צוות אסטרופיסיקאים בהובלת מדענים מטקסס ומקליפורניה הצליח כעת לצפות בגלקסיה המרוחקת ביותר שנראתה עד כה: בערך 13.1 מילארד שנות אור
גדולה בהרבה משביל החלב, ומייצרת כוכבים בקצב אדיר. הדמיה של גלקסיית z8_GND_5296, באדיבות STScI/NASA
היקום שלנו נוצר במפץ הגדול לפני כ-13.8 מיליארד שנים, ומאז הוא מתפשט בקצב גדל והולך. לפיכך, ככל שאנו צופים בגלקסיות מרוחקות יותר מאיתנו, פירוש הדבר כי הן גם קדומות יותר. צוות אסטרופיסיקאים בהובלת מדענים מטקסס ומקליפורניה הצליח כעת לצפות בגלקסיה המרוחקת ביותר שנראתה עד כה: בערך 13.1 מילארד שנות אור. משמעות הדבר הוא שלקח לאורה 13.1 מיליארד שנים להגיע אלינו, ואנו רואים אותה כפי שהיתה רק 700 מיליוני שנים לאחר המפץ הגדול – ממש ערש הולדתו של היקום. “אנחנו רואים גלקסיה מאוד צעירה, בשלב מאוד מוקדם של התפתחות עצמים ביקום”, אומר השותף הישראלי במחקר, פרופ’ אבישי דקל מהאוניברסיטה העברית בירושלים.”זו גלקסיה מאוד גדולה, המייצרת כוכבים בקצב שהוא פי 100 או 200 יותר מהגלקסיה שלנו היום. זה מלמד על השלבים המאוד-מאוד בראשיתיים של התפתחות אותן גלקסיות שהיום אנו חיים בהן, ונוצרו בהן כוכבים וכוכבי לכת וחיים כמונו. אלה ההורים הקדמונים שלנו”.
אדום רחוק
הגלקסיה, המכונה בינתיים z8_GND_5296, התגלתה תחילה בתצפיות של טלסקופ החלל “האבל”, במסגרת מיזם לסריקת השמיים וחיפוש אחר מערכות כוכבים רחוקות במיוחד. כדי לאמת את המימצא בחנו אותה החוקרים בטלסקופ הגדול ביותר בעולם, מצפה הכוכבים “קק” בהוואי, שם אפשר לצלם את הגלקסיה גם בספקטרוסקופ – מכשיר המנתח את הרכב האור הנפלט ממנה. כאשר רואים שהאור של יסודות שונים כמו מימן למשל, הוא הרבה יותר אדום ממה שהוא אמור להיות, פירוש הדבר שהגלקסיה מתרחקת מאיתנו במהירות. השיטה הזו דומה לתופעת דופלר, שבה אנו שומעים ירידה או עליה בתדירות של גלי קול, אם הם מתקרבים אלינו או מתרחקים מאיתנו. למשל – כשאמבולנס נוסע במהירות לעברנו, הגלים נשמעים צפופים יותר, אך כשהוא מתרחק, תדירות הגלים המגיעים אלינו פוחתת. תופעה זהה מתרחשת בגלי אור, כשמדובר במהירויות גבוהות בהרבה. גרם שמימי המתקרב אלינו במהירות עצומה ייראה לנו כחול יותר, ואם הוא מתרחק במהירות, נראה את התופעה המכונה “הסחה לאדום”. בגלקסיה הנוכחית נמדדה הסחה לאדום גבוהה יותר מהכל גלקסיה אחרת (7.5 לעומת השיא הקודם שהיה 7.2), מה שמאפשר לחשב את מהירותה ביחס אלינו, וכך לקבוע את המרחק שלה.
ראשית היקום
המדענים יודעים לתאר כיום ברמת דיוק לא רעה (לפחות עד שיוכח אחרת) את השתלשלות האירועים ביחידות הזמן הראשונות לאחר המפץ הגדול. האנרגיה העצומה שהשתחררה הפכה לחומר, וקיבלה מסה (בין השאר בזכות בוזון היגס, שקיומו הוכח כמעט סופית רק בעת האחרונה). אותם חלקיקים חברו ליצירת פרוטונים ונייטרונים, שעם האלקטרונים יצרו את האטומים הקטנים ביותר, מימן והליום. האטומים הראשונים התקבצו לכוכבים (שמשות) שבהם נוצרו תנאי חום ולחץ המאפשרים היתוך לאטומים כבדים עוד יותר, ובפיצוצים שלהם נוצרו גם אטומים כבדים ממש, כמו מתכות. שאריות פיצוצים כאלה וחלקיקי אבק התגבשו ליצירת כוכבי לכת, ירחים וגרמי שמיים אחרים. ואולם, המדענים עדיין יודעים מעט יחסית על תהליכי ההתפתחות של היקום אחרי התקופה הראשונה: כיצד נוצרו הגלקסיות, כיצד הן התפזרו כפי שהתפזרו, כיצד נוצרו בתוכן התנאים ליצירת כוכבים וכן הלאה. היכולת המשופרת שלנו בעשורים האחרונים להתבונן אל הגלקסיות הקדומות ביותר, עשויה לשפר את הבנתנו כיצד אירעו התהליכים האלה וכיצד בסופו של דבר נוצרה גם הגלקסייה שלנו.
269 תגובות
עלה כאן נושא המרחב הקוונטי.
כזכור – אינני מקבל כלל וכלל את ההנחה שסוג כזה של זמן מרחב נובע מסיפור אכילס והצב, אבל אני רוצה להציע לכולנו לחשוב על האופן בו אמור סוג כזה של זמן מרחב להתמודד עם התופעות הפיזיקאליות המוכרות לנו. אני מציע רק לחשוב – אינני חושב שבמצב הידע הנוכחי של מישהו בעולם אפשר בכלל לדון בשאלות אלו ברצינות – ולכן אני מציע רק לחשוב ולא להתחיל דיון.
למשל:
1. על פי הנחות תורת היחסות אי אפשר לדעת אם גוף עובר בין קוונט מרחב אחד למשנהו כי אין דבר שראוי להיקרא תנועה/מנוחה אבסולוטית. זו אינה שאלה של דיוק מדידה כי אי אפשר גם לדעת אם גוף עבר טריליון טריליון טריליון טריליון טריליון קוואנטים של מרחב או שמא לא עבר אף אחד.
2. איך אפשר להסביר תנועה אינרציאלית בקו ישר? הרי במרחב קוונטי גוף חייב (במרבית הכיוונים) לנוע בזיגזג כלשהו אז איך הוא יכול “לזכור” את הכיוון מזיג לזיג? לגבי גופים מקרוסקופיים אפשר לומר ש”הזיגזוגים” של החלקיקים השונים מתקזזים אבל לגבי גופים מיקרוסקופיים אי אפשר לטעון זאת. חוץ מזה – גם לגבי גופים מקרוסקופיים יש בעיה כי פירוש הדבר שגוף שנמצא בתנועה צריך להתחמם (בגלל התנועה היחסית שנכפית על חלקיקיו) ובזה צריך להיות אפשרי להבחין וזה – לא רק שאינו מסתדר עם תורת היחסות – זו גם לא תופעה שמישהו הבחין בה.
3. אני בטוח שכל מי שיחשוב על הנושא ימצא עוד כמה עיזים. ייתכן שאפשר יהיה למדל הכל כהלכה אבל אישית, בשלב הנוכחי, אני מעדיף לתת לאוקהם להחליט.
ניסים:
טוב. פעם אחרונה באמת כי יש גבול לכל בזבוז זמן:
הפתרון לפרדוקס הוא אכן מתמטי וזה כי הפרדוקס הוא מתמטי. אין לזה קשר לעולם הפיזיקאלי! אין!
מי שעושה את הקשר ביניהם הוא אתה ואתה בלבד.
העולם המתמטי הוא חלק מהעולם הפילוסופי אבל פרדוקס הוא בחלק המתמטי (בהנחה – וזה עניין חסר כל חשיבות של הגדרת מילים בלבד – שהלוגיקה היא חלק מהמתמטיקה).
פרדוקס ראסל או כל פרדוקס אחר הוא דבר שמתגלה כסתירה לוגית לכאורה בין שתי דרכים לגיטימיות לכאורה של הסקת מסקנות.
זה חלק מהלוגיקה. פרדוקס זנון אינו יוצא מכלל זה.
אין פרדוקסים ידועים במתמטיקה.
פרדוקס ראסל פתור. למעשה כל הפרדוקסים שאי פעם עלו נפתרו.
חלקם נפתרו על ידי תובנות חדשות במתמטיקה עצמה (זיהוי טעות בכללי ההגדרה והסקת המסקנות במתמטיקה) וחלקם נפתרו על ידי זיהוי טעות של מי שניסח אותם.
כשניסחו את הגיאומטריות הלא אאוקלידיות לא היה בכך משום גילוי טעות של אאוקלידס על טיבו של העולם הפיזיקאלי.
הבינו שאפשר לנסח אקסיומות אחרות ולקבל גיאומטריה אחרת אבל לא ידעו מה נכון בעולמנו.
למעשה ה”טעות” של אאוקלידס (אם בכלל הייתה – אינני יודע אם מישהו כתב מה חלף בעניין זה במוחו של אאוקלידס) הייתה (שוב – אולי – לא ידוע אם בכלל הייתה) בהנחה שהעולם הפיזיקאלי תואם את הגיאומטריה האאוקלידית. זו טעות בתחום הפיזיקה. בתחום המתימטיקה לא הייתה לו טעות. ברור שידע שאם ינסח אקסיומות אחרות יתקבל משהו אחר אבל הוא פשוט לא חשב שיש טעם בניסוח אקסיומות אחרות כי זה לא יהיה רלוונטי לעולמנו (זו מחשבה פיזיקאלית).
הנחותיו של אאוקלידס הוכחו לראשונה כטעות (שוב! פיזיקאלית!) בשנת 1919 בניסויו של אדינגטון.
המסקנה של זנון היתה:
אכילס “לעולם” לא ישיג את הצב. כלומר לא קיימת נקודת זמן בעתיד שבה אכילס ישיג את הצב.
והניסוח הנכון הוא :
הנקודה שבה אכילס משיג את הצב לעולם לא תהיה שייכת לקבוצת הנקודות המתוארות בבעיה.
וכמובן יש לזכור שלא מדובר כאן על תנועה של גוף פיזיקאלי כלשהוא. אכילס המתואר בבעיה אינו גוף פיזיקאלי אלא נקודה מתמטית. לא מוזכרות כאן שום תכונות פיזקאליות של אכילס. מוזכרת רק התאמה בין המספרים הטבעיים לבין שלוש סדרות של נקודות שהם :
א)סדרה של נקודות זמן.
ב)סדרה של נקודות מרחק המתארות את מיקומו של אכילס.
ג)סדרה של נקודות מרחק המתארות את מיקומו של הצב.
קטע הזמן שמתואר על ידי זנון הוא קטע חסום.
הטענה “לעולם” אינה יכולה להתקיים כאשר מדברים על התאמה בקטע חסום של הזמן.
כיוון ש”אכילס” המתואר הוא גוף נקודתי אין משמעות לשאלות כגון:
א)באיזו יד.
ב)באיזו רגל.
כיוון שהקטע הוא חסום אין משמעות לשאלה:
ג)מי יעביר את המקל.
בתוך הקטע החסום אכילס לא ישיג את הצב. הוא ישיג אותו בנקודה שהיא מחוץ לקטע.
כתבתי את אתמול תגובה שנעלמה….
מיכאל – אתה כתבת שהפתרון לפרדוקס אכילס הוא בעזרת גבול הטור. אתה כתבת שגם אני משתמש במודל מתמטי כדי להסביר את הטבע. עכשיו נראה לי שאתה מסובב את זה …. (כנראה אי הבנה שלי).
אני לא הזכרתי מתמטיקה. הפרדוקסים של זנון לא שייכים לעולם המתמטיקה. הם שייכים לפילוסופיה.
ומיכאל – יש הרבה פרדוקסים במתמטיקה, זה רק תלוי בהגדרה שלך לפרדוקס. תחשוב על ראסל, קארי, טארסקי ובאנאך, וגדל, למשל.
הטעות של אוקלידס התגלה 100 שנה לפני איינשטיין – ולגמרי במקרה – בדיוק בעזרת ניסוי מחשבתי!
ישראל – אני אומר שוב ושוב ושוב: זנון לא דיבר על בעיה בגבול הטור. הוא דיבר (להבנתי) על אינסופיות הסידרה. יש כאן הבדל מהותי.
MouthHole
אני לא מאמין שיש פה עניין של אגו.
ניסים טוען שבפילוסופיה פרדוקס זנון אינו פתור. הוא טוען גם שהוכחות מתמטיות אינן בהכרח קבילות בעולם הפיזיקה. אם עקבת אחרי פרטי הדיון, הדרך שניסיתי להראות לו שבמקרה המסויים הזה הפרדוקס דווקא די פתור, דומה לדרך שבה מבררים אם סכומו של טור אינסופי מתכנס או מתבדר.
לדוגמה: איך תדע אם סכום הטור ….1 +3/4 -5/6 +1/2-7/8 מתכנס לערך סופי או מתבדר לאינסוף?
הדרך לברר היא הסתכלות בפרטים הקטנים, קיבוץ קבוצות דומות והשוואה ביניהן. זה מה שניסיתי לעשות פה, ולכן הירידה לפרטי הפרטים. אני מקווה שידידי ניסים קיבל זאת כך.
להוכיח שאני צודק? אין לי עניין רב בפסיכולוגיה, למרות שטכנית ההפך מצודק זה טועה.
מכאל, אני מקבל את זה שטעתי. אני כמובן רק ניחשתי (וניחשתי כך רק מצורת ההתנהגות שהייתה לי בעבר).
בכל מקרה, אני לא חושב שמי שקרא את מחול התגובות כאן יחשוב כך. אז אני מניח שאתה דואג לקוראים העצלנים שקוראים רק את התגובות האחרונות. אכן נחמד מצדך 🙂
ישראל
אתה ממש לא בכיוון. זנון לא התעניין בסכום המרחקים. הוא דיבר על המשמעות של אינסוף ארועים. וזו בעיה שלא ניפתרה עד היום, לדעת מספר פילוסופים. וגם, כמה שזה מוזר, במדעי המחשב.
מיכאל
הטעות של אוקלידס התגלה בערך 100 שנה לפני איינשטיין. והטעות בפירוש התגלתה ע”י ניסוי מחשבתי “בואו נניח שאקסיומת המקבילים אינה נכונה ואז נמצא סתירה”.
האם יש פרדוקסים במתמטיקה? קודם צריך להגדיר פרדוקס. כל פרדוקס שאתאר – אתה תגיד שזה לא פרדוקס וזה הופך להיות ויכוח על סמנטיקה. אני מעריץ של ראסל, ומשום מה יש פרדוקס במתמטיקה על שמו. ויש פרדוקסים על שמם של אנשים כמו קארי, פון נוימן, באנאך וטרסקי, וכמובן גדל.
ומיכאל, אתה משום מה מסובב את דברי. לא דיברתי על פרדוקס במתמטיקה. דיברתי על פרדוקס בפיסיקה. אני לא טוען שהפרדוקסים של זנון מחייבים שהעולם הוא בדיד. אבל זה מעורר מחשבות. אצלי לפחות.
MouthHole:
לדעתי האינטרפרטציה שלך לא מדוייקת.
אני יודע שאני צודק גם בלי להגיב ואני נהנה מזה באותה מידה.
הסיבה שאני עדיין מגיב מדי פעם זה כדי שלא ייווצר הרושם שקיבלתי את הדעה השגוייה.
ויש כאן, כאמור, שגיאות רבות והאחרונה שעלתה כאן שוב היא הטענה שהופכת את התפקידים ומציגה דווקא את ניסים כמי שתומך בעמדה שאין להשליך מהמתמטיקה על הפיזיקה בשעה שהמצב הוא בדיוק הפוך, כפי שהסברתי פעם נוספת.
אני רואה את הדיון הזה כך: משהו עם אגו ענק, למרות שבתוך תוכו הבין שטעה, אינו מוכן להודות בכך. ועוד שני אנשים שנהנים מאוד להיות צודקים ומסבירים לו שוב ושוב את אותו הדבר.
אני לא מאשים כאן אף אחד, מה שכתבתי נשמע עוקצני כי אני כן רואה כאן משהו שלילי בדיון והייתי רוצה שישתנה (כמובן שאתם לא חייבים להסכים איתי, זו היא רק דעתי): באיזה שהוא שלב, ברגע שכל הדברים כבר נאמרו, אין צורך לחזור על הדברים מותר שלניסים יהיה בעל המילה האחרונה, גם אם הוא טועה. כך נחסוך קרוסלה…
גם לי לפעים יש בעיה להבין שאני טועה, ואני צריך שמשהו מבחוץ יגיד לי לשחרר בשביל שאני אחשוב על זה באמת שוב פעם (ולא אחשוב על דרך להוציא את עצמי צודק).
וגם לי לפעמים ממש מתחשק להיות צודק לא משנה כמה פעמים אני חוזר על עצמי ואני צריך שמהו יגיד לי לשחרר בשביל להבין ני חוזר על עצמי שוב ושוב בלי סיבה מיותר.
אז שחררו. 🙂
בכלל, אני חושב שרוב הוויכוחים האמיתיים והכפיים שאני משתתף בהם, הם אלה שאני לא בטוח ב 100% בטענה שלי ואז מבין שאני טועה. כך בעצם גם לומד דברים חדשים וגם שם לב לזה (שזה גם פעולה די קשה לרוב)
לכל מי שעדיין לא הבין:
את ה”טעות” של אוקלידס לא גילו באמצעות ניסוי מחשבתי אלא בזכות ממצאים פיזיקאליים.
ללא ממצאים פיזיקאליים שמאששים את המודל של איינשטיין ופוסלים את המודל של אאוקלידס לא היה איש מסיק שאאוקלידס טעה. להיפך: היו מחליטים שאיינשטיין טעה.
אין בהיסטוריה של המדע אף אחד שהשליך משהו על העולם הפיזיקאלי מפרדוקס במתמטיקה (בין השאר כי לא ידוע על פרדוקסים במתמטיקה).
ובכל זאת – זה מה שניסים מנסה לעשות.
העניין הוא שאין אפילו פרדוקס במתמטיקה וכל מה שיש כאן הוא חוסר ידיעה של זנון ולכן ניסים משליך על על הפיזיקה מהרהורי ליבו ותו לא.
הסכמתי איתך בעבר שהשלכה מהמתמטיקה לפיזיקה לא תמיד לגמרי ברורה, ע”ע אינפינטסימל שיכול להיות קטן כרצונינו במתמטיקה אך בעל קוטן סופי בפיזיקה.
לא זהו המקרה בפרדוקס זנון.
כי על פי זנון אוריגינל אכילס לא ישיג את הצב מכיוון שהמרחק שהוא צריך לעבור כדי לעשות זאת, דהיינו 100 מטר +10+ 1… הוא סכום של מספר אינסופי של מרחקים, קטנים והולכים אמנם אך עדיין מספר אינסופי, ומרחק זה חייב לכן להיות גדול מ112 מטר.
זו הנחה סבירה למדי לפני 3000 שנים, אך לא כיום. כיום אנו יודעים שמתמטית, וגם פיזית, המרחק קטן מ112 מטר.
ולכן נפתר הפרדוקס.
ישראל
לפסול את הפרדוקס בגלל איזו משוואה שמחשבת גבול של טור זה לא לעניין, לדעתי. אתה מפסיד המון רעיונות יפים. סתם דוגמא: אם אכילס יבדוק בכל שלב אם מספר הצעדים שעבר הוא סכום של שני ראשוניים, אז עד שהוא יגיע לצב הוא יוכיח (או יסתור) את השערת גולדבך. הוא כמובן גם יפתור את בעיית העצירה, וכן הלאה….
מעבר לכך, מה שמפריע לי זה שמשליכים ממתמטיקה לעולם הפיסיקלי, בלי שיש לנו בסיס מוצק לחשוב שהשלכה כזאת אכן תקיפה. מתמטיקה מבוססת על אכסיומות. היא אינה מערכת מוחלטת. אוקלידס טעה בכך בתחום הגיאומטריה. חבל לחזור שוב על הטעות הזאת 🙂
מה קרה לך אתה אח שלנו, בלית רעל?
מה זה כל הרגשי הזה, אסור כבר לכתוב קצרשירים באתר הזה?!
ואנחנו בכלל לא חושבים שאנחנו כל כך חכמים.
גאו..
שיהיה יום טוב.
אני לא חושב שאתם כל כך חכמים כמו שאתם חושבים.
אתם צודקים. חבל על הזמן.
כי אחרת לא הייה איזון
כנסו כנסו!
כל הטורים פה התכנסו!
על הר האולימפוס ישבתי,
פרדוקס על אכילס כתבתי,
לפתע הטור התכנס,
המפגש לא נראה שוב כנס.
פרדוקס זנון אינו טפשי כלל וכלל אלא נובע מחוסר ידע על גבולם הסופי של טורים מתכנסים מסויימים, ידע שלא היה קיים בתקופת זנון.
ניסים:
אינני מסכים עם שום דבר ממה שאמרת בתגובתך האחרונה אבל לא אקדיש לכך זמן נוסף
מיכאל
אז לפחות אתה מסכים שאין כל קשר בין הפרדוקס (לכאורה …) לבין גבול טור גיאומטרי. נכון?
להגיד שכל רעיון הפרדוקס הוא טיפשי …. זה יכול להיות נכון 🙂 אני מבין שזו גם מהות תגובתו של ישראל (בדיוק כמו הרעיון שלהגיד שהגבול של טור הוא פתרון לפרדוקס הוא טיפשי).
תנו לחשוב על זה לילה 🙂
על הר האולימפוס ישבתי
ופרדוקס על צב כתבתי
פתאום הטור התכנס כנוס
וזהו סוף הפרדוקס.
רות סוף.
ניסים
גבול הטור שהצגת נמוך מ112.
לא משנה כמה איברים נוסיף לטור, באינסוף או בסוף, לא נגיע בסוף ל112.
ועל פי זנון כן נגיע וגם נעבור את 112.
וכאן הטעות שלו, וגם סוף הפרדוקס.
ניסים:
נכון. אבל השאלה היא בדיוק כמו השאלה שאתה שואל. אתה שואל – מבין אוסף האכילסים שבנית בצורה כזו שאף אחד מהם לא יגיע לצב – איזה אכילס יגיע לצב.
זו שאלה מטופשת בדיוק באותה מידה.
ישראל
אני לא מבין מה אתה אומר. הגבול של הטור הוא …111.11111111111111111111
מה קשור כאן 112?
אני מזכיר אינסוף כי זו מהות הבעיה … אינסוף ארועים.
מיכאל
אם הם לא זזים אז אכילס לא יגיע לצב.
ניסים:
לא. אני מראה לך כמה מגוחך קו המחשבה שלך ואתה לא מבחין בגיחוך שבו.
יודע מה? אדגים לך את זה במודל החביב עליך. זה של מרחב קוונטי: המרחב הוא קוונטי ואכילס נמצא בנקודה A.
הצב נמצא בנקודה אחרת – B.
אכילס לא זז מנקודה A והצב לא זז מנקודה B.
איזו רגל של אכילס תהיה מלפנים כשיגיע לצב?
ניסים
מתוך התגובה שלי:
“אז אני חוזר ושואל: האם אתה מקבל שעל פי טיעון זנון 100 מטר + 10 מטר + מטר + עשירית המטר … עד כל מספר אינטרוולים שנרצה (קטן מאינסוף, אפילו בהרבה), גדול מ112?”
אז למה אתה חוזר ומזכיר אינסוף? אתה מדבר אולי על פרדוקס אחר?
יוסי סימון
המצאת הגדרה מוזרה לפרדוקס וטענת שהפרדוקס של זנון לא מתאים להגדרה שלך.
מיכאל
אתה מנסה לשכנע אותי שאני צודק?
ישראל
בפעם ה-100 ועוד 10 ועוד 1 ועוד 0.1 ….. אני יודע לסכם סידרה גיאומטרית. הבעיה אינה הסכום. הבעיה היא שיש אינסוף ארועים. אין כל קשר לזמן בין הארועים (זמן זה מהווה טור מתכנס).
כדי לנסות להסביר את הבעיה – הוספתי את עניין “העברת המקל”. עכשיו אמור להיות ברור שאין מי שיעביר את המקל לאותו רץ שנמצא בקו השיוויון.
יוסי סימון:
אתה משתמש בטכניקת ההוכחה הנכונה אבל מניסוח ההסבר מתברר שאינך מבין אותה.
אתן לך הזדמנות לתקן את הניסוח לפני שאסביר את הטעות.
על זה שגישתך לפרדוקס של זנון אינה אלא התחמקות אינני מוצא לנכון להרחיב כלל כי כבר התכתבנו בעניין.
ניסים:
אז אמור לי בבקשה, אם נתונה קבוצת אכילסים שכולם חובשים כובע שחור, מה שם אימו של אכילס (מתוך הקבוצה) שחובש כובע לבן.
סבדרמיש יהודה!
להלן ההוכחה המתמטית כי עוצמת קבוצת המספרים הממשיים גדולה מעוצמת קבוצת המספרים הרציונליים.
1. קבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצת מספרים בת מנייה.
2. נבנה מספר ונוכיח כי הוא לא משתייך לקבוצת המספרים הרציונליים ולכן קבוצה זאת אינה בת מניה.
3. כל מספר ניתן להצגה של אין סוף ספרות.
4. כעת נקבע את הספרות בשיטה הבאה. אם הספרה הראשונה במספר הראשון היא 3 נציב בספרה הראשונה את הערך 3 אחרת נציב את הספרה 4 .
5. וכעת נעבור לספרה השנייה ואותה דרך נציב 3 או 4 בהתאם לערך הספרה השנייה במספר השני.
6. קיבלנו מספר שאינו כלול במספרים הרציונליים.
ושוב כל הפרדוקס של זנון נשען על טענה אחת בלבד A גורר B (ומאחר והטענה מופרכת מיסודה אין צורך להבהיר מאומה) דומה למי שמוכיח כי סכום הזויות במשולש הוא 170 מעלות ומסתמך על המשפט שבמשולש 180 מעלות
ניסים
כל הטיעון של זנון הוא שסכום של כל אינסוף אינטרוולי מרחק שווה לאינסוף גם הוא.
זה נכון במקרים רבים אך לא במקרה המסויים הזה. גם לא בסכומים שקטנים מאינסוף. זהו עקב אכילס של הטיעון.
אז אני חוזר ושואל: האם אתה מקבל שעל פי טיעון זנון 100 מטר + 10 מטר + מטר + עשירית המטר … עד כל מספר אינטרוולים שנרצה (קטן מאינסוף, אפילו בהרבה), גדול מ112?
האם אתה מקבל שזהו הפרדוקס המקורי?
והאם אתה מקבל שזה פשוט לא נכון? דהיינו שכל סכום כזה תמיד יהיה קטן מ112?
אם קיבלת, אז הפרדוקס המקורי פתור.
מה שאני מבין מהתגובות שלאף אחד אין תשובה לשאלה. זה מה שניסיתי להגיד כל הזמן.
מיכאל
התגובה שלי קוהרנטית לגמרי. בוא נעזוב את זה.
ב
אני זורם איתך. אתה טוען שאין ימין ואין שמאל במתמטיקה. עם ההיגיון המוזר הזה לא אנסה להתווכח.
ניסים:
בפרדוקס מדובר על נקודה מתמטית שנקראת בשם אכילס.
זה לא אדם.
זה גם לא גוף פיזי אחר כלשהוא.
זו נקודה מתמטית.
אם נקודה מתמטית נקראת בשם אכילס
אז אין לנקודה הזו לא יד ימין ולא יד שמאל. לא רגל ימין ולא רגל שמאל.
ניסים:
זו כבר תגובה חסרת פשר לחלוטין.
אין לי מושג מה אתה רוצה.
אם לחזור לתגובות הקודמות שלפחות מבחינה סינטקטית היו תקינות (אף שתוכנן היה שגוי) הרי שאם נסכם את שאלתך אפשר לתמצת אותה כך:
נתונה רשימת אכילסים שאף אחד מהם לא מגיע ל1024. מצא תכונה X של אכילס שמגיע ל 1024?
או במשל: נתונה רשימת אכילסים שלכולם כובע שחור. מה צבע עיניו של אכילס עם הכובע האדום?
מיכאל
נניח שאכילס רץ 512 מטר בדקה, לכן אתה בודאי מדבר על אותו אכילס שמגיע בדיוק ב-2 דקות. ניקרא לו אכילס א-0. או שאולי אכילס א-1?
ניסים:
כמובן שמה שחסר לי זו הגדרה של אכילס שמגיע למרחק 1024.
מיכאל
חשבתי שיש לך נוסחה גם לזה…. 🙂
איזה פרט חסר לך כדי לענות לי? מה חסר לך בתיאור הבעיה? אם זה חשוב לך – תניח שהאכילס הראשון מתחיל ביד ימין.
ניסים:
אולי תשאל אותי עכשיו מה גובהו של אכילס ששמו יוסף?
ניסים:
טוב שאתה לא שואל אותי מה יהיה צבע שערו של אכילס שיגיע לקו ה 1024 או מה שם אמו או מה מספר הנעליים שלו.
כמה פעמים צריך לומר שאי אפשר לענות על שאלה שאתה שואל על מצב שלא התייחסת אליו בתיאור הבעיה?!
אני לא יכול לומר שום דבר על אכילס שיגיע לקו 1024 מפני שאף אכילס בסדרה שתיארת לא יגיע אליו.
מיכאל
כן. אבל אתה לא יכול להגיד לי שאותו אכילס שבקו ה-1024 מטר יקבל את המקל.
בוא נחזור למנורה של תומסון, ונניח שכל אכילס מחליף יד. באיזה יד האכילס בקו ה-1024 מטר יקבל את המקל?.
דרך אגב – אני חושב שאתה גם לא יכול להגיד לי באיזה זמן האכילס בקו החצייה יקבל את המקל – כי זה גורר מדידת זמן בדיוק אינסופי.
נניח שניסוי מייכלסון מורליי היה מתבצע במרחב הבין גלקטי על פני מרחקים מספיק גדולים.
אם המרחב הבין גלקטי שונה מן המרחב בתוך גלקסיה בכך שהוא “מתנפח” אז גם התוצאות של הניסוי צריכות להיות שונות מתוצאות של אותו ניסוי בתוך גלקסיה.
ניסים:
כלומר – השאלה ממחישה בעיה אם היא מתיימרת לדבר על מה שאינה מדברת עליו.
אם אתה שואל מה יקרה במצב זה מבלי להתיימר לדבר על מה יקרה מחוץ לתחום ההגדרה אז זה פשוט מאד:
עד שיעבור פרק הזמן שלוקח לאכילס בודד לרוץ את כל המרחק של 1024 מטר ירוצו כל אינסוף האכילסים שבשאלה ולגבי כל אחד מהם אני יכול לומר לך מתי יתחיל את ריצתו ומתי יסיים אותה
ניסים:
אכן השאלה ממחישה בעייה …. בשאלה עצמה.
בגלל זה אני תמה מה אתה שואל
מיכאל
השאלה מנסה להראות בעיה. אם כל אכילס מעביר את המקל לאכילס הבא, שנמצא במחצית הדרך לקו המפגש אז אין אף אכילס שיעביר את המקל לאכילס שנמצא בקו ה-1024 מטר.
ניסים:
אינני חותר לשום מקום.
שאלת שאלה ואני מנסה להבין מה אתה שואל.
אז אין לי מושג לאן אתה חותר.
ניסים:
כבר ניחשתי שזאת הכוונה ועניתי על זה
מיכאל
הוא מתחיל בקו הזינוק.
בנקודה A.
1024 מטר מקו המפגש.
הוא ירוץ 512 מטר ויעביר את המקל לאכילס-1.
ניסים:
נראה לי שניסוח השאלה הטעה אותי כי חשבתי שאתה מדבר על מרחקים מהתחלת המסלול.
אם אתה מדבר על מרחקים מסוף המסלול (תוך התעלמות מן העובדה שהסוף מתרחק עם תנועת הצב אבל זה לא מה שחשוב) אז לא הגדרת מה קורה ממרחק 1024 ואילך (ולמעשה גם לא הגדרת איך מגיעים ל 1024) ולא ברור לי איך אתה מצפה ממני לענות על השאלה.
ניסים:
לא הבנת.
לא שאלתי איך נקרא לו.
שאלתי מיהו – איפה הוא עומד?
ניקרא לרץ הראשון אכילס-0, לשני (זה שפוגשים ב-512 מטר) אכילס -1 וכן הלאה. יהודה יגיד לך (אולי) שהרץ ה”אחרון” הינו אכילס-א-0….
ניסים:
אם הכל מוגדר אז אמור לי מיהו השליח הראשון.
בניגוד לשאלה של זנון – כאן יש חשיבות לידיעה מיהו השליח הראשון כי הוא אמור להיות זה שיתחיל את המרוץ.
בשאלה של זנון אין חשיבות לזיהוי של האירוע האחרון בסדרה (ואכן אין אירוע אחרון) כיוון שהאירועים הללו פאסיביים. הם רק תיאור מצב שקורה גם בלי שיתייחסו אליהם.
ב:
זה בדיוק המצב עם המפץ הגדול.
אף אחד לא מתיימר להבין בדיוק מה קרה בשברירי השנייה הראשונים שלו או “לפניו”.
המילה “לפניו” היא במירכאות כי יש שאלה לגבי משמעות המילה בהיעדר זמן-מרחב אבל פשוט לא יודעים.
יש לא מעט ספקולציות בעניין אבל תשובות עדיין אין.
א’ אפס הוא האינסוף של המספרים הטבעיים או הרציונאליים. א’ בלבד זה האינסוף של המספרים הממשיים. ניתן להוכיח שכל התאמה שתיקח שתשווה בין הטבעיים לממשיים לא תכיל את כל הממשים. לכן א’ יותר גדול מ א’ אפס.
זה מה שאני זוכר מתורת הקבוצות של קנטור
שבוע טוב
סבדרמיש יהודה
מיכאל
אני לא רואה מה לא מוגדר בבעיה שהצעתי. אכילס מתחיל בנקודה A, והצב בנקודה B. הם אמורים להיפגש במרחק 1024 מטר מ-A.
מיכאל:
נראה לי שאנחנו תמימי דעים.
שנינו מסכימים על כך ש:
א) “בסדרה אותה תיאר זנון אכילס לא ישיג את הצב”.
ב)אכילס אכן ישיג את הצב בסיכומו של דבר וזה לא יתרחש בתחום הקיום של הסדרה.
שאלה:
האם לא יתכן שקיימת בעיה דומה בתחום הסקת המסקנות לגבי קיום המפץ הגדול?
כלומר האם לא יתכן שקיימת בעיה של תיאור שגוי של ההתרחשות בטבע? תיאור שטוב לתחום מסויים אבל אינו יכול להתקיים מחוץ לתחום הזה? או תיאור שהוא מדויק בתחום מסויים אבל הדיוק הולך ופוחת ככל שמתרחקים מן התחום הזה?
ב:
אני רואה שעניתי לשאלה שלא שאלת.
כלומר – חלק מהדברים כן מתייחס לשאלה ששאלת אבל הדגש במקום אחר.
ברור שבנקודות שבסדרה אותה תיאר זנון אכילס לא ישיג את הצב.
ב:
אם זאת המשמעות אז בוודאי שלא משתמע מכך שבנקודות אחרות אכילס לא ישיג את הצב.
זו הייתה בדיוק הטעות של זנון – הוא ניסה להסיק מן המתרחש בקטע זמן חסום על המתרחש לכל אורך ציר הזמן.
בקטע הזמן החסום אכילס באמת לא משיג את הצב אבל אחריו הוא כן משיג אותו.
מיכאל:
בדוגמא שהבאת נתוני הבעיה הם :
בפעם הראשונה אכילס מתקדם 10 מטר.
בפעם השניה אכילס מתקדם 1 מטר.
וכן הלאה.
קיימת נקודה בזמן אשר עד אליה אכילס מקיים את הנתונים הללו.
ואולם ממנה והלאה אכילס ממשיך להתקדם אבל אינו מקיים את הנתונים הללו.
ב:
אינני יודע מה משמעות הביטוי “מקיים את הנתונים של הבעיה”.
מיכאל:
א)תודה על ההסברים .
ב)בדוגמא שלך התכוונת לכך שאכילס עושה 10 מטרים ואחר כך 1 מטר ואחר כך עשירית המטר וכן הלאה.
אני לא הבנתי את הדוגמא בגלל סירבול מסוים בניסוח שלה.
ג)אתה צודק. קיימת נקודת זמן אשר ממנה והלאה ההתנהלות על פי נתוני הבעיה היא בלתי אפשרית. זה קורה גם אם נקודת הזמן הזו היא בדיוק הנקודה שבה אכילס משיג את הצב וגם אם הנקודה הזאת היא לפני הזמן שבו אכילס משיג את הצב.
כלומר עצם הצגת התנועה של אכילס בצורה המתוארת בבעיה טובה עד נקודה מסויימת בזמן ולא יותר מאוחר ממנה.
כלומר קיימת נקודת זמן אשר ממנה והלאה אכילס ממשיך לנוע אבל התנועה שלו אינה כפי שמתואר בבעיה.
ד)אבל האם לא משתמע מכך שבכל זמן שבו אכילס מקיים את הנתונים של הבעיה הוא לא ישיג את הצב?
אהוד:
יש גבול לכל תעלול.
לא אתחיל להתווכח אתך על משמעות המילה קישקוש.
יש לי בחיי דברים חשובים יותר.
בעיני מדובר באמירה לא מכובדת שאמרת שכל מטרתה הכפשה אבל לא אקדיש לה זמן נוסף.
ב:
אתה פשוט מפספס את המהות.
הטעות של זנון היא בקביעת מסקנה על סמך מה שיקרה מחוץ לטווח הזמנים שבו מתרחשים האירועים אותם תיאר.
הדגמתי לך ווריאציה על אותה טעות כאשר גבול סדרת הזמנים בכלל לא נמצא בזמן המפגש.
לקחתי מהירות מסויימת כי זו המהירות עליה דיברנו כל הזמן (ואני מזכיר לך שהניסיון הראשון בדיון זה להציג תשובה לפרדוקס נעשה על ידי תוך הפנייה שלי אותך למאמר שכתבתי על הנושא שבו – מעבר לכך שציינתי את המהירות גם הבהרתי בצורה שאינה משתמעת לשתי פנים שאני מדבר על טור הזמנים) אבל לכל זוג מהירויות שתיתן ביחס לאכילס והצב אני יכול לעשות בדיוק את אותו תרגיל.
לכן השיקול שעליו ניסית להצביע בתור השיקול המכריע – זה שגבול הסדרה אינו כלול בסדרה – הוא חסר כל משמעות.
הדבר המשמעותי היחיד הוא שזנוון מסיק מסקנות על כל טווח הזמנים מתוך סדרת אירועים שהיא תחומה בזמן (חסומה).
אגב: הדרכים בהן אנשים מטעים את עצמם מעוררות בעיני תמיהה של ממש:
התגובה שלי שעליה הצבעתי הייתה לתגובה שלך – אחת לפניה – שבה הבאת את הפרדוקס כעדות לכך שהמתמטיקה אינה מתארת את המציאות באופן מלא.
בשלב זה כלל לא הבנת את העניין.
התחלת להבין אותו רק אחרי הסברים רבים שלי ועכשיו אתה מוצא לנכון ללמד אותי עליו.
מיכאל:
מצטער. בפרדוקס שאני התיחסתי אליו נתון:
1)אכילס מהיר מן הצב אבל הצב נמצא לפני אכילס.
2)עד שאכילס מגיע לנקודה שבה עומד הצב בינתיים הצב התקדם לנקודה אחרת וכך קורה בכל שלב.
מישהו בויקיפדיה החליט להגדיר את המרחק ההתחלתי 100 מטר את המהירות של אכילס 10 מטר לשניה ואת מהירות הצב 1 מטר לשניה.
ולכן אתה יכול באמת לקבוע את הזמנים בשניות.
אבל המהות של הבעיה אינה שונה.
מתוך הנתונים של הבעיה אפשר להסיק את קיומו של הגבול של סדרת הזמנים. אבל הנתונים אינם מדברים על מיקומו של אכילס בגבול. אנחנו מקבלים את מיקומו של אכילס בגבול סדרת הזמנים רק מתוך הידיעה שתנועתו רציפה ולא מתוך תיאורי המיקום הכלולים בניסוח הבעיה.
מ_יכאל
מדובר בקשקוש. מידע מדעי נמסר ביחידות וגדלים רלונטיים. כדי לטעון שנתגלה
חלקיק יש צורך בוודאות גבוה ביותר לפחות מעל- 3 סיגמה. טענה כי חלקיק נתגלה
ב50% או 75% אינה טענה מדעית היא קשקוש שנועד לפרסום. לידעתך בתחום
של חקר החלקיקים הרבה יותר קל לטעון שלא נמצא חלקיק מאשר הוא נמצא, כך
לחוקרים הזמן הנדרש להוכיח כי חלקיק לא נמצא הוא הרבה יותר קצר מזה הנדרש
להוכיח כי הוא נמצא. כאשר יש אירועים בודדים מחוץ לרעש יש לנתח אותם בזהירות
ולהעריך מה הסיכוי הסטטיסטי לקבלת אירוע כזה רק לאחר שנבדקו כל האופציות
ניתן לצאת בהכרזה. טענה מדעית כי חלקיק נמצא בסבירות של 50% שקולה
לטענות “מדעיות” אחרות כמו למשל שבמאדים היו חיים וכו… מה שטוען כי ניתן
לטעון בוודאות של 50% או 75% על קיום של חלקיק לא מבין מהו מדע ואיך הוא
עובד, אבל הידען מתעסק בפרסומים מפוקפקים אם הם מתאימים לקו החשיבה שלו
ולא מפרסם ידיעות מדעיות שלכאורה מצביעות על בעייתיות בתאוריות הקיימות.
העובדה כי לדעתך שאין הסבר טוב לתצפיות מהחומר האפל עדיין לא הופכת את תאוריית
החומר האפל לנכונה היא רק מצביעה על מגבלות החוקרים והתאוריות שלהם בתחום . כל ניסוי
שמטרתו למצוא חומר אפל ונכשל רק מערער על תאוריית החומר האפל, אבל את זה המדען לא
מפרסם… החסידים השוטים כמובן טוענים כי לניסוי שלא מגלה חלקיק אין שום משמעות מדעית
כי הוא לא סתר את התאוריה (תמיד ניתן להמציא חלקיק כלשהו אחר, בעל מסה גדולה יותר
או תכונות מסתוריות אחרות).
אגב אם המדידה בידיעה הקודמת הייתה נכונה מה קרה לה במשך ארבעת השנים שחלפו??
הרי ברור שהיה מדובר בידיעה שמטרתה קבלת מימון נוסף ולכן פנו אל הציבור הרחב.
אגב, ב:
בתיאור הבעיה בויקיפדיה – זה שעליו דיברנו כל הזמן – גם נקוטות מהירויות מפורשות.
ולמען הדיוק ההיסטורי – מעולם לא התווכחנו בשאלה אם התגלו חלקיקי חומר אפל אלא רק בשאלה אם יש חומר אפל ואם יש הסבר טוב ממנו לתצפיות.
אגב:
כמובן שעצם הפרסום על 50% הוא פרסום של ספק.
אפילו בידיעה על 75% מובע ספק.
טענתך נגד אתר הידען פשוט אינה מוצדקת.
אהוד:
אני זוכר משהו על ידיעה שבה נטען שהתגלה בהסתברות גבוהה.
אינני מקבל את הטענה שהיא הייתה קשקוש מוחלט (להפך: לדעתי לטעון על סמך זה שבגלאי הנוכחי עדיין לא גילו חומר אפל שהידיעה ההיא הייתה קשקוש מוחלט – זה קשקוש מוחלט).
קודם כל: כולנו יודעים מהי הסתברות וכשהיא אינה 100% (והיא הייתה הרבה פחות ממאה אחוז במקרה הנ”ל) אז יש אפשרות גם לתוצאה שגויה.
שנית (וכאן זה דורש בירור) יכול להיות שאופן המדידה באותה ידיעה היה שונה ושאי הגילוי הנוכחי בכלל לא סותר אותה.
ב:
לא יאומן!
הרי ברור שהטור שעליו אני מדבר הוא טור של זמנים! זה מה שאני עושה כל הזמן וכל הנקודה שלי היא שאי אפשר להסיק מסקנה על “לעולם” מתוך טור זמנים חסום!
כשאנשים מדברים על זמנים מפורשים (ודובר בזמנים מפורשים אותם הזכרתי גם כדי להראות שאפילו אתה הנחת מהירות ידועה ולכן מעולם לא הפריעו לך המספרים 10, 11, 11.1 , 11.11 וכו) פירוש הדבר הוא שאמצו (לשם ההמחשה) את המהירות של 10 מטר לשנייה עבור אכילס.
בכלל – כשמתבטאים בצורה “עד שיקרה X יקרה גם Y ” ברור שמדברים על זמנים.
בקיצור – אם לא הבנת את מה שאני כל הזמן מדבר עליו אז אני מבקש ממך להבין זאת עכשיו: הטור שאני מדבר עליו הוא טור של זמנים.
גם זנון דיבר על זמנים כי לביטוי “אכילס לעולם לא ישיג את הצב” יש משמעות רק כשמדברים על זמן.
הפסקתי לקרוא את תגובתך בנקודה זו כי ברור שהיא מתבססת על אי הבנה מוחלטת של דברי.
MouthHole אתר הידען לא מפרסם דברים בגנות החומר האפל. אני זוכר כי
לפני זמן רב אולי אפילו מספר שנים, מ_יכאל ניסה לשכנע אותי כי ידיעה שצוטטה
באתר ה”הידען” כי בהסתברות של חצי התגלה החלקיק של החומר האפל, היא ידיעה
מדעית. אני לא זוכר אם התערבנו או לא (אולי מ_יכאל זוכר), אבל כעת ברור כי הידעה
ההיא הייתה קשקוש מוחלט, אגב מודעים על גילוי חלקיקים חדשים ברמה של מספר
סיגמות לא באחוזים בודדים. הידעה כי החומר האפל התגלה ברמת סמך של חמישים
אחוז (“או שכן או שלא כפי שהתלוצצתי בזמנו) שברור לכל שהיא שטות מצפצפת כן
התפרסמה בידען אבל טענות על כך שהוא “עדיין” לא נמצא לא מפורסמות… הידען
מפרסם רק ידיעות המייצגות את ה-mainstream המדעי ואינו שואף לפקפק בכהוא
זה בקו החשיבה הזה (מצד שני המדע כן מתקדם על ידי פקופק וערור על תאוריות קיימות).
מיכאל:
א)קיימות לפחות שתי אפשרויות:
1)מהירותו של אכילס אלף קמ”ש ומהירותו של הצב מאה קמ”ש.
2)מהירותו של אכילס מאה קמ”ש ומהירותו של הצב עשרה קמ”ש.
לפיכך המהירות אינה מוגדרת ואי אפשר לדעת כמה זמן יעבור עד שאכילס ישיג את הצב.
ב)הסידרה שרשמתה אינה קשורה לזמנים. זוהי סידרה של מרחקים.
ג)בפרדוקס המקורי אכילס התקדם מאה מטרים והצב בינתיים התקדם עשרה מטרים.
בדוגמא שהבאתה אכילס התקדם עשרה מטרים והצב התקדם בינתיים מטר אחד.
שגיתי כי לא קראתי מספיק בעיון היה נדמה לי שרשום שהצב התקדם בינתיים עשרה מטרים כמו במקורי.
ד)לא ברור מה רציתה להדגים בדוגמא שנתתה. היגדרתה סידרה אחרת אשר שואפת לאותו גבול. גם כאן לקבוצת הנקודות קיים חסם עליון שאינו שייך לקבוצה.
ברור שאכילס משיג את הצב. זה לא תלוי בסידרת המצבים. אפשר להגדיר כל מיני סדרות של מצבים . בכולם תהיה התכנסות מפני שבכולם אכילס ישיג את הצב. אבל המשותף לכולם הוא שהגבול אינו שייך לתחום ההגדרה.
לשם הבהרה בוא ניקח דוגמא שאינה קיימת במציאות:
נניח שבין כל שני מצבים קיים מצב שלישי שבו אכילס נמצא בירח.
זה לא ישפיע על השיקולים ואכילס ישיג את הצב.
אלא שבמקרה הזה ברור שלא קיים גוף פיזיקאלי שיכול לקיים את התנאי שבין כל שני מצבים קיים מצב שלישי שבו הגוף נמצא בירח.
משמע:
אם
אנחנו מתיחסים לאכילס כאל נקודה מתמטית ולא כגוף פיזיקאלי.
אז
הוא אינו כפוף לחוקי הפיזיקה. הוא יכול לקפוץ לירח ובחזרה בתוך קטע זמן קטן כרצוננו. הוא יכול לעבור את מהירות האור. הוא יכול לפתח תאוצה אינסופית ומהירות אינסופית.
ב:
מהירותו של אכילס ידועה וכך גם מהירותו של הצב. אחרת הבעיה לא מוגדרת ובכלל אי אפשר לטעון שאכילס משיג את הצב (אולי הצב רץ מהר ממנו?
נהוג להציג את הבעיה כאשר אכילס רץ 10 מטר לשנייה והצב רץ מטר אחד לשנייה.
בכל מקרה – אפשר לחשב לכל מהירות נתונה ואם המהירויות לא נתונות אז לא ברור לי איך השלמת עד כה עם התוצאות המצוטטות שוב ושוב – 10 11 11.1 11.11 11.111 וכו’.
המשפט שאתה מצטט מדברי לא מראה על השגיאה שלי – בין השאר מפני ששגיאה זו לא קיימת.
נכון שהמשפט מופיע בפרדוקס המקורי. כך, אגב – גם אכילס. אתה טוען שאסור לי להשתמש במשפטים מהפרדוקס המקורי? זו דרישה פרדוקסאלית!
בדוגמה שהבאתי אכילס כן ישיג את הצב – הוא הרי רץ פי עשר מהר ממנו – בכלל – כל המירוץ הוא זה של הבעיה המקורית אז האם לדעתך זה שאני בוחר להתייחס לסדרת אירועים מסוימת בתוך המרוץ מונע מאכילס להשיג את הצב? יכולותיי אמנם רבות אבל טלה-קינזיס אינה אחת מהן.
ניסים:
זה שאתה אומר משהו שוב ושוב אינו הופך אותו לנכון. הוא היה ונשאר שגוי. הבעיה של זנון קשורה לכך שהטור מתכנס ופרק הזמן בו מתרחשים כל האירועים עליהם מדבר זנון הוא סופי.
אינני מתכוון לטפל במומים שלך ושל תומפסון אבל יש לי בעיה עם זה שאתה הופך את המומים האלה לטיעון בוויכוח.
אני מקבל גם אנשים שטועים. מעולם לא אמרתי אחרת. פשוט אינני מקבל את דעתם. מותר לי, לא?
אינני רוצה לשכנע אותך שרעיון הזמן הבדיד אינו נכון. יכול להיות שהזמן הוא בדיד. כל מה שאני אומר זה שבעיית זנון לא מחייבת את הזמן להיות בדיד.
באותה מידה יכול להיות שאכילס הוא זחל שלא יכול להשיג את הצב. גם אם תעלה טענה זו לא אטען שהיא שגויה.
שתי טענות אלו יכולות להיות נכונות אבל הן לא נובעות מהפרדוקס.
בקשר לבעיה המשונה (תרתי משמע) אני מניח שאתה מבין שהיא לא מוגדרת כי הנקודה הראשונה לא מוגדרת.
ברגע שתשלים את הגדרת הבעיה אהיה מוכן להתייחס אליה.
מיכאל
אם תרשה לי, אני רוצה לשנות טיפה את הפרדוקס של אכילס והצב ולשמוע את דעתך.
בוא נניח שאכילס אמור להגיע אל הצב במרחק של 1024 מטר מקו הזינוק (של אכילס). השינוי שאני מציע זה מרוץ שליחים. בקו ה-1024 מטר יהיה “אכילס” נוסף והוא ממשיך את המרוץ.
אבל, סתם כדי להוסיף טיפה עניין, בוא נוסיף עוד כמה שליחים (לא הרבה). נשים אחד ב-512 מטר, אחד בעוד 256 מטר, אחד בעוד 128 מטר, אחד בעוד 64 מטר, אחד בעוד 32 מטר…..
קצת סבלנות מיכאל, ברגע שהאחרון יעמוד במקומו נתחיל את המרוץ! מה אתה אומר?
מיכאל
אני אומר שוב ושוב, הבעיה היא של זנון לא קשורה לגבול של טור. הבעיה שאני רואה היא באינסופיות הטור. זה כנראה מום מולד, אבל לי יש בעיה להבין שאפשר לסיים סידרה של אינסוף ארועים. לתומסון יש (היה…) אותו מום.
אז אולי תקבל את השונה ותבין שיש לי בעיה אישית, שלא ניתן לריפוי ע”י תרגילים באינפי’?
במקום זה – שכנע אותי מה לא נכון ברעיון שהזמן הוא בדיד.
מיכאל:
א)מהירותו של אכילס אינה ידועה. מהירות הצב אינה ידועה . לפיכך לא ברור איך חישבת את הזמן.
ב)הסדרה שאתה מדבר עליה היא סידרה שבה אכילס מתקדם בכל פעם עשירית ממה שהתקדם בפעם שקדמה לה. זו אינה הסדרה המדוברת בפרדוקס.
משפט זה שהוא ציטוט מדבריך מראה על השגיאה שלך:
“עד שאכילס יעבור את המטר הזה, הצב יעבור עוד 10 ס”מ.” המשפט הזה שייך לפרדוקס המקורי.
בדוגמא שהבאתה המרחק בפעם השניה הוא 91 מטרים ולא מטר אחד. אכילס יעבור עשירית מן המרחק הזה והצב יעבור מאית מן המרחק הזה.
בכל מקרה אנו יודעים בלי כל קשר לפרדוקס שאם אכילס מהיר מן הצב הוא ישיג את הצב בזמן כלשהוא.
כפי הנראה התכוונתה
להביא דוגמא שבה אכילס מבצע סדרת צעדים השואפת לגבול אחד ואילו הצב מבצע סדרת צעדים השואפת לגבול אחר . כאשר הגבול של סדרת הצב גדול מן הגבול של סדרת אכילס.
ואמנם במצב דברים כזה אכילס לא ישיג את הצב .
אבל הנתונים האלה שונים באופן מהותי מן הנתונים של הפרדוקס.
הפרדוקס מדבר על כך שהסדרה של הצב והסדרה של אכילס שואפות לאותו גבול.
גם בדוגמא שבה הגבולות שונים, קטע הזמן חסום והחסם אינו שייך לקטע. אבל השאלה אם החסם שייך או לא שייך לקטע אין לה משמעות לגבי השאלה האם אכילס ישיג או לא ישיג את הצב.
אגב:
גבולות שונים יתכנו אך ורק אם אם המהירויות של הצב ושל אכילס שואפות לאפס.
ואולם:
בנתוני הפרדוקס המהירויות הן קבועות.
דוד:
הייתי רוצה למתן מעט את המסקנות שעלולות לעלות מתגובותיי הקודמות.
המתמטיקה עוסקת ביצירי דמיוננו ובמובן זה החלפת משמעות הזמן או המרחב שבמודל אינה פתרון לפרדוקס שבו מונחים זמן ומרחב מסוג אחר.
מה שכן נכון זה שמודל העוסק בזמן ומרחב עלול להיות בלתי עקבי כתוצאה מהנחות שיש בו על תכונותיהם של אותם ממדים.
תגלית מסוג זה תתגלה כפרדוקס והיא עשויה להיות מעניינת גם מבחינת השלכותיה על הפיזיקה (כשם שכל תגלית מתמטית מעניינת בזכות השלכותיה על הפיזיקה).
אילו היו הפרדוקסים של זנון בלתי פתירים במסגרת ההנחות המקוריות על זמן ומרחב – זו הייתה תגלית מתמטית מעניינת מאד.
העניין הוא שהם כן פתירים במסגרת ההנחות הקיימות ודווקא במובן זה, הבריחה למודל אחר של זמן ומרחב במצב של היעדר פרדוקס (מעבר לכך שהיא גורמת לנו לפסול מודל שייתכן שהוא בדיוק המודל של המציאות) עלולה לסכל את יכולתנו לגלות סתירות אמיתיות במודל זה.
The long and winding road
http://www.haaretz.co.il/news/science/.premium-1.2154405
ניסים:
מדבריך ליוסי סימון מתברר שאתה עדיין לא מבין את הטענה המרכזית שלי.
אני חוזר ואומר: גם המודל של זמן ומרחב בדידים הוא מודל מתמטי.
אתה בעצמך עוסק רק במודלים מתמטיים.
המתמטיקה מאפשרת לנו להסיק מה קורה באותו מודל וכפי שהבהרתי – מודל רציף – זה שעל פיו נוסחה הבעיה של זנון – לא יוצר סתירה (כלומר – הסתירה שזנון חשב שראה היא רק תוצאה של אי הבנתו בנושא טורים מתכנסים אבל היא אינה קיימת במודל זה ומי שמבין את התכנסות טור הזמנים מבין את הטעות של זנון).
אני אומר שניסיונות “לפתור” את הבעיה (שלא קיימת גם במודל המציאות שהניח זנון) על ידי טענה שהמודל שזנון הניח לא נכון (כמו לטעון שהזמן בדיד או שאכילס הוא זחל שלא יכול בכלל להגיע לכאלו מהירויות) אינם אלא התחמקות מהבעיה.
הפרדוקס – כפי שאמרתי פעמים רבות – הוא עניין של לוגיקה בלבד. מבין שנינו – דווקא אתה הוא זה שכל הזמן מנסה לקשור בין המתמטיקה לפיזיקה ולהסיק מן העובדה שזנון לא ידע לחשב טורים את המסקנה שהזמן והמרחב בדידים.
דוד:
לא – ויש לכך יותר מסיבה אחת:
1. המתמטיקה עוסקת בגזירת מסקנות מאקסיומות שמניחים. היא אינה עוסקת בשאלה אם האקסיומות אותן מניחים נכונות. את חוקי ההיקש היא מקבלת תמיד כנכונים ואת האקסיומות של המבנה המתמטי אותו מנתחים היא מקבלת כאשר עוסקים באותו מבנה. מושג הזמן, למשל, כלל אינו חלק מהמתמטיקה ולכן אין להגדרות שונות שלו השפעה עליה.
2. כפי שציינתי במאמר – כמעט לכל צורך מעשי – דווקא נכון לראות במתמטיקה ידע אפריורי (כפי שכולם עושים, למעט ההסתייגות של עבדך במאמר עליו הצבעתי) אבל אם כבר רוצים לבחון אותה כמדע, הרי שמה שצריך לעשות זה לבדוק בניסוי אם מסקנותיה נכונות. ניסוי כזה יכול להיות מעשי – מול העולם הפיזיקאלי (למשל להראות בניסוי שלא תמיד, אם שמים בקופסה ריקה כדור ואחר כך עוד כדור וזהו, מתקבלת קופסה שבה שני כדורים) או על ידי ניסויים מחשבתיים שהדבר היחיד שעומד בהם לבחינה היא המתמטיקה, כלומר – כאלה שכל ההנחות שמניחים בהם מלבד המתמטיקה הן אמת בדוקה ואז – אם מתקבלות סתירות אפשר להסיק שמשהו בתיאוריה המתמטית שלנו שגוי. זה מה שקרה, למשל, עם פרדוקס ראסל שאיפשר לנו להבין בצורה ברורה שהוראה עצמית היא דבר פסול.
ב:
אתה טועה בחשבון.
בקטע המדובר, המסתכם ל 1.111111…. שניות, כלומר שניה ותשיעית, כלומר עשר שניות פחות מהזמן שייקח לאכילס להשיג את הצב – אכילס לא ישיג את הצב.
בסדרת אירועים זו עניין הקטע הסגור לא יכול לתרום דבר ולעומת זאת עובדת היותו של הקטע חסום תורמת הכל.
מיכאל:
בדוגמא שהבאת המרחק בין אכילס והצב בכל שלב הוא המרחק הראשוני (100) כפול תשע עשיריות ועוד המרחק הראשוני (100) כפול מאית. כלומר המרחק בכל שלב הוא מאה כפול [( 91 מאיות) בחזקת מספר השלב]. (השלב הראשוני הוא שלב 0).
כלומר המרחק ביניהם בכל שלב הוא סדרת מספרים השואפת לגבול אפס.
מסקנה:
אכילס ישיג את הצב.
כלומר:
קטע הזמן שבו הצב נמצא לפני אכילס חסום.
נקודת החסם אינה שייכת לקטע.
בסך הכל לא השתנה שום דבר משמעותי מן הניסוח המקורי של הפרדוקס.
נניח שבנקודת החסם אכילס נעלם מבלי להשאיר עקבות.
שום דבר לא השתנה בנתוני הבעיה.
בכל זמן שלפני נקודת החסם אכילס קיים והצב מקדים את אכילס. בנקודת הזמן של החסם אכילס אינו נמצא.
האם נוכל לומר שאכילס משיג את הצב?
נקודה
הפכת לפרמינדס?? 🙂
ב
זה לא נכון לומר ש “במציאות אכילס משיג את הצב”.
יהיה יותר מדויק לומר שבתפיסה שלנו אכילס משיג את הצב.
במציאות אין שום תנועה ושינוי.
יוסי סימון
זנון לא צריך להוכיח שלא ניתן לעבור על אינסוף נקודות. בוא נדייק – מעבר על אינסוף נקודות, בזה אחר זה. זה מובן מאליו – מהרגע שהסכמנו שאכן יש אינסוף נקודות. א י ן ל ה ם ס ו ף…… הבעיה היא לא הזמן. הבעיה היא שמשהו לא בסדר בקביעה שיש אינסוף נקודות, או אולי במשמעות של המושג אינסוף. מיכאל רוטשילד נותן פירוש מסויים לאינסוף כערכו של גבול. זה מה שעושים בחדו”א ושם אין ויכוח. השאלה היא האם מותר להשליך מתחשיב מתמטי לעולם הפיסיקלי – מיכאל בטוח שכן, אני לא בטוח.
אבל – הצעתי פתרון אחר, והוא שאין אינסוף ארועים. הזמן והמחרק הם דיסקרטיים ולכן יש ארוע אחרון. כולם “דיטיגטלי” כזה גם פותר הרבה בעיות אחרות, פרט למספר גדול שך פרדוקסים (אכילס והצב, החץ, המנורה של תומסון וכן הלאה). פרט לזלזול ולליגלוג לא קיבלתי לכך שום התייחסות עניינית….
מיכאל
כפי שאתה מציג את הדברים מנקודת מבטך אני בהחלט מבין את אי ההתאמה לכאורה שבשימוש בהנחות פיסיקאליות לצורך טיעונים לוגיים.
אבל כיוון שבמאמר שלך עצמך אתה חותר להעלות את המתמטיקה מהרמה הלוגית אל הפיסיקאלית האם לא כן?!
נראה לי שאתה מאמין במתמטיקה כבעלת קיום ממשי עצמי, כמדע בפני עצמו.
לא ברור לי אמנם כיצד זה קורה ואם זה בכלל ברור למישהו. (אולי חוץ מטגמרק כמדומני)
אבל אם נניח שזה נכון אז אין בכלל בעיה להשתמש בהנחות פיסיקאליות לצורך טיעונים לוגיים טהורים לכאורה.
כי במצב שאתה נדמה חותר אליו הלוגיקה מפסיקה ליהיות טהורה ומנותקת.
האם לא כן?
יוסי:
אינני יודע מה בדיוק אתה מנסה לומר אבל זה כבר לא כל כך מעניין אותי.
מבחינתי נתתי לפרדוקס פתרון והסברתי גם לך מדוע מה שאתה אומר אינו פתרון.
גם חזרה אינסופית על הדברים לא תוכיח שחזרה אינסופית נוספת תעזור.
ב:
חשבתי על דרך נוספת לשכנע אותך שלא סגירות הקטע היא מה שמשחק כאן.
נניח שזנון היה מתנסח בצורה קצת שונה ובמקום לדבר על המעבר של 100 המטר הראשונים (הפור שנתן אכילס לצב) הוא היה מדבר על עשרת המטרים הראשונים בלבד.
הוא היה אומר – כדי להשיג את הצב, אכילס צריך קודם כל לעבור את 10 המטרים הראשונים.
עד שהוא יעבור אותם, הצב יעבור מטר (והמרחק ביניהם יהיה 91 מטרים).
עד שאכילס יעבור את המטר הזה, הצב יעבור עוד 10 ס”מ.
עד שאכילס יעבור את עשרת הסנטימטרים האלה….
בקיצור – זנון יעשה בדיוק את אותה טעות ויסיק שאכילס לא יוכל להשיג את הצב ובמקרה זה לפתיחות הקטע לא תהיה כל רלוונטיות כי גם בגבול הסדרה אכילס לא ישיג את הצב.
מיכאל רוטשילד!
בסיס הטענה של זנון הוא שעוברים אין סוף נקודות בדידות וזה באמת נכון.
עבור כל נקודה אני יכול לציין את הזמן המדויק שחולפים על פניה.
זנון לא מוכיח את הקשר שמעבר על פני אין-סוף נקודות מונע מעבר על פני אין-סוף נקודות.
זנון גם לא יכול לטעון כי אפשר להגיע לנקודה A תוך שימוש שלנקודה B כן ניתן להגיע.
ולכן עליו להוכיח מדוע אין-סוף נקודות מונע את הצעד בראשון? והרי בסופו של דבר ההוכחה שלו מוטעית.
קיימות חידות רבות שהמחשבה האנושית ואנשים רבים שוגים בהם, אני יכול לציין כמה מהם. (חידת הנמלה וצינור הגומי הנמתח)
לא נכון, ב:
בכל מקרה בו מנסים להסיק ממה שקורה בקטע החסום מסקנה על מה שקורה מעבר לו – טועים.
כשאומרים שאכילס לעולם לא ישיג את הצב עושים בדיוק את זה וכלל לא משנה על איזה זמן באותו “לעולם” מדברים
דוד:
לדעתי אתה טועה.
נקודת המבט שאתה מציג היא לדעתי שגויה.
ובכל זאת אני מבקש שתאמר לי מהי לדעתך ההצדקה להצגת הנחות פיזיקאליות כפתרון לבעיה לוגית.
מיכאל:
הבעיה איננה האם הקטע חסום או בלתי חסום.
ברור לכל שהקטע חסום.
ברור שבצד אחד של המחסום הצב נמצא לפני אכילס ובצד השני של המחסום אכילס נמצא לפני הצב.
השאלה היא מה קורה בנקודת החסם.
כלומר האם נקודת החסם שייכת לקטע המתואר בבעיה.
הפרדוקס נוצר אך ורק כאשר מנסים לשייך בטעות את נקודת החסם לקטע החסום.
מיכאל
דווקא לאחר שקראתי אני מתרשם שלולא היית עוצר את הדיון שבו אתה עוסק שם
במיוחד במאמר
“לוגיקה ומתמטיקה מול המדע – מה משותף ומה מפריד?”
היית מגיע בעצמך לנקודת המבט שהעלתי לעיל.
ב:
נראה לי שהבנת את הרוב אבל לא את הכל.
אין לשאלת אכילס והצב קשר לשאלת “סגירות הקטע” אלא רק לשאלת היותו חסום.
גם במציאות בה היה אכילס יכול לדלג (באפס זמן) בעשרה מטר אחת לשנייה, הוא היה משיג את הצב (במובן זה שאחרי זמן מסויים הוא היה רחוק יותר ממנו), למרות שלעולם לא היה פוגש אותו.
דוד:
ולעצם העניין: האם אתה שולל את הגדרת הפרדוקס כתופעה לוגית/מתמטית?
ואם אינך שולל אותה – איזו הצדקה אתה מוצא ל”פתרון” הפרדוקס על ידי קביעת הנחות על העולם הפיזיקאלי?
אמת יש רק אחת.
אמת היא מוחלטת.
המדע חותר לגילוי האמת.
פאראדוקס איננו קשור לענין אמת או שקר.
פארדוקס קשור להבנה שגויה.
במציאות האמת היא שאכילס משיג את הצב.
כל אחד יכול לראות את זה.
כל ניסוי מאשר את זה מחדש.
הפרדוקס של אכילס והצב נובע משגיאה בחשיבה.
השגיאה בחשיבה היא ההתיחסות לקטע פתוח כאילו הוא קטע סגור.
בקטע הפתוח יש התאמה בין נקודות שבהם נמצא אכילס לבין המספרים הטבעיים.
בקטע הסגור אין התאמה .
ההתאמה אינה מוגדרת בנקודת הקצה של הקטע הסגור.
דוד:
אני מניח שכתבת את התגובה הקודמת לפני שקראת את המאמרים אליהם הפניתי אותך
מיכאל
אני בטוח שתמשיך זה מה שיפה בגישה שציינתי.
כולם לא רק אתה יכולים להמשיך לנשום או לישון.
כמו כן אני מסכים שאין אמת מוחלטת בטענה שאין אמת מוחלטת בדיוק כפי שציינת.
זה בהחלט משאיר את הטענה במקומה תחשוב על זה.
החתירה לאמת עצמית בלתי מעורערת. מוחלפת ע”י התועלת ההתפתחותית של המחשבה בגישה של ריבוי אמיתות ריבוי פתרונות.
ולא מדובר בפילפולים אנכרוניסטיים פילוסופיים. אלא בפוטנציאל התועלת שבגישה.
דוד:
אני מציע לך לקרוא שני מאמרים שכתבתי על נושא תגובתך האחרונה:
1. האם המדע הוא בסך הכל עוד דת?
2.לוגיקה ומתמטיקה מול המדע – מה משותף ומה מפריד?
דוד:
כאן אני שולל את גישתך לחלוטין.
אני מודיע לך שאמשיך לנשום גם אם יראו לי שמדובר בשיטת חיים מיושנת שהיא כבר בת מאות מיליוני שנים.
האם הטענה שאין אמת מוחלטת היא אמת מוחלטת?
בקיצור, יוסי סימון, אתה “פותר” את הפרדוקס בכך שאתה מסרב להתייחס לטיעונים המועלים על ידי זנון.
אחלה “פתרון”
מיכאל
לדעתי הגישה המתמטית/פילוסופית הוותיקה שמייחסת אמת עצמית מוחלטת לאובייקטים לוגיים.
ובמידה לא מבוטלת מתייחסת כך גם לפרשנות הפסיקאלית של המציאות.
התיישנה ואבד עליה הכלח.
לדעתי הגישה של אין אמת מוחלטת אחת כבר החליפה את הגישה הישנה אפילו מבלי שהוכרז על כך במפורש.
האמת הלוגית המודרנית היא פאזל של מרכיבים שמתאימים לתמונה מסויימת על פי צורך.
אין לייחס למרכיבים הללו שום יחוד או קדושה של אמת מוחלטת. ניתן להחליף את חלקם או כולם באחרים.
ועדיין הפאזל הסופי ייצג את אותה התמונה.
הגישה הוותיקה שמייחסת אמת מוחלטת לדברים מהווה מכשול רציני להתפתחות המחשבה.
מקורה של הגישה הזאת היא בדתות השונות שמכריחות תפיסה חד ממדית ומגבלת כדי לשלוט על מוח
המאמינים. תמיכה בגישת האמת המוחלטת היא גישה מגבילה. ואינה ראויה למתמטיקה המודרנית.
כי בסופו של דבר הופכת גם את המתמטיקה לדת.
ועל כן אני חולק עליך בנקודה של חשיבות הפתרון “הנכון” של הפרדוקס.
תפקיד הפרדוקס הוא לפתוח פתח לפתרונות חלופיים מרובים ולאמיתות חלופיות מרובות.
ולא להישאר בגישה האנכרוניסטית של אמיתות מוחלטות.
קח לדוגמה את האבולוציה הדרוויניסטית.
האם היית אומר שהטבע ניסה כל מיני נסיונות רק כדי למצוא את האמת היחידה שתוביל ליצירת חיים.
ברור לי שלא! החיים יכולים היו להווצר בצורות רבות מאד וניתן להווכח על כך מהמגוון הגדול של חיים שקיים.
ברור לכן שעלינו להיות לפחות חכמים כמו הטבע ולא לייחס אמיתות מוחלטות ללוגיקה שאנו ממציאים.
לישראל שפירא , מיכאל רוטשילד!
כעת נעבור לכשל בפרדוקס
1. פרדוקס מוגדר כ – ((A גורר B ) and (A גורר B not )) .
2. אצל אכילס יש גרירה רק לצד אחד “לכאורה” של (B not ) תנועה =B, ולכן זה לא פרדוקס לפי הגדרה.
הכשל עצמו
3. תנועה קשורה לעולם המושגים של מרחק, זמן, מהירות, תאוצה, כיוון
4. מרחק של נקודה בודדת הוא אפס, וכנ”ל סכום של מספר אין סופי של נקודות בדידות
5. ולכן אין חשיבות למספר הנקודות הבדידות שעוברים כי זמן המעבר הוא אפס.
כל נושא הסדרות הפנימיות אינו רלוונטי
זה הכול
1)נקודת הזמן שבה אכילס משיג את הצב מהווה חסם עליון לקטע הזמן המוזכר בפרדוקס.
החסם העליון אינו כלול בקבוצת הזמנים המתוארת בפרדוקס.
קטע הזמן המתואר בפרדוקס הוא קטע פתוח.
לכן במסגרת קטע הזמן הזה אכילס אינו משיג את הצב.
2)ההתאמה המתארת את מרחקו של אכילס מן הצב היא התאמה בלתי מוגדרת בקטע הסגור היא מוגדרת אך ורק בקטע הפתוח.
3)אנו יודעים שאכילס משיג את הצב אך ורק בגלל שאנו יודעים שתנועתו של אכילס רציפה.
יכולנו למשל להגדיר את אותה הבעיה עם אותם נתונים אבל עם תנועה בלתי רציפה של אכילס.
אם למשל היינו מחליטים שבנקודת החסם העליון של הזמן המתואר בבעיה אכילס נמצא מפגר מטר אחד אחרי הצב.
אז זה לא היה משנה שום דבר מנתוני הבעיה. כל התיאור היה נשאר זהה למעט מה שקורה בנקודת החסם העליון של הזמן המתואר בבעיה.
מייקל
אתה כותב: “ישראל:
אינני יודע מה המחלוקת בינינו”.
קרא שנית את התגובה שלי, פסקת המחלוקת הייתה מכוונת לניסים.
ניסים.
אתה כותב: “1) זנון לא דיבר על סכום סידרה אינסופית, הוא דיבר על האינסופיות של סידרה אינסופית. זו דעתי”.
בסדר, ברחל הבת:
האם אתה מקבל את זה שעל פי זנון ופרדוקסו …..10+1+0.1+0.01+0.001 עד אינסוף או לפחות עד מספר גדול כ1000 שווה לאינסוף או לבטח יותר מ12?
והאם אתה מקבל את זה שהוא טעה, דהיינו שלא משנה כמה אברים נוסיף לביטוי זה לעולם לא נגיע ל12?
מיכאל רוטשילד!
יופי! אני שמח שסוף סוף מי-שהוא מבין אותי ומצדיק אותי.
כעת נמשיך! ונתמצת את הפרדוקס.
הטענה היא לא ניתן לעבור מנקודה 0 לנקודה גדולה מאפס X, כך שנקודה X ,קטנה מכל נקודה הגדולה מ-0 (נושא טופולוגי) . מנין ההצדקה לטענה זאת ? (החלק החסר בעניין האינדוקציה)
יוסי סימון
לפני שמיכאל ידידי יקפוץ עלי שוב, אני חייב לציין ששימוש באינדוקציה היא בעייתית. הסיבה הראשונה היא שאינדוקציה מתמטית היא אקסיומה. וכבר למדנו מזמן שאמונה עיוורת באקסיומות היא בעייתית.
הסיבה השנייה ניקראת הפרדוקס של גודמאן. קרא על זה ……
ישראל
1) זנון לא דיבר על סכום סידרה אינסופית, הוא דיבר על האינסופיות של סידרה אינסופית. זו דעתי
2) אני לא חושב שהוא טועה. אבל שוב – הוא לא דיבר על סכום הסידרה. זו דעתי.
3) לא – הפרדוקס לדעתי לא פתור. כלומר – זה שיודעים לחשב גבול של טור הנדסי מתכנס לא פותר (לדעתי) את הפרדוקס.
4) פה אתה אומר משהו מעניין. אנחנו לא יודעים הרבה על זנון, ומה שאנחנו כן יודעים זה מכתבי אפלטון – אפלטון נולד אחרי שזנון מת. אנחנו כן יודעים שזנון היה תלמיד של פרמנידס, ופרמנידס דיבר (שוב, דרך אפלטון) על מושג שנקרא “מוניזם”.
אני חושב שהפרדוקס לא פתור. ואני הצעתי פתרון אפשרי (כמובן – הרעיון עצמו לא שלי….)
יוסי סימון:
כאמור – כבר עניתי לכל זה בדברי לדוד.
אינך טועה (או נכון יותר – יקיר שושני לא טועה) במסקנות.
הוא רק טועה בכך שבמקום להראות את מקור הטעות הוא רק מראה שהשיקולים (המוטעים) של זנון מובילים לפרדוקסים נוספים.
מיכאל רוטשילד! דבר נוסף
הבה אציג את הפרדוקס בצורה הבאה:
בכביש ישר נעות שני מכוניות. במהלך הנסיעה מהירותה המרבית של המכונית הראשונה תמיד קטנה מהמהירות הנמוכה של המכונית שנוסעת במרחק מסוים מאחוריה.
לפי טיעוני הפרדוקס המכונית השנייה לעולם לא תעקוף את הראשונה.
אז לאיזה טור מתכנס/מתבדר אתה מתייחס?
כנ”ל לגבי הזמן בין שעה 1 ל 2 הזמן צריך לחלוף ב 1 ועשר דקות 1 ועדר דקות ועוד שורש 2 שניות וכו’, כלמור לא נגיע לעולם לשעה 2 .
ושב הטיעון שאי אפשר לדלג על אן סוף נקודות שכל אחד אורכה 0 אינו טיעון תקף
מיכאל רוטשילד!
פרופ’ יקיר שושני מתייחס לבעיה זאת, איני יכול לתת הפנייה כי זה לא באינטרנט,
לשורש הבעיה.
נתחיל מהתחלה. תעקוב שלב אחרי שלב ואנא ציין היכן אני טועה.
1. נניח שלאחר 180 מטר אכילס משיג את הצב.
2. אזי הפרדוקס מנסה לטעון כי אכילס לא מסוגל לעבור 180 מטר.
3. באם כך נושא הצב מיותר וההוכחה מצטמצמת לכך שאכילס לא מסוגל לעבור 180 מטר
4. באם אכילס לא מסוגל לעבור 180 מטר אזי הוא לא מסוגל לעבור 70 מטר, או מטר אחד או מילימטר.
5. כלומר אכילס בכלל לא יכול לנוע כי בכל צעד נוכל למצוא מספרים המוכיחים שאכילס לא מסוגל להגיע לנקודה זאת (נובע מכך שאורך נקודה הוא אפס וכל מרחק גדול מ-0 מכיל אין סוף נקודות) כלומר אין אפשרות של תנועה , רצף וכדומה.
עד לכאן זה פרופ’ יקיר שושני שמבהיר את הדילמה שהתעסקו בעבר.
ההוכחה מבוססת על דמיון של הוכחה באינדוקציה אולם לא כוללת את כל מרכיביו , הטיעון שריכוז של אין סוף נקודות מונע תנועה איננו טיעון תקף.
ישראל:
אינני יודע מה המחלוקת בינינו.
1. אינני יודע מה זה “על פי זנון” אינני יודע לקרוא את מחשבותיו של זנון אבל ככל הנראה הוא לא הכיר את מושג הטור ולא חשב עליו דבר. זה יאמר לזכותו, במיוחד לאור העובדה שיש בימינו אנשים שכן מכירים את מושג הטור ועדיין טועים כמוהו.
2. כאמור – לשאלה אין תשובה כי זנון לא חשב על טור. הוא הניח שאם יש אינסוף אירועים אז זה מוכרח להימשך זמן אינסופי. הוא טעה בזה, כאמור, כיוון שלא הכיר את מושג הטור ובפרט לא ידע על טורים מתכנסים.
3. הפרדוקס האוריגינאלי פתור והצבעתי בדיון זה על מאמר שלי בו תיארתי את הפתרון.
4. אנחנו דנים באותו פרדוקס. אנחנו פשוט יודעים לנתח את המצב טוב יותר מזנון.
נכון שבדברי הפרדתי בין הטור לבין סכום הטור אבל זה ממש לא מהותי.
מה שחשוב הוא האופן שבו מחשבים את מה שאני כיניתי “סכום הטור” ומה שכאן מכנים “הטור” והלגיטימיות של אופן חישוב זה גם כדי לייצג את הטבע
ניסים:
כנראה שבאמת כלום לא יעזור.
איך אתה יודע שאכילס ישיג את הצב?
ראית את אכילס?
ראית את הצב?
אתה חוזה עתידות?
בוא ואעזור לך עם התשובות: שלשתן שליליות.
אתה יודע שהוא ישיג אותו כי אתה מפעיל את התחזיות של מודל מתמטי של הטבע.
הבנת?
כנראה שגם כאן התשובה שלילית.
צטט מויקיפדיה שוב ושוב את דברי שלי.
אכן – הטור הוא סכום של אברי סדרה – בדיוק כמו שאמרתי. מדוע אתה מוצא לנכון לחזור על זה ומה ההיגיון שעומד מאחרי שימוש כזה דווקא במטרה להראות שטעיתי? מוזר.
אבל זהו.
הבנתי שמהוויכוח הזה לא יצא כלום.
מייקל
אתה צודק בעניין הגדרת ההגדרה. חטאתי שלא ביודעין בדמגוגיה.
מהות: כאמור, אם זכרוני אינו מטעה אותי התשובה 1 או 0 הופיעה בספר שבו נאמר גם שלייבניץ טעה כשאמר חצי.
הספר נכתב עיי מתמטיקאי בן זמנינו.
אם נצא מההנחה שזכרתי נכון (לא בטוח), אז יש לפחות מתמטיקאי עכשווי אחד שטוען שסכום הטור הוא 1 או 0. אם ממש תתעקש, אעשה בדק בית יסודי יותר ואולי אמצא את הפסקה.
ניסים
ההסתייגויות שלך מלובנות בספרו של אברון. אבל למה ללכת רחוק? די אם נעיין ב”משפטו של החוק השני”:
“איזו מין שלימות אפשר כבר לצפות מתורה אשר אבן היסוד שלה הינה החלוקה האסורה ב-0? לשחרר את החוק מיד, בצירוף מכתב התנצלות על בורותה של התביעה.”
כדי לנסות להגיע להכרעה במחלוקת בינינו, ענה פשוט על השאלות הפשוטות הבאות:
1. האם על פי זנון סכומו של טור אינסופי יכול להתכנס לסכום סופי? כן או לא.
2. ואם התשובה היא לא, האם הוא טעה? כן או לא.
3. ואם הוא טעה, האם הפרדוקס האוריגינלי פתור? כן או לא
4. ואם הפרדוקס האוריגינלי פתור, האין אנו דנים כעת בפרדוקס שונה שאולי קשור רק בעקיפין למקורי? כן או לא.
עבודה.
מיכאל
תמיד מה שאתה עושה זה בצדק. שתהיה בריא.
הפרדוקס הוא פרדוקס בדיוק בגלל שבכל זאת, אכילס מנצח. זה ממש לא פרדוקס בלוגיקה (כדוגמת המנורה של תומסון).
אני מצטט שוב מויקיפדיה – “במתמטיקה מושג הטור בא לציין את סכומה של סדרה”. אני רואה שקשה לך עם זה – אז אביא עוד ציטוט “במתמטיקה, סדרה היא רשימה סדורה של עצמים, הנקראים איברי הסדרה”
אתה זה שאוהב ציטוטים……
אולי תתיחס לתוכן של מה שאני אומר במקום לעקוץ?
ניסים:
אתה מאשים אחרים ביהירות וכאשר מפנים (בצדק) את אותה האשמה כלפיך אתה מגדיר את זה כירידה לפסים אישיים (פעם שני אנשים שהתקוטטו נתפסו על ידי שוטר אז אחד מהם אמר לשוטר “הכל התחיל בזה שהוא החזיר לי”). מעניין!
גם ההאשמה המופרכת כאילו אני יורד לפסים אישיים היא ירידה לפסים אישיים.
אני כל הזמן מביא נימוקים ענייניים ואתה כל הזמן מתעלם מהם.
כולל חזרתך בתגובה זו על זה שלא הצלחתי להסביר במילה אחת למה זמן דיסקרטי הוא רעיון שגוי למרות שאני חוזר ואומר שזמן דיסקרטי הוא רעיון שיש לבדוק מבחינה פיזיקאלית אבל פשוט אין לו קשר לפרדוקס שהוא תופעה בתחום הלוגיקה.
אתה מצטט מויקיפדיה קטעים שתואמים בדיוק את מה שאני אומר ומנסה להשתמש בהם כטיעון נגד מה שאני אומר.
טור הוא לא סדרה של סכומים חלקיים.
טור הוא אוסף סדור של מספרים (שאפשר, בין השאר, להתייחס לסכומים החלקיים שלו המהווים סדרה אחרת).
הגבול של הסדרה הזו הוא הערך היחיד שאפשר להתייחס אליו כסכום הטור והעניין הזה, מעבר להיגיון הפנימי שלו עובד גם עובד בהוצאת מסקנות על העולם והרבה מן הפיזיקה מבוסס עליו.
זו קצת בדיחה על היהודים והאותיות שלהם , פעם ואולי אני יכול לשחזר ידעתי את ההוכחה לזה
מים נושפים
מי אמר את זה?
זהו שאפשר לרדת מתחת ל ” א0 ” וזו הטעות
מים נושפים
אתה הבדיחה כאן. במתמטיקה יש עולם ומלואו של אינסופים. יש ‘א0’ ויש ‘א1’ ויש גם מספרי ‘ב’.
אין כאן שום בדיחה.
איפה הטעות?
יש טעות מתמטית נפוצה שקוראים לסדר גודל הראשון של אין סוף ” א ” . זו קצת בדיחה על השפה העברית והיהודים , יש סדרי גודל של אין סוף קטנים וקטנים ככל שנרצה
אין סוף קטן וקטן ואין סוף גדול וגדול
מים נושפים
הפוך גוטה, הפוך.
בקנה מידה גדול העולם נראה לנו רציף. דווקא בקנה מידה קטן העולם נראה דיסקרטי.
למה כתבת את זה?
אני אנסה להמחיש איך דבר יכול להיות קטן וקטן ולשאוף בעולם הפיזיקאלי .
אם חלקים זזים גם בממדים אחרים , הם בממד שאתה סופר אותם שואפים לארך הסטטיסטי של המקום בממד המצומצם שבו , שוב, אתה סופר אותם .
ואם התנועה שלהם בממדים האחרים יכולה לבנות ולחסר אותם בכיוון הנגדי אז הערך שלהם יכול לשאוף והדגש על לשאוף והגודל הממשי שלהם בעולם המצומצם יכול ללכת לאין סוף בגודל קטן וקטן . תודה
ניסים היקר
העולם הפיזיקאלי הוא אולי דיסקרטי אבל בחלקים קטנים וקטנים עם אין סוף ולכן גם אנלוגי
עוד נקודת מבט אחרת מכיוונה של תורת היחסות.
ע”פ תורת היחסות כל הדברים נעים תמיד במהירות קבועה (מהירות האור) לכיוון העתיד. שינוי הכיוון של המהירות (לדוגמה מתן תוספת מהירות מרחבית) תהיא להקטנת הוקטור לכיוון העתיד ולכן הזמן יראה כמואט.
זנון מדבר על עולם סטאטי. עולמינו אינו כזה. בעולמינו הדברים תמיד נעים במהירות האור.
נקודה
גישה מעניינת. אני מנסה לראות אם הגישה שלך דומה לשלי. על פניו נראה לי שלא. מה שאתה אומר הוא שבעצם לא ניתן להגדיר מיקום בצורה מדוייקת ולכן אין לנו אינסוף צעדים.
אז אולי זה כן דומה 🙂 בסוף מגיעים לצעדים בגודל פלנק וצעדים אלה הם דיסקרטים.
בכל מקרה אני שמח שעוד מישהו מספיק אמיץ להבין שאכן יש כאן פרדוקס בעל משמעות.
Touche
הטעות (כלומר ההנחה השגויה) בפרדוקסים של זנון הוא שזנון מניח עולם ממשי, ריאליסטי, שבו עצם מוגד היטב. אך מה לעשות ועולמינו אינו כזה.
עולמינו הוא עולם שנענה למכניקת הקוונטים וככזה, לעצם אין מקום מוגדר היטב אלא הוא מרוח, ואז כל הפרדוקסים נופלים כי המריחה עצמה קימת בכמה מקומות במרחב בו זמנית ואז התנועה אינה אלא שינוי המשקל של המריחות על פני המרחב.
אותן מריחות, לא ניתן לדבר עליהן בלשון ממשית עכי הן מוגדרות ע”י מספרים מדומים.
בקיצור זנון צודק שבעולם הזה שהוא הצמיא תנועה לא תיתכן, אך זה לא עולמינו.
מיכאל – מי דיבר עלייך? 🙂
אצטט מהמקור שאתה כל כך אוהב, ויקיפדיה, משפט אחד “אם נראה שהסכום “הולך ומתקרב” למספר סופי כלשהו, זה אומר שהטור מתכנס”.
אם אתה רוצה לדייק – טור הוא סידרה של סכומים חלקיים של איברי סידרה. הסכום שואף לגבול אבל לעולם לא מגיע עליו. אני לא מבין איך אתה מתווכח על זה. אפשר להגדיר את ערך הסכום כגבול של הטור, אבל אי אפשר להוציא מסקנה על העולם על סמך הגדרה.
לא אמרתי שכולם טועים ולא אמרתי שאני צודק. ניסיתי לפתח, למי שמעוניין לשמוע, קו מחשבה שפחות מוכר. אני לא היחיד שחושב אחרת מ”כולם”. חשבתי על הפרדוקסים האלה, ואני באמת חושב שהפתרון שאתה כל הזמן חוזר אליו הוא לא לעניין. לא הגבת לתוכן דברי, פשוט צחקת על חוסר ההבנה שלי. אתה תמיד מצליח לרדת לפסים אישיים וכל השיח כאן מאבד מערכו.
לא הצלחת להסביר במילה אחת למה זמן דיסקרטי הוא רעיון שגוי (בלי קשר לפרדוקסים שלנו). פשוט נתת אנלוגיה עילגת שלא קשורה למה שאמרתי.
מיכאל – באמת יכול להיות שהרעיון שגוי לחלוטין. אשמח לשמוע למה וללמוד. הצלחתי למצוא מספר תומכים ברעיון (בוא נדייק – זה הרעיון שלהם ולא שלי), כמו קונרד זוס, סטיבן וולפרם ואדווארד פרדקין.
וסתם פרט אנקדוטי – “מכונות זנון” הן מושג מוכר במדעי המחשב ומספקים מודל מסויים של hypercomputation (שזה חלק מתחום המחקר שלי).
ניסים:
היהירות היא שלך כאשר אתה מציין שכולם טועים מלבדך.
גם הבלבולים הם שלך וזה מתבטא לאורך כל הדרך, כולל בתגובה האחרונה כאשר אתה אומר שערך הטור מתכנס.
ערך הוא ערך וערך לא עושה כלום חוץ מלהיות הוא עצמו. בפרט הוא לא מתכנס. כפי שהוסבר לך – הסדרה של הסכומים החלקיים של הטור מתכנסת.
כידוע היא מתכנסת למספר ולא לשום דבר אחר.
המספר הזה מוגדר כסכום אברי הטור וזו הגדרה הגיונית ועקבית עד כדי כך שאין בעולם שום מספר אחר שאפשר להגדיר אותו כסכום אברי הטור.
את הפרדוקס של תומפסון כבר הזכרתי בהסבר שנתתי לישראל על שאלה ששואלים בנוגע לנקודת זמן שלא נתנו לגביה כל נתון. אתה יכול לקרוא לזה סופר טאסק או “או-בריין” או כל שם מפוצץ אחר וזה לא יהפוך את מה שקורה בנקודה 2 למוגדר. אין שום דרך לגזור את התשובה למצב המנורה בנקודת זמן מסוימת מתוך תיאור שמתייחס רק לנקודות אחרות.
זו בדיוק הטעות עליה הצבעתי בניסיונו של זנון להסיק מה שקורה בנקודות שסדרת האירועים שלו לא מגיעה אליהן (לא בגלל שאי אפשר להגיע אלא בגלל שהוא בחר לתאר סדרה זו ולא אחרת).
הפתרון “הזמן הוא דיסקרטי” משול בעיני לפתרון “אכילס הוא בכלל שבלול שלא יכול להשיג צב”.
זה פשוט לא שייך לעניין אבל כבר הסברתי זאת ואבדה תקוותנו.
אני חושב שהפרדקוסים של זנון אינם פתורים כמו שמקובל לחשוב. מקובל לחשוב שהם פתורים – כי יש לנו תחשיב שמדבר על מושג הגבול. אני מדבר על חדו”א כמובן. תחשיב זה גורם לנו (לחלק מאיתנו) להתבלבל בין מושג הגבול לבין מושג ערך פונקציה בנקודה. דוגמא אחת היא פרדוקס החץ של זנון. כאן אנחנו מתבלבלים בין ערך הפונקציה x/x כאשר x->0 לבין 0/0. דוגמא שניה מופיעה בפרדוקס אכילס והצב: כאן אנחנו מתבלבלים בין טור לבין סידרה. אסביר: ערך הטור המתכנס 1+1/2+1/4+.. מתכנס ל-2, ואנחנו מגדירים את הערך הזה כסכום הסידרה. מזה לא איכפת לי (למרות שאני לא חושב שזה נכון לבלבל בין 2 מושגים שונים, אבל לא חשוב). מה שאיכפת לי מתבטא בפרדוקס נוסף – המנורה של טומסון.
טומסון נתן דוגמא יפה ל-super task. הדוגמא היא מנורה שמדליקים, מגבים אחרי דקה, מדליקים אחרי חצי דקה, מכבים שוב אחרי 15 שניות וכן הלאה. מה מצב המנורה אחרי 2 דקות?
ברור שהתשובה אינה “דולק” או “כבה” (מזכיר את הטור של גרנדי). השאלה היא מה לא תקין בדרך המחשבה שלנו.
למרות יהירותם של אנשים מסויימים, אני חושב שיש כאן הרבה מקום למחשבה. וזה נכון גם לגבי הפרדוקסים של זנון. אחת הבעיות שמעלות הפרדוקסים היא בעיה של מדידה – איך בדיוק ניתן לבדוק שעברו 2 דקות? האם אפשר למדוד זמן בדיוק אינסופי?
אני חושב שיש לכך פיתרון – אני חושב שהזמן הוא דיסקרטי. זה פותר את שלושת הפרדוקסים ואני לא רואה שזה יוצר בעיות חדשות.
האם יש פסול ברעיון זה?
ישראל
כתבתי לך תגובה אתמול אך היא נעלמה. בהסתכנות של חזרה על הדברים, אסביר שוב את הבנתי.
ישראל:
בעניין היות סכום הטור מוגדר או לא – יש כאן פשוט התפתחות של השפה.
בניגוד לתקופתו של אוילר, כיום, המילה “מוגדר” לגבי סכומי טורים כבר מוגדרת.
זה הכל.
לכן גם לא יהיה שינוי בעתיד ולשאלה אם סכום הסדרה מוגדר או לא תישאר תשובה אחת. זה לא יחזור להיות עניין של “דעתו של אוילר” או “דעתו של ברנולי”.
הרי אם תתעמק בשאלה יהיה לך ברור שבהגדרה הקיימת כיום לסכום של טור – הגדרה המבוססת על הגדרת ההתכנסות, היה גם אוילר אומר שהסכום בסדרה שתיארת לא מוגדר.
דוד:
קודם כל אני נהנה לציין שאני מתרשם שאתה, בשונה מכמה מגיבים אחרים שסתם מצהירים הצהרות או מביאים טיעונים של אחרים מבלי להיות מסוגלים לעמוד מאחריהם, מבין על מה אנחנו מדברים (מקריאת תגובות נוספות התרשמתי שגם ב כבר הבין את הרעיון, למרות שהוא מערבב במינוח בין “נתוני הבעיה” לבין “הנתונים עליהם מתבסס השיקול השגוי של זנון” וכמובן שישראל הבין כבר די מזמן).
למעשה המחלוקת שאתה מתאר היא מחלוקת של דגשים וכאן אנחנו באמת חלוקים.
בעיני, ההתמודדות עם פרדוקסים במובן הלוגי של המילה היא הדבר החשוב ביותר כיוון שבשונה מסתם פתרון של בעיה המביא אותנו ממצב של “לא יודע את התשובה” למצב של “יודע את התשובה” מביא אותנו פתרון הפרדוקס ממצב של “יודע דבר לא נכון” למצב של “יודע דבר נכון”.
ההתמודדות הספציפית עם מונח הזמן (שהוא תופעת טבע ולא חלק מן הלוגיקה) היא כמובן חשובה, אבל אין בה הרבה טעם אם אנשים לא יודעים לשקול שיקולים הגיוניים.
ספציפית, בשאלה בה אנו דנים, הטיעון של זנון כלל לא מתבסס על רציפות הזמן או המרחב (הוא בסך הכל מדבר על סדרה של אירועים בדידים).
מה שהוא כן מתבסס עליו זו הטעות שבהסקת מסקנה המתייחסת לכל ציר הזמן מאוסף אירועים שמתוך הגדרה מצומצמים רק לחלק סופי ממנו.
נושא הרציפות (בפני עצמו, ללא כל קשר לזמן) נידון לעומק במסגרת המתמטיקה ויש לו כים הגדרות ברורות ויעילות. יש אפילו סוגים וגוונים של רציפות שהמתמטיקה מטפלת בהם (כמו רציפות במידה שווה, רציפות של נגזרות מסדרים שונים וכיו”ב).
במובן זה, הזמן אינו יוצא מן הכלל ואת אותו צמצום של הבעיה שהצעת לציר הזמן אפשר להעתיק גם לציר הדרך ולטעון שאי אפשר לעבור מנקודה לנקודה.
העניין הוא, כפי שאמרתי, שזה לא מתמודד עם הטעות. זה רק מוכיח שהיא קיימת. למעשה מה שצמצומים אלה (אם לא דנים בהתכנסות הטורים) אומרים משהו בסגנון: “אם אי אפשר להגיע לשעה 11 ותשיעית שניות אז אי אפשר להגיע לשום שעה” או “אם אי אפשר להגיע לנקודת המפגש אז אי אפשר להגיע לשום נקודה” אבל הם לא מצביעים על הטעות שהובילה למסקנות השגויות האלה.
זה דומה לאדם שבא לחברו, מראה לו משהו ושואל “מה זה?”
“אני לא יודע מה זה”, עונה לו החבר, “אבל הנה עוד אחד”
מי מזלזל? שמעת צליל זלזול?
פשוט לא מבין מה הסיבוך. הובהר חזור והבהור שהבעיה המתמטית היתה בחוסר הכרתו של זנון את התכנסות טורי האינסוף לסוף. כאן היה אמור להיות הסוף. אז אולי תסביר למה אינך מקבל זאת סופסוף ?
כל השאר, קוואנטים צעדים וכו, לא קשור.
ישראל
אני לא מבין מה אתה לא מבין. סכום הטור אינו 2. זו ההגדרה של טור אינסופי. אבל, זו לא הבעיה כאן – הבעיה היא שיש אינסוף ארועים. וזה אומר שלא ניתן להגיע לסוף טור הארועים.
ישראל – תפסיקו לזלזל, ותביאו טיעון נגד הגיוני. הצעתי פתרון לבעיה, לא התייחסת…
ב
אם אתה מאמין במפצגדול, דהיינו שכל היקום על גלקסיותיו ערפיליותיו וזברביריו התחיל מאטום בראשיתי בגודל אפס – תאמין בכל דבר.
ניסים
את הטענה (הפילוסופית) שלך אני מבין ככה: יש להבחין בין 2 מתמטי, דהיינו סכום הטור ….1+1/2+1/4+1/8 ובין 2 פיזיקלי שבו טובים השניים מהאחד.
ועל זאת אומר רק:
אם לב צעיר ספג אי פעם
תורת כזב מסוכנה
אותם הריח והטעם
לא יתנדפו עדי זקנה.
ישראל
אתה ואני מבינים את זנון אחרת. לדעתי, הוא לא דיבר על טור אינסופי. הטור האינסופי שלנו לא שווה ל-2, הוא שואף ל-2. לדעתי, הבעיה היא שיש אינסוף ארועים, והמשמעות של סידרה של אינסוף ארועים היא שאין ארוע אחרון, כלומר הסידרה לעולם לא תיעצר. זה שטור המרחקים שואף ל-2 זה ממש מרתק, תרגיל מתמטי מדהים, אבל לא פותר את הפרדוקס.
אני אומר – אם המודל שלנו יוצר סתירה, אולי כדאי להחליף את המודל. אני טוען שהעולם הוא דיסקרטי. יש קוונטה של כל משתנה מדיד, כמו זמן ומרחק. זה פותר לחלוטין את שני הפרדוקסים של זנון (השני הוא פרדוקס החץ).
הטענה היא אולי מוזרה, אבל זו לא סיבה לפסול אותה.
התמצה אכילס והצב.
אני מניח שלזנון היו דברים נוספים.
לא התמצה:
השימוש במודלים מתמטיים לצורך תיאור מציאות פיזיקאלית.
ובפרט:
נושא המפץ הגדול.
נשמע עמוק.
אך עדיין נראה לי שהטענה של זנון הייתה שהסכום של טור אינסופי הוא אינסוף.
והוא פשוט טעה, וזאת מחוסר ידע מספיק על טבעם של טורים.
התמצה זנון.
ישראל:
במסגרת המתוארת בבעיה אכילס לא ישיג את הצב במספר צעדים סופי.
משמע:
במסגרת הנתונים של הבעיה אכילס לא ישיג את הצב.
הנקודה שבה אכילס משיג את הצב היא מחוץ למסגרת הדיון של הבעיה.
נקודה זו מוגדרת היטב.
תבדוק את ההגדרה של חתך (חתך דדקינד).
התיאור המתמטי של בעיית אכילס והצב מגדיר נקודה שבה התיאור אינו תקף . זוהי הנקודה שבה אכילס משיג את הצב.
זה בדיוק כמו שחתך ברציונאלים יכול להגדיר את “שורש שניים” אבל “שורש שניים” אינו שייך לחתך כי הוא אינו שייך לרציונאלים.
כל מה שאנחנו יכולים לדעת הוא שבנקודת זמן מסויימת אכילס אומנם משיג את הצב וזה מפני שאם קיים מרחק כל שהוא בין אכילס והצב אז זה לא יכול להיות בנקודת הזמן הזו אלא אך ורק בנקודת זמן כלשהיא לפני כן.
ושוב אני מדגיש:
נקודת הזמן שבה אכילס משיג את הצב היא מחוץ לתחום שמתואר בנתוני הבעיה. היא אינה שייכת לקבוצת הנקודות המתוארות בבעיה.
מיכאל
ההקפדה על צורת ניתוח מדוייקת כפי שאתה מחייב הכרחית כפי הנראה בדיון בנושאים מסוג זה.
אני מודה שלא טרחתי מספיק בטיעוני.
למעשה כוונתי ממוקדת בעיקר על תהליך החשיבה שעומד בבסיס הרצף הלוגי של הצגת הפרדוקס.
לדעתי הפתרון של הפרדוקס עצמו אינו חשוב כל כך. כמו החשיבות של פיענוח המשמעויות של האלמנטים היסודיים “זמן” ו- “רציפות” שעומדים לבחינה מדוקדקת באמצעות הפרדוקס של זנון.
הפיתרון שנתת לפרדוקס מחייב שימוש באלמנט הזמן. והגדרת נקודת זמן מיוחסת לרצף הלוגי של התיאור.
אבל זה משאיר את אלמנט הזמן עצמו ואפשרויות היחוס שלו, במצב של הנחות מובלעות שהן מחוץ למיקוד של הרצף הלוגי.
פיענוח אלמנט הזמן והרצף מחייב לדעתי להבליט מספר תכונות חשובות של ההנחות המובלעות.
1. הופעתם של לולאות מסוגים ובמקומות שונים, היא תכונה יסודית כשמערבבים זמן ורציפות.
2. ניתן להעתיק את הלולאות ממקום “בעייתי” ברצף הלוגי למקום אחר שמניח את הדעת. באותה הזדמנות
להחליף לולאה מסוג אחד באחרת. הרי פתרון הגבול וההתכנסות של טורים היא לולאה בלבוש אחר.
3. חייבים להכליל את תכונת הרצף הלוגי בתכונת אלמנט הרציפות שמונח במובלע בתוך הלוגיקה.
לא ניתן להתעלם מהתלות של הלוגיקה כרצף שמתאר תהליכים מצד אחד ממושג הרציפות עצמו שמונח
ביסוד התיאור עצמו.
4. מה שמביא אותנו שוב ביתר שאת לתכונת הלולאה שלעיל שהופכת ללולאה בתוך לולאה.
ובנקודה הזאת הלוגיקה הופכת לפרדוקס.
5. ואסכם בתכונה האחרונה שחייבים להבליט אם כי לא אחרונה שקיימת בנושא.
היא קיומם מחוייב המציאות של נקודות מפגש בין האלמנטים המיוחסים.
כלומר נקודות קצה מסוגים שונים ובמקומות שונים בעלי תכונות שונות.
כאשר כמו ב-2 דלעיל ניתן להעתיקם בטכניקות שונות ממקום בעייתי למקומות אחרים.
כל הנ”ל לדעתי מהווה הקדמה הכרחית לפיענוח האלמנטים הללו של זמן ורציפות וההכללה שלהם בתוך
רצפים לוגיים.
אז כשכתבת “הוא לא ישיג את הצב במספר צעדים סופי” התכוונת לשלבים. תפדל.
אבל על פי הפרדוקס הוא בכלל לא ישיג את הצב. וכפי שכבר צויין, הסיבה היא שהנחת זנון היא שמספר אינסופי של שלבים מתבטאת פיזית במרחק אינסופי שעל אכילס לעבור, מכיוון שההנחה השגויה של זנון הייתה שמספר אינסופי של אינטרוולי מרחק מסתכמים במרחק אינסופי, אפילו אם אותם אינטרוולים קטנים והולכים ביחס של 1/10.
גילוי הטורים האינסופיים המסתכמים לגודל סופי פתר את הבעיה לפני 300 שנה. אז מדוע אנו עדיין מתדיינים? מילא ניסים שטוען בהגיון פילוסופי שניתוח מתמטי לא בהכרח ישים לתחום הפיזיקה. הטענה של זנון הייתה מתמטית, דהיינו שכל טור אינסופי מסתכם באינסוף, והוא אכן היה צודק בפרדוקס המסויים הזה אילו הטור האינסופי המסויים הזה היה מסתכם באינסוף, כמו טורים רבים אחרים. אבל הוא לא.
ישראל:
יש משהו מבלבל בענין.
יש צעדים של אכילס ויש שלבים של הבעיה שגם הם נקראים צעדים.
אם מדברים על צעדים של אכילס זו בעיה אחרת לגמרי.
בבעיה כפי שהיא מוצגת מתעלמים מן הצעדים של אכילס. אכילס יכול גם לרחף באויר בלי לעשות צעד אחד.
בבעיה מדובר על שלבים בהתקדמות של אכילס ולא על הצעדים של אכילס.
ב
בלינק שהבאת לא כתוב שצעדיו של אכילס קטנים בהדרגה.
אז אם נצא מההנחה שכל צעד הוא באורך מטר, אז בצעד ה112 הוא ישיג את הצב.
ולכל אורך צעד מסויים יהיה מספר צעדים סופי שבו הוא ישיג את הצב, חוץ מבצעד תימני שמורכב כידוע מצעד אחד קדימה ושניים אחורה.
על פי הלינק, גם אויילר טוען שהסכום כנראה חצי.
יהיה אשר יהיה, התשובה לא פשוטה. אני זכרתי אחד או אפס ושלייבניץ טעה. אחרי שבדקתי התברר עד כמה מורכבת השאלה, ואפילו אויילר לא יכל להגיע לסיכום חד משמעי. בספר ״אפס״ של צ׳רלס זייף מסופר שהכומר גראנדי השתמש בסדרה להוכיח את קיום האלוהים, בעוד שעל פי פול הופמן (ארדוש) נילס הנריק אבל קרא לטור ״טור השטן״ והשתגע בגללו.
אז סטטיסטית, אפילו אם מתמטיקאים היום טוענים שסכום הטור לא מוגדר, זה בטח ישתנה בעתיד.
לי נראה די ברור שסכום הטור הוא אחד, אפס, או משהו באמצע.
ישראל:
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%A4%D7%A8%D7%93%D7%95%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%96%D7%A0%D7%95%D7%9F
הזמן סופי .
המרחק סופי .
מספר השלבים אין סופי.
ישראל:
אני עדיין טוען שזה לא מוגדר ולדעתי לא תמצא היום שום מתמטיקאי שטוען שהסכום מוגדר.
הסכומים החלקיים מוגדרים אבל הסכום של כל האברים לא מוגדר – לא כפי שהמילה “הגדרה” משמשת במתמטיקה.
אתה יכול להגדיר את “קבוצת הסכומים החלקיים המתקבלת כאשר האברים מסוכמים לפי הסדר הנתון” וזה יהיה מוגדר (לא כסכום, שהוא מספר, אלא כקבוצת מספרים) אבל אין הצדקה לטענה שהסכום עצמו מוגדר.
ב
על פי הפרדוקס המקורי, דהיינו זה שמתואר בויקיפדיה, אכילס ישיג את הצב במספר צעדים סופי.
מייקל
סליחה שדימגתי. עכשיו, על פי הלינק שהבאתי לייבניץ טוען שסכום הטור הוא חצי. ברנולי שני שליש. הספר הנעלם שלי אחד או אפס.
האם אתה עדיין טוען שסכום הטור לא מוגדר? סטייל חלוקה באפס, undefined. או שאין הסכמה על הסכום בין המתמטיקאים השונים?
ישראל:
סכום של טור אינו קיים אם הוא תלוי בצורת הסכימה.
ניסים:
מה שאתה רוצה או לא רוצה אינו משנה דבר בפרדוקס.
גם זה שאתה חושב אם אפשר או אי אפשר לתאר את העולם באמצעות מתמטיקה לא משנה את העובדה שכל התיאורים החלופיים שהבאת (וכל התיאורים שמדע הפיזיקה עוסק בהם) הם מתמטיים.
אתה רוצה לטעון שהעולם אינו רציף? טען! איש לא מונע זאת ממך! רק עזוב את פרדוקס אכילס והצב במנוחה כי הוא לא מעיד על זה! כפי שאמרתי, האפשרות שהעולם דיסקרטי קיימת ונחקרת בצדק אבל אף מדען בר דעת לא אומר “הנה! יש לנו את סיפור אכילס והצב ולכן שאלת הדיסקרטיות של העולם הוכרעה!”. מדענים בני דעת לא עושים זאת כי זה היקש לא נכון – בדיוק כפי שמדגים המשל שלא הבנת.
ישראל:
אתה בוחר מתוך הטקסט משפט יחיד שאינו ממצה את משמעות המונח ואפילו לא מופיע ראשון בתיאורו – רק כדי להצדיק שימוש שגוי בשפה.
התרגום של המונח לאנגלית הוא definition. האם גם שם יש לך משחק מילים מבלבל?
המילה “הגדרה” אכן קשורה בפועל גדר ובהקשרים נכונים אף אני עושה בעובדה זו שימוש, אבל מכאן לגזור שבכל מקרה מדובר בגדר שיש בתוכה מרחב תמרון זו דמגוגיה.
דוד:
מסקנתך בקשר לעצירת הזמן על פי אותם שיקולים כמו בפרדוקס היא נכונה.
גם אני חשבתי עליה אבל נמנעתי מהצגתה משתי סיבות:
האחת היא שאינה פותרת את הפרדוקס אלא רק מראה שהוא קיים ברובד בסיסי יותר – זה של הזמן עצמו ובמובן זה, התייחסות זו היא התחמקות מפתרון הפרדוקס (באופן דומה לזה שבו אנשים שמנסים להתחמק מהסבר מקור החיים פונים לפנספרמיה).
השנייה היא שמטיב הטיעונים שעלו בדיון הבנתי שבני שיחי לא יבינו את הקשר.
השיקול השני לא שייך לענייננו וכאן אתה נופל בדיוק לטעות החוזרת ונשנית של ניסים.
הפרדוקס הוא בתחום הלוגיקה והמתמטיקה. זנון הניח זמן ומרחב רציפים וטען שיש בהנחה זו פרדוקסאליות. הוא טעה בהנחתו, כפי שהראיתי כי גם בזמן ומרחב רציפים לא נוצר כאן פרדוקס.
הדיון על טיבו של העולם ועל מודלים חלופיים להתנהגותו לא שייך לעניין הפרדוקס. להיפך: הוא מטשטש את העובדה שאין כל קשר בין פרדוקסים (שהם מונח מתחום הלוגיקה) לבין השאלה “מבין המודלים הלוגיים העקביים של העולם – מהו המודל הנכון?”
בפרדוקס אכילס והצב:
אם אמנם אכילס יתקדם כפי שמתואר בבעיה
אז
הוא לא ישיג את הצב במספר צעדים סופי.
אבל :
אכילס משיג את הצב.
מסקנה:
קיים גבול לסדרה האינסופית של המצבים המתוארת בבעיה.
ואנחנו נשארים עם השאלה:
נניח שלסדרה אינסופית מסויימת קיים גבול.
האם קיים אחד מאברי הסדרה השווה לגבול או שלא קיים איבר כזה.
והתשובה:
למרות שקיים הגבול בכל זאת יתכן שאף אחד מאברי הסדרה אינו שווה לגבול.
נחזור לאכילס:
אם נתיחס לנקודת זמן שבה אכילס כבר עבר את הצב. (קרוב לצב כרצוננו) . נראה שאי אפשר לתאר את התקדמותו של אכילס באותה צורה כפי שתוארה לפני שהוא הגיע לצב.
משמע:
הנקודה שבה אכילס משיג את הצב היא חתך על ציר המספרים. משמאל לחתך ניתן לתאר את התקדמותו כפי שמתואר בבעיה.
בנקודת החתך ומימין לה התקדמותו של אכילס שונה מן המתואר בבעיה.
נא לשים לב:
התקדמותו של אכילס היא רציפה. רק התיאור משתנה באופן בלתי רציף.
מסקנה:
אין כל פגם בהתקדמות של אכילס
בתנאי:
שאנו מגבילים את תיאור ההתקדמות עד נקודת החתך ולא יותר.
ומכיוון שהתיאור מתאים עד נקודת החתך הוא אינו יכול לתאר מה קורה בנקודת החתך.
נו, ב, אז מה הסכום של הטור שלי? קיים או לא קיים? אם לא, אז למה לייבניץ טוען שכן ושהוא חצי? האם גם לייבניץ מנסה להמציא מתמטיקה חדשה? ואויילר וברנולי, ו..
אה, שכחתי שאתה לא מעיין בלינקים מבלבלים.
ואם הוא לא קיים, אז האם נוכל לאמר שכמו במקרה החלוקה באפס, התוצאה יכולה להיות כל מספר, כולל אילו הקטנים מאפס וגדולים מאחד?
ישראל:
האם אתה מנסה להמציא מתמטיקה חדשה?
על פי הידוע לי:
אם לטור יש סכום
אז
סכום הטור קיים . איברי הטור אינם מגיעים מגיעים אחד אחד על מנת להצטרף לסכום . הם פשוט קיימים .
סכום של טור הוא פשוט מספר קיים.
בדיוק כמו שהסכום ( 1 פלוס 3 ) קיים עוד בטרם בא מישהו וביצע את פעולת החיבור.
אותו דבר קורה עם גבול של סדרה.
אם הסדרה מתכנסת אז הגבול שלה קיים והוא פשוט מספר . המספר הזה אינו מחכה שאברי הסדרה ירוצו לקראתו ויתכנסו על ידו. הם מכונסים שם מאז ומעולם.
מיכאל . ישראל
אני מוכן לקבל את ההגדרה “הערך של טור אינסופי מתכנס הוא ערכו של הגבול”. אבל אני לא יכול לקבל שזה מתאר את המציאות. בפרדוקס יש סכום של אינסוף איברים, ואני לא חושב שניתן לחבר אינסוף איברים – גם אם ניתן לחשב את הגבול!!! בגלל זה הצעתי לכם לקרוא על Super tasks.
נקודה שניה – אני לא חושב שניתן להסביר את העולם ע”י מתמטיקה. בודאי שניתן לתאר אותו וגם ניתן לבצע בעזרתה פרדיקציות (לפעמים כן ולפעמים לא).
נקודה שלישית – אני רוצה לטעון שהעולם אינו רציף. אני לא רואה שום בעיה אם מניחים שהעולם דיסקרטי, ואני חושב שזה עונה על הרבה בעיות בצורה פשוטה יותר. כאן – אני מציע לכם לקרוא על אדווארד פרדקין.
מתוך “שיעור בעברית”:
“הגדרה מוצלחת היא כזו שתוחמת מושג”
אז סכום הטור שהבאתי מוגדר בהחלט. הוא יכול להיות 1/2 כפי שטוען לייבניץ, אך הוא לא יכול להיות קטן מ0 או גדול מ1. אילו הן הגדרות.
בספר (אני עוד אמצא!) היה כתוב: 1 או 0.
ניסים
ישנן דרכים רבות לטיפול באינסוף במתמטיקה, ואפילו הבחנה בין גדלים שונים של אינסופים.
אקסיומת המקבילים: “שני קווים מקבילים לא יפגשו או יפגשו באינסוף”.
גם בפיזיקה לפני תאוריית המפץ נחשבו היקום והזמן לאינסופיים.
“פרדוקס” זנון נבע מן ההנחה השגויה שאם טור מכיל אינסוף אברים, גם סכומו אינסופי, כפי שאכן קורה לסכום של טורים אינסופיים רבים.
בInfinite series (אני לא אומר “סדרות אינסופיות” כדי לא להרגיז את ב) שלא היו זמינות בזמן זנון (נשמע כמו שפת הזן), מוכיחים את התכנסות הטור לסכום סופי.
לכן כל ה”פרדוקס” נובע מחוסר אינפורמציה.
מיכאל
לדעתי רצף לוגי כמו זה של זנון נראה פרדוקסלי כיוון שהוא מבליע מספר הנחות שנותנות לו תוקף.
למשל תיאור התנועה של זנון מול הצב מתאר יחס בין תנועתם של שני עצמים אבל מתעלם מתנועת הזמן עצמו.
הרי אי אפשר לדבר על תנועה ולהתעלם ממושג הזמן. אבל זה מה שהפרדוקס עושה הוא מעלים את הזמן.
ברגע ששמים לב לזה אז לכאורה ניתן להחיל את החלוקה האין סופית על הזמן עצמו.
ולהסיק מכך שאם זנון עוצר גם הזמן עוצר. אבל אז אין משמעות לתנועה בכלל. כי באיזה זמן הזמן יחליט לעצור דווקא בנקודה שבה מתרחש הפרדוקס או אולי דווקא בצעד הראשון.
אבל אם הזמן עצר גם התנועה לא קיימת אז גם כל הפרדוקס לא קיים כי אי אפשר להתחיל את הרצף הלוגי בכלל.
ואולי הזמן משנה את מהירותו כרצונו אם כך מה קורה לתנועה.
נוסף על כך אלמנט אחר שגם הוא מונח במובלע בתיאור הרצף הלוגי.
והוא ההנחה שתנועות יחסיות הן רציפות.
הנחת הרציפות איננה מחוייבת המציאות כלל אולי דברים מתקדמים או משתנים לא ברצף אלא במעברים שבין אוסף מצבים אחד לאוסף מצבים אחר.
החדו”א מבוססת בעצמה על ההנחה הזאת של רציפויות אבל מניין שלא ניתן לקבל את אותן התוצאות ואולי אפילו כלים טובים יותר, באמצעות לוגיקה של קפיצות בין מצבים שונים.
לסיכום כשבודקים את ההנחות המובלעות בתוך פרדוקסים למינהם מקבלים פרדוקס של הפרדוקס.
מה שהופך את הרצף הלוגי הנתון לחסר משמעות.
כי אם התשובות לשאלות הם גם חיוביות וגם שליליות לא נמצא את הידים ואת הרגלים בכל זה.
יוסי סימון
אתה זה שלא מבין, לדעתי, את הפרדוקס של אכילס והצב. השאלה היא לא איך אכילס מנצח, כולנו יודעים שהוא ניצח. השאלה היא איפה הטעות בהגעה למסקנה זו.
להגיד שטור מתכנס הוא הפתרון לא קביל בעיני. מי שאומר שכח מה ההגדרה של טור מתכנס….
אפשר לחשב את המסלול של כדורי ביליארד בעזרת משפט פיתגוראס – אבל זה לא ההסבר לתנועת הכדורים. (ודרך אגב, אי אפשר לחשב את המסלול של כדורי ביליארד…..אלא אם העולם דיסקרטי, ראה להלן).
אני לא בטוח שכל מה שקורה בעולם ניתן לביטוי מתמטי. דבר ראשון – אני לא מבין למה זה חייב להיות נכון. דבר שני, אנחנו מכירים תופעות פיסיקליות פשוטות שאין להם פיתרון אנליטי (ומוכח שאין להם כזה פיתרון).
אבל – זה לא קשור לפרדוקסים. אני חושב שיש פתרון, והוא לא תכסיס מתמטי זול (ושגוי). אני חושב שהפתרון הוא שהעולם הוא דיסקרטי – יש קוונטה של זמן ויש קוונטה של מרחק.
המשל שגוי.
ניסים:
זה לא שאתה לא חושב יותר מדי – זה שאתה לא חושב די.
לא הבנת את המשל.
חבל.
עייפתי
מיכאל רוטשילד
אתה מניח את מה שאתה מנסה להוכיח 🙂 אתה מניח עולם רציף – ומניח שבעולם זה התנועה היא אפשרית. לא יפה מיכאל…..
אני טוען (בלי יותר מידי חשיבה אני מודה) שהזמן והמרחב הם דיסקרטיים, ושזה הפתרון לפרדוקסים של זנון. אני גם טוען שזה (נקרא לזה) עקום להסביר תופעה פיסיקלית בעזרת תכסיס מתמטי (ובטח שתכסיס זה הוא שגוי – ערך פונקציה בנקודה וגבול פונקציה הם דברים מאוד שונים)
יוסי סימון:
נתוני הפרדוקס נהירים לי לחלוטין.
גם לויקיפדיה הם נהירים.
מיכאל רוטשילד!
אני סבור שנתוני הפרדוקס לא נהירים לכם!
אציג את ה”חידה”
נתון מספר 1: אכילס רץ במהירות של פי 3 מדלתון.
נתון מספר 2: דלתון עומד 100 מטר לפני אכילס
נתון מספר 3: מתחיל מרדף (נניח כי בזמן 0) כ”א רץ בשיא מהירותו
בברור לכולם כי אכילס ישיג את דלתון לאחר 150 מטר. (אם אורך צעד חצי מטר לצורך העניין אזי נדרשים 300 צעדים בלבד) (אכילס בכלל אינו מכיר את החידה ואין לו שום סיבה להצר את צעדיו)
ב”חידה” מנסים להציג לוגיקה המובילה למסקנה כי אכילס לעולם לא ישיג את הצב (דלתון) לפי הטיעונים הבאים:
כאשר אכילס עובר 100 מטר אזי הצב התקדם מעט, 33.3333 מטר. כאשר אכילס יגיע לנקודה זאת אזי הצב מתקדם עוד קצת, וחוזר חלילה. והטענה שכל פעם שאכילס מגיע ליעד החדש הצב מתקדם מעט. והשאלה מה שגוי בלוגיקה?
ואם הטיעונים נכונים יוצא שאכילס לא מסוגל לעבור 151 מטר כי הוא אינו מסוגל לעבור 150 מטר.
אבל 150 מטר הם נתוני החידה. עבור כל מרחק שנבחר נוכל למצוא נתונים המובילים לכך שאכילס לא יעבור את המרחק הנ”ל. כלומר אין תנועה בכלל.
ולפי רוח ה”חידה” ניתן להגדיר חידות דומות בפתרון משוואות במתמטיקה ובכל נושא שקשור לרצף.
ונושא הגבולות והסדרות אינו רלוונטי כי אין נתונים המורים שהמרדף התנהל כך.
ואם חולקים עלי ניתן לפנות לפרופ’ יקיר שושני למשל (פרופ’ לפיזיקה) לאמת את העניין.
ניסים!
לא אמרתי שכל עניין מתמטי בהכרח מבוטא ביקום הפיזיקלי. אולם כל תופעה ביקום הפיזיקלי מתבטאת בנוסחאות מתמטיות
ישראל
אתה אומר “כשמגיעים לאינסוף” … ואני כתבתי שאי אפשר להגיע לאינסוף …. כי אין סוף ….. דאאאאה.
ואתה שוב אומר אותו דבר 🙂
אתה צודק בהבחנה בין טור לסידרה, למרות שלא כולם מקפידים על ההבדל. לטור אין “סכום” – טור יכול להתכנס, כמו אחד ועוד חצי ועוד רבע ….. טור זה מתכנס לשתיים. אבל (!!!) הוא לא שווה ל-2.
אני לא הזכרתי ולא דיברתי על טור טיילור….אבל, אם כבר הזכרת – אז טור טיילור הוא בפירוש טור אינסופי….In mathematics, a Taylor series is a representation of a function as an infinite sum of terms that are calculated from the values of the function’s derivatives at a single point.
אמרת איברים זניחים – הזהר מזה 🙂 “זניחות” הוא מושג שתלוי בהקשר. גם בטור הרמוני, האיברים “האחרונים” מאוד קטנים, אבל הם לעולם לא זניחים.
לגבול יש הגדרה, וההגדרה אינה מדברת על ערך הפונקציה בנקודה, אלא רק בסביבה הקרובה. גם על זה זנון דיבר (פרדוקס החץ).
ישראל – הרעיון בפרדוקס הוא למצוא את השגיאה בדרך החשיבה. זנון הרחיב על הרעיונות של פרמינדס, שהיה המורה שלו. אפלטון העריץ את פרמינדס. אני לא חושב שזה נכון להגיד שאנשים אלה היו טמבלים, או שהם לא ידעו חדו”א. אני חושב שהם הקדימו את זמנם ועלו על בעיה אמיתית של בלבול בין מתמטיקה למציאות. ההסבר המקובל לאכילס והצב, בעזרת סכום טור, זה כמו להגיד שסינוס מסביר את חוק סנל….
שיעור בעברית
תאר לך עולם.
לא בהכרח העולם האמיתי אלא כזה שדומה לעולמנו אבל בו הזמן והמרחב רציפים (אולי גם בזה הוא דומה לעולמנו אבל איננו יודעים זאת).
זה עולם מדומיין – לא העולם האמיתי – ובו הזמן והמרחב באמת רציפים: אם נבחר נקודת אפס ונשרטט דרכה קו ישר בעולם הזה – תהיה לכל מספר ממשי נקודה שמייצגת אותו.
כנ”ל לגבי הזמן: אם נבחר רגע מסוים כזמן 0 אז לכל מספר ממשי t תהיה נקודת זמן שאותה הוא מייצג.
אגב, האנשים בעולם הזה מדברים בשפת ה”ב”.
ל”מרחב” שלהם הם קוראים “מברחבב” ול”זמן” שלהם הם קוראים “זבמבן”.
התנועה בעולם הזה היא פונקציה רציפה מתחום הזבמבן אל תחום המברחבב שבה לכל ערך של זבמבן מותאמות שלוש קובואובורדיבינבטובות של מברחבב.
פילוסוף (פיבילובוסובוף) שחי שם ששמו זבנובון, אומר שלמרות שכולם מבחינים בכך שאבכיבילבס משיג את הצבב במובן זה שקיים זבמבן t שבו קובואובורדיבינבטבת המברחבק של אבכיבילבס זהה לזו של הצבב ובכל הזבמבניבים המאוחרים יותר (כלומר – לכל T>t ) מברחבקובו של אבכיבילבס גדול ממברחבקובו של הצבב, למעשה זה בלתי אפשרי.
הוא מנמק את דבריו בדיוק בטיעונים בהם משתמשים “פותרי” פרדוקס זנון בעולמנו.
האם הוא צודק? הרי בנינו את העולם הזה עם זבמבן ומברחבב רבציביפיבים!
אם אינו צודק, אז מדוע אותם שיקולים דווקא כן נכונים בעולמנו?
ניסים:
“הטענה של מיכאל, כפי שאני הבנתי, היא שהמתטיקה אכן מתארת את הטבע”
לא נכון.
זו אינה טענתי.
טענתי היחידה היא שהדרך היחידה שיש לנו כרגע כדי לתאר את הטבע זו המתמטיקה אבל המתמטיקה מסוגלת לתאר גם הרבה דברים אחרים.
וכל זה בכלל אינו העיקר בדברי.
מה שאני אומר הוא שהפרדוקס המתואר – כמו כל הפרדוקסים בכלל – עוסק בישויות מתמטיות.
גם אתה – כל הטיעונים שאתה מנסה להביא – בין אם נכונים ובין אם שגויים – הם טיעונים מתמטיים ולא טיעונים “טבעיים”.
דבריך על סכום הטור אינם נכונים וגם סכום של טור הוא ישות מתמטית.
לאורך כל הדיון הזה לא שיניתי את דעתי בשום נושא ואם אתה אומר שברגע מסויים טענתי דבר אחר ממה שאני טוען עכשיו – לא הבנת אותי לפחות באחת מן הפעמים.
אתה לגמרי טועה בגזירתך את הטענה שהיקום אינו מתמטיקה מכך שיש משהו שלא יודעים לחשב. יש חישובים מתמטיים שלא יודעים לבצע אבל זה לא עושה את הישויות המעורבות בהם לבלתי מתמטיות.
למשל – שמעת על פולינומים? האם ידוע לך שאין דרך כללית למצוא את שורשיו של פולינום ממעלה הגבוהה מ 4? האם אתה אומר שגם פולינומים אינם ישויות מתמטיות?
והאם אי היכולת להציג משהו באופן מדוייק עושה אותו ללא מתמטי? מה דעתך על שורש שתיים? אתה יודע איך לכתוב אותו בצורה מספרית מדוייקת? האם כשאתה מנסה להציג אותו מספרית אינך נוקט בקירוב?
ניסים:
כן. אתה טועה.
למספר אין שאיפות. מספר הוא קבוע. מה ששואף ל 2 זה סדרת הסכומים החלקיים של הטור. הסכום הכולל של כל אברי הטור הוא 2.
ניסים
זה ספר בעברית. עברתי על הספרים בבית, לא מצאתי. אבל אני זוכר שהיה כתוב ששהסכום הוא 1 או 1-, ושלייבניץ טעה כשאמר שהוא חצי. בלינק שהבאתי, אין הכרעה לשום כיוון.
אז מתי מגיע סכום האיברים בסדרה ל2? לא באינסוף?
ב
באנגלית הגדרת series הוא: A series is, informally speaking, the sum of the terms of a sequence
אז כנראה שמילולית series פירושו טור.
שמעת על טור הטלוויזיה “היפים והאמיצים”? הטור כולל 120 פרקים.
אז אחרי הטירטור הסמנטי, מה בדיוק אתה אומר? אין לטור שלי סכום? הוא לא מוגדר? הוא יכול להיות 77 או i?
מזכיר קצת את הדיון על פרדוקס זנון.
ומי אמר שפיתוח טור טיילור שייך לתחום הגבולות? זו פשוט שיטה לחישוב ערך של פונקציה בנקודה מסויימת שקשה לחשב ישירות. אם זכור לי נכון, כך מחשבים את M=C^2 או איזו נוסחת איינשטיין אחרת.
מה שאמרתי זה שבחישוב טור טיילור לפעמים האיבר האחרון הוא זה שמקרב אותך ביותר לתוצאה, בניגוד לסכום טור כגון
…1+1/2+1/4+1/8 שבו האיברים הראשונים הם התורמים המשמעותיים לסכום, והאחרונים זניחים.
ישראל:
לא ברור אם אתה רציני או מתבדח.
בכל אופן:
1)חלוקה באפס היא חסרת משמעות. לא מחלקים באפס. זה לא קשור להגדרות ולא לגדרות.
2)סכום החישוב אינו סכום הטור האינסופי. סכום החישוב יכול להיות לכל היותר סכומם של מספר סופי של אברים מתוך הטור האינסופי.
3)לטור אינסופי יש (או אין) סכום. לסדרה אינסופית יש (או אין) גבול.
4)מה שרשמת זה טור ולא סידרה סכום הטור הוא מספר. שום דבר לא הולך לא מתקרב ולא מגיע. (גם סידרה לא הולכת לא מתקרבת ולא מגיעה היא פשוט קיימת.)
5)עד כמה שידוע לי פתוח טור טיילור של פונקציה לא שייך כלל לענין הגבולות.
הפיתוח מניב טור. אם הפונקציה מוגדרת אז סכום הטור הוא ערך הפונקציה. אם הטור הוא אינסופי אז סכומו הוא הגבול של סדרת הסכומים החלקיים.
6)סדרה יכולה להיתכנס לגבול או להתבדר (אין גבול). אבל חישוב של סכומים חלקיים אינו מתכנס ואינו מתבדר הוא פשוט נותן תוצאה מסויימת.
ישראל
כתבת “+1/2+1/4+1/8 שהולכת ומתקרבת ל2 בעקשנות, עד שהיא מגיעה אליו באינסוף.”
זה לא מה שמלמדים….. ההגדרה של אינסוף לא מאפשרת לך להגיע איליו.
ישראל
הספר הוא Ferraro, Giovanni (June 1999). “The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences
הספר בהוצאת Springer Link.
לא שקראתי את הספר … בטח למדתי את זה מתי שהוא….
שורש המילה “מוגדר” הוא גדר.
כאשר מחלקים ב0, אין כל גדר לתוצאה שיכולה לנוע בין מינוס אינסוף לאינסוף.
במקרה שלנו, הגדר ברורה: 1 מימין ו0 משמאל. סכום החישוב כלוא בין 2 גדרות אלו.
לכן כולכם טועים.
וגם כולכם צודקים:
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Grandi's_series
צביקה המניאק גנב לי את הספר (לא זוכר מה שמו) שבו מופיעה התשובה 1 ו1- , ושבו כתוב שלייבניץ טעה. ניסים, אתה אמרת לייבניץ לפני, יש לך את הספר או קישור?
ובאותו עניין: בדרך כלל כאשר לטור אינסופי יש גבול, אז הוא שואף אליו בדבקות. כך קורה במקרה של הסדרה …1+1/2+1/4+1/8 שהולכת ומתקרבת ל2 בעקשנות, עד שהיא מגיעה אליו באינסוף.
בקלקולוס השיטה לחישוב גבול נקודתי של פונקציה עקשנית ונודניקית היא שימוש בטור טיילור. המעניין הוא שבשיטה זו לפעמים החישוב יכול להתבדר הרחק מהגבול הסופי, ורק הנגזרת האחרונה מניבה במפתיע את התוצאה הנכונה.
ישראל
כתבת “אך כמו שאמר מייקל, זו אינה תמונה שלמה. כי בהגדרת הבעיה אין מגבלת גודל או זמן לצעדי אכילס, והם כן יכולים לשאוף לאפס. לכן הטור האינסופי מתכנס לגודל סופי, ואכילס חולף על פני הצב כפי שידוע לנו מנסיון.”
הטענה של מיכאל, כפי שאני הבנתי, היא שהמתטיקה אכן מתארת את הטבע. אני חושב שזה לא כך. במתמטיקה – סכום הסדרה היא גבול ולגבול לא ניתן להגיע. לכן זה אינו, לדעתי, פתרון לפרדוקס – וזה גם מה שמיכאל אמר בציטוט למעלה, למרות שמקודם טען אחרת…
דוגמא נוספת היא בעיית 3 הגופים – אנחנו לא יודעים לחשב את המסלול בצורה אנליטית, אלא רק בעזרת קירובים. ובכל זאת, יש ל-3 גופים מסלול מוגדר. אולי יימצא יום אחד פתרון אנליטי (למרות שפואנקרה הוכיח שלא). כל מה שאני אומר הוא שיש כאן נקודה פתוחה. היקום אינו מתמטיקה, לפחות לא היום.
מיכאל
שאלתי שאלה – האם סכום הטור ל-2? בתיכון למדנו שהסכום אינו שווה ל-2, אלא שואף ל-2, קרוב ככל שנרצה. האם אני טועה?
ישראל:
מה שכולם אומרים לך נכון.
הסכום אינו מוגדר.
ניסים:
אתה מוכן להזכיר לי מי דיבר על צניעות?
האם עכשיו אתה רוצה לשלוח חזרה לתיכון לא רק את ישראל ואותי אלא גם את ויקיפדיה וכל עורכיה וכל הקוראים שלא השכילו להעיר להם על טעותם?
ישראל:
זה איננו סכום הטור האינסופי.
זוהי סדרת הסכומים החלקיים שלו.
לא מבין אותכם, חברה, מה לא ברור?
נסו לחבר את המספרים. תראו שבכל איבר שמוסיפים, הסכום עובר פעם ל1 ופעם ל0.
וזהו אכן סכום הסדרה: 1 ו0 לסירוגין.
לילה טוב.
ישראל
ב צודק.
בנוסף- לא ענית לי – האם סכום הטור שווה ל-2? או שהוא רק מתקרב….?
ישראל:
סכום הטור אינו 1 וגם אינו 0.
לכל היותר ניתן לומר שגם הנקודה 1 וגם הנקודה 0 הן נקודות הצטברות של הסכומים החלקיים.
אבל סדרת הסכומים החלקיים אינה מתכנסת לגבול כלשהוא.
תזכורת:
הגדרת הגבול:
מספר מסויים הוא הגבול של סדרה רק אם החל מאיבר מסויים בסידרה כל שאר האיברים נמצאים בסביבה קרובה כרצוננו לאותו המספר.
שו מתכנסת? מה זה פה, סנהדרין?
סכום הסדרה הוא 1 או 0. אתה רואה אפשרות אחרת?
ישראל
מה זאת אומרת 1 או 0? אתה טוען שהסידרה מתכנסת לשתי גבולות?
1 או 0.
לייבניץ אמר חצי.
מיכאל / ישראל
הטור 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 וכן הלאה אינו שווה ל-2. מי שלא יודע את זה צריך לחזור לתיכון…….
ישראל – אתה מתכוון לליבניץ?
ישראל:
גם זה כמובן לא מוגדר, אבל מסיבות אחרות.
אינני יודע מי המתמטיקאי המפורסם ששגה בעניין.
מהו סכום הסדרה האינסופית:
……1-1+1-1+1-1+1-1
ומיהו המתמטיקאי המפורסם שנתן תשובה שגויה לשאלה?
יוסי:
יש ויש כאן סדרה.
האם אתה רוצה לטעון שהסדרה 10, 11, 11.1, 11.11 וכן הלאה אינה סדרה?!
יש למעשה הרבה (אינסוף) סדרות אבל דברו על סדרה ספציפית וכל תחושת הפרדוקס נובעת מאי הבנה שסדרת האירועים הזאת מתרחשת כולה לפני 11 ותשיעית.
אגב:
כל ניסיון לקשור בין הסיפור הנוכחי לבין שאלות של רצף הוא מגוחך כי כל תיאור ה”פרדוקס” מוגבל למספרים רציונאלים והוא לא דורש בכלל שום רצף (כל מה שהוא דורש זו אי הבנה)
ישראל:
הבנת כמעט הכל.
כשאימצתי בתגובה עליה הצבעתי את המילה צעדים שהוזכרה בתגובות לפני – לא התכוונתי לצעדים במובן הרגיל אלא למה שקיוויתי שקודמי התייחס – כלומר – לצעדים מלאכותיים שמגדירים על ריצתו הרגילה והרציפה של אכילס.
בגלל זה השתמשתי בהמשך במילה אירועים.
אם מישהו התכוון לצעדים אמיתיים אז הוא התבלבל בעניין אחר שגם בו אין כל פרדוקס.
הוא פשוט תיאר מצב שאינו מוגדר מכיוון שלא תיאר כיצד אכילס רץ באופן כללי אלא רק איך הוא רץ לפני 11 ותשיעית שניות.
כל מה שאכילס עושה בצעדים האלה זה להתקרב יותר ויותר לנקודת המפגש והוא עושה זאת באינסוף צעדים שתדירותם שואפת לאינסוף.
לשאול מה יקרה הלאה על סמך הגדרה זו זה כמו לשאול מה יהיה מצבה של מנורה (דלוקה או כבוייה) אחרי שתי שניות אם מישהו מדליק אותה, מכבה אותה אחרי שנייה, מדליק אותה מחדש אחרי חצי שנייה, מכבה אותה שוב אחרי רבע שנייה וכן הלאה.
זה פשוט לא מוגדר ואין כאן כל פרדוקס.
ניסים:
אני מציע לך להצטייד בקצת צניעות.
אתה מצהיר הצהרות שבאופן כללי הקהילייה המדעית, המתמטית, הפילוסופית והפיזיקלית דוחה (מלבד כמה פילוסופים שלא מבינים) ואתה מנסה ליצור מצג כאילו רק אתה מבין מה קורה.
אין שום “חוקר” שחושב אחרת כי זה לא נושא למחקר. זה רק נושא למחשבה.
אתה יכול לדבר כמה שאתה רוצה על הבדלים בין המתמטיקה לפיזיקה וזה לא ישנה את העובדה שכל מה שכינית “פיזיקה” עד כה (וכל מה שתכנה כך בעתיד) הוא מתמטיקה.
הדבר היחיד שהופך מבנה מתמטי מסוים לחלק מן ההבנה הפיזיקאלית שלנו הוא הקשר שאנו מזהים בינו לבין המציאות אבל הוא נשאר מבנה מתמטי.
גם פרדוקס הוא מושג לוגי/מתמטי.
יוסי סימון
אין לי כל ויכוח על המתמטיקה. אבל זו טעות לחשוב שהמתמטיקה והיקום הם שקולים. לא כל מה שקיים בעולם המתטיקה קיים ביקום.
להבנתי, אתה מפרש לא נכון את הפרדוקס. זנון לא ניסה להוכיח שאין תנועה – הוא היה רחוק מלהיות טיפש.
מי שטוען שגבול מתמטי הוא הפתרון עובד על עצמו – מעצם ההגדרה, לא ניתן להגיע לגבול, אבל אפשר להתקרב כמה שרוצים. נתתי 2 קישורים למעלה – שווה לקרוא אותם.
שלום ניסים!
1. עולם המתמטיקה (או קבוצת ה-מתמטיקות שהיא קבוצה אין סופית) אינו תלוי ביקום, באדם, או בכל “יש” אחר והוא עולם מופשט לחלוטין . (משפט פיתגורס מתקיים תמיד בין שהאדם גילה אותו או לא גילה אותו, את השוויון שנים ועוד שנים שווה לארבע גם פוטין לא יכול לשנות) .
הפיזיקה עושה בו שימוש על מנת לפשט ולמזער ולאחד את חוקיה. אין שום חשיבות באיזה גאומטריה היא משתמשת. ולכן גםפרדוקס זנון הוא למעשה פרדוקס מתמטי. כלומר בפתרון משוואה עם שני נעלמים קיים פרדוקס. ניתן להרחיב ולומר בכל רצף מכל סוג כמו זמן לדוגמה מכיל פרדוקס וזה לכאורה.
בסיפור של אכילס מנסים להוכיח כי לא ניתן לעבור רצף של איו סוף נקודות תוך התבססות על מעבר של אין סוף נקודות שהרי כל צעד הכי קטן של הצב/אכילס מכיל אין סוף נקודות. (אכילס לא הקטין את צעדיו כפי שסוברים חלק מהמגיבים) .
2. עולם המדע מכיל אין סוף מחלוקות בין אנשים חכמים וצנועים אזי יש להניח שחלקם גם טועה לפעמים.
3. בזמנו הפרדוקס נולד על מנת ללבן את המושג “תנועה” האם בכלל קיימת תנועה. וזה בסדר גמור כי כל פרט הכי קטן אינו דבר המובן מאליו.
אנסה שוב
ישראל
המאמר מתייחס לבעיה של Super Task שהוא בדיוק הבעיה בפרדוקס.
אתה מוזמן לקרוא גם כאן – http://www.iep.utm.edu/zeno-par/#SH5b
וגם כאן – http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=613003
תקוע…………………….
ישראל
המאמר מתייחס לבעיה של Super Task שהוא בדיוק הבעיה בפרדוקס.
אתה מוזמן לקרוא גם כאן – http://www.iep.utm.edu/zeno-par/#SH5b
וגם כאן – http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=613003
ניסים
ביקשתי ממך לינק שמסביר את הבעיה שאתה טוען שקיימת בפרדוקס זנון. הפנית ללינק שבו הבעיה לא מוזכרת אפילו.
אז או שתפנה, או שתראה את הפיתרון שלך, או שתחריש לנצח!
😀
צניעות עלק..
אני מציע לכם (בלי שמות) להצטייד בקצת צניעות. יש הבדלים מהותיים בין העולם הפיסיקלי לעולם המתמטי.
אני לא אכנס פה לנושאים כמו הנחת הרצף, אבל אנשים כמו ברגסון, תומפסון וויטהד ופפרמאן (חכמים וצנועים….). אבל, בקבלת הפתרון הסטנדרטי אתה צריך לוותר על כל מיני אינטואיציות שיש לנו. למשל – שאי-אפשר לפרק רצף לאוסף נקודות.
אני רוצה להדגיש – כל מה שאני אומר הוא שלדעת הרבה חוקרים, הפתרון הסטנדרטי אינו פותר את הפרדוקס. לי יש פתרון אישי משלי שכבר פירטתי בעבר, אבל זו רק דעתי….
אז הכל מסתדר. הבנתי מ
https://www.hayadan.org.il/galaxy-from-beginning-of-the-universe-2510130/comment-page-3/#comment-453410
שיש איזו גרסה שבה כל צעד קטן פי עשר מקודמו. במקרה כזה אכן יתכן שאכילס לא ישיג את הצב.
ד”ש לארנון אבר..
אולי עדיף להשאיר עברון?
מיכאל!
אין כאן סדרה אלא שתי פונקציות רציפות (או ישרים) שאינם מקבילים. הסיפור על סדרה מיועד ליצור את אשליית הפרדוקס.
עד נקודת המפגש ניתן לחלק את המרחק לאין סוף נקודות אז מה?
ואגב – שמו של חברי הטוב ארנון אברון הוא ארנון אברון
ישראל:
זה פשוט מאד!
קודם כל הבעיה כלל לא מדברת על גודל הצעד וככל שזה נוגע לפרדוקס הם יכלו גם לנסוע באופניים כך שכל הסיפור הזה על צעדים הולכים וקטנים לא שייך לעניין.
כשדיברתי על סדרה אינסופית של אירועים התכוונתי לאירוע של “המצאות אכילס בנקודה זו או אחרת” (ואל תתחילו לי עכשיו עם “אכילס אינו גוף נקודתי כי ישר אקבע לכם נקודה על אכילס שאת מיקומה אזהה עם מיקומו של אכילס).
זה אירוע שאכילס לא צריך בכלל לחשוב עליו: אכילס רץ קדימה והאירועים מתרחשים מאליהם.
בשלב מסויים כל האירועים הללו חולפים ואכילס נמצא בחלק המסלול ובפרק הזמן שאליהם זנון בכלל לא התייחס.
במחשבה שניה – היפוך תגובה. ברור שאם צעדי אכילס שואפים לאפס, סכום הטור יכול גם הוא לשאוף לגודל סופי, והוא יתקע במקום. כנראה שהבעיה באמת קצת מורכבת יותר.
מייקל, תוכל להסביר איך אם כדבריך “כל אחד קטן פי עשר מקודמו” אז מדוע אכילס לא יתקע אחרי מרחק מסויים שאינו בהכרח גדול מזה שעבר הצב? הרי טור כזה אכן מתכנס ל11 ותשיעית כפי שכתבת, אז איך הוא יעבור את הצב?
חוץ מזה שאיפה בבעיה המקורית כתוב שכל צעד קטן פי עשר מקודמו? להבנתי, בפרדוקס המקורי אין את התנאי הזה.
ב
כל החדו”א שהוא תחום מתמטי, הגיע מחישובי מהירות ותאוצה שהן תחום פיזיקלי.
הבעיה שאתה מעלה “אכילס מגיע בשלב כלשהוא לגודל צעד שהוא קטן מקוטרו של אטום” קיימת בכל נגזרת של פונקציה, שבה המכנה שואף לאפס אך אינו מגיע אליו.
ולמרות הסתירה שכביכול קיימת באינפי, שהרי אנו מציבים לבסוף את האפס במכנה, התוצאות המתקבלות – מתמטית ופיזית – הן נכונות.
בספר “משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה” של ארנון עברון:
http://simania.co.il/bookdetails.php?item_id=16951
מועלת בעיית כרעי התרנגולת עליהן נשען כל תחום הקלקולוס. אם אני זוכר נכון, היה זה לוהביטל שהצליח לבסס את הקלקולוס כאמת במתמטיקה.
אז צודקים אתה וניסים כאשר אתם טוענים לסתירה כביכול בעולם הממשי, שבו אכילס צריך לעשות אינסוף צעדים כדי להגיע לצב. כי אם נניח שכל צעד אורך זמן שאינו שואף לאפס, אז בפועל אכילס לא יגיע אל הצב לעולם.
אך כמו שאמר מייקל, זו אינה תמונה שלמה. כי בהגדרת הבעיה אין מגבלת גודל או זמן לצעדי אכילס, והם כן יכולים לשאוף לאפס. לכן הטור האינסופי מתכנס לגודל סופי, ואכילס חולף על פני הצב כפי שידוע לנו מנסיון.
ב:
גם הדרך שאתה מתאר כפיזיקלית היא מתמטית.
אגב, דרך זו אינה בכלל מה שמתואר בבעיה כי בכלל לא מדברים שם על גודל הצעדים.
בכל מקרה, כפי שהסברתי חזור והסבר יש שתי דרכי חשיבה עך הבעיה, שתיהן מתמטיות ובאחת מהן יש טעות של הסקת מסקנה שבבירור אינה מוצדקת, לא מתמטית, לא פיזיקאלית ולא בשום צורה אחרת
ניסים:
לא אמרתי שאין דעות אחרות.
הרי יש גם דעות אחרות על אלוהים ועל השואה.
אמרתי רק שהדעות האחרות שגויות ובניגוד לבעלי הדעות האחרות שרק מביעים את דעתם ואומרים שהמתמטיקה לא תופסת הכל אבל לא מצביעים על שום דבר שהיא לא תופסת, אני כתבתי רק דברים מבוססים ומנומקים
אכילס והצב: מתמטיקה ופיזיקה:
ניתן להתיחס לבעיה בשתי אפשרויות:
1)מתמטית:
אכילס מתקדם וסוגר את המרחק בינו לבין הצב.
הצורה שבה הוא עושה זאת אינה חשובה. הוא יכול גם לרכב על אופניים. ליסוע באוטו. או לטוס במטוס.
אנו מתיחסים אך ורק למרחק בין אכילס והצב.
הפתרון לבעיה זו שייך לתורת הגבולות והוא טור מתכנס.
2)פיזיקאלית:
אכילס רץ . הוא מבצע צעדים ברגליו. כל צעד קטן מן הצעד הקודם לו.
לבעיה זו הפתרון שונה בגלל שאכילס מגיע בשלב כלשהוא לגודל צעד שהוא קטן מקוטרו של אטום.
אכילס אינו יכול להמשיך ולהקטין את צעדיו כפי שנדרש בתיאור הבעיה.
מיכאל
אנשים מכובדים כותבים דוקטורטים בנושא. לא כולם מטומטים….. אם כל הכבוד לוויקיפדיה יש גם דעות אחרות.
פרדוקס זנון
הפרדוקס הזה בנוי על הנחה שאותה רוצים להפריך.
“מוכחים” שאכילס לא יכול לעבור 10 מטרים. אזי מאותה סיבה גם הצב וגם אכילס אינם יכולים לעבור שום מרחק אפילו לא מילימטר אחד. אך הטענה מבוססת על כך שאכילס כן התקדם מרחק מסוים. והמסקנה לכאורה איננה שאכילס לא ישיג את הצב , אלא שמצב תנועה הוא בלתי אפשרי.( ויותר מזה).
היציאה מהפרדוקס – יש צורך להתייחס לזמן ואכן במסגרת זמן מסוים אכילס לא ישיג את הצב.
למה הדבר דומה?
נתבונן בשני הגרפים הבאים:
1. X=5+Y
2. X=2Y
בנקודה 0:0 גובהו של הגרף הראשון הוא 5 ושל השני 0 .
כאשר הגרף השני יגיע ל גובה 5 (כאשר X=2.5 ) הגרף הראשון יגבה מעט . וחוזר חלילה.
אז אם כך גרף 2 לעולם לא יגיע (יחתוך) את גרף 1 . (עולם כאשר X=5 גובהי שני הגרפים הוא 10 )
וכאן אין שום מעורבות של פיזיקה וחומר. אלא פשוט בעיית ניסוח לוגיקה וחשיבה.
מסקנה: שכל אחד קצת יטיל ספק במה שהוא משוכנע ואל ימהר להטיל דופי באחרים.
מתוך “משפטו של החוק השני” (איפה שמוליק?).
לכן עלצו כל כך כולם כאשר i הקטן הצטרף למשפחה, וערכו לכבודו משתה כדת וכדין, שנועד, כך הבטיחו, לכל עולם המספרים. מי לא היה שם? כל שמנה וסלתא של המתמטיקה, כל דוכס וכל רוזן שהוא, וכל מי שהוא קצת משהו. טורים אינסופיים, אשר התכנסו במיוחד לכבוד המאורע, צעדו בסך. בימות בידור הוקמו לסדרות.
נסכם את הפרדוקס כדלקמן:
פילוסופית – אכילס לא ישיג את הצב.
מה שברור מאליו, כי על פי תחום הפילוסופיה הידוע גם כ”מי אני, מה אני” אכילס הוא בעצם הצב והצב הוא בעצם זנון.
ועל כן אכילס אפילו את עצמו לא ישיג, לכל היותר הוא ישיג את הקטור.
פיזית – הוא יחלוף חיש קל על פני הצב וישאיר אותו מאחור.
להפך, ניסים:
דווקא אתה לא מבין את מהות הפרדוקס בשעה שישראל, אני וויקיפדיה כן מבינים.
ברור שחוץ מבעיה מתימטית אין לנו שום דבר וכל המחשבות שלנו על הנושא עוסקות במודלים מתמטיים שונים ולא בשום דבר אחר.
וזה שלא ברור אם בעולם יש משהו אינסופי כלל לא קשור לפרדוקס שדן בעולם היפותטי שבו יש דברים אינסופיים.
להתחיל לדבר על עולם אחר מזה שהפרדוקס דן בו זו פשוט התחמקות, מחד, והוכחה לאי הבנה, מאידך
ישראל
אני מסכים איתך. אבל לא אתה ולא מיכאל מבינים על מה מדבר הפרדוקס.
ברור שמתמטית אין כאן פרדוקס, וברור שאכילס משיג את הצב.. מה שלא ברור זו משמעות המילה אינסוף. על פי ההגדרה – אתה לא יכול לסיים שורה של אינסוף פעולות. להגיד “זה סכום של טור אינסופי, וסכום זה מוגדר היטב”, לדעת פילוסופים מסויימים, לא פותר את הפרדוקס. יש בפילוסופויה מושג מעניין שנקרא supertask. אותי לפחות זה מעניין….
בכלל לא ברור אם בעולם קיים משהו אינסופי. וזה נכון לשני הכיוונים. ברור שהזמן הוא לא אינסופי בשני הכיוונים (ייתכן שהוא קרן, אבל לא יכול להיות שהוא ישר (בלי התחלה ובלי סוף)). וגם לא ברור שזמן ניתן לחלוקה אינסופית. לדוגמא – האם פוטון מגיע למהירות c בזמן 0?
בקיצור – זנון ניסה להסיק מן העובדה שקיימים און סוף זמנים מהצורה 10, 11, 11.1, 11.11, 11.111, 11.1111 וכן הלאה את המסקנה שהזמן 11 ותשיעית לא קיים או שאי אפשר להגיע אליו
ישראל:
הניסוח שאליו התייחסת היה כנראה קצת מעורפל אבל הוא התכוון לצעדים שכל אחד קטן פי עשר מקודמו.
לאורך כל סדרת הצעדים הללו אכילס באמת לא ישיג את הצב.
הטעות היא בהנחה שהצעדים הללו הם חזות הכל.
יש לנו כאן סדרת אירועים שאין בה אירוע אחרון אבל יש אירועים אחריה וזה מה שזנון שוכח.
ניסים
קראתי את הקישור. לא ראיתי שום הסבר, מתמטי פיזיקלי או פילוסופי, לפרדוקס זנון. עוד הפעם פספסתי משהו?
שבת, ילד, כדורגל.
“לכל היותר ניתן לטעון שאכילס לא ישיג את הצב במספר צעדים סופי.(צעדים כאלו המתוארים בהצגת הבעיה)”.
מהם הצעדים המתוארים בהצגת הבעיה?
ודאי שאכילס ישיג את הצב במספר צעדים סופי, וגם לא גדול במיוחד.
תן לי את הפור של הצב, מהירויות והצב ואכילס, וגודל הפסיעה שלו. אומר לך בכמה צעדים הוא ישיג אותו.
ואגב – לא אמרתי שאין פילוסופים שלא מבינים מתמטיקה או את הקשר בינה לבין הפיזיקה.
לכל דבר נכון תמצא גם אנשים שאומרים שאיננו נכון. זה לא מרשים אותי כלל ולי לגמרי ברור שהפרדוקס פתור
ניסים:
אני רואה שאינך מבין מה שאני כל הזמן מנסה להסביר:
מלבד המשוואות המתמטיות אין לנו כלום. אנחנו מבינים את העולם באמצעות מודלים. אכילס והצב גם הם מודלים – ישויות מתמטיות – וכל הפרדוקס הוא בתחום הלוגיקה והמתמטיקה.
מה שאמרת על הפתרון הפשוט יותר מראה שגם לא הבנת את פירוש המילה פרדוקס.
פרדוקס נוצר כאשר יש סתירה בין המסקנות של שתי דרכי חשיבה הנראות לנו לגיטימיות.
במקרה של אכילס והצב – שתי הדרכים הללו הן פתרון המשוואות הליניאריות מחד והשיקול של זנון מאידך.
פתרון הפרדוקס לא מתקבל על ידי זה שמחליטים באופן שרירותי לבחור באחת הדרכים מבלי להראות מה שגוי בשנייה. זה לא פתרון של פרדוקס אלא התעלמות מפרדוקס
ישראל
קרא את הקישור שנתתי למיכאל.
מתמטית – 2 משוואות בשתי נעלמים פותר את הבעיה. טור אינסופי הוא גם פיתרון מתמטי.
פיסיקלית – אין כל משמעות לטור אינסופי בפיסיקה.
השאלה היא בפילוסופיה. אף אחד לא טוען שאכילס לא מנצח את הצב. אם הטור הוא אינסופי אז אין לו סוף…..יש לו אינסוף איברים.
ב:
בכל זאת הבאת את אכילס והצב כדוגמה למשהו.
דוגמה למה – אם כן?
איך שלא יהיה, הבנה מתמטית נכונה של העניין מראה שאין כאן כל פרדוקס.
גם הבנתך את תיאורית המפץ הגדול כאילו היא טוענת שלא היה זמן קודם אינה מדויקת.
למעשה לא יודעים זאת ויש גם ספקולציות על אפשרות שהיה זמן קודם. ההנחה שלא היה זמן קודם אינה חלק מן התיאוריה.
בויקיפדיה תמצא בבפרק על המפץ הגדול את המשפט הבא:
“Our understanding of the Universe back to very early times suggests that there is a past horizon, though in practice our view is also limited by the opacity of the Universe at early times. So our view cannot extend further backward in time, though the horizon recedes in space. If the expansion of the Universe continues to accelerate, there is a future horizon as well.[36]”
התיאוריה אכן טוענת שהמבנה המוכר לנו של “זמן-מרחב” נוצר אז אבל היא לא ממש סותרת את קיומו של זמן קודם.
אני זוכר שבפגישה שקיימתי לפני שנים רבות עם יקיר אהרונוב שאלתי אותו “איך זה טוענים הקוסמולוגים שהמפץ הגדול שבו לטענתם נוצר הזמן הוא תוצאה של פלוקטואציה קוונטית כאשר כל המונח של פלוקטואציה מוגדר כשינוי של משהו על פני הזמן?” הוא אמר לי שבאמת חושבים שייתכן שהיה “סוג של” זמן גם קודם, אבל כנראה שהזמן הזה היה דבר שונה מן הזמן המוכר לנו.
מיכאל
לדוגמא:
https://docs.google.com/document/edit?id=1D86gx8yjYXVBTBNEbtPCe4VEQdso6bwAA9ot8sYEY4M&hl=en&pli=1
מיכאל
תרגיל נחמד במתמטיקה לא פותר את הפרדוקס. יש פתרון הרבה יותר פשוט מסכום טור אינסופי – פתרון מערכת המשוואות של שני משתנים. למה להסתבך עם טור אינסופי??
זכותך לחשוב שהפרדוקס פתור, אבל בחוגי הפילוסופיה הנושא לא סגור.
ב
מזתומרת “לא ידוע לי דבר על הדרך שבה הסיקו את המסקנה שהיקום התחיל במפץ הגדול.
זה פשוט נראה לי שיש סתירה פנימית”.
אם כל הגלקסיות מתרחקות זו מזו, האין זה הגיוני שפעם הן היו קרובות ביותר? שכולן יצאו מאותה נקודה?
ניתן אפילו לחשב מתי הן היו באותה נקודה סינגולרית: לפני כ13.7 ביליון שנים.
זה גם תואם בול את תחזיות היחסות הכללית.
ניסים
יש לך איזה קישור שמרחיב על הנושא ומסביר מדוע טורים מתכנסים אינם הפיתרון?
ואינני מתכוון בתחום הפילוסופי. רק פיזיקה ומתמטיקה.
מיכאל:
ודאי שאכילס ישיג את הצב.
והוא אפילו ישיג אותו מהר מאוד.
אינני טוען שאכילס “לעולם” לא ישיג את הצב.
לכל היותר ניתן לטעון שאכילס לא ישיג את הצב במספר צעדים סופי.(צעדים כאלו המתוארים בהצגת הבעיה).
גם אינני טוען שהזמן והמרחב אינם רציפים.
דווקא הטענה שהם כן רציפים היא זו שנראית לי נכונה.
כל מה שהתכוונתי לומר הוא שתיאור מתמטי מסוים אינו בהכרח התיאור הנכון למצב הפיזיקאלי ולכן אם תיאור מתמטי מסוים מניב סתירה יש לנסח תיאור מתמטי אחר.
אודה ולא אבוש שלא ידוע לי דבר על הדרך שבה הסיקו את המסקנה שהיקום התחיל במפץ הגדול.
זה פשוט נראה לי שיש סתירה פנימית.
אני אשמח מאוד אם אגלה שזה סתם נדמה לי ואין כל סתירה פנימית.
ניסים:
דבר בשם עצמך.
אני יודע לפתור את הפרדוקס הזה ולדעתי טורים מתכנסים זה בהחלט הפתרון.
אתה מוזמן לקרוא על כך גם בויקיפדיה.
ב:
אני אומר דבר פשוט מאד: כל מי שחושב שיש כאן פרדוקס לא מבין שנעשתה כאן טעות לוגית פשוטה ביותר של בדיקת דברים שמתרחשים בהכרח לפני שעה ידועה והסקה של אמירה מהסוג של “לעולם” (המדברת על זמנים שאחרי אותה שעה) מאותה בדיקה.
אתה אומר שאכילס הוא יצור פיזיקאלי ואני אומר שהוא יצור מתמטי ואז אתה אומר “הוא שאמרתי”.
זה באמת פרדוקס.
פרדוקס הוא מצב שבו שתי דרכי חשיבה שנראות לנו לגיטימיות נותנות תוצאות סותרות….אבל למה אני חוזר על המאמר – הסברתי שם הכל והייתי צריך פשוט לשלוח אותך לקרוא שוב – והפעם בעיון.
כל המחשבה שלנו על העולם הפיזיקאלי מתבצעת באמצעות מודלים שהם ישויות מתמטיות.
גם המודל הקוונטי הוא מודל מתמטי.
כשבאים ומתארים לך פרדוקס המבוסס על מודל קלאסי של העולם – האמירה “זה לא המודל האמיתי של העולם” אינה רלוונטית כלל וכלל. השאלה היא שאלה לוגית טהורה והניסיון להסיק מפרדוקס אכילס והצב שהזמן והמרחב אינם רציפים הוא פשוט נלעג.
אגב – כמובן שאנשי המדע יודעים זאת ואיש לא טוען כיום שהזמן ו/או המרחב הם קוונטיים.
יש אמנם אפשרות כזאת ואף אחד לא פוסל אותה אבל כולם מבינים שמסיפור אכילס והצב אי אפשר להסיק את המסקנה הזאת ולכן כיום זו שאלה פתוחה.
אתה מוזמן למשל לקרוא בויקיפדיה על אורך פלנק שמוצע מדי פעם כמינימום אפשרי של מרחקים ולהבין שעד היום לא נמצאה לכך כל הצדקה.
לא סתם כתוב שם: “There is currently no proven physical significance of the Planck length; it is, however, a topic of theoretical research.”
ישראל
אל תיכנס לנושא אכילס והצב … אנחנו לא יודעים היום לפתור את הפרדוקס הזה. ו”טורים מתכנסים” זה לא הפיתרון….
אני טוען:
1) אכילס אמנם ישיג את הצב.
2) התיחסות פיזיקאלית לבעית אכילס והצב שונה באופן משמעותי ומהותי מהתיחסות מתמטית לטור מתכנס.
בפתרון המתמטי הנותן את הגבול שאליו הטור מתכנס חסר תאור פיזיקאלי של התהליך האמיתי.
בתהליך האמיתי יש להתחשב בגורמים כגון:
א)גודל הצעד הקטן ביותר שאכילס יכול לבצע.
ב)קצב הצעדים הגדול ביותר שאכילס יכול לבצע.
אם למשל אכילס יגיע לגודל הצעד הקטן ביותר שהוא מסוגל לבצע ועדיין ישאר לו מרחק גדול עד לצב אז הוא לא יוכל להתמיד בהקטנת צעדיו ולכן תהיה חריגה מהתיאור המתמטי של הבעיה. כלומר התהליך הפיזיקאלי מגיע לגבול שבו התיאור המתמטי כבר לא מתאים.
ב
מה אתה טוען? שאכילס לא ישיג את הצב מסיבה פיזיקלית כלשהי, קלסית או קוואנטית? תוכל לתת דוגמה ספציפית, דהיינו פור במטרים של הצב ומהירויות במ/שנ שבהן אכילס לא לא משיג את הצב?
על טורים מתכנסים שמעת?
הוא שאמרתי:
אם
לוקחים בעיה פיזיקאלית והופכים אותה לבעיה מתמטית, תוך התעלמות מגורמים פיזיקאלים שהם חלק בלתי נפרד מן הבעיה ,
אז
מקבלים פתרון מתמטי.
אבל זה לא תמיד הפתרון הפיזיקאלי.
אם
הפתרון המתמטי של משוואות התנועה של המכניקה הקלאסית היה מתאר את המציאות הפיזיקאלית
אז
לא היה צורך במכניקה קוואנטית.
ב:
מסתבר שיש לך עוד מה ללמוד – ולא רק בפיזיקה.
סיפור אכילס והצב פרדוקסאלי רק למי שלא מבין מתמטיקה ולוגיקה.
אולי לא ידוע לך, אבל אכילס והצב לא קיימים במציאות, אתה מכיר אותם רק מן הסיפור על אכילס והצב! לכן הם אינם עצמים פיזיקאליים. להיפך! הם עצמים מתימטיים!
והפתרון לפרדוקס – אף הוא מתחום המתימטיקה.
מיכאל:
א)קיימים מקרים שבהם משוואות נפתרות בצורה מסויימת אבל הן אינן מתארות את המציאות.
דוגמא:
אכילס והצב.
למרות תורת הגבולות. בכל זאת בעית אכילס והצב אינה פתורה וזאת משום שאכילס אינו יצור מתמטי.
אכילס הוא יצור ביולוגי.
ליצור ביולוגי יש מגבלות:
1)גודל הצעדים אינו יכול להיות קטן כרצוננו.
2)כמות הצעדים בשניה אינה יכולה להיות גדולה כרצוננו.
כלומר:
עצם ההצגה של הענין שגויה מיסודה.
פתרנו בעיה מתמטית אבל לא פתרנו את הבעיה שהוצגה.
על הבעיה שהוצגה ניתן רק לומר שהניסוח שלה שגוי והמצב המתואר בה הוא בלתי אפשרי.
ב)אני מודה לך על ההתיחסות ועל הנסיון להסביר.
עוררת את סקרנותי. ברור לי שעלי ללמוד את הנושא היטב על מנת להבין על מה מדובר.
תודה רבה!
אים המסה והכבידה הופיעו מייד לאחר המפץ, הרי כל המסה והאנרגיה היו בתחום רדיוס שוורצשילד.
איך כל המסה והאנרגיה לא קרסו לחור שחור?
ב:
אמרתי שאתה צריך ללמוד ואינני חוזר בי מדברי.
כל עוד לא תדע כל מה שאפשר לדעת תמשיך לשאול וזה פשוט לא יכול, טכנית, לקרות כאן באתר.
הפיזיקה כבר למדה אותנו שהזמן זה לא בדיוק מה שחשבנו.
תורת היחסות עשתה זאת לראשונה כאשר גילתה לנו שהזמן הוא יחסי.
על פי תורת היחסות – חלקיקים חסרי מסה נעים בהכרח במהירות האור ולמה שנע במהירות האור אין זמן (ולא בגלל שהוא ממהר).
מבחינת הפוטונים, למשל, לא חלף כל זמן מאז שנוצרו לראשונה.
אם בשלב מסוים היקום מורכב רק מחלקיקים חסרי מסה אין לו זמן.
זוהי לפחות התיאוריה שמציע פנרוז (המתמטיקאי והפיזיקאי התיאורטי שגילה עוד לפני שכטמן מדוע קווזי גבישים הם אפשריים).
אפשר לטעון שכשאין זמן אין הצדקה לשימוש במושג “לפני היקום הנוכחי” וזה מוצדק במובנים רבים אבל בהיעדר מונח המתאר את מה שקורה כשאין זמן משתמשים במונח זה.
כאמור – מבחינת הפוטונים, למשל, כל היקומים קיימים בו זמנית.
אתה לא תכתיב לנמלים מה לעשות כשהבלון מתנפח.
עובדה היא שכאשר בלון מתנפח הנמלים לא מתנפחות יחד אתו.
אמנם מופעל עליהן באופן קבוע כוח המועבר מהבלון לרגליהן ומנסה “למתוח” אותן, אבל הכוחות הפנימיים המחזיקים אותן גוברים על כוח זה והן לא נמתחות.
אותו דבר קורה כנראה לצבירי גלקסיות: כוח המשיכה הפועל בתוכן גובר על התפשטות המרחב.
לעומת זאת – המרחק בין הצבירים גדל כי למרחב – בניגוד למסות האחוזות זו בזו בכוח המשיכה – אין כל אילוץ המעכב את התפשטותו.
כאמור: לא אוכל לתת לך בתגובות כאן באתר את כל מה שאינך טורח ללכת ללמוד באופן מסודר ולכן אפסיק כאן, במיוחד לאור העובדה שבדיוק כרגע הגיעו נכדי לביקור.
יש לי בעיה עם הכתבה..אסביר מה לא מסתדר לי:
היקום קיים 13.8 מליארד , הגלקסיה שאנו רואים כיום היא מלפני 13.1 מליארד.
כל הגלקסיות נוצרו כתוצאה מהמפץ הגדול והחלו להתפשט ולנוע במהירות לכל עבר.
חישבו על בלון שמתנפח.
איך יתכן שאור מלפני 13 מליארד שנה מגיע אלינו כעת הרי הוא מזמן היה אמור לעבור את הגלקסיה שלנו
מיכאל:
1)
א)לפי דבריך אני מבין שלפני זמן האפס של היקום שלנו היה יקום אחר.
אבל איך מסתדר קיומה של נקודת אפס בזמן כאשר ברור שלפני האפס היה יקום אחר?
ב)אם יש מעבר בין היקומים אז לזמן יש גם סוף.
ג)אם יש סדרה של יקומים אז יש ראשון ויש שני ויש שלישי וכן הלאה.
כלומר יש זמן שאינו תלוי בקיום היקומים.
2)
אם המימדים מתנפחים אז גם הבלון מתנפח וגם הנמלים מתנפחות.
אם תסמן על הבלון שנתות תראה שהמרחק בין השנתות נשאר גם אם הבלון מתנפח.
כלומר מדידת המרחק בין הנמלים על פי השנתות המסומנות תניב אותן תוצאות בין שהבלון מתנפח ובין שאינו מתנפח.
לכן מהירותם של הנמלים כשהיא נמדדת על פי השנתות המסומנות על הבלון תישאר אותו דבר גם אם הבלון יתנפח.
כלומר מהירותן של הגלקסיות במטרים לשניה לא תשתנה גם אם היקום תופח. ולכן לא יתכן שגלקסיות יתרחקו זו מזו במהירות העולה על מהירות האור.
ב:
זמן אפס מסתדר כי ביקום שלנו לא היה זמן קודם.
אני מזכיר שהתיאוריה של סדרת יקומים היא כרגע רק אחת מספקולציות רבות.
על פי ספקולציה זו אין כל קשר בין הזמן של היקום הקודם לבין הזמן של היקום הנוכחי כי במעבר ביניהם איבד הזמן את משמעותו.
זה קשור בכך שמשילוב התובנות של תורת היחסות ותורת הקוונטים אפשר להסיק שאם אין חלקיקים בעלי מסת מנוחה אז אין גם זמן והתיאוריה הזאת מציעה שבשלב מסוים במעבר בין היקומים נותרים רק חלקיקים שאין להם מסת מנוחה והזמן הולך לאיבוד.
אני יודע שזה נשמע לרוב האנשים כמו סינית וכבר אמרתי שכדי להסביר את זה באופן מלא מצא רוג’ר פנרוז לנכון לכתוב ספר שלם (שאינו קל לקריאה).
הזכרתי את הספר הזה בקישור שנתתי בתשובה קודמת.
כפיר:
שאלת על ספרים והקישורים הנ”ל הם קישורים לספרים בנושא הנמכרים על ידי אמזון.
ב:
אתה לא רואה בעצמך את ההבדל בין מהירות הנמלה על פני הבלון לבין מהירות התרחקותה מנמלה אחרת שנובעת מהתנפחות הבלון? הרי התרחקות זו יכולה להתרחש גם מבלי שהנמלה תניע את רגליה ובכלל מבלי שתעשה דבר כלשהו כדי לזוז! היא יכולה אפילו לנוע ברגליה לכיוון נמלה אחרת ובכל זאת להתרחק ממנה בגלל התנפחות הבלון!
כפיר:
ביחס לטופולוגיה שמזכירה פני כדור, אתה מוזמן להרחיב את הבנתך בנושא בעזרת הספר “השערת פואנקארה”
http://www.amazon.com/The-Poincare-Conjecture-Search-Universe/dp/080271532X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1382736560&sr=8-1&keywords=poincare+conjecture
לרעיון של הדמיון לפני כדור הגיעו בדרכים רבות אבל לטעמי, העדות הטובה ביותר לעניין היא הגדלת קצב התרחקות הכוכבים כפונקציה של המרחק והאצתו המתמדת של קצב זה.
בקישור שהבאתי בנוגע ליקום הנצפה יש התייחסות מסוימת לעניין והתייחסות זו מקשרת גם לאחרות.
http://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe
מיכאל:
אני אכן לא מבין בתחום, הבנתי את המטפורה של פני הכדור, האם תוכל להרחיב על זה? איך גילו את זה.
ובנוסף על התיאוריה של היקומים המקבילים, והיקומים שנובעים מיקום קודם, ומהיקום שלנו יוצא יקום חדש. אני לא מכיר כל כך את התיאוריה הזאת, האם תוכל להפנות לספרות העוסקת בתיאוריות אלה, ולהמליץ לי על ספרי מבוא לתחום?
תודה
נדב, אחת ההתנגדויות של אסטרונומים מכובדים כמו פרד הויל לתיאורית המפץ הגדול היא שהיא מחזירה את אלוהים בדלת האחורית. אבל המדענים מסתדרים היטב עם הפיסיקה של המפץ הגדול בלי לערב את אלוהים.
אבי בליזובסקי היקר, בהתייחס לתגובתך : אני מציע קצת צניעות.
יש אנשים שחושבים שהם יותר טובים מאחרים, אצלם “זה לא קורה” , הם ראציונאלים ונאורים וכל השאר שלא חושבים כמוהם … הם לא.
אני לא יודע אם זה חדשות עבורך – אבל כל אחד קורא את מה שהוא רוצה לקרוא , זו תכונה אנושית שנמצאית
ברמה זו או אחרת אצל כולם.
ואם יש לך משהו חכם לאמר על התהייה שלי. אשמח לשמוע.
מיכאל:
הידען פחות מעניין כשאינך מגיב להדיוטות. בעיקר לכאלו שרק למדו כיצד לכתוב אסטרופיזיקה ללא שגיאות, וכבר הגיעו למסקנה שתיאוריית המפץ הגדול סותרת את עצמה, התורה סותרת כל ממצא מדעי או להבדיל כבר דיווחה עליו לפני 2000 שנה, אלא שרק כעת אנו יודעים למה היתה הכוונה. אני תמיד חשבתי שאם אלוהים אמר “ויהי אור” זה אומר שהוא המציא לפני כן את החושך.
לכל אנשי התורה, התנך, התלמוד, הברית החדשה, הכנסייה הסיינטולוגית ותורת הזן: יש מספיק אתרים הדוגלים בגישת כדור הארץ הוא מרכז היקום וקיים רק 5000 שנה. הרגישו נח להגיב שם דברי הבל ולומר שהכל כבר נכתב מראש, ורק המדענים הטפשים שלא יודעים לפרש את התורה לא הבינו שכל פתרון מחקר שעליו עובדים עשרות שנים אלפי מדענים ברחבי העולם, נכתב כבר בעמוד X בספר Y.
באותה הזדמנות, אתם מוזמנים לתת פתרונות מהתורה לשאלות מדעיות כגון: כמה יקומים היו לפני הנוכחי, איך לשלוט במזג האוויר, איך ניתן ליצור אטמוספירה על הירח שלנו ומהו הכרומוזום השולט על טלקינזיס!
1)איך מסתדר מושג האפס של הזמן כאשר ברור שהיה אפס קודם לו במופע הקודם?
2)אם יש הבדל בין מהירות הנמלים ביחס לבלון לבין מהירות התרחקותן זו מזה אז מה תגדיר כמהירות?
האם יש למהירות שתי הגדרות שונות זו מזו?
ב:
היה לי ברור שלא יהיה לך ברור.
בגלל זה המלצתי לך ללמוד לפני שאתה מצהיר הצהרות.
היקום שאתה מדבר עליו – אם הוא כולל את כל המופעים – אינו היקום שהמדענים מדברים עליו כאשר הם עוסקים באפשרות של סדרה אינסופית של יקומים. בכל מקרה – לא ברור מה השאלה שלך בעניין זה. האם יש כאן שאלה או שזו פשוט דרישה מהמדענים להתיישר לפיך בשפתם?
ביחס להתפשטות המרחב, אתה יכול לתאר לעצמך נמלים שהולכות על בלון.
מהירות תנועתן של הנמלים מוגבלת על ידי הפיזיולוגיה שלהן אבל זה לא מפריע להן להתרחק זו מזו מהר יותר מכפי שהן הולכות אם בזמן שהן הולכות מנפחים את הבלון.
ב
אין טעם שאכתוב שוב את אותה התגובה. אתה טופס משפט אחד מהמדע, לא מבין אותה, אבל פוסל בעזרתה את שאר המדע.
1)לא ברור מה זה אנרגיה שלילית.
2)היקום שאני מדבר עליו כולל את כל המופעים. מופע אחד איננו היקום.
אם היה מופע קודם אז היה גם זמן קודם לנקודת האפס של הזמן של המופע הנוכחי.
גם לא ברור מה זה התפשטות המרחב.
ואם נניח שהמרחב מתפשט אז גם אמות המידה של המרחב מתפשטות יחד איתו ולכן כל מדידה שנעשה תניב את אותן התוצאות. בפרט מדידת מהירות הגלקסיות.
מהי מהירות? האם קצב ההתרחקות איננו מוגדר כמהירות?
יוגב
אתה באמת חושב שסיפור בראשית קשור איכשהוא למציאות? אין שם משפט אחד שאפילו קרוב לאמת. בכלל, התנ”ך מתאר את העולם כפי שחשבו אז – עולם שטוח שעומד במרכז, והכל מקיף אותו.
ב
אין כל מניעה שכוכב יתרחק מאיתנו במהירות הגבוהה ממהירות האור. כל עוד המרחב מתפשט, והתנועה היא לא תוצאה של כוח, אין כאן כל סתירה.
אני לא מבין מאיפה לך החוצפה להגיד שהמדענים טיפשים. לא הרבה יותר סביר שאתה הטיפש?
ב:
מחברי הספרים לא היו כותבים ספרים אילו התאפשר הסבר קצר ותמציתי. אלה אנשים רציניים ולא ברברנים.
בכל זאת, תוך שאני ממש חוטא לאמת, אתמצת בפניך חלק מהרעיונות שמופיעים שם:
1. יש גם אנרגיה שלילית ולמעשה סך כל האנרגיה ביקום הוא אפס.
2. היקום הוא אחד בסדרה אינסופית של יקומים שנבנים האחד על חורבות קודמו וכל האנרגיה שהייתה בראשון עוברת לשני. מה שמאפשר פעילות ביקום אינו סך כל האנרגיה אלא העובדה שהאנטרופיה בתחילת קיומו הייתה נמוכה מאד ומובאים הסברים לתהליך שיכול לפשר בין האנטרופיה הגבוהה של סוף חיי היקום לאנטרופיה הנמוכה של היקום הבא אחריו.
ביחס לתנועה במהירות הגבוהה ממהירות האור – מדובר בעצם בהתפשטות המרחב עצמו. הגופים נעים במרחב במהירות שאינה עולה על מהירות האור אבל המרחב עצמו מתפשט ויוצר מצב בו קצב התרחקותם של עצמים מרוחקים בתוכו יכול לעלות על מהירות האור.
למיכאל:
אם לא הייתי מעריך ידע ולימוד לא הייתי טורח לכתוב כאן.
אבל זו לא שיטה טובה לשלוח מישהו ללמוד ספרים עבי כרס בגלל שהוא מעלה שאלה כלשהיא.
הרבה יותר טוב לתת הסבר קצר ותמציתי.
והשאלה בעינה נשארת:
כיצד יתכן:
גם
1)חומר אינו יכול לנוע במהירות גבוהה מן האור.
וגם
2)קיימות גלקסיות שנעות במהירות גבוהה ממהירות האור.
אורי:
אם אנחנו קולטים אור מכוכב כלשהו ביקום זה לא אומר דבר על מה שקורה לאותו כוכב כיום. זה אומר רק שאת המרחק בין מיקומו של אותו כוכב ברגע יציאת האור לדרך לבין מיקומנו כיום אפשר לצלוח במהירות האור במשך תקופה שהיא קצרה מגילו של אותו כוכב.
מהירות האור בריק היא קבועה בגודלה ואינה מושפעת מכוח כלשהו (כיוונה עשוי להיות מושפע, תדירות האור יכולה להיות מושפעת, אבל גודלה של המהירות לא מושפע).
המדע מבוסס על ההנחה שחוקי הטבע אינם משתנים (אחרת – איזה טעם יש בכלל במדע אם כל מה שהוא עוסק בו זה ניסיון לברר מהם חוקי הטבע? הרי מחר הם ישתנו ולא יועילו לנו יותר!).
גם אני חושב שמקומן של שטויות לא כאן ולכן אני מתריע על השטויות שאנשים כותבים כאן.
ב:
גם היטלר נשם אבל אינני מגנה בשל כך את הנשימה.
אם אתה רוצה לטעון שאתה יודע יותר טוב מכל המדענים מבלי ללמוד כלום אז לי אין בכלל סיבה להתווכח אתך.
על אחד שיודע שגם אחרי שילמד יבין בדיוק מה שהבין לפני שלמד אינני יכול לומר אלא שהוא ילד פלא מן הסוג “שכבר כשנולד ידע כל מה שהוא יודע היום”.
אתה לא חייב ללמוד כלום ואתה מוזמן להמשיך לחשוב שכל המדענים מטומטמים.
מיכאל
אם אנחנו קולטים אור מנקודה מסוימת ביקום זה אומר לפי הבנתי שאנחנו מתרחקים אחד מהשני במהירות הנמוכה מזו של האור.
לגבי קביעת המרחקים והמהירויות. לפי דעתי 1. מהירות האור מושפע מכוחות כמו משיכה וחומרים שונים,מוצקים גזים נוזלים שאיננו יודעים או מכירים בכלל 2. קיומם של חוקים פיסקליים שונים בתקופות שונות.
ההיסטוריה מלמד שהתפיסות ההבנות התאוריות משתנים לפעמים עד בלי הכר.
צריך לכבד כל שאלה וכל תפיסה, במדע יש הרבה יותר שאלות מאשר תשובות הרבה יותר לא ברור מאשר ברור.
שטות או שטויות מקומם לא כאן.
המדע מחפש ומחפש ובסוף הוא יבין שהקב”ה ברא את העולם ולא פיצוץ,גם בשביל פיצוץ צריך להתחיל ממשהו שיגרום לפיצוץ ומאיפה הגיע החלקיק הראשון שגרם לפיצוץ ועד כמה שאני יודע ומבין פיצוץ לא יוצר חיים ולא בריאה כמו שיש לנו שמש זורחת יום ולילה אוויר לנשימה אדם מושלם..אמת אחת והיא בורא עולם השתבך שמו ברא אותנו בצלם אלוקים וכולנו מחוייבים להודות לו ולשבך אותו בכל יום תמיד
מיכאל:
לשלוח אנשים ללמוד תילי תילים של הלכה על כל סתירה שהם מוצאים זו שיטה של הדת המוסדית.
הבעיה היא שגם לאחר לימוד של כל החומר הסתירה נשארת בעינה.
האם האנרגיה נוצרה יש מאין?
האם התנע נוצר יש מאין?
האם אפשר להסתמך על ההנחה שחומר אינו יכול לנוע מהר יותר מן האור רק כדי להגיע למסקנה שיש גלקסיות שלמות שנעות במהירות גבוהה מן האור.
הסתירה היא סתירה לוגית פנימית וגם אלפי ספרים לא יפתרו אותה.
או שמקבלים הנחה מסוימת או שדוחים אותה.
אי אפשר לקבל דבר והיפוכו.
כפיר:
תגובותיך מעידות על כך שאינך מכיר את התיאוריות הקוסמולוגיות הקיימות.
על פי תיאוריות אלו אין ליקום קצה או מרכז.
הדימוי שנהוג להשתמש בו הוא זה של פני כדור שאין להם קצה ואין להם מרכז.
הדימוי אינו מדויק כי הכדור שהוא משטח דו ממדי קיים במרחב מממד גבוה יותר ובמרחב זה אפשר לדבר על מרכז (לא של פני הכדור אבל של הכדור עצמו) בשעה שבמרחב של היקום אין כזה ממד נוסף.
זה לא קל לדמיין כי זה לא מסוג הדברים שאנחנו יכולים לראות. הדרך היחידה להתמודד עם זה היא על ידי ייצוג מתמטי.
אגב – מבחינת גודל – היקום גדול כנראה הרבה יותר מאשר 13.8 מיליארד שנות אור.
תהליך התפיחה שעבר, כמו גם האצת התפשטותו, הביאו לכך שיש בו עצמים שהתרחקו (וכנראה עדיין מתרחקים) זה מזה במהירות העולה על מהירות האור.
http://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe
יוסף:
אם אין סוף אין התחלה?
איזו אבחנה פילוסופית מעניינת?!
בוא נסתכל על התקופה המוגדרת על ידי תשובה חיובית לשאלה האם השטות שבתגובתך כבר נאמרה על ידיך.
לתקופה הזאת יש התחלה (הפעם הראשונה בה אמרת את השטות) ואין לה סוף.
ב:
מה שמדהים אותי זה שאנשים שלא למדו דבר על הנושא טוענים בראש חוצות שהם הבחינו בתיאוריות הקיימות בסתירה פנימית שהמדענים שטרחו רבות על ניסוחן והתמחו בנושא במשך שנים לא הבחינו בה.
אתה יכול להיות סמוך ובטוח שכולם (אבל כולם!) נדרשו לבעיה והוצעו לה לא מעט פתרונות (אבל לא פתרונות טריביאליים שאפשר להציג כאן).
שתיים מההתייחסויות העדכניות לנושא תוכל למצוא בשני הספרים הבאים:
http://www.amazon.com/Universe-Nothing-There-Something-Rather/dp/1451624468/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1382689767&sr=1-1&keywords=a+universe+from+nothing
http://www.amazon.com/Cycles-Time-Extraordinary-View-Universe/dp/0307278468/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1382689825&sr=1-1&keywords=cycles+of+time+an+extraordinary+new+view+of+the+universe
אתה בספק אם התיאוריה מוכחת?
מעניין!
האם ידוע לך שאין במדע שום תיאוריה מוכחת?
הרי אפשרות ההפרכה היא לב ליבו של המדע – תיאוריה שאי אפשר להפריך אינה תיאוריה מדעית וכידוע – דבר שהוכח אי אפשר להפריך.
בשביל לגלות את מה שאפשר להוכיח קיימת המתמטיקה ואילו אפשר היה להוכיח הכל לא היה מדע כלל.
תיאורית המפץ הגדול שורדת עד כה מכיוון שיש לה אישושים רבים ואפילו לא הפרכה אחת.
כידוע, סתירה פנימית היא סוג של הפרכה ולכן אתה יכול להבין שמי שבדק את הנושא לעומק לא מצא סתירות פנימיות.
עדיין יש שאלות פתוחות רבות אבל סתירות או הפרכות אין.
אם אין סוף אין התחלה
תיאורית המפץ הגדול מלאה סתירות.
אני בספק אם התיאוריה מוכחת.
ניסוי מחשבתי מעניין שעלה במוחי, אם אדם עומד (או יושב) בקצה אחד של היקום, ומסתכל באמצעות הטלסקופ הכי משוכלל ומדויק שיבנה איי פעם, ונגיד שהוא יוכל לראות את קצה היקום המרוחק ביותר במרחק של כ 78-90 מיליארד שנות אור, על מה הוא בעצם מסתכל? אם היקום כיום בין 13.8 מיליארד שנות אור, כל מרחק גדול יותר, יהיה חסר משמעות ולא קיים, אם נניח שטלסקופ קולט אור, שמתקדם במהירות האור, אז האיש יצטרך לחקות עוד 64.2 מיליארד שנים עד שהוא יוכל לראות את קצה היקום, ב”לייב” גם אם האיש הזה היה קיים בשנייה שהראשונה של היקום, בהנחה שהיקום התפשט במהירות האור,גם אז אותו אדם לא יוכל לראות את קצה היקום.
הזמן היחידי שבו הוא יוכל לצפות ביקום, הוא בשום זמן, “והשום זמן” היחידי שאני מכיר, הוא לפני תחילת הזמן, לפני תחילת התפשטות היקום, כאשר הוא היה מרוכז בנק’ סנגולרית אחת, (בהנחה שהיקום שלנו, הוא היקום היחידי, בממד הזה, מעצם הגדרתו) אותו אדם יוכל לראות את קצה היקום כאשר הוא יהיה מרוכז בנק’ אחת, אך כאשר כל היקום יהיה מרוכז בנק’ אחת, לא יהיה שום קצה..
אשמח לשמוע מה אתם חושבים על זה..
משהו פה לא מסתדר לי- אם לאור לוקח 13.1 מיליארד שנה להגיע מהגלקסיה הזאת אלינו, והיקום בן 13.8 מיליארד שנה, ואנו יודעים שהיקום מתפשט, ותחילתו בנק’ סינגולרית. אז האור שמגיע אלינו עכשיו הוא מהמיקום שבו הייתה הגלקסיה בראשית היקום ולא מאיפה שהיא נמצאת כיום, זאת אומרת, מרכז היקום. והמרחק ממרכז היקום לגלקסיית שביל החלב הוא 26,000 שנות אור, שזה דיי קרוב במונחים של היקום.
השאלה היא, מה באמת אנחנו רואים? ואיפה אנו רואים אותה ביחס למרכז היקום ולגלקסיות הצעירות יותר? האם יכול להיות שגלקסיה הרבה יותר קרובה תראה לנו יותר רחוקה מהגלקסיה הכי רחוקה (שנצפתה) ביקום, רק משום שלאור שלה לוקח פחות זמן להגיע אלינו?
נק’ נוספת מעניינת, אם גודל היקום הוא בין 78-90 מיליארד שנות אור, זאת אומרת שאם הגלקסיה הזאת עדין קיימת, אנו אמורים לראות את האור שלה בעוד 13.1 מיליארד שנה. אבל מכיוון שהיקום מתפשט במהירות הולכת וגדלה, מעניין כמה זמן יעבור עד שנוכל לראות אותה (תאורטית) כפי שהיא כיום.
וזאת בלי להזכיר את השפעת כוח הכבידה על האור שאנו רואים, על עיקום ממד הזמן.
אם מישהו יכול להאיר את עיניי בנושא הזה?
מה שמדהים הוא שלא שמים לב לסתירה הפנימית:
מדע הפיזיקה עוסק בחוקי שימור.
שימור אנרגיה ,תנע, וכדומה.
ואילו המפץ הגדול מדבר על יצירת יש מאין שזה בסתירה לחוקי השימור.
היכן היתה כל האנרגיה לפני שנוצר היקום?
יוגב, כנראה שאתה קורא את מה שאתה רוצה לקרוא. לא את מה שכתוב באמת.
אותי מעניין דבר אחד מכל הסיפור. אחרי כמה מאות שנים של מדע מאוד ספקני שניתק עצמו לחלוטין ממסורות דתיות ומסיפורי התנ”ך. הסיפור הכי טוב ליצירת היקום הוא מה שמופיע בפרק א’ בבראשית – יהי אור , ויהי אור.
האם יכול להיות שבני האדם מוגבלים עד כדי כך שאין לנו שום דרך לחשוב על משהו אחר , או שזו פשוט האמת
על יצירת היקום, ואם כן , איך הקדמונים ידעו את זה ?