הוֹמר בשלישית

מתוך הספר “הסודות המתמטיים של הסימפסונים” מאת סיימון סינג, הוצאת ידיעות ספרים – ספרי עליית הגג

הפרק הראשון ב”בית‑עץ של אימה” (“Treehouse of Horror”) שודר בעונה השנייה של “הסימפסונים”, ומאז הפכו הפרקים המיוחדים האלה למסורת, והם משודרים בכל שנה בליל כל הקדושים. כל אחד מהפרקים האלה כולל שלושה סיפורים קצרים שמאפשרים לשבור את מוסכמות החיים בספרינגפילד באמצעות עלילות שעשויות לעסוק בכל דבר מחייזרים ועד זומבים.

דייוויד ס. כהן, אחד הכותבים המסורים ביותר לשילוב חומרים מתמטיים ב”הסימפסונים”, כתב את קטע הסיום של “בית‑עץ של אימה 4” (1995), שנקרא “הוֹמר בשלישית” (או “הוֹמר בחזקת 3”). זוהי ללא ספק ההטמעה המרוכזת והאלגנטית ביותר של מתמטיקה בכל פרקי “הסימפסונים” ששודרו מאז ומעולם.

העלילה מתחילה די בתמימות עם פטי וסלמה, שתי גיסותיו של הוֹמר, שעורכות ביקור הפתעה בבית משפחת סימפסון. הוֹמר מנסה לחמוק מהן ומסתתר מאחורי ארון הספרים, ושם הוא מוצא פתח מסתורי שמוביל ליקום אחר. ככל שגובר קולן הערב לאוזן של פטי וסלמה, שומע הוֹמר כי הן רוצות שכולם יעזרו להן לנקות ולסדר את אוסף הקונכיות שלהן. בייאושו הוא צולל לתוך הפתח, מותיר מאחוריו את הסביבה הדו‑ממדית של ספרינגפילד ונכנס לעולם תלת‑ממדי שמעבר לכל דמיון. הוֹמר מבולבל לגמרי אל מול המימד שנוסף לו, ומבחין במשהו מהמם: “מה קורה פה? אני כל כך תפוח. הבטן שלי כל כך בולטת קדימה.”

במקום רישומים בסגנון קלסי של אנימציה שטוחה המאפיינים בדרך כלל את “הסימפסונים”, לסצנות במימד הנוסף יש מראה תלת‑ממדי מתוחכם. למעשה, הסצנות האלה נוצרו באמצעות הטכניקות המתקדמות ביותר של אנימציה ממוחשבת, ועלות יצירתן, למרות שאורכן לא עולה על חמש דקות, היתה גבוהה יותר מתקציב של פרק רגיל שלם. למרבה המזל, חברה בשם Pacific Data Images (PDI)a נידבה את שירותיה לסדרה מתוך הבנה שתספק לה במה עולמית להצגת הטכנולוגיה שלה. ואומנם, בהמשך אותה שנה חתמה החברה על חוזה עם “דְרימוורקס”, מהלך שהוביל ליצירת הסרטים “עבודת נמלים” (Antz) ו”שרק” (Shrek) וחולל מהפכה בעולם סרטי האנימציה.

כשמתקרב הוֹמר אל תמרור שמציין את הצירים x,א y ו‑z בעולמו התלת‑ממדי החדש, הוא רומז על העובדה שהוא נמצא בתוך סצנת האנימציה המתוחכמת ביותר שנראתה בטלוויזיה: “בוא’נה, המקום הזה נראה יקר. אני מרגיש שאני מבזבז הון רק בשביל לעמוד כאן. טוב, עדיף להוציא מזה את המקסימום.”

הוֹמר מעיר עוד הערה קשורה כשהוא נפגש לראשונה עם סביבתו החדשה: “משונה. באזור הזה יש משהו שכאילו בא מהתוכנית הדמדומית ההיא.” זהו רמז לכך ש”הוֹמר בשלישית” הוא מחווה לפרק “ילדה קטנה הולכת לאיבוד” (“Little Girl Lost”) מהסדרה “אזור הדמדומים” (The Twilight Zone).

 

 

ב”ילדה קטנה הולכת לאיבוד”, הוריה של ילדה בשם טינה נטרפים מדאגה כשהם נכנסים לחדר שלה ולא מוצאים אותה שם. ומפחיד עוד יותר, בכל זאת הם שומעים את קולה מהדהד סביבם. טינה אינה נראית, אבל בהחלט נשמעת. היא כבר לא בחדר, אבל נדמה שהיא באוויר. בייאושם פונים ההורים לידיד המשפחה, פיזיקאי בשם ביל. ביל מוצא מעין שער, ומאתר את מיקומו המדויק על ידי סימון בגיר של כמה נקודות ציון על קיר חדר השינה. הוא מכריז שטינה מעדה לתוך המימד הרביעי. ההורים מתאמצים להבין את המושג “מימד רביעי”; בדומה לכולנו, מוחם יודע להתמודד רק עם העולם התלת‑ממדי המוּכּר לנו.

למרות שהוֹמר קופץ משני ממדים לשלושה, ולא משלושה ממדים לארבעה, בדיוק אותו רצף מאורעות מתרחש ב”הוֹמר בשלישית”. מארג’ לא תופסת מה קרה להוֹמר כיוון שהיא שומעת אותו, אבל לא רואה אותו, וגם היא נעזרת במדען, פרופסור ג’ון חְנוּנֶנבאום פרינק הבן.

למרות אישיותו המתמיהה והמגוחכת, אין להפחית מחשיבות גאונותו של פרופסור פרינק. אכן, כישוריו המדעיים הובהרו מעבר לכל ספק ב”פרינקנשטיין”, סיפור מתוך “בית‑עץ של אימה 3” (2003), כאשר קיבל פרס נובל מידי לא אחר מאשר דדלי ר. הרשבך (Herschbach), שזכה בפרס נובל משלו כבר ב‑1986, ומדבב בעצמו את דמותו בפרק.^[1]

ממש כמו הפיזיקאי ב”אזור הדמדומים”, פרינק משרטט בגיר קווי מִתאר מסביב לשער, שהבחינו בו נד פלנדרז, צ’יף ויגום, הכומר לאבג’וי וד”ר היברט, אשר באו כולם להציע תמיכה. פרינק מתחיל להסביר את התעלומה: “טוב, אפילו ליחיד טיפש מאין כמוהו בעל תואר מתקדם בטופולוגיה היפרבולית צריך להיות ברור שהוֹמר סימפסון מעד לתוך… המימד השלישי.”

מדבריו של פרינק עולה כי הדמויות ב”הסימפסונים” לכודות בעולם דו‑ממדי, ועל כן מתאמצות לדמיין את המימד השלישי. המציאות המונפשת של ספרינגפילד דווקא מורכבת קצת יותר, מאחר שאנחנו רואים באופן קבוע את הוֹמר ומשפחתו עוברים זה על פני זה, דבר בלתי אפשרי בהכרח בעולם דו‑ממדי לחלוטין. למרות זאת, למטרות הקטע הזה של “בית‑עץ של אימה”, בואו נניח שפרינק צודק ברמיזה שלו לגבי קיומם של שני ממדים בלבד בעולם של “הסימפסונים”, ונראה איך הוא מסביר את המושג של מימד גבוה יותר באמצעות שרטוט של תרשים על הלוח.

 

פרופסור פרינק:     זה ריבוע רגיל.

צ’יף ויגום:  וואו, וואו! יותר לאט, ראש ביצה שכמוך!

פרופסור פרינק:     אבל בואו נניח שמרחיבים את הריבוע מעבר לשני הממדים של העולם שלנו לאורך ציר z משוער… הנה.

כולם:     [משתנקים]

פרופסור פרינק:     זה יוצר אובייקט תלת‑ממדי המכונה קובייה, או פרינקאָהֶדְרוֹן, על שם המגלה שלו.

 

ההסבר של פרינק ממחיש את הקשר בין שניים לשלושה ממדים. למעשה, הגישה שלו יכולה לעזור ולהסביר את הקשר בין כל הממדים.

 

ממדים	4	3	2	1	0
קודקודים	16	8	4	2	1

 

 

נתחיל במימד אפס – נקודה שיש לה אפס ממדים. אפשר להניע את הנקודה, למשל בכיוון x, כדי ליצור קו ישר, חד‑ממדי. כעת אפשר להניע את הקו בכיוון ניצב – כיוון ציר y – כדי ליצור ריבוע דו‑ממדי. כאן משתלב ההסבר של פרופסור פרינק, כי באופן דומה אפשר להניע את הריבוע לאורך ציר z, בכיוון ניצב לפני הריבוע, כדי ליצור קובייה תלת‑ממדית (או פרינקאהדרון). לבסוף, אפשר מבחינה מתמטית, גם אם לא מבחינה פיזיקלית, לעשות צעד נוסף ולהניע את הקובייה לאורך מימד נוסף, ניצב לשלושת הממדים האחרים (נכנה אותו ציר w), כדי ליצור קובייה ארבעה‑ממדית. קוביות בארבעה ממדים או יותר מכונות היפר‑קוביות (hypercubes).

השרטוט של ההיפר‑קובייה הארבעה‑ממדית הוא אך ורק רישום, שקול לרישום תמציתי בקווים כלליים של פסל דויד של מיכלאנג’לו. אף על פי כן, מתוך רישום ההיפר‑קובייה צצה ועולה תבנית שעוזרת להסביר את הגיאומטריה של צורות בארבעה ממדים או יותר. נבחן את מספר נקודות הקצה, או הפינות (שנקראות קודקודים), שכל גוף רוכש בזמן המעבר ממימד למימד. מספר הקודקודים גדֵל לפי תבנית פשוטה: 1, 2, 4, 8, 16,… במילים אחרות, אם לגוף יש d ממדים, מספר הקודקודים שלו שווה ל‑2^d. לכן, להיפר‑קובייה בעשרה ממדים יהיו 2¹⁰ או 1,024 קודקודים.

למרות ההבנה המעמיקה של פרופסור פרינק בממדים מסדר גבוה יותר, החדשות הרעות הן שהוא לא יוכל להציל את הוֹמר, אשר ייאלץ להמשיך ולנדוד ברחבי עולמו החדש. זה מוביל לסדרה של אירועים ביזריים, שנחתמים בביקור בחנות לעוגות ארוטיות. במשך כל ההרפתקה הזאת פוגש הוֹמר כמה פרגמנטים מתמטיים שמתגשמים בנוף התלת‑ממדי.

לדוגמה, מיד אחרי שהוא עובר בשער, סדרה של מספרים ואותיות אקראיים למראה מרחפים באוויר במרחק רב:

 

21 73 65 6C 75 72 20 6B 6E 69 72 46

 

האותיות הן למעשה ספרות הֶקְסָדֶצימָליוֹת (לפי בסיס 16). מספרים הקסדצימליים מבוטאים באמצעות הספרות 0‑9, ושש נוספות: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 ו‑F = 15.  כל זוג ספרות מייצג יחד תו בשפת ASCII (ראשי תיבות של American Standard Code for Information Interchange), פרוטוקול להפיכה של אותיות וסימני פיסוק וניקוד למספרים, בעיקר לשימוש במחשבים. לפי פרוטוקול ASCII, 46 מייצג את “F”, 72 את “r”, וכן הלאה. אם מתרגמים את כל רצף זוגות המספרים מ‑ASCII מקבלים הכרזה בשבחם של הגיקים: “Frink rules!a”, “פרינק לשלטון!”

כמה רגעים אחר כך מופיע מעדן מתמטי שני בנוף התלת‑ממדי, באדיבות הכותב דייוויד ס. כהן:

 

1,782¹² + 1,841¹² = 1,922¹²

 

זהו עוד פתרון שגוי למשפט האחרון של פרמה, בדיוק כמו זה שכתב כהן עבור “הקוסם מאוורגרין טֶראס”, שבו דנו בפרק 3. המספרים נבחרו בקפידה, וכך שני צידי המשוואה שווים כמעט במדויק. אם משווים את סכום שני ריבועי המספרים באגף שמאל לריבוע המספר השלישי באגף ימין, מגלים שהתוצאות זהות בתשע הספרות הראשונות, כפי שאפשר להיווכח כאן:

 

(1,78212)	1,025,397,835,622,633,634,807,550,462,948,226,174,976
(1,84112)	1,515,812,422,991,955,541,481,119,495,194,202,351,681	+
	2,541,210,258,614,589,176,288,669,958,142,428,526,657	=
(1,92212)	2,541,210,259,314,801,410,819,278,649,643,651,567,616

 

 

פירושו של דבר שאי‑ההתאמה בין שני צידי המשוואה היא רק 0.00000003 אחוזים, אבל די בזה להפוך את השוויון לבלתי נכון. יש דרך מהירה לזהות כי

 

1,782¹² + 1,841¹² = 1,922¹²

 

הוא פתרון שקרי, בלי להזדקק לחישובים ארוכים. החוכמה היא לשים לב לכך שמספר זוגי (1,782) בחזקה שנייה ועוד מספר אי‑זוגי (1,841) בחזקה שנייה אמורים על פי השוויון להיות שווים למספר זוגי (1,922) בחזקה שנייה. זוהי נקודה חשובה כיוון שמספר זוגי בחזקה שנייה תמיד ייתן מספר זוגי, ואילו מספר אי‑זוגי בחזקה שנייה תמיד ייתן מספר אי‑זוגי, כך שהצד השמאלי במשוואה הוא בהכרח אי‑זוגי, ואילו הצד הימני בה הוא בהכרח זוגי. לכן, מובן מאליו שהשוויון לכאורה הוא שקרי:

 

even¹² + odd¹² ≠ even¹²

 

עפעוף קל עלול לעלות בהחמצה של חמש מחוות נוספות לעולמם של החנונים המבזיקות בעולם התלת‑ממדי החדש של הוֹמר. הראשונה היא קנקן תה שנראה רגיל למדי. מדוע הוא חנוני? ב‑1975, כשרצה חלוץ המחקר הגרפי מרטין ניואל (Newell) מאוניברסיטת יוטה לבחור אובייקט שנוצר על ידי מחשב, הוא בחר את החפץ הביתי הזה: פשוט יחסית, ובכל זאת מציב אתגרים לגרפיקאים, למשל היָדית או הקווים העקמומיים. מאז הפך קומקום התה של יוטה למשתתף קבוע בכל הדגמה של תוכנת גרפיקה ממוחשבת. העיצוב הייחודי של קומקום התה הזה הופיע גם על מדליונים בסצנת מסיבת התה בסרט “צעצוע של סיפור” (Toy Story), בחדר השינה של בּוּ ב”מפלצות בע”מ” (Monsters, Inc.a) ובעוד כמה סרטי אנימציה.

המחווה השנייה היא טיסה על פני המספרים 7, 3 ו‑4, ריפרוּר מקודד ל‑Pacific Data Images, החברה האחראית לגרפיקה הממוחשבת. הספרות האלה צמודות לאותיות P,א D ו‑I בלחצני חיוג של טלפונים.

המחווה השלישית היא הצצה חטופה בקבוע הקוסמולוגי (ρ_m0 > 3  H₀² / 8πG), שמתאר את צפיפות היקום של הוֹמר. המשוואה, שאחד מחבריו הטובים של כהן, האסטרונום דייוויד שימינוביץ, הציג בפניו, מעידה על צפיפות מסה גבוהה, שפירושה כי כוח המשיכה הכבידתי הנובע כתוצאה ממנה יגרום לבסוף לקריסת היקום של הוֹמר. ואכן, כך קורה לקראת סוף הקטע.

ממש לפני שהיקום של הוֹמר נגוז, כהן מנפנף בפיסת מתמטיקה מסקרנת במיוחד עבור הצופה המתעניין. בסצנה הנראית בעמ’ 182 אפשר להבחין בגרסה מעט יוצאת דופן של משוואת אוילר מעבר לכתף השמאלית של הוֹמר. המשוואה הזאת מופיעה גם בפרק “מאניבּארט”.

ולבסוף, ממש באותה תמונה, מעבר לכתף הימנית של הוֹמר, נראה גם השוויון P = NP. אם כי רוב הצופים בוודאי לא הבחינו כלל בשלוש האותיות האלה, לא כל שכן הקדישו להם מחשבה נוספת, הקשר P = NP הוא בגדר אמירה על אחת הבעיות הבלתי פתורות החשובות ביותר בתיאוריה של מדעי המחשב.

P = NP נוגעת לשני סוגים של בעיות מתמטיות. P מייצגת בעיה פּוֹלינוֹמיאלית (polynomial) ו‑NP – בעיה פּוֹלינוֹמיאלית לא דטרמיניסטית (nondeterministic polynomial). בצורה שטחית, בעיות מסוג P קלות לפתרון, ואילו בעיות מסוג NP קשות לפתרון אך קלות לבדיקה.

לדוגמה, הכפלה היא דבר קל לביצוע, והיא מסווגת כבעיה מסוג P. גם כשהמספרים המוכפלים גדולים מאוד, הזמן הדרוש לחישוב התוצאה גדֵל בצורה מתונה יחסית.

פירוק לגורמים, לעומת זאת, הוא בעיה מסוג NP. פירוק של מספר לגורמים משמע זיהוי המחלקים שלו, משימה פשוטה בתכלית במספרים קטנים, שהופכת למשימה בלתי אפשרית במספרים גדולים. לדוגמה, אם תתבקשו לפרק את המספר 21 לגורמיו, מיד תדעו כי  7× 3 = 21. אבל פירוק של 428,783 קשה הרבה יותר. ייתכן שנידרש לשעה או יותר של שימוש במחשבון כדי לגלות ש‑ 823× 521 = 428,783. אבל אם נקבל פיסת נייר שעליה רשומים המספרים 521 ו‑823, נוכל לבדוק בתוך שניות אם אלה אכן המחלקים הנכונים. לפיכך, פירוק לגורמים היא בעיית NP קלסית: קשה לפתרון עבור מספרים גדולים, ועם זאת קלה לבדיקה.

או… שאולי פירוק לגורמים אינו משימה כל כך קשה כמו שאנחנו חושבים?

השאלה היסודית העומדת בפני מתמטיקאים ומדעני מחשב היא, האם פירוק לגורמים קשה לביצוע באופן מהותי, או שמא אנחנו מפספסים איזה טריק שעשוי להפוך אותו למשימה פשוטה? שאלה דומה אפשר לשאול על המון בעיות מתמטיות מסוג NP לכאורה – האם כולן קשות לביצוע במהותן, או שהן קשות רק מפני שאיננו נבונים מספיק למצוא דרכים קלות יותר לפתור אותן?

השאלה הזאת היא לא רק שאלה בעלת עניין אקדמי, שכן מספר לא מבוטל של טכנולוגיות חשובות נסמך על הקושי בפתרון בעיות מסוג NP. למשל, קיים מגוון רחב של אלגוריתמי הצפנה הנסמכים על ההנחה שקשה מאוד לפרק לגורמים מספרים גדולים. אבל אם פירוק לגורמים אינו באמת קשה, ומישהו יגלה את הדרך לבצע זאת בקלות, הגילוי יחליש את שיטות ההצפנה המוכרות, וכך יגדל הסיכון הכרוך בכל פעולה למן רכישת מוצרים באינטרנט ועד מדיניות בינלאומית ותקשורת צבאית.

הבעיה הזאת מובעת לעיתים קרובות על ידי המשפט “האם P = NP או P ≠ NP?”, ששואל “האם יום אחד יתברר כי בעיה שנראית קשה (NP) היא בעצם בעיה קלה (P), או שלא?”

הפתרון לשאלה “האם P = NP או P ≠ NP?” מופיע ברשימת המבוקשים ביותר של המתמטיקאים, ויש אפילו פרס על ראשו. מכון קליי למתמטיקה, שנוסד בקיימברידג’, מסצ’וסטס, בידי הנדבן לנדון קליי, צירף את החידה הזאת לרשימת שבע בעיות פרס המילניום שפורסמה בשנת 2000, ושבה הוכרז בין היתר על פרס בסך מיליון דולר למי שייתן תשובה ברורה ושלמה לשאלה אם P = NP או P ≠ NP.

לדייוויד ס. כהן, שחקר בעיות מסוג P ומסוג NP בתקופת לימודי המאסטר שלו במדעי המחשב באוניברסיטת קליפורניה בברקלי, יש תחושת בטן שבעיות מסוג NP אכן קלות הרבה יותר מכפי שנדמה לנו, וזאת הסיבה לכך שהביטוי P = NP מופיע מאחורי הוֹמר בעולמו התלת‑ממדי.

אבל כהן נמצא בדעת מיעוט. ויליאם גָזַרְךְ (Gasarch), מדען מחשבים מאוניברסיטת מרילנד, ערך משאל בקרב מאה חוקרים ב‑2002, ומצא כי רק 9 אחוזים מהם חושבים ש‑P = NP, בעוד ש‑61 אחוזים דוגלים ב‑P ≠ NP. הוא חזר על המשאל ב‑2010, והפעם 81 אחוזים מהנשאלים סברו ש‑P ≠ NP.

כמובן, האמת במתמטיקה אינה נקבעת בתחרות פופולריוּת, אבל אם יתברר שהרוב צודק, הצבת הכיתוב P = NP בנוף של “הוֹמר בשלישית” תיראה בלתי מתאימה במידת מה. עם זאת, נראה שהדבר לא חשוב במיוחד בטווח הקצר, שכן רוב המתמטיקאים שהשתתפו במשאל סברו שהבעיה לא תיפתר במאה הנוכחית.

לבסוף, ב”הוֹמר בשלישית” יש עוד ריפרוּר מתמטי אחד הראוי לציון. ליתר דיוק, ההתייחסות לא מופיעה ב”הוֹמר בשלישית” עצמו אלא ברצף הקרדיטים לפרק “בית‑עץ של אימה 4”. באופן מסורתי, פרקי ליל כל הקדושים של “הסימפסונים” הם תמיד ביזריים. לדוגמה, הקרדיט של מאט גריינינג מופיע במגוון צורות: באט גריינינג, ראט גריינינג, מאט גריינינג הרָדוּף ומאט גריינינג הקודר.

המסורת הזאת שואבת השראה מחוברת קומיקס בשם “מעשיות מכוך הקבורה” (Tales from the Crypt), שכללה דרך קבע קרדיטים מוּטנטיים לכותבים ולאמנים. המוציא לאור, EC Comics, נודע לשמצה אחרי שתת‑ועדה של הסנאט לעבריינות נוער דנה ב‑1954 בהשפעה המזיקה של חוברות קומיקס והגיעה למסקנה כי ל”מעשיות מכוך הקבורה” ולדומותיה יש אחריות חלקית להשחתה של בני נוער. הדבר הוביל לסילוק של זומבים, של אנשי‑זאב וכדומה מכל חוברות הקומיקס, ולהפסקת הופעתה של “מעשיות מכוך הקבורה” ב‑1955. אף על פי כן, ל”מעשיות מכוך הקבורה” יש מעריצים רבים, שרובם עדיין לא נולדו כשהחוברת מצאה את מותה בטרם עת. אל ג’ין הוא אחד המעריצים האלה, והוא שהציע להביע כבוד לחוברת בחיקוי המתכונת של הקרדיטים המוטנטיים בפרקי “בית‑עץ של אימה”.

כל זה לא נאמר אלא כדי להסביר מדוע הקרדיטים ל”בית‑עץ של אימה 4″ כוללים את בראד “המשפד” בירד, את לי הרטינג איש‑הזאב ואת מה‑קורה‑איתך גריינינג. ואם תעיינו בתשומת לב רבה, תוכלו לאתר גם האיזכור המקסים הבא למשפט פיתגורס ולכותב של “הוֹמר בשלישית”:

 

DAVID² + S.² = COHEN²

^[1]   העד להענקת פרס הנובל הוא אביו שקם לתחייה של פרופסור פרינק, בדיבוב הקומיקאי האגדי ג’רי לואיס. יש בכך משום סגירה של מעגל קולי. לואיס ביסס את הקול של פרינק האב על קולו של האנק עזריה שדיבב את פרינק ג’וניור, דמות המבוססת מלכתחילה על הדמות הראשית של לואיס בסרט “הפרופסור המטורף” (The Nutty Professor).

עוד בנושא באתר הידען:

• סיימון סינג לאתר הידען: “יש לבטל הכללת טיפולי רפואה משלימה בחברות הביטוח ובקופות החולים”
• בראשית – החלק הראשון מתוך הפרק הראשון של הספר “המפץ הגדול” מאת סיימון סינג
• כך תהפכו לשרלטנים מצליחים