכם?

  16. יובל.
    את הפיתרון שנתתי הבאתי כבר ב:
    http://www.hayadan.org.il/maby-neutrino-didnt-pass-speed-of-light-181011/#comment-314520
    עוד לפני שהבאת את הלינק.

    אחרי האשור מ מ. ר. אלך להסתכל בלינק. נא להמתין.
    טוב חזרתי. דומה, אבל לא אותו הדבר. אחרי שאחזור מהעבודה, אבחון את הפיתרון לעומק.

    ר.ח. ומ.ר. בבעיית התאומים הצגתי 4 חלופות:

    1. כל התאומים יוכלו לסנכרן פגישה אצל אמא רק באמצעות שעוני צסיום, מבלי להשתמש במחשב על.

    2. לא, הם לא יוכלו.

    3. כל התאומים יוכלו לסנכרן פגישה אצל אמא רק באמצעות שעוני טמפ', מבלי להשתמש במחשב על.

    4. לא, הם לא יוכלו.

    לא קיבלתי תשובה פשוטה על השאלה הפשוטה שלי: איזה מהחלופות אתם בוחרים? לא נוכל להמשיך לפתור את הקונפליקט לפני שתנתן תשובה ברורה.

    ר.ח. הרמז לחידה הגאוגרפית נמצא בתגובות קודמות.
    וחוץ מזה, מה רע בפתרון הטריוויאלי? אם הוא עונה על כל השאלות במלואן, למה לא הוא?

    מ.ר.

    אני מבין את דילמת ה"תחמנים" במבחני הכבוד. אותה בעיה קיימת במבחנים אמיתיים, בהעתקות וזיופים. רבים חוסכים אפילו את הצורך הפעוט והמיותר של זיוף בחינות, ופשוט מזייפים תואר, ומתקדמים יפה בחיים.

    העיר בה אני גר מלאה במליונרים כבדים שעשו את הונם ביושר, ולצידם מליונרים כבדים לא פחות שאפילו לא נזקקו לטרחה הכרוכה במעילה. הם פשוט פשטו את הרגל בחברה א' בסין, והעבירו את ההון לחברה ב' בארה"ב הרשומה על שם הכלב. זה פועל יפה,ואין כמעט דבר שהחוק יכול לעשות. ע"ע פלטו שרון.

    אז מה רע?
    פשוט, יש את הענין הזה, של הבחילות.

  17. יובל,
    לגבי החידה שלך, טוב אז גם אני יודע לחפש באינטרנט וכאמור כל האמצעים כשרים בחידות 🙂

  18. בנוגע לפתרון באמצעות האינטרנט:
    כמובן שלא לזה התכוונתי.
    בגלל זה גם בחרתי חידה שחשבתי שאיננה נמצאת שם.
    מכיוון ששמעתי אותה מחבר, לא ידעתי שארדוש קשור אליה, אחרת הייתי באמת יכול לגגל תוך שימוש בשמו ולמצוא אותה.
    אינני אוהב את שיטות הפתרון האינטרנטיות אבל אינני יכול לעשות נגדן דבר – מלבד הימנעות מהצגת דברים המופיעים באינטרנט כחידות.
    מצד שני – אינני אוהב להקנות יתרון ל"רמאים" ולכן אני מכריז מראש ששיטת השימוש באינטרנט היא – בלית ברירה – לגיטימית.
    כמובן שהצגת הפתרון האינטרנטי תוך הפנייה למקור הפתרון איננה רמאות – היא רק ספוילר – אבל זה עדיף לאין שיעור על מצב שבו מישהו מוצא את הפתרון באינטרנט ומציג אותו ככזה שהגיע אליו בעצמו.

    זה מזכיר לי את הנושא המתסכל ביותר של "מבחני כבוד" שניתנו לנו בזמנו באוניברסיטה.

    מדובר היה במבחנים שצריך היה לפתור בבית ללא שימוש בספרים.

    במקרה אחד – המתסכל מכולם – נתן המרצה מבחר שאלות שאת פתרונותיהם ניתן היה למצוא בספרות, אבל הוא ביקש במפורש שלא נשתמש בספרים.

    כיקה טיפוסי, נעניתי לדרישתו ופתרתי את המבחן בכוחות עצמי.
    מסתבר שהייתי כמעט היחיד, אבל יש טוויסט בעלילה:
    הפתרון שהוצג בספרות לאחת מן הבעיות היה שגוי ומכיוון כמעט כולם העתיקו את הפתרון מהספר – היה המבחן שלי היחיד שבו היו כל הפתרונות נכונים.
    לא דובר במבחן של עשרות שאלות. אם אינני טועה היו בו ארבע או חמש שאלות.
    תגובתו של המרצה הייתה בעיני די מייאשת.
    אמנם הייתי היחיד שקיבל ציון 100 אבל כל האחרים – שבעצם נתפסו בקלקלתם – קיבלו 95.
    אין מה לעשות. אלה החיים ואסור לחוקק חוקים שאין אפשרות לאוכפם כי כך נותנים יתרון לעבריינים.

    ישראל:
    מכיוון שכבר ניתן קישור למקום בו מוצג הפתרון, נחסכה ממני הצגתו בפניך.
    אם הגעת למסקנה שאתה רוצה לראות את הפתרון – קרא בקישור שהביא יובל.

    ביחס לשאלת הסינכרון – זה תלוי בנתונים הזמינים.
    אם כל הנתונים זמינים אז אפשר בוודאות לעשות את העבודה עם שעון צזיום (עזוב את עניין המחשב. זה הרי תלוי ביכולת החישוב של האדם הספציפי וזה לא עניין עקרוני).
    אינני מכיר מספיק את שעון הטמפרטורה אבל אני מניח שאפשר לעשות את זה גם אתו.
    בכל מקרה – הצגת שעונה של אמא כ"נכון" אינה מבטאת אמת כלשהי אלא רק מוסכמה ולכן לכל השאלה אין טעם.

    יש כאן ברקים ואני מכבה את המחשב ומנתק אותו מהחשמל.

    לילה טוב

  19. ישראל,

    גם הטמפרטורה שאתה מודד תרד יותר מהר במערכת הנוסעת. אולם ברור שכאשר הם ייפגשו היא תהיה שווה כי ברגע הפגישה הזמן הוא אותו זמן לכולם גם אם אחד חש שעברו שנתיים והשני 300 שנה.
    דוגמא אולי יותר טובה היא שאחד היה בסרט איטי והשני בסרט שרץ מהר. אולם כשנפגשים זו אותה סצינה בסרט. כל מה שיצטרכו לעשות זה להסתכל על מערכת ייחוס שמחוץ למערכות הנוסעת כמו הטמפ' שאתה מציע או מערכת אחרת.

    לגבי החידה שלך, אפשר רמז?

  20. ר.ח. אינני יכול להסכים איתך בנושא החיפוש באינטרנט.
    זה היה נכון אם פתרון של בעיה אחרת היה תלוי בפתרון הבעיה הזו. לדוגמה – עליך למצוא את המטמון שטמון בנקודה מסוימת. כאן כל האמצעים כשרים. אבל לפתור את בעית מ.ר. באמצעות האינטרנט או באמצעות חבר שמכיר את החידה , חוטא לעצם רעיון ה"אתגר" כדברי החידה. באותה המידה תוכל להביא גוגול ל"מי רוצה להיות מליונר". כל הרעיון הוא שתפתור את זה לבד.

    מ.ר. – הגעתי לקצה החבל. כאמור, אני מוצא טעם לפגם בשימוש בהפניות. אני מבין היטב את ההסתייגות שלך מהפתרון שלי, וגם לי הוא צץ בזמן העבודה על החידה. אבל כפי שציינתי, זה גורם לי קצת סחרחורת לעבוד עליה. יהיה אשר יהיה הפתרון הפורמליסטי, הוא יכלול לדעתי את הרעיון המרכזי שבפתרון שלי: לכל נקודה חיצונית לישר כלשהוא, מעבר לנקודה מסוימת על הישר שמרחקו מהיטל הנקודה החיצונית הוא איזו פונקציה של D^2-1, בלתי ניתן להוסיף נקודות לישר בלי שהנקודה החיצונית תהיה על הישר. אם טעיתי בזה – אודה בכשלון מלא.

    איינשטיין. עדיין לא הבנתי. אציג את האפשרויות העומדות לפנינו, כדי שנראה אם אנחנו מסוכרנים:

    1. כל התאומים יוכלו לסנכרן פגישה אצל אמא רק באמצעות שעוני צסיום, מבלי להשתמש במחשב על.

    2. לא, הם לא יוכלו.

    3. כל התאומים יוכלו לסנכרן פגישה אצל אמא רק באמצעות שעוני טמפ', מבלי להשתמש במחשב על.

    4. לא, הם לא יוכלו.

    אנא לבחור את החלופות המתאימות, כדי שנדע איפה אנחנו עומדים.

    אפרופו חידות, גם לי יש חידה, שתתאים אולי למדור הגאוגרפי של "הידען".

    דע את ארצך,

    איזו היא המדינה?

    בחידה שלפניכם מתוארות תכונות המשותפות כולן למדינה אחת ויחידה בעולם. עליכם לקרוא את החידה במלואה, ולנחש באיזו מדינה מדובר. אם נראה לכם כי מכלול התכונות יכול להתאים ליותר ממדינה אחת, בדקו שנית את הנתונים. תיווכחו כי ישנה נקודה בה שונות המדינות זו מזו, ורק למדינה אחת מתאימים הנתונים במלואם.

    איזו מדינה –
    בעלת אקלים מזרח תיכוני, שטופת שמש, פורייה במחציתה הצפונית ומדברית בדרומה?
    מוביל מים ארצי מוליך את מימי הצפון דרומה?
    שוכנת בגבול המערבי של היבשת וגובלת בקו הרוחב 33?
    משתרעת מצפון לדרום לחופו של הים הגדול שבמערבה?
    בגבולה המזרחי – ים המלח. במזרחה – מדבר מואב, עמק המוות והשבר הוולקני הגדול (אשר ראשי התיבות שלו: ס"א) המשתרע מצפון לדרום?
    שכנתה הצפונית (אשר שמה מסתיים ב-”on”) ידועה כארץ הארזים, המים וההרים.
    בגבולה הצפוני מזרחי אגם מים מתוקים, הדומה מעט לכינור, וממזרח לו רמה וולקנית גבוהה.
    מדרום מערב למדינה, חצי אי גדול ובו עיירת הנופש נואיבה_____ (בית רפויה).
    במרכז המדינה , לחוף הים, שוכן הכרך הגדול במדינה, וממנו מוביל כביש החוף צפונה, אל עיר המפרץ הגדולה והיפה הסמוכה לכרמל.

    איזו מדינה-
    קבלה את עצמאותה בשנת 48, אחרי המלחמה הגדולה באותה שנה.
    משנת 49 החלה הגירה גדולה אליה ובתוך שנים מועטות שילשה את אוכלוסייתה.
    רוב תושביה מהגרים ובני מהגרים, שבמשך שנים רבות הייתה משאת נפשם של מהגרים לא לגליים, שניסו להעפיל אליה בדרך לא דרך וקראו לה "הארץ המובטחת" ואשר רבים מהם מצאו עצמם במחנות עקורים.
    באיזו מדינה אחד החגים הלאומיים העיקרים חל בתאריך ה' בחודש מאי?

    מותר להסתכל באינטרנט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

דילוג לתוכן