סיקור מקיף

נגד חוקי התנועה

במשך למעלה מאלפיים שנה טרדו הפרדוקסים של זנון את מנוחתם של טובי ההוגים, שהתקשו ליישב את מסקנותיהם המוזרות עם הבנותינו וידיעותינו את מושג התנועה

מריוס כהן. פורסם בגליון פברואר 2008 של כתב העת גלילאו (גליון 113)

רקע היסטורי

פסל הפילוסוף זנו, מתוך אתר אוניברסיטת חיפה
פסל הפילוסוף זנו, מתוך אתר אוניברסיטת חיפה

זנוֹן (Zeno) היה פילוסוף יווני קדם-סוקרטי, שחי באֶלֵיאָה (Elea) שבדרום איטליה במאה החמישית לפני הספירה, ונחשב לאבי הדיאלקטיקה הפילוסופית (שאותה אימץ גם סוקרטס, מגדולי הפילוסופים של הזמן העתיק, שפגש בצעירותו את זנון). בהשפעתו של מורו פרמנידס (Parmenides), אשר טען שהעולם הוא אחיד ובלתי משתנה ושהריבוי והשינוי אינם אלא אשליה, הגה זנון סדרה של פרדוקסים, שמטרתם להראות שאם מניחים ריבוי או שינוי מגיעים לכלל סתירה.

בסך-הכל מיוחסים לזנון עשרות פרדוקסים, אך רק אחדים מהם נשתמרו עד ימינו (ואף אין ודאות שזנון עצמו אכן כתב את כל הפרדוקסים המיוחסים לו). להלן נציג את שלושת הפרדוקסים המפורסמים ביותר שלו, שבאמצעותם ניסה להראות שההנחה שתנועה היא אפשרית מביאה לכדי סתירה. באמצעותם קיווה זנון להראות את נכונות עמדתו של פרמנידס שהעולם סטטי, ושהתנועה אינה אלא אשליה (הצגתם של פרדוקסים אלו מהווה גם השלמה לפרדוקסים של האינסוף, שהוצגו בשתי הרשימות הקודמות במדור זה).

אכילס והצב

הבה נתאר לעצמנו תחרות ריצה בין הגיבור היווני המיתולוגי אכילס, אשר נחשב לאתלט יוצא מן הכלל, לבין צב יבשה ממוצע, אשר רחוק מלהוות לו יריב ראוי. אכילס, אשר משוכנע בניצחונו, מאפשר לצב להתחיל את המרוץ מנקודה הקרובה יותר לקו הגמר, שאותה נכנה נקודה א'.

עם הישמע השריקה מתחילים שני המתחרים בתנועתם אל קו הגמר, ואכילס, בצעדים קלילים ובטוחים, מגיע חיש קל לנקודה א'. אלא שהצב, על אף איטיותו הרבה, הספיק בינתיים להתקדם כברת דרך מסוימת (אף כי קטנה באופן משמעותי מזו שאכילס עבר בזמן זה), והגיע לנקודה אחרת, קרובה יותר לקו הגמר, שאותה נכנה נקודה ב'.

אכילס מבחין עם הגיעו לנקודה א', שהצב עדיין מקדים אותו, וממשיך בריצתו המהירה, שמביאה אותו תוך פרק זמן קצר לנקודה ב'. ואולם, הצב, שלא נח לרגע, הספיק להתקדם בינתיים כברת דרך נוספת (כמובן קצרה יותר מזו שבין הנקודות א' וב'), והגיע לנקודה ג', הקרובה יותר לקו הגמר מהמקום שבו אכילס נמצא באותו הרגע.

האתלט מבחין כמובן שהצב עדיין מקדים אותו, וממשיך בריצתו המהירה, שמביאה אותו במהירות הבזק לנקודה ג'. אך בזמן שאכילס רץ מנקודה ב' לנקודה ג' הספיק הצב אף הוא להתקדם מעט, והגיע לנקודה ד', הקרובה לקו הגמר יותר מנקודה ג', שבה אכילס נמצא כעת, כך שהצב עדיין מקדים את הגיבור היווני. וכך ממשיכים השניים בתנועתם, כשבכל פעם שאכילס מגיע לנקודה הקודמת שבה היה הצב, מצליח הצב לעשות כברת דרך קטנה נוספת. מאחר שאכילס חייב תמיד לעבור דרך הנקודה הקודמת שבה היה הצב, ובזמן זה (יהא קצר ככל שיהא) הצב מספיק להתקדם עוד קצת, נמצא שאכילס לעולם לא ישיג את הצב, וזאת בניגוד לידיעתנו הוודאית שלוּ תחרות כזו היתה מתרחשת במציאות, אכילס המהיר היה מנצח את הצב האטי בקלי קלות!

תנועתו של גוף אינה נקבעת ברגעים בודדים. גוף נמצא בתנועה אם בשני רגעים סמוכים הוא נמצא במקומות שונים
תמונה: stock.xchng

על פי תנועת המחוגים

גרסה אנלוגית לפרדוקס אכילס והצב, ואשר אנו עדים לה בחיי היומיום, היא תנועת המחוגים של שעון קיר. בשעה 12:00 מורים שני המחוגים באותו כיוון (12), ומרגע זה מתחיל ביניהם מרוץ, כשמחוג הדקות (אכילס) מנסה להשיג את מחוג השעות (הצב), שניתנת לו בתחילת המרוץ מקדמה של סיבוב שלם.

מאחר שמחוג הדקות נע במהירות הגבוהה פי 12 מזו של מחוג השעות, הרי שבזמן שהשלים מחוג הדקות סיבוב אחד (60 שנתות), הספיק מחוג השעות להתקדם 5 שנתות, והוא מורה בכיוון המספר 1 שעל לוח השעון. כאשר מגיע מחוג הדקות אף הוא לאותו מקום, ומורה בכיוון המספר 1, הספיק מחוג השעות להתקדם בינתיים עוד כמחצית השֶנֶת, והוא עדיין מוביל. וכן הלאה וכן הלאה, בדומה לניסיונו של אכילס להשיג את הצב, מנסה מחוג הדקות להשיג את מחוג השעות, אך בכל פעם שהוא מגיע למקומו הקודם של מחוג זה, מצליח מחוג השעות להתקדם עוד קצת, ויוצא מכאן שמחוג הדקות לעולם לא יצליח להשיג אותו. זאת בסתירה מוחלטת לידיעתנו שהוא עושה זאת שוב ושוב במהלך היממה.

הפתרון המתמטי

פרדוקס זה, כמוהו כשאר הפרדוקסים של זנון העוסקים בתנועה, הטריד את מיטב ההוגים למעלה מאלפיים שנה, שכן לא נמצא כל פגם במהלך הלוגי של הטיעון (אכילס חייב, בדרכו לקו הגמר, להגיע לנקודה הקודמת שבה היה הצב, בעוד הצב מספיק להתקדם עוד קצת), אף שהוא מוביל למסקנה אבסורדית.

רק במאות השנים האחרונות, עם התפתחותה של המתמטיקה האינפיניטסימלית, וכניסתו לשימוש של המושג "טור אינסופי מתכנס", נראה היה שנמצא הפתרון לפרדוקס: אף שבניסיונו של אכילס להשיג את הצב עליו לעבור אינסוף קטעי דרך (מנקודת המוצא לנקודה א', מנקודה א' לנקודה ב', מנקודה ב' לנקודה ג' וכן הלאה), ואינסוף פרקי זמן (שלאכילס לוקח לעבור קטעי דרך אלו), הרי שבשל העובדה שקטעי הדרך ופרקי הזמן הולכים וקטנים בקצב קבוע, סכומם הוא בכל זאת סופי!

נניח, למשל, שבתחילת המירוץ הצב מקדים את אכילס ב-100 מטרים, ושמהירות ריצתו של אכילס גדולה פי 10 מזו של הצב. בתנאים אלו, בזמן שאכילס עובר את 100 המטרים הראשונים, מספיק הצב להתקדם 10 מטרים. כאשר עובר אכילס גם 10 מטרים אלו, מקדים אותו הצב במטר אחד בלבד. בזמן שאכילס עובר גם מטר זה מתקדם הצב עוד 10 סנטימטרים, וכן הלאה.

קל לראות שהמרחק הכולל שעושה אכילס עד שהוא משיג את הצב הוא (במטרים): , ואפשר להראות שאף שביטוי זה כולל אינסוף מחוברים, ערכו הוא מטר, וזהו המרחק שאכילס עובר (בתנאים שתוארו) עד השיגו את הצב.

כך גם לגבי פרקי הזמן הנדרשים לאכילס כדי לעבור קטעי דרך אלו: אם נניח שמהירות ריצתו של האתלט היא 10 מטרים לשנייה (ושל הצב – מטר אחד לשנייה), הרי שאת מאה המטרים הראשונים הוא עובר ב-10 שניות, את קטע הדרך הבא (10 מטרים) בשנייה אחת, וכן הלאה. מתקבל הטור האינסופי (בשניות): , ואפשר להראות שערכו של טור אינסופי זה הוא שניות. דהיינו, אכילס משיג את הצב בפרק זמן זה, ומיד לאחריו הוא כבר מקדים אותו בדרך לקו הגמר.

באותו אופן אפשר להראות שמספר השנתות ששעון הדקות עובר עד שהוא משיג את מחוג השעות (האטי ממנו פי 12) הוא: . מאחר שמחוג זה עובר שֶנֶת אחת בדקה, הרי שזהו גם מספר הדקות הנדרש לו כדי להשיג את מחוג השעות. יתרונה של גרסת המחוגים של הפרדוקס הוא בכך שהדרך שמחוג הדקות עושה עד שהוא משיג את מחוג השעות מייצגת גם את הזמן הנדרש לו כדי לעשות זאת, והדבר מקל את הבנת תופעת ההתכנסות (שאותה, כאמור, אנו יכולים לראות במו עינינו על-ידי בחינה זהירה של שעון בעל מחוגים).

פרדוקס הדיכוטומיה

לפרדוקס זה, הנקרא גם "פרדוקס מסלול המרוץ", יש שתי גרסאות (התואמות פרשנויות שונות לנוסח המופיע בכתבי אריסטו), אך הן דומות זו לזו במהלך הלוגי שלהן ובמסקנתן, ועל כן נציג כאן רק אחת מהן (המכונה לעתים "הגרסה הפרוגרסיבית"): אדם רוצה להגיע מנקודה א' לנקודה ב'. לשם כך יהיה עליו לעבור קודם את מחצית הדרך. אחר-כך תישאר לו כברת דרך נוספת (המחצית השנייה), שכדי לעבור אותה יהיה עליו לעבור קודם גם את מחציתה של זו (כלומר, עוד רבע מהדרך המקורית), ואחר-כך את מחצית הדרך שעוד נותרה לו, וכן הלאה וכן הלאה.

בסך-הכל יהא עליו לעבור אינסוף קטעי דרך, שכן לאחר כל קטע דרך שהוא עובר (מחצית מכברת הדרך שנותרה לו), עדיין נשאר לו מרחק מסוים שעליו לעבור, ועל כן לעולם לא יגיע ליעדו. מאחר שמהלך לוגי זה אינו תלוי במרחק בין הנקודות א' וב', הרי שאינו יכול להגיע ליעדו גם אם הדרך שהוא מתכוון לעשות קצרה ביותר. מסקנה: אי-אפשר לעבור מרחק כלשהו – התנועה היא אשליה.

כאמור, רק הבנת אופיים של טורים מתכנסים אִפשרה לפתור פרדוקסים אלו באופן מספק. גם פרדוקס הדיכוטומיה נפתר כאשר מראים שאינסוף קטעי הדרך שעל האדם לעבור בדרכו מנקודה אחת לאחרת מתכנסים לאורכה של הדרך כולה (שהוא גודל סופי), וסכום פרקי הזמן שנדרש לו כדי לעבור קטעי דרך אלו מתכנס אף הוא למספר סופי.

אם נניח, למשל, שעלי לעבור מרחק של 3.6 קילומטרים, ואני צועד במהירות של מטר אחד לשנייה, הרי שאת 1.8 הקילומטרים הראשונים (מחצית הדרך) אעבור במחצית השעה; את מחצית המרחק שנותר (900 מטרים) אעבור ברבע שעה; את 450 המטרים הבאים אעבור בשמינית השעה (7.5 דקות), וכן הלאה וכן הלאה. פרק הזמן הכולל שיידרש לי כדי לעבור אינסוף קטעי דרך אלו הוא (בשעות): , ואפשר להראות שסכום אינסופי זה מתכנס לשעה אחת. כלומר, הזמן שיידרש לי כדי לעבור אינסוף קטעי דרך אלו הוא בכל זאת סופי.

במציאות, אכילס המהיר היה מנצח את הצב האטי בקלי קלות!
תמונה: stock.xchng

פרדוקס החץ

הבה נהרהר בתנועתו של חץ במסלולו: מאחר שתנועה כלשהי, ותהיה קצרה ככל שתהיה, אורכת פרק זמן מסוים, הרי שברגע נתון כלשהו (שמשכו 0 יחידות זמן), החץ נמצא במנוחה. במילים אחרות: מאחר שלרגע נתון אין משך, החץ אינו מספיק לנוע בו. הדבר נכון לגבי כל אחד מהרגעים שבהם החץ נמצא במסלולו, ואולם, אם החץ אינו נע אף באחד מרגעים אלו, הרי שאין הוא נע כלל, ועל כן תנועתו אינה אלא אשליה.

גם פרדוקס החץ חיכה למעלה מאלפיים שנה עד שמושג התנועה הובהר, ואִפשר להציע לו פתרון: תנועתו של גוף אינה נקבעת ברגעים בודדים. גוף נמצא בתנועה אם בשני רגעים סמוכים הוא נמצא במקומות שונים. אנו אכן מדברים על מהירותו של גוף ברגע נתון, אך מהירות זו נקבעת על פי היחס בין המרחק שגוף זה עובר בין שני רגעים סמוכים לבין פרק הזמן החולף בין רגעים אלו (גם אם הוא קטן מאוד). על פי תורת הגבולות, שהקינמטיקה (תורת התנועה) עושה בה שימוש, אפשר לבחור לצורך כך רגעים הסמוכים זה לזה כרצוננו, אך עדיין, בשני רגעים אלו יימצא החץ במקומות שונים (גם אם סמוכים מאוד), ועל כן יש לו מהירות בכל אחד מהרגעים שבהם הוא נמצא במסלולו.

לקינוח

בפינת הקינוח נציג הפעם פרדוקס נוסף של זנון (כנראה), והוא "פרדוקס החלוקה האינסופית": מאחר שמבחינה גיאומטרית אפשר לחלק כל יחידת אורך שהיא לשתיים, אפשר להמשיך בחלוקה כזו של מרחק נתון (וסופי) כלשהו עד אינסוף (חלוקה כזו אינה צריכה להתבצע בפועל, והיא אינה אורכת זמן; מדובר בחלוקה גיאומטרית עקרונית).

יש שתי אפשרויות לגבי תוצאתה של חלוקה כזו: או שאורכו של כל אחד מאינסוף החלקים שמתקבל הוא 0, או שיש לו אורך כלשהו השונה מ-0. ואולם, במקרה הראשון, טען זנון, אורכם המשותף של כל החלקים גם הוא 0, כי צירוף מספר כלשהו של חלקים שאורכם 0 חייב אף הוא להיות 0, ואילו במקרה השני אורכם הוא אינסופי, כי צירוף אינסוף חלקים שאורכם שונה מ-0 חייב להיות אינסופי. כל אחת משתי אפשרויות אלו מנוגדת לעובדה, שחלקים אלו התקבלו מחלוקתו האינסופית של מרחק נתון סופי.

שיתוף ב print
שיתוף ב email
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב linkedin
שיתוף ב twitter
שיתוף ב facebook

68 תגובות

  1. רענן:
    אני מקווה שברור לך שזה לא נותן שום תוקף לטעויותיך שנשארות טעויות.
    גם בתגובה 48 דיברתי על כך שיכול להיות שיש קוונטיפיקציה של המרחב ובאמת התכוונתי למה שאנשים רציניים חושבים בעניין.

  2. לדעתי רק פיתרון מס' 1 נכון, אין קיום פיזיקלי למושג הרעיוני שנקרא אינסוף. (לפחות לא מינוס אינסוף מבחינת קוטן של סקאלות, פלוס אינסוף אולי יתכן)

  3. לגבי ה"לקינוח", 3 פתרונות אפשריים:

    1. אי-אפשר לחלק לאין-סוף. אין הגדרה ממשית לאין-סוף. זה פותר את כל הפרדוקסים שתנסו לשים כאן.
    2. ישנם מספרים הנקראים "שואפים ל-0", כמו 0.0000000000000…5 (כאשר יש אין-סוף אפסים). אם מכפילים אותם באין-סוף הם לא אפסיים לגמרי, כך שלא יוצא 0, אבל הם לא גדולים מספיק כדי שיצא מהם מספר אין-סופי.
    3. ההנחה השגויה זה ההגדרה של ההכפלה באין-סוף. חושבים שאני טיפש? תנסו במחשבון 0 כפול אין-סוף, אחר כך תעירו.

    נדמה לי שזה מספיק סיבות..

  4. אני לא מבזבז את זמנך, אף אחד לא מכריח אותך לקרוא את התגובות שלי.

  5. מיכאל אני מבין שעברתה לפסיכולוגיה ולחוות-דעת מקצועיות על כותבי ההודעות באתר.

  6. רענן:
    אינך עובד אצלי ונראה גם שאף פעם לא תעבוד אצלי.
    אתה סתם מבזבז את זמני.

  7. אני לא רוצה להתנשא מעל אלה שמסוגלים לפתור שאלות הרבה יותר מורכבות, ולכן אני לא צריך לפתור אף שאלה שגולש אנונימי מציב לי, אני לא עובד אצלך למיטב ידיעתי.

  8. רענן:
    כאמור – אתה רוצה להתנשא מעל אלה שמסוגלים לפתור שאלות הרבה יותר מורכבות אבל הצורך להוכיח את כישוריך כדי להצדיק את תשומת ליבם מהווה מיכשול מכיוון שאינך מסוגל לעשות זאת.
    לכן אתה אומר שאינך רוצה לעשות זאת.
    צר לי אבל חבל על זמני.

  9. זכותך לחשוב כך. ואני לא רוצה לשכנע אותך ולהוכיח לך שום דבר, על אחת כמה וכמה אני לא מנסה להוכיח לך את יכולתי בפתרון שאלות תנועה של בית ספר יסודי.

  10. רענן,
    אנחנו מסתובבים סביב אותה נקודה.
    האם אתה מבין שקטע סופי יכול להיות מחולק לאינסוף קטעים קטנים ככל שנירצה?
    האם אתה מבין שסכום של אינסוף אברים של טור יורד יכול להיות שווה למספר סופי?

    ברגע שתבין זאת, כל השאר יבוא מעצמו.

  11. רענן:
    אתה מקשקש וזה כלל לא מפליא שבמקום לפתור שאלה של בית ספר יסודי שצריך לתת לה תשובה מספרית אתה מעדיף לדבר שטויות חסרות פשר על שאלה שתשובתה אינה מספרית ושלא הפניתי אליך.
    פשוט אינך מבין מה אתה שח.

  12. נועם

    מטר (או כל אורך סופי אחר) אפשר לעבור כי זה כאורך סופי. אורך קטן עד אינסוף אי אפשר לעבור כי אין לך מאיפה להתחיל, לא קיימת נקודת התחלה שממנה אתה יכול להתחיל את הדרך, ולכן גם לא תוכל לעבור את הדרך.

  13. רענן,

    כתבת: "ואם הקטע הראשון הוא קטן כרצוננו לעולם אי אפשר לעבור אותו". איך הגעת לזה?
    ודאי שאפשר לעבור אותו – וזה יקח אפס זמן (או פרק זמן קטן ככל שנירצה).
    הטיעונים שלך מעידים על אי הבנה בסיסית: אתה משוכנע שלא ניתן לעבור בזמן סופי, מס' אינסופי של קטעים הולכים וקטנים בגודלם.
    זו טעות. אתה יכול לסמן קטע באורך של מטר, לעבור אותו בקלות, בזמן סופי, בין אם הוא מתחלק למיליאדי מיליארדים של קטעים קטנים, אך במספר סופי, ובין אם הוא מתחלק לאינסוף קטעים שגודלם קטן אניסופית.
    ניראה לי שבתוך תוכך, אתה משוכנע עדיין שלא יכול להיות מצב בו סכום אינסוף איברים, שווה למספר סופי – ואכן, לא קל להפנים זאת, אבל זה המצב.

  14. למיכאל

    אתה נכנס כאן לדיון אחר , של האם המתמטיקה מייצגת את המציאות 1 ל1 או שהיא מייצגת קירוב מאוד מאוד מאוד מדויק שלה (או גם וגם בתלות לפי הנושא) זה שאלה פילוסופית שלדעתי לעולם לא תהיה עליה תשובה.
    בגלל זה עשיתי הבחנה התגובות שלי בין אינסוף בתור רעיון מחשבתי או מתמטי, ובתור שכזה יש לאינסוף הזה קיום רק במחשבתנו ולא במציאות. לבין אינסוף ממשי במציאות, דבר שלדעתי לא קיים. משפת פיטגורס הוא אמת ושורש 2 קיימים במובן המתמטי ללא כל ספק. וגם במובן הממשי הם קיימים אבל למציאות אין דיוק אינסופי לאחר הנקודה העשרונית לכן שורש 2 במציאות שונה מעט (אבל ממש ממש מעט) משורש 2 המתמטי.

  15. רענן:
    אתה מחפף לאורך כל הדרך.
    זוכר שהבאת את וויקיפדיה כהוכחה לכך שהמונח "התכנסות לאינסוף" הוא שגוי?
    זוכר שהראיתי לך שבאותו מקום אותו הבאת כהוכחה מוכח בעצם בדיוק ההיפך?
    אז מה? לא יכולת לבדוק? ברור שיכולת אבל אתה כה בטוח בטעויותיך שאינך רואה לנכון לבדוק.

    זוכר את זה שהעמדתי אותך מול הטוענה שזנון לא היה מקבל את "הסברך"?
    זוכר שעד כה התעלמת מזה?
    אז מה? לא יכולת להסביר כיצד היה זנון מקבל את דבריך?
    כמובן שלא יכולת. הרי דבריך שגויים.

    ומה עם כל שאר הדברים שאמרתי?
    אני חייב לומר שדי פחדתי לפרסם את השאלה הטריביאלית שפרסמתי למעלה.
    זו באמת שאלה שילד בבי"ס יסודי צריך לדעת לענות עליה וחששתי שדווקא תצליח לענות עליה וליצור מצג כאילו אתה דווקא מבין משהו.
    זו היתה הליכה על חבל דק:
    ככל שהשאלה טריביאלית יותר – אני מסתכן יותר בכך שתפתור אותה – מחד – אבל העובדה שאינך פותר אותה מדגימה יותר טוב את אי הבנתך.
    ככל שהשאלה מורכבת יותר – קטנים הסיכויים שתפתר אותה אבל זה אומר פחות כי מדובר בשאלה שרבים יותר אינם יודעים לפתור.

    אני מודה לך על שיתוף הפעולה.
    הסטת הדיון לעניין סמנטי – גם עכשיו – כמו בגלגול הקודם של הדיון הטפשי הזה – מראה שלפחות לא הצלחת לפתור את השאלה באופן מיידי.

    שאלה של בי"ס יסודי! רבאק!

  16. לא מקובל לומר בתכנסות לאינסוף, מקובל לומר התבדרות, אבל זה רק עניין סמנטי ולא מהותי. ברור למה את מתכוון כשאתה אומת "מתכנס לאינסוף" פשוט לדעתי זה ניסוח לא מדוייק , שבגלל זה המציאו בשפה העברית את הביטוי מתבדר. אני בדיונים מנסה לראות מעבר לסמנטיקה, ולהבין את המהות.
    וחוץ מזה זכותך לא להסכים איתי, אני לא מנסה לשכנע אותך אלה רק לומר את מה שאני חושב בצורה הבהירה ביותר.

  17. חברים:
    שמעתי על רעיון הקוונטיפיקציה של המרחב מזמן אבל מעולם לא פגשתי בפירוש כה פשטני ושגוי שלו כפי שרענן מנסה למכור כאן.
    המעניין הוא שעל פי הפירוש שמנסה רענן לתת למונח מוכרח להתקיים לפחות אחד משני הדברים הבאים:
    א. משפט פיתגורס שגוי
    ב. שורש שתיים הוא מספר רציונאלי
    מי שמתוסכל מן העובדה שהשאלה הקודמת הופנתה רק לרענן מוזמן לנסות להבין בעצמו מדוע טענתי את הטענה הנ"ל

  18. רענן:
    בוודאי קיים.
    גם זה שאין התכנסות לאינסוף קיים. אפילו בוויקיפדיה! זה כתוב שם בדיו סתרים מעל לטקסט האומר שהתכנסות לאינסוף קיימת.
    אין לך מושג במתמטיקה. נקודה. (נקודה – לא התכוונתי אליך)
    אני מוכן אפילו להמר שאינך מסוגל לפתור שאלה שהיא בחומר של בי"ס יסודי.
    יודע מה?
    בוא נבדוק.
    הנה שאלה בחומר של בי"ס יסודי.
    היא עוסקת בתנועה – התחום החביב עליך.
    נראה אותך פותר את השאלה.
    אם תפתור אותה במקרה – אנא הסבר את הפתרון במונחים שבהם אתה "פותר" את פרדוקס זנון:
    מכל האחרים אני מבקש לא להתערב, זו שאלה באמת קלה ואין כל צורך שתנסו לפתור אותה כי זה שתצליחו לא יוכיח כלום. מצד שני אני די בטוח שרענן לא מסוגל אפילו לזה:
    איש אחד מסיים כל יום את עבודתו בשעה 16:00.
    עם סיום העבודה הוא עולה (בדיוק ב 16:00) על הרכבת ויורד בתחנה הקרובה לביתו.
    אישתו יוצאת מן הבית עם רכבה ומגיעה לתחנת הרכבת יחד עמו.
    הוא יורד מן הרכבת ישר למכונית והם חוזרים הביתה.
    יום אחד (בחול המועד) הייתה פחות עבודה והוא יצא מן העבודה שעה מוקדם יותר (כלומר – אם אינך יודעת חיסור, בשעה 15:00).
    אישתו לא ידעה על כך ויצאה מן הבית בשעה הרגילה ולכן, כשהוא הגיע לתחנת הרכבת, הוא התחיל ללכת ברגל לכיוון הבית.
    בנקודה כלשהי בדרך הוא פגש את אישתו, עלה על המכונית, והם חזרו הביתה.
    כשהגיעו הביתה הסתכל בשעון וראה שהגיעו 10 דקות מוקדם מן הרגיל.
    בהנחה שמהירות הרכבת קבועה, מהירות המכונית קבועה, מהירות ההליכה קבועה ולא מתבזבז זמן על עצירות – כמה זמן הוא הלך?

  19. רענן:
    אוקי – אינך מתעלם מן הנושא המתמטי אלא ממציא מתמטיקה (שגויה) חדשה

  20. לנועם
    בודאי שאכילס יעבור את הצב בזמן סופי כולנו מסכימים על זה כי זה מתקיים במציאות, אבל לא מהסיבות שציינת, אלה מהסיבות שאני ציינתי.
    כשאתה אומר ש"פרקי הזמן הדרושים למעבר בין קטע לקטע גם הם קטנים במהירות עד אינסוף" אתה מניח שזה בכלל אפשרי לעבור מקטע לקטע (כאשר כל קטע כזה הוא בקוטן אינסופי כרצוננו) וזה לא נכון כי אי אפשר לעבור מקטע לקטע כל עוד לא עברת את הקטע הראשון, ואם הקטע הראשון הוא קטן כרצוננו לעולם אי אפשר לעבור אותו. בנוסף אתה מניח שיש דבר כזה פרק זמן קטן כרצוננו, אין פרק זמן כזה.

    לא רק שאני לא מתעלם מהנושא המתמטי, אלא שהמתמטיקה תומכת ומסבירה את מה שאני אומר .

  21. נועם:
    אין מה להתווכח אתו.
    הכל כבר נאמר לו פעמים רבות והוא אינו מרפה. זה לא הדיון הראשון שזה כך.
    הוא פשוט שמע איזה דבר על קוונטיפיקציה של המרחב והחליט לקשור את זה לשאלת זנון ללא כל הצדקה.
    הוא טועה אבל מכיוון שהוא נעול – שום דבר לא יעזור.
    שים לב לכך שהוא מתעלם מכל הצד המתמטי ומן העובדה שהמתמטיקה שהוא מתעלם ממנה מטיסה טילים לירח ופותרת כל בעיה שאפשר לנסח במונחיה.
    הוא גם מתעלם מן הטענות האחרות שמעלים – כמו זה ש"פתרונו" לא היה מספק את זנון בשום צורה.
    אני חושב שהוא פשוט ילד בגיל ההתבגרות שחושב שהוא יודע הכל טוב מכולם.

  22. רענן,
    כשאתה אומר: "הוא לעולם לא יעקוף אותו" אתה מניח בטעות שיידרש לו זמן אינסופי לעקוף אותו.
    זו טעות, פרקי הזמן הדרושים למעבר בין קטע לקטע גם הם קטנים במהירות עד אינסוף, וסכום קטעי הזמן האלו הוא *סופי**, כלומר אכילס ישיג את הצב כעבור זמן סופי!

  23. אין בעיה נעזוב את הקטע הפיזי. אם יש מספר אינסופי של קטעים *לא פיזיים* אלא מחשבתיים (כאלה שבאמת קטנים כרצוננו כל הזמן לנצח נצחים) שאכילס צריך לעבור עד שיעקוף את הצב, הוא לעולם יעקוף אותו, לא רק שהוא לא יוכל לעקוף את הצב, הוא אפילו לא יוכל *להתחיל* את הדרך כי לא תוכל להיות לו נקודה ממנה הוא יכול להתחיל לרוץ! מפני שהוא לעולם לא יגיע לקטע ממנו הוא יכול להתחיל לרוץ, כי בשביל להגיע לקטע שממנו הוא יתחיל לרוץ הוא צריך קטע בעל אורך סופי שממנו אפשר להתקדם הלאה ובאינסוף המחשבתי שלנו אין כזה קטע סופי שכזה ולכן הוא לא יוכל להתחיל את הדרך. אך מאחר ואנו יודעים שבמציאות בודאי שאכילס יתחיל את הדרך וגם יעקוף את הצב אין מנוס מלהסיק שבהכרח המציאות היא לא בעלת מאפיינים של אינסוף מחשבתי כזה.

  24. רענן,
    עזוב לרגע את הצד הפיזיקלי, זה מונע ממך לראות את העניין העקרוני.
    אם נחזור לשטיח, שים לב שהטיעון נכון גם אם אפשר לחלקו לאינסוף חלקיקים הקטנים והולכים בגודלם
    (במהירות מספקת).
    לא קל להפנים זאת, אך ** סכום של אינסוף קטעים ההולכים וקטנים במהירות, הוא סופי לחלוטין**.
    ובניגוד למה שכתבת קודם, בחישוב הגבול לא הופכים את הטור לסופי בשום שלב – פשוט מחשבים את הסכום האינסופי של אברי הטור!
    מושג הגבול, והחישובים של טור אינסופי יורד, הם אלו שהיו חסרים ליוונים, ולכן נדמה היה להם שיש כאן פרדוקס.

  25. לנועם

    לדעתי אי אפשר לחלק שטיח בעל גודל סופי לאינסוף חלקים פיזיקליים (לא כי אין לנו מכונה מספיק מתוחכמת שיכולה לחתוח גדלים כאלה קטנים, אלא בגלל שהמרחב-זמן עצמו לא יכול להכיל חלקיקים קטנים יותר) ולכן על אחת כמה וכמה שאי אפשר לסכם את אותם אינסוף חלקים שלא קיימים במציאות. (וכמובן שבמחשבותנו כן נוכל לחלק לאינסוף אבל החלוקה המחשבתית הזאת לא מתקיימת במציאות)

    אין שום בעיה לעבור קטע בעל קוטן סופי ואם הוא ממש קצרצר על אחת כמה וכמה שקל לעבור אותו. לעומת זאת לעבור קטע בעל קוטן אינסופי זה מעט בעייתי הייתי אומר…

  26. רענן:
    כמובן גם שה"הסבר" שלך אינו מסביר כלום כיוון שהפרדוקס של זנון, במידה שמחליטים לראות אותו כביטוי של המציאות, תופס לגבי כל אחד מאותם קטעים זעירים שאתה מדבר עליהם.
    איך אפשר לעבור אותם לדעתך?
    אני בטוח שגם זנון לא היה מקבל את ההסבר שלך (ועובדה היא שהוא לא הציע אותו).

  27. תוספת:

    לכן אכילס יעבור את הצב לאחר קטע דרך סופי לחלוטיןלמרות שהוא מורכב מאינסוף קטעים, ובזמן סופי לחלוטין.

  28. רענן,
    אתה מפספס את הנקודה החשובה ביותר: סכום אינסוף קטעים **לא בהכרח** שווה אינסוף דרך, זה בדיוק העניין!

    קרא פעם נוספת את הדוגמה על השטיח: סכום אינסוף חלקיקי שטיח לא שווה שטח אינסופי, אלא שטח סופי לחלוטין: 2 מ"ר
    זה שקול לקטע דרך סופי באורכו, למרות שהוא מורכב מסכום אינסופי של קטעים הולכים וקטנים במהירות.

  29. רענן:
    זה לא אומר כלום.
    אני מבטיח לך שגם את דברי היטלר יזכרו עוד 2000 שנה

  30. זכותך לחשוב שזנון דיבר שטויות, אני רק מקווה שגם אתה תזכה לכך שיזכרו את דברך גם בעוד 2000 שנה כמו שזוכרים את "השטויות" של זנון….

  31. רענן:
    יש אנשים שאינם מסוגלים להרפות מטעויותיהם.
    שלא תבין אותי לא נכון.
    בסופו של דבר יכול להיות שיתברר שהמרחב הוא קוונטי אבל זנון לא הוכיח את זה. הוא פשוט דיבר שטויות.

  32. לנעם

    הפיתרון לפרדוקס של זנון הוא שבתוך קטע סופי יש מספר *סופי* של קטעים *פיזיים*(להבדיל מאינסוף קטעים שיכולים להיות קיימים במחשבותנו אך לא במציאות), ובגלל שמספר סופי של קטעים *אפשר* לעבור (בייחוד אם הם נורא נורא קצרים) אז אכילס אכן יעבור את הצב כמו שאנחנו יודעים שצריך להיות. אך אם יש מספר אינסופי של קטעים פיזיים (גם אם הם קטנים נורא) שאכילס צריך לעבור עד שיעקוף את הצב, הוא לעולם יעקוף אותו, כי יש לו אינסוף קטעים לעבור(אינסוף דרך)! ומאחר ואנו יודעים שאכילס כן יעקוף את הצב במציאות, זה אומר בהכרח שאין דבר כזה מספר אינסופי של קטעים פיזיים בתוך קטע סופי.

  33. רענן:
    מרוב צחוק על עניין הטורים לא ראיתי שכתבת שוב על זנון.
    אני חוזר ומציע לך לקרוא מה שכתבתי על פרדוקסים כי כנראה שאינך קולט דבר בסיסי ביותר.
    פרדוקס הוא ביטוי של תקלה במחשבה.
    אתה יכול לקרוא לו יפהפה אבל הוא עדיין מבטא טעות.
    ברגע שמישהו מגיע למסקנה שסותרת את המציאות – כל מה שהוא מוכיח זה שהוא טועה באיזה שהוא מקום.
    בקישור שסירבת לקרוא כתבתי איפה הוא טועה.

  34. אוקי, רענן, עכשיו גם בדקתי ואפילו לפי הקישור שהבאת אתה טועה.
    בקישור ל "התכנסות של טור אינסופי"

    כתוב:
    "גם הטור ההרמוני [נוסחה שאינה ניתנת להעתקה לכאן] מתבדר (או מתכנס לאינסוף)."

  35. רענן:
    לא כל כך מעניין אותי מה החברה שכותבים בוויקיפדיה בעברית יודעים או אינם יודעים.
    הביטוי "מתכנס לאינסוף" מקובל (גם אם הבורים שכותבים את וויקיפדיה בעברית אינם מכירים אותו – ואגב – לא בדקתי) והוא אכן שקול גם לביטוי "מתבדר לאינסוף" וכל זה לא מוביל למסקנתך שאין אינסוף.

  36. חבל על הויכוח כנס לויקיפדיה ותראה שהתכנסות זה רק למספר סופי. קיים התבדרות לאינסוף, וקיים טור "מתחלף" לדוגמא שנתת 1-1+1-1 כשהסכום מתחלף כל הזמן.

    http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)

    זנון לא טען שום דבר ולכן אינני יכול להצדיקו גם אם אני רוצה, הוא רק הציב פרדוקס יפייפה, שלדעתי מוכיח משהו על המציאות, והתובנות שהגיעו אילהן אחר כך עם החשבון הדיפרנציאלי כדי לפתור את הפרדוקס רק *מוכיחות* את מה שאני טוען על טבע המציאות. ולכן לא ברור לי למה אתה חושב שאני סותר תובנות שהגיעו אילהן אחר כך?

  37. רענן,

    הפיתרון לפרדוקס של זנון הוא, שניתן לעבור אינסוף נקודות, בזמן סופי לגמרי – זה כמובן נובע מהעובדה שהוזכרה קודם, שיש בהחלט מצב שבו סכום אינסופי של קטעים הולכים וקטנים, הוא מספר סופי לחלוטין.

  38. ובעניין המינוח:
    הביטוי "מתכנס לאינסוף" מקובל ובעל משמעות.
    טור או סדרה יכולים להתכנס לאינסוף.
    זה מקרה פרטי של התבדרות ולא כל טור או סדרה מתבדרים – מתכנסים לאינסוף.
    הטור (1, 2, 3, 4,…..) מתכנס לאינסוף (גם סדרת אבריו מתכנסת לאינסוף במקרה זה).
    הטור (1, 2 -, 4, 8 -, 16, 32-……) מתבדר אבל אינו מתכנס לאינסוף או לכל דבר אחר.
    הסדרה (1, 1 – , 1, 1-, 1, 1- ….) גם היא מתבדרת מבלי להתכנס לאינסוף.

  39. רענן:
    אני רואה שהחלטת לא לקרוא את ההסבר הנכון.
    זו כמובן זכותך אבל עליך להבין שהמתמטיקאים בני זמננו (ואני מרשה לעצמי למנות את עצמי ביניהם) התקדמו הרבה מעבר לזנון.
    יש משהו רקורסיבי בסיטואציה בה – כדי להצדיק את טענות זנון – אינך מוכן לקבל את התובנות שהגיעו אליהן אחריו. נראה שבאמת עצרת את הזמן.

  40. אין דבר כזה התכנסות לאינסוף התכנסות זה רק למספר סופי, כשטור אינסופי גדל/קטן כל הזמן אומרים עליו שהוא מתבדר. מה שזנון הוכיח (לדעתי) זה שלא יתכן שהמרחב-זמן מתבדר לסקאלות שיכולות לקטון כרצוננו, כי אחרת באמת אכילס לא היה משיג את הצב לעולם והיקום היה סטטי ללא תנועה. הזמן-מרחב חייב בהכרח להתכנס לסקאלות(חתיכות/קוונטים) קטנות מאוד אך סופיות.

  41. רענן,
    אפשר להמחיש ויזואלית טור אינסופי שסכומו סופי לחלוטין:
    נתאר לעצמנו שטיח מלבני, 2 על 1 מטר, כלומר, שטחו 2 מ"ר.
    נחתוך אותו באמצע ונניח על הרצפה ריבוע של 1 מ"ר.
    נחתוך לחצי את מה שנשאר, ונוסיף לרצפה חצי מ"ר
    את מה שנשאר נחתוך לחצי ונוסיף לריצפה רבע מ"ר
    כך נמשיך עד אינסוף לחתוך לחצי את מה שנשאר, ולהוסיף את החצי ממה שנשאר, לרצפה.
    ברור שלא משנה עד כמה ימשך התהליך, סה"כ השטח של השטיח על הרצפה לעולם לא יעלה על 2 מ"ר המקוריים.
    ובעצם, סכום אינסוף חלקי שטיח, ההולכים וקטנים, שווה לסכום הסופי של 2 מ"ר.
    (ואם תאמר שאי אפשר לחלק שטיח לאינסוף חלקים קטנים, הרי שאותו טיעון בדיוק מתאים לשטח גיאומטרי המורכב מאינסוף נקודות חסרות מימד.)

  42. נקודה:
    זה שליש – לא שני שליש 🙂
    כל מספר עשרוני אינסופי (ובפרט השברים המחזוריים) מייצג טור אינסופי מתכנס.
    לדוגמה – המספר פאי הוא 3 + 0.1 + 0.04 +0.001 + 0.0005……

  43. הרי הדוגמה הכי פשוטה לטור אינסופי שהוא מתכנס זה כל מספר.
    לדוגמא המספר שתי שליש. נכתב כ 0.3+0.03+0.003…

  44. רענן:
    למה אתה מתכוון?
    הרי יש טורים שאינם מתכנסים לגבול סופי וסכום אבריהם הוא אינסופי.
    במקרה זה הגבול שמגלים הוא אינסוף.
    אנו מגלים גבול סופי בסכומים מסוימים וגבול אינסופי בסכומים אחרים.
    האם זה שסכום אחד מתכנס לגבול סופי מראה לדעתך שאין "אינסוף" למרות שסכום אחר מתכנס דווקא לאינסוף?

  45. א. זכותך להסתייג
    ב.לא טענתי מעולם שאין קשר בין העולם המתימטי לפיסיקלי.

  46. רענן, אני מסתייג מהדברין האחרונים שלך. זה גם לא כל כך מסתדר עם מה שכתבת בפסקה הראשונה. שבעצם אין קשר בין העולם המתימטי לפיסיקלי.

  47. זה לא משנה אם שמים גבול או שמגלים גבול. כי אם *קיים* גבול, לא קיים אינסוף, אלא רק סופיות. והסופיות הזאת זה בדיוק מרחב-זמן בדיד/קוונטי (עשוי מחתיכות קטנות בעלות קוטן סופי ובלתי ניתנות לחלוקה פיזיקלית מעבר לאותו גודל, למרות שבמחשבתינו אנו יכולים להמשיך ולדמיין חלוקה כרצוננו)

  48. רענן:
    זה לא נכון.
    כשאומרים שטור אינסופי מתכנס לא אומרים זאת בגלל ששמים לו גבול אלא בגלל שאפשר להוכיח שלמרות מספרם האינסופי של אבריו – סכום כל האברים סופי.
    את הגבול לא שמים אלא מגלים. הוא אינו הגבלה מלאכותית אלא כזו שנמצאת שם מעצם הגדרת הבעייה.
    זו הסיבה לכך שסכום כל (אינסוף) החזקות השלמות השליליות של 2 מתכנס ולעומת זאת סכום ההפוכים של כל הטבעיים אינו מתכנס ולא יעזור כמה נרצה לשים לו גבול.

  49. היי רענן, אם הייתי מגיב למאמר, הייתי כותב בערך מה שכתבת..

  50. הפרדוקסים של זנון הם הפרדוקסים הכי יפים שקיימים לדעתי. וכולם למעשה מדברים על אותו נושא והוא קיום של זמן-מרחב בדיד כלומר עשוי מחלקיקים קטנים בעלי גודל סופי (בניגוד לאשליה שיש לנו כאילו הזמן-מרחב הוא רציף ושאפשר לחלק את המימדים המרחביים או הזמן עד אינסוף).
    הפרדוקסים שלו הם בכלל לא פרדוקסים בעיניי, אלה הוכחה לכך שבאמת אי אפשר לחלק קטע בצורה אינסופית *מבחינה פיזיקלית*, (להבדיל ממבחינה מחשבתית, במחשבה הכל אפשרי) כי אם היה אפשר אז באמת אכילס לא היה עובר לעולם את הצב, והיינו חיים ביקום סטטי לחלוטין ללא שום תנועה.

    כל הנושא המתמטי של טור אינסופי שיכול באורך פלא להתכנס לסכום סופי ומוגדר, אפשרי רק בעזרת מושג המתמטי – גבול. והמהות של מושג הגבול היא שימת גבול לאורך כלשהו, אורך קטן מאוווד אבל סופי. כלומר קודם הופכים את הטור האינסופי לסופי ואחר כך טוענים שהוא מתכנס לגודל סופי. ובודאי שהוא יתכנס הרי הם הפכו אות הטור לסופי ע"י מושג הגבול. טור שהוא באמת אינסופי (ללא שימוש במושג הגבול שמגביל את האינסופיות הזו) לעולם לא יכול להתכנס לגודל סופי.

  51. לאבי בליזובסקי,ויואללי,אתה מה-זה מזכיר את אחי סולינקה שלום קופפרברג-נחשון..אתה ממש..חייב לפגוש אותו בהזדמנות..המזומנת..
    כדאי לך לפגוש אותו…זה יביא לכם הרבה צחוקים של אמת..
    טוב,זה הטלפון הנחמד של אחי סולי..אל תשכחו..הו.הו.הו.ממש בנשמתו
    שיתופניק-חינני-קיבוצניקק-מצחיק.
    לעמנואל השרקן הכי בעולם -אפרופו-מהי הרוח..לשריקה חזקה..איך
    התחילה הספירלה הקנטית..איך נולד הנציץ..ויפלט-אור השמש..המשמשת.
    לחנצו הי,הגנולוגית,המהוללת..ישנם כמה חובות רישום ביד ושם חיה,אברהם
    שניספו..באושויץ..אלהים יודע..הם שגידלו את אבא בני בילדותו..
    בכתובת:טרוברובה 25
    ווארשה,פולין———ומה עומד שם עכשיו ?אם לא בנק פולין המרכזי????
    נו..נו..אני לא ע.ס.ק-מרכזית ??.
    ותשאלו..למה לעמליה..יש חשבון בכיר,עצמאי בבינלאומי..בירושלים.
    נו..נו..אז מה הקשר??.
    ולפייר פאולין-מנהל האקרופוליס..מה קרה? ..פילוסופיה ..באמת..באמת
    זה ממש.ממש.חשוב..אגב,ובטח שאתה זוכר..הרי באהבה הרמטית
    אפלטונית..ופיך המדבר מדהים..נתתי לכולכם באחווה הלימודית
    ספר עב כרס,יקר ערך על אסטרולוגיה,בספרדית..אהה..חברה מס 6
    פשוט,אין שוכחים חברים שבדרך…מנהל גדול,הכי גדול…משיב.

  52. אבי:
    אני מקווה שהאופציה של קישור ישיר לתגובה הוצאה רק לצרכי תיקון ותחזור במהרה.
    אני מצאתי אותה שימושית למרות הבאג שהיה בה (פשוט שירשרתי את מספר ההערה שהיא דייקה בו לכתובת הדף שבו שגתה) ולכן הייתי שמח לו נשארה בתוקף גם במצב זה.

  53. לגיל:
    עלי להודות שאיני מבין בדיוק מה אתה שואל.
    אם אתה שואל כיצד ייתכן שסדרה בת אינסוף אברים תיתן סכום סופי אז הדוגמה שהבאת היא בדיוק כזו וכפי שיהודה ציין, סכומה X . העובדה שאברי הסדרה שואפים לאפס הוא תכונה כללית של סדרות שסכום אבריהן מתכנס (טורים מתכנסים).
    במקרה הזה מדובר על טור גיאומטרי וקל להוכיח את ההתכנסות ולחשב את גבולה (למרות שקשה לכתוב את ההוכחה כאן בגלל התמיכה הגרועה של עורך הטקסט בנוסחאות) אבל עליך להבין שהאפשרות לחשב את הגבול אינה תנאי להתכנסות.
    אינני יודע אם אפילו התקרבתי למענה על שאלתך כי, כאמור, לא הבנתי אותה.
    באשר לקשר לחשבון דיפרנצאלי ואינטגראלי, אכן, ההכרה בקיומם של טורים אינסופיים מתכנסים עדיין רחוקה מגילוי השיטות הללו אבל עובדות היסטוריות אחרות באמת מעידות על כך שלפחות חלק מן היוונים הקדמונים כבר השתמשו בשיטות שהיום היינו משייכים אותן לתחומים אלה.
    ארכימדס, למשל, מצא דרך גאונית לחשב את נפח החיתוך בין שני גלילים שווים ומאונכים שהצירים הראשיים שלהם נפגשים. הדרך שבה השתמש מראה שהוא ידע כיצד ניתן לחשב מה שהיום היינו קוראים אינטגרל ושהוא עשה זאת על פי אותם רעיונות ששימשו לימים להגדרת האינטגרל.

  54. לגיל, ציטוט:
    "כי צירוף אינסוף חלקים שאורכם שונה מ-0 חייב להיות אינסופי."". סוף ציטוט.

    קביעה לא נכונה. למשל, סכום הסדרה שהבאת כדוגמא מתכנס ל X.

    אני מתאר לעצמי שאתה יודע זאת לכן לא מבין את הקשר.
    סבדרמיש יהודה

  55. לגבי הפרדוקס האחרון, איך החשבון הדיפרנציאלי מתייחס אליו? אני מכיר איכותית כי קרוב לכך את הגדרת מושג הגבול ובעצם את הניסוח של התופעה התוארת בפרדוקס כסדרת איברים המתכנסת בסכימה כטור לערך בדיד מסוים.

    האם מישהו מהקוראים יוכל להסביר זאת כמותית?
    x/2
    x/4
    x/8

    ולאחר n חלוקות כאלה כאשר n שואף לאינסוף נקבל מקטעים
    בעלי אורך כ"א:
    x/(2^n)
    השואף לאפס מן הסתם

    איך זה בעצם מיישב את הפרדוקס? "ואילו במקרה השני אורכם הוא אינסופי, כי צירוף אינסוף חלקים שאורכם שונה מ-0 חייב להיות אינסופי."

    תודה מראש למשיב/ה/ים… (:

  56. צריך להשמר מכל מיניי כתבי יד "אותנטיים" שמתגלים פתאום כמו יצירה עלומה של מוצרט שהייתה במקרה בדירה של הסבתא שלו או משהו כזה.וכמובן גם גם מסמך זה של ארכימדס.
    אבל…. אני אחפש את הספר ואקרא אותו.
    אני בטוח שאם החשבון הדיפרנציאלי היה מתפתח ביון, הוא היה פורץ החוצה וידוע לכל
    כנראה שהבעיות המתמטיות שניתקלו בהן חכמי יון היו פשוטות ולא דרשו חשבון דיפרנציאלי.

    חברה , שמישהו ישבור כבר את השרב הזה!
    סבדרמיש יהודה

  57. ל-ירון ויהודה נכון שנירא כאילו הבינו חדו"א אז זה לא נכון בעצם זה ההבנה הקדומה של כח המשיכה ואיך גופים פועלים במהירות או סיבוב הפלנטות איך למרות ההבנה של הנושא בצורה דיי טובה בייחס לאמצעים שהיו להם הם לא יכלו לחשב את זה אלא רק בתאוריה שלא ניתנת לחישוב אם אתם רוצים עוד דוגמא ממש טובה תיקראו את הספר המישפט האחרון של פרמה זה על חידה שניפתרה לא מיזמן ולקח 600 שנה יפתור ולמרות האמצעים והמתמתיקה הגבוהה שבה הישתמש פותר החידה זה אינו אומר שזה שכתב את החידה הבהין את המתמתיקה שיש בה צורך לפיתרון החידה

  58. ליהודה,
    קראתי לא מזמן ספר מעניין – "הקודקס של ארכימדס" על חשיפת כתב יד עתיק של ארכימדס, ובין השאר הספר כולל הוכחות גאומטריות שכתב ארכימדס שמהן ניתן להסיק שהוא הבין והשתמש בחשבון דיפרנציאלי… שווה קריאה

  59. לדעתי כל הסיפור הזה של אכילס והצב מראה עד כמה הפילוסופיה חלשה לעומת המדע (ובכלל זה המתמטיקה): זנון נתקל בבעיה מתמטית שבמהותה היא די פשוטה. אבל, במקום ללכת ולחפש לה פתרון הגיוני שמתיישב עם המציאות, כפי שמדען היה עושה, הוא הלך וחיפש הסברים מרחיקי לכת וחסרי כל ביסוס, שהביאו אותו לכל מיני מסקנות שברור שהן שגויות. הערך היחיד של "הפתרון" של זנון הוא שהוא יכול להביא את השומע לידי הרהור. זה די דומה לכך שאני אלך לקנות במכולת חלב שעולה 5 שקלים, אשלם 10 שקלים והמוכר יגיד לי שאני לא צריך עודף. אז אני אומר לו – אבל רגע, שילמתי לך 10 שקלים, אני צריך לקבל עודף! אז הוא יאמר לי שעלי להבין שעודף הוא בעצם אשליה, ושבמהות הכללית של היקום בעצם כולנו חסרי משמעות, ושכל אחד מאיתנו תופס את מושג הקיום בצורה שונה, ולכן אני לא אמור לקבל עודף. אז מה, הוא צודק? הוא סתם מתפלסף.

    כשניוטון ולייבניץ (שגם היה פילוסוף, לא?) נתקלו באותה בעיה בדיוק, הפתרון שלהם הוליד ענף מתמטי שבלעדיו העולם היה נראה אחרת מאוד היום. אם זה לא השפעה פילוסופית על המציאות, אני לא יודע מה כן.

  60. זה רק מוכיח עד כמה היו היונים קרובים לפיתוח החשבון הדיפרנציאלי. קשה לדעת כיצד היה מתפתח העולם המתמטי- מדעי, אם החשבון הדיפרנציאלי היה ידוע כבר אלפיים שנה לפני לייבניץ- ניוטון.

    שיהיה לנו שבוע טוב
    סבדרמיש יהודה

  61. משניקרא -"shiiit" קצת חופר אבל אההה והקטע של חלוקה מחצית הדרך אין סוף פעמים היתה אצלי בפסיכומטרי…..רק ליידע כללי

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

לוגו אתר הידען
דילוג לתוכן