אור חדש על המספרים הראשוניים

שני מחקרים חדשים מנסים “לעשות סדר” בהבנת אחת החידות הבולטות במתימטיקה של ימינו

נח ברוש

קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/prineno1.html

המספרים הראשוניים נמנים עם החידות הבולטות של תורת המספרים ה-number theory- . המספרים הראשוניים הם השלמים החיוביים המתחלקים רק בעצמם וב- 1. המספרים הראשוניים הראשונים הם: 2, 3, 5, 7, 11, 13 – וכו'. הם הקטנים ביותר ב”משפחה” הזאת.

שתי עבודות מחקר שפורסמו באחרונה מבקשות לחשוף את סוד המספרים הללו. הראשונה, של פיסיקאים מאוניברסיטת בוסטון מתייחסת להפרשי ההפרשים שבין המספרים ראשוניים. השניה היא של מתמטיקאים מקליפורניה וטורקיה ומנסה להוכיח שהמספרים הראשוניים באים ב”צבירים”: ניתן לגלות מספר ראשוני במרחק קרוב יותר מהמספר הראשוני הקודם, יחסית למרחק הממוצע שבין המספרים הראשוניים.

המספרים הראשוניים נחשבים ל”זן מוזר” בקרב ה”יצורים המתמטיים” בעולם אינסופי של מספרים חיוביים שלמים. אחת המוזרויות המיוחסת להם: לא ניתן “לנבא” היכן בדיוק יופיע מספר ראשוני בתוך הים האינסופי של המספרים החיוביים. צריך לחפש מועמדים שכאלה ולבדוק האמנם לשייכם ל”משפחה”.

עקרונית: ככל שהמספר גדול יותר, כך הסיכוי שיהיה ראשוני קטן יותר. במילים אחרות: ככל שעולים בסולם המספרים החיוביים – נעשים הראשוניים נדירים יותר.
החוקרים מארה”ב וטורקיה טוענים שמספרים ראשוניים עוקבים, בלי תלות בגודלם, נמצאים קרוב יותר זה לזה מהמרחק הממוצע בין הראשוניים, שהנו מסדר גודל של הלוגריתם של המספר. מסקנתם היא: יתכן שלפעמים המרחק בין שני מספרים ראשוניים יכול להיות קטן הרבה יותר מהממוצע. לדוגמא: בין 11 ל- 13 מפריד רק 2 ולפעמים מוצאים צביר של מספרים ראשוניים קרובים מאוד זה לזה. דוגמה לכך היא הסדרה 101, 103, 107, 109 ו- 113.

הפיסיקאים שהתייחסו לנושא זה חישבו את ההפרשים שבין 50 מיליוני המספרים הראשוניים של תחילת ציר המספרים, ואחר כך חישבו את הפרשי ההפרשים ביניהם. הם שמו לב שכמעט בכל פעם שהפרש של הפרש הוא חיובי, הוא בא אחרי הופעת הפרש של הפרש שלילי. למשל: אם נתייחס לסדרת המספרים הראשוניים שהובאה למעלה, אזי ההפרשים שבין האיברים העוקבים בסידרה הם: 1, 2, 2, 4, ו- 2. והפרשים ההפרשים הם: 1+, 2, 0+, 2- .

מסקנת החוקרים: קיימת עקביות חבויה במירווחים שבין מספרים ראשוניים עוקבים. היא עשויה להקל במציאת מספרים ראשוניים נוספים.

אחת הבעיות היא שטענה זו איננה נתמכת, כרגע, בתיאוריה מתמטית כלשהי. לכן לא ברור מה ערכה המעשי. עם זאת, יתכן ששתי עבודות המחקר יסייעו בהבנת החידה של המספרים הראשוניים.

ידען המתמטיקה

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~571626369~~~133&SiteName=hayadan