מתמטיקאי טוען שבידו הוכחה להשערת רימן (עדכון)

קהילת המתמטיקאים אינה ממהרת לקבל את ההוכחה המוצעת

כתובת ישירה לדף זה:
https://www.hayadan.org.il/riemann130604.html

האם הוכחה השערת רימן?


מתמטיקאי מאוניברסיטת פרדו הגיש הצעה להוכחת השערת רימן, אחת הבעיות הבלתי-פתורות הגדולות של זמננו. ההוכחה טרם נבדקה

מיכל סחף, גלילאו

המתמטיקאי לואי דה ברנאז', אשר ביצע בעבר ניסיונות אחדים לא-מוצלחים להוכיח את השערת רימן (Riemann), פרסם את הצעת ההוכחה בציבור בטרם פורסמה בכתב עת מדעי ובטרם נבדקה על ידי אחרים. הפרסום המהיר והנרחב בא להכריז על זכויותיו על ההוכחה, במקרה שיימצא אחר שיציע גרסה דומה.

פרס למוכיח ולא למפריך
זאת בשל פרס של מיליון דולר, אשר יינתן על ידי המכון המתמטי של קיימברידג', מסצ'וסטס, למי שיוכיח השערה זו. מעניין לציין, כי אם מישהו יפריך את השערת רימן הוא לא יזכה בפרס. ייתכן שהסיבה לכך היא שהוכחה היא עבודה מתמטית טהורה, בעוד שהפרכה יכולה להתקבל גם על ידי מחשב, שימצא דוגמה סותרת אחת.
השערת רימן, שהוצגה לראשונה בשנת 1859, לא הוכחה מעולם, גם לא על ידי ברנרד רימן עצמו שניסה לעשות זאת במשך שבע השנים שלאחר מכן, עד למותו בשנת 1866. זוהי השערה הנוגעת, בין השאר, למספרים ראשוניים ולאופן התפלגותם בין המספרים האחרים. ההשערה מתייחסת לפונקציה המכונה פונקצייית זיתא של רימן.

פונקציית זיתא
פונקציה זו היא בעלת חשיבות במתמטיקה ובפיזיקה, שלא כל תכונותיה נחקרו במלואן. האפסים של הפונקציה, כלומר הערכים שניתן להציב בה כך שהתוצאה תהיה אפס (דהיינו: “פתרונות” הפונקציה), מתחלקים לשני סוגים: “טריוויאליים”, שהם כל המספרים השליליים הזוגיים (כמו -2, -4, -6), ולא-טריוויאליים, שהם מספרים מרוכבים.
מספר מרוכב הוא סכום של מספר “רגיל” כלומר ממשי, ומספר מדומה. מספר מדומה הוא שורש של מספר שלילי. השורש של 1- מסומן באות i. כך, למשל, השורש של 4- הוא 2i. מספר כמו 2.5+3i הוא מספר מרוכב, ונהוג להציגו כנקודה ב”מישור המרוכב”, ואז הציר האופקי מייצג את החלק הממשי של המספר, והציר האנכי מייצג את החלק המדומה.

מספרים מרוככים
השערת רימן גורסת כי בהצגה מסוימת של פונקציית זיתא של רימן, הפתרונות המתקבלים הם כולם מספרים מרוכבים בעלי חלק ממשי השווה ל-1/2, וחלקים מדומים כלשהם. אם נציג את הפתרונות על גבי המישור המרוכב, נראה שכולם נמצאים על ישר אנכי, שערכו בציר הממשי ½. נראה כי רימן לא הגיע למסקנה זו בכוחה של אינטואיציה טהורה, אלא בחישוב ידני מדוקדק של חלק מפתרונות הפונקציה.
מה הקשר למספרים ראשוניים? השערת רימן קשורה קשר הדוק לטענה מתמטית אחרת, הנוגעת למספרים ראשוניים. זוהי טענה הנובעת מהשערת רימן (אם תוכח), אך היא הוּכחה כבר בעבר בדרכים אחרות. “משפט המספרים הראשוניים”prime number theorem מתייחס לשאלה, כמה מספר ראשוניים קיימים בטווח מסוים. למשל, כמה מספרים ראשוניים קיימים עד המספר 100? עשרים-וחמישה. וכמה עד המספר 1000? מאה-שישים-ושמונה. וכמה עד 10 בחזקת 10?

צפיפות ממוצעת
מתברר כי ניתן לקבל אומדן טוב באמצעות פונקציה שהיא אינטגרל על לוגריתם. המשמעות שלה היא מעין “צפיפות ממוצעת” של המספרים הראשוניים. ניתן לומר שלפי המשפט, ההסתברות שמספר כלשהוn הוא מספר ראשוני, נתונה לפי 1/log(n). קיימות עדיין בעיות בלתי-פתורות רבות הקשורות למספרים ראשוניים. המוטיבציה לפתירתן היא בחלקה אינטלקטואלית טהורה ובחלקה יישומית, מאחר שמספרים ראשוניים הם שימושיים במיוחד בהצפנה. בין השאלות הבלתי פתורות:

כמה “זוגות” של מספרים ראשוניים, שההפרש ביניהם הוא 2, קיימים? זוגות הם, למשל, 3 ו-5, או 29 ו-31. ייתכן שקיימים אינסוף כאלה.

האם לכל מספר n, קיים מספר ראשוני בטווח שבין n2 ו- (n+1)2?

המחקר של מספרים ראשוניים מתפתח אף באמצעים נומריים (באמצעות מחשב). באמצעים כאלה נמצא לאחרונה המספר הראשוני הגדול ביותר המוכר כרגע לאנושות, ולו 7 מיליון ספרות. את המספר, שהתפרסם ביוני השנה, ניתן להציג כ: 2 בחזקת 24,036,583 פחות אחד.

מתמטיקאי טוען שבידו הוכחה להשערת רימן

דיקלה אורן, 13/6/2004

מתמטיקאי צרפתי טוען, כי פתר בעיה קשה במיוחד, שלפותרה מוצע פרס כספי של מיליון דולר. ואולם, מתמטיקאים אחרים אינם ממהרים לקבל את ההוכחה שלו.

ביום שלישי לואיס דה ברנז'ה דה בורקיה (Louis de Branges de Bourcia), פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת פורדו באינדיאנה, פרסם הודעה לעיתונות, בה הוא טוען כי הוכיח שהשערת רימן נכונה.

ההוכחה הזאת היא אולי ההוכחה הנחשקת ביותר במתמטיקה כיום. אם היא נכונה, השערת רימן קובעת, שמספרים ראשוניים, מספרים המתחלקים רק בעצמם ובאחת, מפוזרים באופן אקראי לחלוטין לאורך ציר המספרים. אם ההשערה איננה נכונה, מתמטיקאים עשויים להצליח לנבא את מיקומם של מספרים ראשוניים.

מתמטיקאים נאבקים לקבוע האם השערת רימן נכונה מזה יותר מ-150 שנה. דה ברנז'ה טען בעבר, כי פתר את הבעיה, אך מתמטיקאים אחרים מצאו פגמים בעבודתו.

“ב-15 השנים האחרונות הוא חוזר וטוען כי ההוכחה בידו ומפרסם מאמרים,” אומר ג'פרי לגריאס (Jeffrey Lagarias), מתמטיקאי במעבדות AT&T בניו ג'רסי, שעוקב אחר עבודתו של דה ברנז'ה.

פונקציות זטה

המאמר האחרון הנו מסמך בן 124 עמודים, שנושא את הכותרת “פונקציות זטה ריימן” (Riemann Zeta Functions) ומופיע באתרו של דה ברנז'ה. המאמר עדיין לא הוגש לכתב עת מדעי, ומתמטיקאים עמם דיברו מ-New Scientist, כלל לא היו משוכנעים, שהמאמר מכיל הוכחה.

“הניחוש שלי הוא שמדובר בכישלון נוסף בשורה ארוכה של כישלונות,” אומר אנדרו אודליזקו (Andrew Odlyzko), מתמטיקאי מאוניברסיטת מינסוטה, שחוקר את השערת רימן. לגריאס אומר: “אינני חושב שיש בידו הוכחה כרגע.”

אולם דה ברנז'ה נחל הצלחה בעבר. לפני עשרים שנה הוא נאלץ להתמודד עם ביקורת, כאשר טען כי פתר בעיה מתמטית עתיקת יומין אחרת. במקרה ההוא, הוא התברר כצודק לבסוף.

“דה ברנז'ה תמיד חושב שיש בידו הוכחה. אולי הוא צודק, ואולי לא,” אומר הארי דים ממכון ויצמן ברחובות, ישראל. הבעיה היא, אומר דים, שהתדירות בה הוא טוען להוכחה “יצרה חוסר רצון בקרב אנשים להקדיש זמן לבדיקת הוכחה חדשה.”

כדי לדרוש את הפרס של מיליון הדולר, שהוצע על ידי מכון קליי למתמטיקה בקיימברידג', מסצ'וסטס, על דה ברנז'ה ראשית לפרסם את מאמרו בכתב עת, ועל המאמר לשרוד שנתיים של בדיקה קפדנית על ידי קהילת המתמטיקאים. תוכניותיו של דה ברנז'ה להשתמש בכספי הזכייה לשחזור טירה עתיקה בצרפת ולהפכה למכון למתמטיקה, איפוא, תשארנה בהמתנה בינתיים.

תרגום: דיקלה אורן

הכתבה ב-New Scientist
ידען המתמטיקה

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~870467645~~~133&SiteName=hayadan