מושגי יסוד בפיזיקה קוונטית: מהי משוואת שרדינגר?

המשוואה המפורסמת ביותר בקוונטים פורסמה בשנת 1926 במאמר של 16 עמודים בלבד. מה מתארת משוואת שרדינגר וכיצד ארווין שרדינגר חשב עליה?

המדען האוסטרי ארווין שרדינגר היה קוסם מדעי. ארנולד זומרפלד, מחלוצי תורת הקוונטים, התייחס בעבר למשוואה שהפכה את שרדינגר למפורסם "כתגלית המופלאה ביותר מבין כל התגליות המופלאות של המאה העשרים". כשמקס פלאנק, שהיה הראשון להציע שאנרגיית הקרינה נפלטת ונבלעת במנות בדידות (קוונטים), החזיק בידו את המאמר השני של שרדינגר, הוא צוטט בלהט אומר: "אני קורא את מילותיך כילד סקרן ונלהב המנסה לפענח חידות שהטרידו אותי זמן רב ואני נמוג מהיופי שעיניי מגלות. אני חייב להעמיק ברעיונותיך כדי לתפוס אותם במלואם".

שנים לאחר מכן ריצ'רד פיינמן, שזכה בפרס נובל על ניסוח התורה האלקטרומגנטית הקוונטית, אמר על שרדינגר: "מהיכן הוא הביא אותה (את משוואת שרדינגר)? משום מקום. לא ניתן לחלץ אותה משום מקום. היא הגיעה ממוחו של שרדינגר, בזמן שניסה להבין את התצפיות הניסיוניות של העולם האמיתי". בדומה לפיינמן, היסטוריונים סבורים ששרדינגר מעולם לא הסביר כיצד המשוואה המפורסמת ביותר בקוונטים צצה במוחו, אבל אין ספק שניתן לנחש אילו רעיונות הובילו לניסוח המאמר המהפכני בשנת 1926.

ההשראה: חלקיקים שמתנהגים כגלים

שרדינגר שאב השראה מפרויקט הדוקטורט של חוקר צעיר בשם לואי דה ברוי. בעקבות האפקט הפוטואלקטרי שתואר על ידי אלברט איינשטיין, דה ברוי הניח שגם לחלקיקי החומר תכונות גליות. התזה השנויה במחלוקת נשלחה על ידי המנחה של דה ברוי, פול לנז'ווין, לאלברט איינשטיין – והיה זה איינשטיין שהתלהב מהמאמר והצית את הרעיון בקרב הקהילה המדעית. שרדינגר עצמו קרא את התזה רק בסתיו 1925.

כמה חודשים לאחר מכן הפיזיקאי פיטר דבאי ביקש משרדינגר להעביר הרצאה על התזה של דה ברוי בציריך. כשההרצאה נגמרה פנה דבאי לשרדינגר ואמר: "אם מה שאתה אומר נכון, כלומר שחלקיקים אכן מתנהגים כגלים, בטח קיימת משוואת גלים שמתארת אותם, למה שלא תנסה למצוא אותה?" ואכן כך היה.

שרדינגר שנהג לנסוע לחופשות בלי אשתו (ואף קיים רומנים עם נשים נוספות), החליט גם הפעם לנסוע הרחק – לחופשת חג המולד של 1925 באתר הנופש ארוזה שבשווייץ, בלוויית אחת מאהובותיו – בכדי לפצח את הבעיה. בסיום החופשה הוא החזיק בעיקרי המאמר המפרט את משוואת הגלים הידועה כיום בתור משוואת שרדינגר. כדי להסביר את המאמר נדרש ידע מוקדם על מכניקה אנליטית, ולמען האמת יש שיטענו ששרדינגר לא באמת פיתח את המשוואה מעקרונות יסוד, אלא הניח שהיא נכונה.

מהי משוואת שרדינגר?

דואליות הגל-חלקיק של דה ברוי, יחד עם העובדה שגלי אור מישוריים מתקדמים בזמן באופן פרופורציונלי לאנרגיה, הובילה את שרדינגר לרשום את המשוואה הבאה:

המשוואה מורכבת משני חלקים: צד ימין מכפיל את האנרגיה של החלקיק (השקולה לביטוי H, ההמילטוניאן) עם פונקציית הגל שלו (המסומנת באות היוונית פסיי) וצד שמאל משערך את הנגזרת בזמן של פונקציית הגל. במילים אחרות, השינוי בזמן של פונקציית הגל שקול לאנרגיה של החלקיק. לפני שנמשיך אני רק רוצה להדגיש עד כמה המשוואה הזו אלגנטית. האנרגיה של החלקיק היא זו שמאלצת את פונקציית הגל להשתנות בזמן. אם נחליף את H בערך מספרי כלשהו, הפתרון למשוואה זו יזכיר פונקציה של גל מישורי.

במכניקת הקוונטים H הוא לא מספר, הוא אופרטור. אופרטור, כשמו כן הוא, מבצע פעולה על האובייקט שעליו הוא פועל. במקרה שלנו, H פועל על פונקציית הגל פסיי. אם פסיי מתאר מצב פיזיקלי של חלקיק עם אנרגיה מוגדרת, H יתחלף באנרגיה השייכת לפסיי. אם פונקציית הגל מתארת סופרפוזיציה של מצבי אנרגיה (כלומר החלקיק יכול להיות בכמה מצבי אנרגיה שונים, כל אחד בהסתברות מסוימת), מתמטית פסיי ייכתב כסכום של מצבי אנרגיה מוגדרים. במקרה הזה H יפעל על כל אחד ממצבי האנרגיה בנפרד ויוחלף בערכו כפקטור המצומד לכל מצב בהתאם. ההפעלה של H על המצב פסיי מכתיבה בכל רגע כיצד הוא משתנה.

לעיתים משוואת שרדינגר נראית כך:

המשוואה הזו היא בסך הכול כתיבה שונה של אופרטור האנרגיה H בעזרת רכיביו – לכל חלקיק יש אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית (המסומנת באות V). משיקולים דומים לאלה שהובילו פיזיקאים להקביל בין גלים מישוריים אלקטרומגנטיים לפונקציות גל חלקיקיות, ניתן להחליף את האיבר הקינטי בנגזרת שנייה של המרחב. כשכותבים את ההמילטוניאן כך, משוואת הגלים נחשפת במלואה. כאן חייבים לעצור לרגע ולהעיר הערה טכנית – משוואת גלים אמיתית מכילה נגזרת שנייה גם במרחב וגם בזמן, בשונה ממשוואת שרדינגר המערבת נגזרת ראשונה בזמן ונגזרת שנייה במרחב. יחד עם זאת, השימוש במונח פונקציית הגל לתיאור הפתרון למשוואת שרדינגר אינו שגוי מתמטית כי הפתרון אכן נראה כמו גל מרחבי (זאת בזכות האיבר המדומה i).

מה מחשבת המשוואה ומהן מגבלותיה

תפקידה של משוואת שרדינגר הוא לחשב את פונקציית הגל פסיי בכל רגע. הערך המוחלט של פונקציית הגל בריבוע מתאר את ההסתברות של החלקיק להימצא במיקום מסוים בזמן כלשהו. משוואת שרדינגר הוכחה כיעילה בחיזוי התנהגותם של חלקיקים בטבע וקיבלה משנה תוקף כאשר הצליחה לתאר במדויק את מבנה אטום המימן.

על אף ההצלחות הרבות של משוואת שרדינגר קיימות בה לא מעט מגבלות. המשוואה איננה משוואה יחסותית (המשוואה מתייחסת שונה לזמן ולמרחב, והאנרגיה H המתוארת במשוואה האחרונה אינה יחסותית). בנוסף, היא איננה מתארת תהליכים שבהם חלקיקים נוצרים ומושמדים, כלומר מערכות שבהן מספר החלקיקים משתנה. שנים לאחר מכן, קליין, גורדון ודיראק ניסחו משוואות יחסותיות דומות למשוואת שרדינגר, ותורת השדות הקוונטית אפשרה לתאר מערכות שבהן מספר החלקיקים משתנה.

משוואת שרדינגר נחשבת לאבן יסוד במכניקת הקוונטים ונעשה בה שימוש עד היום. לשרדינגר תרומות רבות במדע, אבל אין ספק שהאינטואיציה החדה של הפיזיקאי הגאון הופיעה בגדולתה במשוואה אחת ששינתה את תפיסתנו על העולם ועל חוקי הטבע.

שאלות ותשובות

מהי משוואת שרדינגר?

משוואה שפורסמה בשנת 1926 ותפקידה לחשב את פונקציית הגל (פסיי) של חלקיק בכל רגע. לפי המשוואה, אופרטור האנרגיה H (ההמילטוניאן) הפועל על פונקציית הגל הוא שמכתיב כיצד היא משתנה בזמן.

מה נתן לשרדינגר את ההשראה למשוואה?

עבודת הדוקטורט של לואי דה ברוי, שהניח שגם לחלקיקי חומר יש תכונות גליות. לאחר ששרדינגר הרצה על התזה בציריך, הציע לו הפיזיקאי פיטר דבאי לחפש משוואת גלים שתתאר חלקיקים כאלה.

מה אפשר ללמוד מפונקציית הגל?

הערך המוחלט של פונקציית הגל בריבוע מתאר את ההסתברות שהחלקיק יימצא במיקום מסוים בזמן כלשהו.

במה הוכיחה המשוואה את עצמה?

היא הוכחה כיעילה בחיזוי התנהגותם של חלקיקים בטבע וקיבלה משנה תוקף כשתיארה במדויק את מבנה אטום המימן. היא נחשבת לאבן יסוד במכניקת הקוונטים ונמצאת בשימוש עד היום.

מהן המגבלות של משוואת שרדינגר?

המשוואה אינה יחסותית, ואינה מתארת תהליכים שבהם חלקיקים נוצרים ומושמדים. קליין, גורדון ודיראק ניסחו בהמשך משוואות יחסותיות דומות, ותורת השדות הקוונטית אפשרה לתאר מערכות שבהן מספר החלקיקים משתנה.

בכל שבוע אקדיש כתבה לרעיון או למושג שגור בפיזיקה מודרנית. אם יש לכם הצעות או בקשות לפינה זו אתם מוזמנים לפנות אליי בכתובת המייל: [email protected]

עוד בנושא באתר הידען

• מושגי יסוד בפיזיקה קוונטית: דואליות גל-חלקיק
• מושגי יסוד בפיזיקה קוונטית: מהו ספין?
• מושגי יסוד בפיזיקה קוונטית: היכן הקוונטום?
• ארווין שרדינגר. מתנגד חריף למשטר הנאצי והבעלים הגאה של חתול קוונטי
• העולם הקוונטי לא כזה בדיד כפי שחשבנו ולכן אפשר להציל את החתול של שרדינגר