סיקור מקיף

אל האינסוף ומעבר לו

האם ניתן לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן קבוע, האם יוכל גיבור מיתולוגיה לעבור אינספור חומות של אלים ולהגיע אל מחוז חפצו, וגם: פרדוקס מתמטי של האינסוף

מריוס כהן

פרדוקס המנורה של תומפסון

את פרדוקס הנורה (או המנורה) הציע הפילוסוף האנגלי ג'יימס תומפסון (Thompson), והרי תמציתו: מעגל חשמלי מדליק ומכבה נורה לסירוגין, כך שהפעולה הראשונה (הדלקת הנורה) אורכת מחצית השנייה, וכל פעולה נוספת נמשכת בדיוק מחצית הזמן מהפעולה שקדמה לה. כתוצאה מכך מבצעת הנורה אינסוף פעולות בזמן מצטבר של שנייה אחת. האם בתום אותה שנייה תהיה הנורה דולקת או כבויה? מצד אחד, הנורה חייבת להיות באחד משני מצביה האפשריים: דולקת או כבויה, אך מצד אחר, מאחר שהמעגל מבצע מספר אינסופי של פעולות, הרי שאחרי כל פעולת הדלקה מגיעה פעולת כיבוי ואחרי כל פעולת כיבוי מגיעה פעולת הדלקה, כלומר, לא ייתכן שהתהליך יסתיים לא בהדלקת הנורה ולא בכיבויה!

פתרון הפרדוקס: מפתה לחשוב שהפתרון לפרדוקס הוא פיזיקלי. כלומר, שמעגל חשמלי כזה איננו אפשרי טכנולוגית (בשל העובדה שהמהירות הגבולית בטבע היא מהירות האור, למשל), או שהחל מנקודה מסוימת ואילך משך הפעולה יהיה כה קצר שהנורה לא תספיק להידלק או לכבות, והיא תישאר באחד משני מצביה עד סוף אותה שנייה שבה המעגל פועל.

פתרון פרגמטי כזה עשוי להתאים לכל ניסיון לבצע אינסוף פעולות פיזיות במשך זמן מוגבל, למשל להקיש לסירוגין על שתי אותיות במקלדת, נאמר א' ו-ב', כך שמשך כל הקשה קצר פי שניים ממשך ההקשה שקדמה לה (מאחר שסדרת ההקשות נמשכת פרק זמן סופי, ניתן לשאול מהי האות שהוקשה אחרונה; אך מאחר שמספר ההקשות הוא אינסופי, הרי שלאחר כל הקשה על האות א' מתבצעת הקשה על האות ב' ולהפך). גם במקרה זה ניתן לטעון שקיימת מגבלה פיזית על מהירות ההקשה (אם אנושית ואם מכנית), כך שמספר ההקשות בכל פרק זמן נתון חייב להיות סופי. תומפסון עצמו הציג את הפרדוקס במטרה להוכיח שאי-אפשר לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן סופי, ויש הסבורים שהפתרון הפיזיקלי הוא אכן הפתרון הנכון לפרדוקס זה¹.

אלא שמגבלות פיזיקליות אינן פותרות את הבעיה הלוגית (גם אם צדק תומפסון בקביעתו שאי-אפשר לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן סופי). נניח שלא היו קיימות מגבלות טכנולוגיות או אחרות כלשהן על בניית המעגל החשמלי שתואר לעיל ועל הפעלתו. האם תהיה הנורה דולקת או כבויה בתום השנייה? מאחר שהבעיה האמיתית היא בעיה לוגית (או מתמטית), מן הסתם גם הפתרון שלה צריך להיות כזה.

אם כן, הבעיה נעוצה בעובדה שהשאלה אם הנורה תהיה דולקת או כבויה נשאלת לגבי מצבה לאחר תום סדרת פעולות ההדלקה והכיבוי. אך אין בהגדרת הבעיה שום קביעה לגבי מצב הנורה מחוץ לסדרה זו. במסגרת הסדרה אנו יודעים שאחרי כל פעולת הדלקה מתרחשת פעולת כיבוי ולהפך, אך מכיוון שכל פעולות הסדרה מתרחשות לפני שעוברת שנייה אחת, אי-אפשר להסיק דבר על מצב הנורה בתום אותה שנייה. מצב זה יש להגדיר בנפרד, ואפשר לקבוע אותו כרצוננו: נורה דולקת או נורה כבויה.

להלן פרדוקס נוסף של האינסוף, שהציע בשנת 1964 הפילוסוף חוזה א. בנרדט (Benardete).

פרדוקס האלים

גיבור ממיתולוגיה כלשהי, שבה אינסוף אלים מגלים עניין ומעורבות במעשי האדם (אך אינם מודעים זה לרצונותיו של זה), מחליט לצאת לדרך מכפרו לכפר סמוך. ואולם, אף אחד מאינסוף האלים אינו מעוניין בהצלחת מסעו. על כן מחליט אחד מהם שכאשר יגיע הגיבור לאמצע הדרך, הוא יעמיד בפניו חומה בלתי עבירה. אל שני, אשר אינו מודע להחלטתו של האל הראשון, מחליט להעמיד בפני גיבורנו חומה כאשר זה יגיע לרבע הדרך. אל שלישי זומם לעשות זאת כאשר יגיע הגיבור לשמינית הדרך, וכן הלאה וכן הלאה, כשכל אחד מאינסוף האלים מחליט על העמדת חומה בדרכו של הגיבור, וזאת במחצית הדרך משער הכפר לנקודה שבה מחליט אל אחר כלשהו להעמיד את חומתו.

באופן כזה אין גיבורנו מסוגל לעשות אפילו צעד אחד קטן אל מחוץ לכפרו, שכן הניסיון לעבור מרחק כלשהו יימנע ממנו על-ידי הופעתה של חומה בלתי עבירה. ואולם, אם הגיבור אינו יוצא מהכפר, הרי שאף אחד מהאלים אינו מממש את כוונתו לחסום את דרכו בחומה, ויוצא שמגיבורנו נמנע לבצע את מסעו המתוכנן מבלי ששום חומה תחסום אותו בפועל.

פתרון הפרדוקס: גם כאן ההנחה שלא ייתכן קיומם התיאורטי של אינסוף אלים אינה פותרת את הפרדוקס, כי גם במקרה זה הבעיה היא לוגית ולא פיזיקלית. כמו כן, רבים נוטים לדמיין את הגיבור המיתולוגי עושה את צעדו הראשון אל מחוץ לכפר, ונחסם מיד בחומה בלתי עבירה. לאחר שהועמדה החומה הראשונה (ממש בפתח הכפר), אין שאר האלים צריכים עוד להתערב בנעשה. בדיוק חומה אחת הועמדה בקרבת השער, והיא זו שמנעה מגיבורנו לצאת לדרך.

אך באיזה מרחק בדיוק משער הכפר הועמדה החומה? אם נניח שהיא הועמדה במרחק מטר אחד בלבד ממנו על-ידי האל שהחליט על מרחק זה מראש, הרי שיש אל נוסף, אשר החליט להעמיד חומה במרחק מחצית המטר מהשער, כך שהגיבור לעולם לא היה מצליח להשלים את המטר הראשון במסעו. אך בניסיונו לעבור מרחק של מחצית המטר, הוא היה אמור להיעצר על-ידי חומה אחרת במרחק של רבע מטר מהשער. אך גם למרחק זה אין הוא יכול להגיע, בשל החומה שאמורה לחסום את דרכו במרחק שמינית המטר מהשער, וכן הלאה, וכן הלאה: בכל מרחק מהשער שבו נניח שהועמדה החומה היחידה החוסמת את דרכו, נגלה שלגיבור הסיפור לא היה שום סיכוי לעשות מרחק זה בשל חומה אחרת שכבר היתה אמורה לחסום את דרכו. אך אם שום חומה אינה מוצבת בדרכו בסופו של דבר, מה מונע מגיבורנו לצאת את הכפר?

ובכן, הפתרון טמון בכך שרצונות האלים אינם מתיישבים זה עם זה: כל אל מתכוון להעמיד חומה בנקודה שהוא בחר אם ורק אם גיבור הסיפור יגיע אליה. ואולם, הגיבור יגיע לנקודה זו אם ורק אם לא חסמה את דרכו לשם חומה אחרת. מכאן שכל אל יעמיד חומה אם ורק אם שום אל אחר לא הקדים אותו והעמיד חומה לפניו. אך מכיוון שאין אל שבחר מרחק מינימלי מסויים משער הכפר להצבת חומתו (כלומר, מרחק כזה ששום אל אחר לא בחר קצר ממנו), הרי שכדי שאל כלשהו יוכל להעמיד חומה בהתאם לכוונתו המקורית, על אינסוף האלים שבחרו מרחקים קצרים יותר מהשער לוותר על כוונתם-הם לעשות זאת.

מכאן שאם יתחיל הגיבור את מסעו אין זה אפשרי לוגית שרצונותיהם של כל האלים יתממשו, ולמעשה ייתכנו רק שני מצבים: או ששום אל לא יממש את כוונתו, והגיבור ישלים את מסעו כמתוכנן, או שרק מספר סופי של אלים, מאלו אשר בחרו מרחקים הגדולים או שווים למרחק נתון משער הכפר, ייצמדו לתכניתם המקורית, כשאינסוף האלים האחרים, אשר בחרו מרחקים קצרים יותר, יוותרו עליה. כל מצב אחר אינו אפשרי לוגית (ורק לצורך הבהרה: אם אל אינו מעמיד חומה משום שאל אחר עשה זאת לפניו, הוא בהחלט פועל על פי תכנונו המקורי).

לקינוח – פרדוקס מתמטי של האינסוף

אם נחבר את כל המספרים הטבעיים (כלומר, השלמים החיוביים), ברור שהתוצאה תהיה אינסופית בגודלה. ואולם, אם נחבר את כל המספרים השלמים (ובהם אלו השליליים), מה תהיה תוצאת החיבור? ננסה לפתור את התרגיל על-ידי סידור מספרים אלו בזוגות (מלבד המספר 0) באופן הזה:


טור אינסופי שתוצאתו אפס
טור אינסופי שתוצאתו אפס

ננסה עכשיו לפתור שוב אותו תרגיל, והפעם באמצעות סידורם של המספרים בזוגות באופן הזה:

טור אינסופי שתוצאתו אינסוף
טור אינסופי שתוצאתו אינסוף

מהי, אם כן, התוצאה הנכונה של התרגיל, וכיצד ייתכן ששני ביטויים אריתמטיים, שעל פי כל הכללים אמורים להיות שווים, נותנים תוצאות שונות?

שיתוף ב print
שיתוף ב email
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב linkedin
שיתוף ב twitter
שיתוף ב facebook

146 תגובות

  1. רענן:
    אתה הוא זה שמשקר.
    אם משהו ממה שאמרתי נראה לך לא נכון – הצבע עליו ונמק את סיבותיך במקום להפריח האשמות שווא.
    כל מה שאמרתי אמת – לפחות ככל הידוע לי.
    גם אני מסוגל לטעות אבל אינני משקר.

  2. מיכאל למה לשקר?
    זכותך לא להבין מה שאני אומר ולא להסכים, אבל אני כן מצפה ממך ליושרה.

  3. למעשה אם המרחב-זמן הוא רציף, אז מספרים לא יכולים להיות קיימים כלל במובן של "דברים" או "אובייקטים", המובן היחיד שיכול להיות להם זה מובן של "תהליכים" אינסופיים שלא מוגדרים היטב. ואני לא מדבר רק על מספרים כמו שורש שתיים,כל המספרים: מרוכבים, ממשיים, אי רציונליים, רציונליים, שלמים, וטבעיים. אף אחד מסוגי המספרים האלה לא יהיה קיים , במובן של אובייקט, הכל יהיה תהליך.

    לדוגמא המספר 1 בעולם רציף יהיה …1.00000 או אולי …0.999999
    המספר 1 בעולם רציף זה דבר חסר משמעות. כדי שלספרות תהיה משמעות מוגדרת היטב בתור אובייטקים העולם חייב להיות בדיד בהכרח.
    בעולם בדיד כמו שלנו מספרים כמו פיי או שורש שתיים קיימים אבל רק עד גבול מסויים של דיוק אחרי הנקודה העשרונית, מעבר לדיוק הזה (שיכול להיות הרבה מאוד אחרי הנקודה העשרונית) שורש שתיים או פיי או שליש הופך להיות חסר משמעות.

    קריאה נוספת שמומלצת

    http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_(%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%94)

    התגובות שלדעתי יותר מעניינות בכתבה של YNET הן 17 21 28 35 42 53 59

    כולן מסבירות את מה שאני ניסיתי להסביר ארוכות.

    וספר מצויין שאני ממליץ עליו : משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה.

  4. הקישורים הם לערך "רציפות (פילוסופיה)" בויקיפדיה

    ול "ההגיון מאחורי הפרדוקסים של זנון" ב YNET.

  5. למעשה אם המרחב-זמן הוא רציף, אז מספרים לא יכולים להיות קיימים כלל במובן של "דברים" או "אובייקטים", המובן היחיד שיכול להיות להם זה מובן של "תהליכים" אינסופיים שלא מוגדרים היטב. ואני לא מדבר רק על מספרים כמו שורש שתיים,כל המספרים: מרוכבים, ממשיים, אי רציונליים, רציונליים, שלמים, וטבעיים. אף אחד מסוגי המספרים האלה לא יהיה קיים , במובן של אובייקט, הכל יהיה תהליך.

    לדוגמא המספר 1 בעולם רציף יהיה …1.00000 או אולי …0.999999
    המספר 1 בעולם רציף זה דבר חסר משמעות. כדי שלספרות תהיה משמעות מוגדרת היטב בתור אובייטקים העולם חייב להיות בדיד בהכרח.
    בעולם בדיד כמו שלנו מספרים כמו פיי או שורש שתיים קיימים אבל רק עד גבול מסויים של דיוק אחרי הנקודה העשרונית, מעבר לדיוק הזה (שיכול להיות הרבה מאוד אחרי הנקודה העשרונית) שורש שתיים או פיי או שליש הופך להיות חסר משמעות.

    קריאה נוספת שמומלצת

    http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_(%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%94)

    http://www.ynet.co.il/articles/0,7340,L-3515410,00.html

    התגובות שלדעתי יותר מעניינות בכתבה של YNET הן 17 21 28 35 42 53 59

    כולן מסבירות את מה שאני ניסיתי להסביר ארוכות.

    וספר מצויין שאני ממליץ עליו : משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה.

  6. אורן:
    סיכוי קלוש.
    זה אחד המאמרים שהגיע אלי בשלב כלשהו ולאחר ריפרוף קל החלטתי שהוא קשה מדי לרפרוף קל ודחיתי את קריאתו (החטא הידוע של "לכשאתפנה אשנה").
    אחרי שנעלם אינני זוכר אפילו מילת מפתח שעל פיה כדאי לחפש אותו אבל אנסה בכ"ז כי זה מעניין גם אותי.

  7. מיכאל,
    יש סיכוי שתמצא את המאמר או קישור אליו? סתם מסקרנות אקדמאית 🙂
    לא דחוף, אם תמצא במקרה אז אל תשכח להביא אותו לכאן.

  8. אורן:
    אני חייב לציין שהמרחב הבדיד הוא בהחלט אפשרות פיזיקלית שלא הורדה מעל הפרק.
    יש דרכים להתמודד עם משוואת הגלים ולמיטב ידיעתי (היה לי מאמר שהורדתי ללפטופ שנגנב ואין לי כוח לחפש אותו שוב) אחת הדרכים הנבדקות כסינתזה של תורת היחסות עם תורת הקוואנטים מתבססת על מרחב כזה.
    כל מה שרציתי להבהיר לרענן זה שהעובדה שהוא שמע איפשהומתישהו על מרחב בדיד אינה הופכת מרחב זה לפתרון קסם לכל הבעיות כולל בעיית הסכסוך במזה"ת ושבאופן כללי עדיף שידבר רק על מה שהוא מבין ויהיה פתוח גם לשמוע את מי שמבין טוב ממנו.
    רענן הציג את המרחב הבדיד כפתרון לפרדוקס זנון.
    הוא עשה זאת בלי להבין מהו פרדוקס ובלי להבין מהו פתרון ובדרך דיבר על הרבה מאד דברים שאינו מבין בהם.
    אני מודע לכך שבעצמי עיגלתי פינות בדיון במובן זה שלא פתחתי נושאים מעניינים של תורת הקוואנטים שיכלו לעלות ממנו בדרך אסוציאטיבית אבל לא הייתה לי ברירה אחרת כי רציתי להתווכח עם רענן ולא עם עצמי. היה לי חשוב לעמת את רענן עם העובדה שהוא מצהיר הצהרות שלפחות מבחינתו הוא הן חסרות בסיס.

  9. מיכאל, התכוונתי שאני מצטער במובן שלמרות הניסיון שלו להביא תאוריה שלכאורה נראית מעניינת ויפה, אני נאלץ לקטוע אותו "באיבו" עם מספר אמיתויות.

    אני קראתי את חילופי הדברים שלכם, וראיתי שאכן שהוא לא הבין שמספר שאלות פילוסופיות בעבר, כבר מזמן נענו ע"י עקרונות מדעיים, ואין אלה שאלות פילוסופיות כי עצם ההנחות ונקודות המבט הינם שגויות ולא מלאות מלכתחילה. אבל זה לא הפריע לי.

    אבל כאשר התחיל לבלבל עם מונחים פשוטים ובסיסיים נאלצתי "להשמיע קול" ולעצור אותו. להתכחש לרעיון של רציפות זה כבר סותר את כל המתמטיקה ומכאן כל המדעים (כימיה, פיזיקה וכו') שיצאו ממנו. מי יודע לאילו מסקנות שגויות היינו מגיעים אם היינו מניחים שהמשוואה הסנוסידיאלית של פונקצית גל (או משוואות אחרות שניתן לתאר באמצעותם גל בתנאי שפה שונים) הינה לא רציפה?

  10. רענן:
    אני מתפלא מניין אתה שואב את העוז להתווכח על דברים שאין לך בהם ולו מושג קלוש.
    אין לי כל ספק שמימיך לא למדת חדו"א.

  11. רענן,
    אני מצטער להסכים עם מיכאל – חדו"א אכן מגדירה בבירור רציפות. לא רק שהיא מייצגת רציפות, אלא גם עוברת לרציפות מסדר שני, שלישי והלאה (ראה מונח דיפרנציאביליות).
    המקום היחיד בו משתמשים ברעיונות של "בדידים" הוא קוונטים (מכאן בא השם קוונטים) וגם זה בא רק לציון רמות אנרגיה בדידות (תוך הנחת של רציפות של משוואת התנועה של חלקיק). עך שאין ממש מרחב (כולל זמן) בדיד. להפך – משוואת הגל לא היתה יכולה להתקיים בעולם בדיד.

  12. רענן:
    בטח שמעת פעם את הביטוי "לא מפחידים יונה עם יין".

  13. רענן:
    מספיק להרצות על דברים שאינך מבין!
    הפתרון המקובל של הפרדוקס הוא הוא זה שמשתמש בכלים של חדו"א ולא הפתרון שלך.
    אין בחדו"א שום הנחה של מרחב בדיד. להיפך. בחדו"א מגדירים בדיוק מהי רציפות.

  14. הסברתי כבר למה הפיתרון המתמטי שניתן לפרדוק התאפשר רק לאחר המצאת החדוו"א והמושג גבול שמגביל את האינסופיות קרי מניח הנחת מרחב בדיד.

  15. ולתגובה 125:
    אינך מבין!
    אני טוען שלא תצליח למצוא שום צירוף מסלולים שיביא את שני החלקיקים לאותה נקודה באותו זמן! לא תצליח לעשות זאת עם שום מערכת של חוקי פיזיקה!
    אינני מצפה ללמוד ממסלול כזה דבר. אני מצפה ממך ללמוד משהו מכך שאינך מצליח לבנות כאלה מסלולים!

  16. רענן:
    אבל זה כל העניין!
    אני טוען שלא הסברת דבר ושכדי להסביר מה קורה צריך להיות מסוגל לענות על השאלה הטריביאלית ששאלתי.
    מה שמתברר בכל הדיון הזה הוא שבשעה שבמתמטיקה הרגילה ועם הנחת מרחב רציף אין כל בעייה להתמודד עם השאלה, לומר היכן החצים נמצאים בכל רגע, היכן הם יפגשו ומתי זה יקרה, הרי שבשיטה שאתה מדבר עליה אין כל דרך לעשות זאת ולמעשה – יותר מכך – לא סתם שאלתי את השאלה הזאת כי למי שמבין מתמטיקה קל לראות שחוסר האפשרות להפגש קיים דווקא בשיטה שלך. כלומר, שבשעה שבעולם המוכר לכולם – אפשר להשאיר את העולם כפי שהוא ורק לתקן את הטעות המתמטית שעשה זנון הרי שבעולם שאתה מתאר המפגש באמת אינו אפשרי מבחינה מתמטית!

  17. ואני עדיין חושב שאין שום טעם בקורדינטות שציינתי, הן רק מסלול אחד פוטנציאלי מתוך מספר גדול של מסלולים פוטנציאלים אפשריים. לא ניתן ללמוד מכך כלום, זה נתיב מקרי שנובע מתנאי התחלה מקריים וקפוף לחוקים פיזיקליים שעדיין לא ידועים עד תום וכנראה שגם לא יהיו ידועים עד תום לעולם. ולכן גם אין שום טעם לדבר על מסלול נוסף. ואני מפציר בך שוב, איזה ידע אתה חושב לקבל מנתיב מקרי שכזה שאומר לך?

  18. הפרדוקס שהצבת עכשיו הוא בדיוק הפרדוקס של זנון.
    הסברתי כבר פעמים רבות איך שקוונטיזציה של המרחב פותרת את הפרדוקס של זנון גם בכתבה הזו וגם בכתבה הזו :

    https://www.hayadan.org.il/against-laws-of-movement-2303082/

    .ואתה מוזמן לקרוא את התגובות שלי בנושא. יותר מזה אני לא יכול לעשות.

  19. אגב, רענן: משום מה, כאשר בקשתי ממך לתאר מסלול של חלקיק אחד – לא הזעקת את אלוהים ואת כל המדענים לשם כך.
    כיוון שלא ראית שזה מכשיל את התיאוריה שלך, לא הייתה לך כל בעייה לתאר את המסלול.
    עכשיו אני מבקש דבר מאד דומה – את אותו הדבר – רק לשני חלקיקים.
    אני מניח שניסית, ראית שאינך יכול, והחלטת שדרך הפעולה היחידה היא להתחיל למצוא תירוצים.

  20. רענן:
    אז אמור לי כיצד אתה מרשה לעצמך לטעון שזה פותר את בעיית זנון?!!!
    הנה פרדוקס זנון שמתאים לבעיה:
    שני חצים נורים בו זמנית מ A ל B ו מ B ל A.
    A נמצאת ב (0,0) ו B נמצאת ב ( 13 , 11 )
    החצים לעולם לא ייפגשו כי כדי שיפגשו הם קודם כל צריכים להקטין את המרחק ביניהם למחצית המרחק המקורי, אחר כך לרבע, אחר כך ל שמינית וכן הלאה.
    לי אין בעיה לצאת מן הפרדוקס עם ההסבר הנכון שלו.
    אתה הצעת שקוונטיזציה של המרחב תעשה את העבודה ושכל הטיפול המקובל בבעיה אינו נכון.
    במסגרת השיטות המתמטיות המקובלות החצים יפגשו ואפשר לחשב בדיוק היכן ומתי זה יקרה.
    שיטתך אמורה לפתור את אותה בעיה אז בבקשה – הסבר איך!

  21. בנוסף אני חושב גם שהשאלה הזו לא רלוונטית, מה ידיעת המסלול ברמה קואורדינטית תיתן לך?איזה הבנה אתה מבקש להסיק מהקורדינטות האלה?

  22. אני לא התפתלתי אפילו לא לשנייה.רק אל יודע-כל יכול לענות על שאלה כזו. זה לא שאני מתחמק, פשוט אין כל אפשרות מעשית לענות על שאלה כזו, לא לי, לא לאף מדען , וגם אם היה לי את כל הידע המדעי שקיים לאנושות היום, וכל ציוד טכני למדידות הכי טוב שיש בידי האנושות כיום, עדיין לא היה אפשרי לענות על השאלה הזו.

  23. כבר הסברתי לך למה זה בלתי אפשרי לתאר מסלול כזה, יותר מזה אני לא יכול לעשות. מה גם שאני לא מבין לאיזה צורך כ"כ חשוב לך לדעת את המסלול הזה. לדעתי אתה צריך להסתכל על הרעיון הזה ברמה כללית של עיקרון , ברמה של "התמונה הגדולה", ופחות ברמה של קורדינאטות ספציפיות.

  24. רענן:
    אני חייב לציין שמה שאתה עושה נראה לי ממש לא ישר.
    אתה טוען שחלוקת המרחב למקטעים פותרת בעיות כמו אכילס והצב וכמו החץ של זנון אבל ברגע שאני נותן לך בעיה כזו בדיוק אתה מתחיל להתפתל.

  25. רענן:
    אתה סתם מתחמק.
    אני אמרתי שהחלקיקים לא יפגשו וכדי להראות שיפגשו הסכמתי שתקבע איזה חוקי פיזיקה שאתה רוצה – החוקים שהכי יעזרו לך ליצור מפגש ביניהם (כמובן בגבול הסביר – על החלקיקים לנוע מנקודת המוצא לנקודת היעד בלי לחזור אחורנית או להתעכב ללא סיבה בנקודה כלשהי).
    תנאי ההתחלה מוגדרים לחלוטין – ברור מאיזו נקודה יוצא כל חלקיק, מתי זה קורה ובאיזו מהירות הוא נע.
    לך נשאר רק לתאר את המסלול.
    מה כל כך מסובך כאן?

  26. בכדי לתאר לגבי כל אחד משני החלקיקים באיזו נקודה הוא נמצא אחרי כל יחידת זמן, אני צריך לדעת באופן מושלם ובדיוק מושלם את תנאי ההתחלה שזה אומר מה הם כול המאפיינים הפיזיקאלים של שני החלקיקים בתוך איזה תווך הם קיימים אם בכלל יש כזה וכל אינפורמציה פיזיקאלית אחרת ולדעת בוודאות ובמושלמות ( ולא רק בקירוב טוב) את חוקי הפיזיקה שתקפים בסקאלות הנ"ל. כאמור אין לאף אחד אפשרות לדעת מן ידע מושלם שכזה וגם אם באופן תיאורתי הייתי יכול איך שהוא לדעת את הידע המושלם הזה, הייתי צריך לדעת את חוקי הטבע הפיזיקליים ששולטים בסקאלות האלה בצורה מושלמת, ונניח שהייתי יכול לדעת גם את חוקי הטבע בצורה מושלמת, רק אז הייתי יכול לומר לך שהחלקיקים יפגשו בדיוק בקוראורדינטת המרחב-זמן (x,y,z,t) וכל זאת רק תחת ההנחה שאין מקריות/כאוס כחוק טבע.

  27. רענן:
    שים לב שניסיתי לפשט את הבעיה מאד.
    מהירות החלקיקים זהה (יחידת מרחק אחת ליחידת זמן אחת), הם יוצאים מנקודות המוצא שלהם באותו זמן, וחוקי הפיזיקה הם איזה חוקים שאתה רוצה

  28. רענן:
    לא הבנתי אף מילה.
    תאר לגבי כל אחד משני החלקיקים באיזו נקודה הוא נמצא אחרי כל יחידת זמן.
    נאמר שיחידת זמן היא הזמן שאורך המעבר מנקודה אחת לשכנתה (במאוזן או במאונך).
    הראה לי זוג מסלולים כאלה של החלקיקים שבו הם נמצאים באותה נקודה במישור באוצה נקודת זמן (זו ההגדרה של מפגש). מה כל כך קשה להבין? או שמא ההתפלפלות נובעת מכיוון שהבנת אך לא הצלחת לבצע?

  29. מיכאל

    למרות שיש לך הרבה טיעוני פלוריום אינטרוגטיונום כלפי שבהם אתה מייחס לי הרבה טענות שאני בכלל לא טוען, אשיב.

    מה ההגדרה של "צעדים"? אם ההגדרה של צעד אחד זה יחידת זמן בדידה אחת, החלקיקים יפגשו בהכרח רק אם יש מינימום של שני יחידות זמן, ביחידה אחת הם בנקודת היציאה ובשניה הם נפגשים. קואורדינטת המפגש שלהם תהיה פונקציה של תנאי התחלה וחוקי הפיזיקה.

  30. רענן:
    סתם – בשביל הכיף – בוא והדגם לנו את מסלוליהם של שני חלקיקים שיוצאים בו זמנית מן הנקודה (0,0) ומן הנקודה (11,13) ואמור לנו אחרי כמה צעדים הם נפגשים.

  31. רענן:
    אני מנסה לנסח את הדברים ברמה שתוכל להבין אותם ואתה לוקח את הסיסמאות המעטות שאתה זוכר מתוך הקוסמולוגיה המודרנית ומטיף לי על כך שכדי שתבין לא השתמשתי בהן (למרות שאתה יודע שאני מסביר אותן לא פעם לכל מי שרוצה להבין אותן).
    אתה מגדיל לעשות בכך שאתה מנסה להסביר לי את הדברים.
    לך ללמוד אותם לפני שתתחיל להסביר אותם.
    מעבר לכך אתה מדבר שטויות.
    מדבריך כן עולה שהחלקיקים עליהם דיברתי לא יפגשו אבל כבר אין לי כוח לוויכוח השטותי הזה כי אתה לא מבין כל מילה שנייה מתוך דברי.

  32. "בפיזיקה המוכרת לנו יש קווים ישרים"? למה אתה מתכוון?מאיפה הבאת את זה?
    "בפיזיקה המוכרת לנו חלקיק שלא פועל עליו כוח נע בקוו ישר" לא ברור למה אתה מתכוון בכך. היקום מרגע המפץ הגדול כולו וכל החלקיקים שבו בתנועה ואנרגיה מתמדת ומתפתח לכל כיוון אפשרי שאתה יכול לדמיין וגם כאלה שאתה לא יכול לדמיין. הצורה של היקום היא תוצאה של נתוני פתיחה וחוקי טבע, שיוצרים את כל האיטראקציות החלקיקיות הכימיות והתבניתיות והדפוסים שבטבע, אני לא אחרתי שלא נפעיל על החלקיק כוח, בין אם אנחנו ניתן לחלקיק כוח ובין אם לא יהיה לו כוח שינווט אותו במרחב? בפיזיקה שאני מציעה יש קוים ישרים ועקומים ואיזה קווים שאתה רק יכול לדמיין עליהם.

    "בפיזיקה המוכרת לנו די יהיה אם נדע בדיוק את מיקומו של חלקיק בשתי נקודות זמן כדי לנבא את מיקומו בכל נקודה נוספת"- זה תלוי בזווית ראיה פילוסופית אם יש אקריות מובנת בטבע או דטרמניזם, וכך זה בדיוק בפיזיקה "שלי", אין שום סתירה מהבחינה בזאת בין סוגי הפיזיקה, ולא ברור לי למה אתה מתעקש שבפיזיקה שאני מציע לא ניתן לעשות זאת.

    כבר אמרתי שהחלקיק לא "זוכר" כלום, החלקיק הוא "עבד" של חוקי הטבע, הוא לא מחליט על שום נתיב מרחבי על דעת עצמו(וזה נכון בין אם חוקי הטבע כוללים אקראיות ברמה קוונטית ובין אם לא)
    מה שעיקרון האי ודאות אומר זה שלא ניתן לדעת גם מיקום וגם תנע ביחידת זמן אחת בדידה, וזה מאוד הגיוני כי ביחידת זמן בדידה אחת לא תוכל לדעת תנע כי תנע זה פונקציה של מהירות ובשביל לדעת מהירות צריך להשוות את מיקום החלקיק לפחות בין שתי יחידות זמן בדידות, לכן הרעיון שלי הולם בצורה מושלמת את עקרון אי הודאות.

    "על פי התיאור שלך גם יתכן מצב שבו חלקיק אחד ינוע מ A ל B וחלקיק שני ינוע באותו זמן מ B ל A והם כלל לא ייפגשו בדרך" – לא טענתי את זה מעולם.

  33. אגב, רענן.
    על פי התיאור שלך גם יתכן מצב שבו חלקיק אחד ינוע מ A ל B וחלקיק שני ינוע באותו זמן מ B ל A והם כלל לא ייפגשו בדרך.
    למעשה בחלק עצום מנ המקרים זה יהיה בדיוק המצב.

  34. רענן:
    עוד ניסיון.
    אינני עושה הפרדה בין חלקיק לבין חץ.
    אתה התחלת לדבר על חץ אז התיחסתי אליו באותו הקשר.
    בפיזיקה המוכרת לנו יש קווים ישרים.
    בפיזיקה שאתה מציע אין קווים ישרים.
    בפיזיקה המוכרת לנו חלקיק שלא פועל עליו כוח נע בקוו ישר.
    בפיזיקה שאתה מציע הוא נע בזיגזג.
    בפיזיקה המוכרת לנו די יהיה אם נדע בדיוק את מיקומו של חלקיק בשתי נקודות זמן כדי לנבא את מיקומו בכל נקודה נוספת.
    בפיזיקה שאתה מציע לא ניתן לעשות זאת.
    בנקודה זו עשויה להתפתח הרגשה בסגנון "אוקי. זה בסך הכל היבט נוסף של עיקרון אי הוודאות" אבל הרגשה זו אינה נכונה כי על פי תיאורך לא מדובר כאן על תנועה אקראית אלא על כיוון שהחלקיק "זוכר" באופן כלשהו.
    במילים אחרות – מעבר לעובדה שעיקרון אי הוודאות אינו מאפשר לנו למדוד את מיקומו של החלקיק אתה מוסיף את הטענה שגם לו ידענו את מיקומו במדוייק במספר גדול כרצוננו של מדידות לאורך הדרך לא היה ביכולתנו לחזות את מסלול התקדמותו.
    גם אם תרצה לשנות את טענתך עכשיו ולטעון שהחלקיק מחליט על המשך דרכו באופן אקראי ולא על פי "הכיוון המקורי" שהוקנה לו תתקבל התפלגות שונה לחלוטין מזו המתקבלת מפונקצית הגל המוכרת.

  35. למיכאל
    צר לי אבל לא ברור למה אתה עושה הפרדה בין חלקיק לבין חץ, תניח שהחלקיק הזה הוא חלקיק אחד מבין טריליוני החלקיקים שמהם עשוי החץ.
    זה רעיון פילוסופי שלעולם לא יהיה את הטכנולוגיה ברזולוציה כזו הנחוצה בשביל לקיים ניסוי שיכול לאששו או להפריכו ולכן גם לעולם לא יהיה עיתון מדעי שיפרסם את זה , אם כבר אז עיתון פילוסופי, אם יש דבר כזה בכלל.

    לנקודה.
    אין בעיה, קבל ביטול על הביטוי "רצון חופשי" ושים במקום אקראיות.

  36. רענון מה זה הקשקוש הזה :"רצון חופשי כלומר אקראיות"
    רצון זה מושג נפשי, חופשי זה מושג לא מוגדר, אקראי זה מושג מתימטיפילוסופי.

  37. רענן:
    ניסיון נוסף למרות שכבר אבדתי תקווה.
    החץ לא זוכר כלום. הוא תמיד ממשיך בנתיבו ללא כל סתיה למעט הסטיות שגורמים כוחות המופעלים עליו.
    אם לא פועל עליו כל כוח הוא יטוס בקו ישר.
    החלקיק שלך צריך בכל נקודה לקבל החלטה לאן להמשיך והחלטה זו תלויה בעברו הרחוק בשעה שלחץ – שום דבר בעבר הרחוק כלל לא משנה מהירותו וכיוונו ברגע נתון קובעים היכן ימצא ברגע הבא.
    זהו.
    אם לא הבנת אז לא הבנת.
    אתה מוזמן, כמובן, לנסות לפרסם את התיאוריה שלך בעיתון מדעי כלשהו.
    אני מניח שהמסלול שתעבור כאשר יזרקו אותך מכל המדרגות יהיה דומה לזה של החלקיקים במרחב שאתה מתאר.

  38. אם חוקי הטבע הם דטרמניסטים ניתן בתיאוריה לנבא את הנתיב המרחבי שלו בדיוק מושלם, ואם יש רצון חופשי כלומר אקראיות שמובנת בטבע אין דרך לנבא את הנתיב הקואורדינתי הזה בצורה מושלמת.

  39. החלקיק "זוכר" את הזווית בדיוק כמו שהחץ זוכר אותה. איפה פה הבעיה? יש חוקי טבע והחלקיק יוכל לעבור רק דרך הקורדינאטות שחוקי הטבע מאפשרים לו לנוע בהם, זה לא שהחלקיק מחליט על דעת עצמו, הוא מציית לחוקי הטבע.

  40. רענן:
    אמרתי שאין לי יותר כח ולכן זו תגובתי האחרונה בנושא.
    אם חלקיק עבר מ (0,0) ל (1,1) אז גם אם ניסו לתת לו כיוון שונה מ 45 מעלות – לא הצליחו לעשות זאת.
    אין לחלקיק כל דרך "לזכור" מה הייתה כוונת זה ששיגר אותו ולכן כוונה זו אינה משפיעה עליו והוא ימשיך לנוע ב 45 מעלות בדיוק.
    זו נקודה שאני חוזר ומעלה בפניך בכל התגובות החל מ 94 ואתה פשוט מתעלם ממנה.
    איך יכול החלקיק "לזכור" באיזו זווית שוגר אחרי שהדרך שעבר בפועל היא כזו של 45 מעלות?
    אינך מציע כל מנגנון שמאפשר לו לעשות זאת ודבריך מנותקים מכל היגיון.
    לילה טוב

  41. אם אתה יורה חץ למטרה וקולע בה יש לחץ נתיב קואורדינאטי מסויים ואם תזיז את המטרה מטר ימינה ותשלח חץ נוסף הנתיב שלו יהיה דרך קורדינאטות אחרות, למה אתה לא שואל מה גרם לחץ פתאום ללא סיבה לשנות את הנתיב?

  42. לא אמרתי שהסטייה בנתיב היא ללא כל סיבה, הסיבה לסטיה היא הזווית שיגור כל זווית שיגור שונה שתבחר יהיה נתיב קורדינאטי אחר, איפה פה הבעיה?

  43. אין חובה לשגר חלקיק ב45 מעלות בדיוק בכדי שיגיע ל 10,10 אפילו אם הזווית תהיה 40 מעלות יתכן והנתיב יתחיל את המסלול דרך הקואורדינטות (0,0) (1,1) (2,2) (3,3)….(10,10), בגלל שמדובר בסקאלות הכי קטנות שקיימות, זה לא קורדינאטות של דפדפת נייר משובץ.

  44. אוי, רענן… אין לי יותר כח.
    אתה לא מספק כל רמז לדרך בה מחליט החלקיק לסטות פתאום מן המסלול.
    שני חלקיקים יכולים לטענתך לצאת לדרך ארוכה כרצוננו, לעבור בדיוק את אותן נקודות לאורך רובה ואז, פתאום, ללא כל סיבה, להיפרד?
    נו! אם אתה מאמין בזה אז כבר אין מה לנסות להסביר לך.

  45. אם נשגר את החלקיק בזווית של 45.1 מעלות הוא גם יעבור ב 10,10 וגם לא יעבור בהכרח דרך 13,13.

  46. רענן:
    הבעיתיות היא בכך שכדי שיעבור ב (10, 10) צריך לשגר אותו ב 45 מעלות בדיוק ולכן מנקודה זו הוא גם יגיע בהכרח ל (13, 13)

  47. למה אתה חושב שגוף שעבר מ ( 0 , 0 ) ל (10 , 10) יעבור בהכרח גם ב (13, 13)? גוף חופשי לעבור דרך איזה נתיב קואורדינאטי שחוקי הפיזיקה מאפשרים לו. אם נשגר חלקיק בזווית של 45 מעלות בדיוק הוא אכן חייב להגיע ל13,13 אבל אם נשגר אותו בנניח 46 מעלות הוא יגיע ל 11,13. איפה פה הבעייתיות?

  48. רענן:
    אינך עונה לשאלתי.
    גוף שעבר מ ( 0 , 0 ) ל (10 , 10) יעבור בהכרח גם ב (13, 13).
    אתה מחליט פה על ינויי כיוון תנועה שסותרים את כל חוקי הפיזיקה.
    הרי גוף שנשגר במכוון ל (13, 13) יעבור אף הוא ב (10, 10). איך הוא אמור, בנקודה זו, להחליט פתאום להסתובב? זה פשוט קשקוש!

  49. (0,0) (1,1) (2,2) (3,3)….(10,10) (10,11) (11,12) (11,13)
    ככה גוף נע בין הקורדינטות.
    תאור יחס בתוך החלק הבדיד עצמו זה חסר משמעות, כדי לתאר יחס כלשהו אתה חייב לפחות שני בדידים או שני משבצות מרחביות.

  50. רענן:
    חששתי שהכשרתך המתמטית אינה מספקת כדי להסביר לך את העניין בהתכתבות וחששי זה גובר בעקבות תגובתך.
    בשאלה הראשונה תתקבל סתירה בעקבות כל תשובה שתגדיר את היחס בין המרחק האלכסוני למרחק האופקי כשונה משורש שתיים ואם אתה אומר שבטבע אין שורש שתיים אתה בבעיה אבל השאלה השנייה יותר מעניינת ולכן אסביר לך את פירוש הסוגריים.
    זו למעשה הצורה המקובלת לייצג נקודות במרחב דו ממדי על ידי שתי קואורדינטות – נאמר X ו Y .
    הנקודה ( 0 , 0 ) נמצאת בראשית הצירים (מקום שבו גם X וגם Y הם אפס) והנקודה (13 , 11 )
    היא זו שבה X הוא 11 ו Y הוא 13.
    מכיוון שמדובר בשריג ריבועי – כל הנקודות שבהן אפשר לעבור הן עם X ו Y שלמים.
    11 ו 13 הם ראשוניים ולכן אין שום נקודת שריג בדרך בין ( 0 , 0 ) לבין ( 13 , 11 ).
    לכן יכולת לתת לי שני סוגים של תשובה:
    הסוג הראשון של תשובה הוא שהגוף אינו יכול לעבור בשום נקודה בדרך (ומכיוון ש 11 ו 13 אינם הראשוניים היחידים וקיימים ראשוניים גדולים כרצוני הרי שהיה נובע מכך שקיימים קטעים גדולים כרצוני שגוף יכול לנוע בין קצותיהם מבלי לעבור בשום נקודה בדרך (וגדולים כרצוני זה אומר גם מיליון שנות אור).
    הסוג השני של תשובה הוא שהגןף "מתפשר" ועובר נקודות מסוימות בדרך.
    נאמר שהיית אומר שהוא עובר דרך הנקודה ( 6, 6 ).
    במקרה כזה הייתי שואל אותך מה מבדיל – לדעתך – בין גוף שמגיע ל ( 12 , 12 ) לבין כזה שמגיע ל ( 13, 11 ) וכיצד מחליט הכדור, לאחר שעשה את הדרך בין ( 0 , 0 ) לבין ( 6 , 6 ) אם להמשיך ל ( 13 , 11 ) או ל (12 , 12 ).

  51. בקשר לשאלה 1 בוא נניח שהאלכסון אכן שונה למרות שאין לי באמת מושג אם זה כך.
    ובקשר לשאלה 2 לא כ"כ ברורה לי השאלה ומה זה המספרים בסוגריים?, אבל גוף שנע דרך היחידות הבדידות האלה לא חייב לנוע בסדר מסויים זה יכול להיות כמו שבאורגן אורות כל מנורה נדלקת בתורה ואז נוצרת אשליה כאילו האור זז, למרות שכל מה שקורה זה הידלקות וסגירה של המנורות לפי הסדר אחת אחרי השנייה.ויכול להיות גם שגוף לא חייב לנוע דרך יחידות עוקבות, כלומר לדלג על כמה יחידות.

  52. רענן:
    ואני יכול להוכיח מתמטית שכל ריצוף שאינו פרקטאלי יביא לסתירה.

  53. אני לא יודע להגיד לך איזה צורה יש לריצוף המרחבי הזה אבל אני כן יכול בוודאות להגיד שזה לא ריצוף פרקטלי כמו משולש סרפינסקי כי אז אין לזה סוף.

  54. רענן:
    אמרתי לך שאני יכול להוכיח בעיה עם כל מבנה שתציע.
    אם אתה רוצה להמשיך עם מבנה קוביה – תפדאל – ענה על השאלות שהצגתי לך בתגובה 80.

  55. אין פה שום התחמקות זאת כנות.
    נניח והמבנה הוא קוביה, איזה סתירה פנימית יכולה להיות במקרה כזה? מדוע זה משנה אם הצורה היא קוביה או כדור או אפילו כל צורה תלת מימדית "לא הנדסית" אחרת. אני מדבר לא ספציפית על איזה צורה כי אני באמת לא יודע ,אני מדבר על זה שבאופן עקרוני חייבת להיות יחידה כזו.

  56. רענן:
    שים לב שכתבתי "פניצית" במקום "פנימית" זה לחם בשביל צונאמי ועל זה נכתב הפתגם שלח לחמך על פני המים.

  57. רענן:
    זו כבר התחמקות.
    אני מודיע לך שאני יכול למצוא סתירה פניצית בכל מבנה שתציע.
    יש לי שיטה כללית לעשות זאת אבל נראה לי שזה יהיה קשה מדי להסביר לך את השיטה ולכן ניסיתי להביא אותך להגדיר את המבנה במדוייק כדי להראות לך את הבג שבמבנה הספציפי הזה.
    אם אינך יכול לפרט את המבנה – אין כל הצדקה לביטחונך ברעיון מה גם שאני מבטיח לך שאני יכול להוכיח שבכל מבנה שאתה מסוגל להציע יש בעייה.

  58. אני לא יודע מה הצורה של הריצוף של המרחב-זמן, או איך בדיוק נראה הסריג הזה או הרשת הזאת, זה יכול אולי להיות כל צורה תלת מימדית ,קוביה פירמידה,משושה אליפסה או כדור, נראה לי הכי הגיוני שזה קוביה כי זה צורה שלא מותירה רווחים בין הפיקסלים וממלאת את כל המרחב, מה שאני כן בטוח בו זה שאיזה שהיא יחידה בדידה שלא ניתנת לחלוקה נוספת חייבת להיות קיימת, תהיה צורתה אשר תהיה.

  59. אני מתנצל על כך שלא היה לי כח לקרוא את כל הלהג האינסופי.
    1. האם אתה טוען שיחידת האורך האלכסונית שונה בארכה מזו האופקית והניצבת?
    2. בוא נתבונן על יחידות בשריג שאתה מדבר עליו. אני עדיין נשאר בשני ממדים. מהן הנקודות (על פי סדרן) בהן עובר גוף שמתחיל את תנועתו ב (0,0) ומסיים אותה ב (11,13)

  60. "כדי לטפל בשאלות הקשורות לשיעורי שינוי, המציא ניוטון – ובנפרד ממנו גם המתמטיקאי הגרמני גוטפריד לייבניץ – ענף חדש במתמטיקה: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א). תורה זו שינתה את פני כדור-הארץ, פשוטו כמשמעו ובאופן מטאפורי כאחד. אך שוב, הרעיונות שעוררה תגלית זו היו שונים אצל אנשים שונים. הפיסיקאים יצאו לחפש חוקי טבע אחרים, שיוכלו להסביר תופעות טבע במונחים של שיעורי שינוי. הם מצאו שפע של חוקים כאלה השולטים בתופעות שונות: חום, קול, אור, דינמיקת זורמים (גזים ונוזלים), אלסטיות, חשמל, מגנטיות. התורות המודרניות האזוטריות ביותר העוסקות בחלקיקי יסוד עדיין משתמשות באותו סוג של מתמטיקה, אף-על-פי שהפרשנות, ובמידה מסוימת השקפת העולם המובלעת, היא שונה. על כל פנים, המתמטיקאים מצאו סדרת שאלות שונה לחלוטין שהם יכולים לשאול. ראשית כול, הם בילו זמן רב בהתחבטות בשאלה מה באמת פירוש הביטוי "שיעור של שינוי". כדי לחשב את מהירותו של גוף נע, עליכם למדוד היכן הוא נמצא, למצוא לאן הוא הגיע לאחר מרווח זמן קטן מאוד, ולחלק את המרחק שהוא עבר בזמן שחלף. ואולם אם הגוף נמצא בתאוצה, התוצאה תלויה במרווח הזמן שבחרתם. גם למתמטיקאים וגם לפיסיקאים היתה אותה האינטואיציה בנוגע לטיפול בבעיה זו: מרווח הזמן שמשתמשים בו צריך להיות קטן ככל האפשר. הכול היה יכול להיות נפלא, אילו רק היה אפשר להשתמש במרווח בגודל אפס, אך לרוע המזל הדבר אינו אפשרי, מאחר שהן המרחק והן הזמן שחלפו יהיו אפס, ושיעור שינוי של 0/0 הוא חסר משמעות. הבעיה העיקרית במרווחים השונים מאפס היא שלא משנה באיזה מהם תבחר, תמיד יהיה מרווח קטן יותר שבעזרתו תוכל לקבל תוצאה מדויקת יותר. מה שהיה מועיל באמת הוא מרווח הזמן הקטן ביותר האפשרי השונה מאפס – אך אין דבר כזה, מאחר שבהינתן כל מספר ששונה מאפס, המספר שהוא חצי מהמספר הזה גם הוא שונה מאפס. הכול היה מסתדר אם היה אפשר לקבל מרווח קטן בשיעור אינסופי – "אינפיניטסימל". לרוע המזל, פרדוקסים לוגיים קשים מתעוררים בהקשר של אינפיניטסימלים; בייחוד, אם אנו מגבילים את עצמנו למספרים במובן המקובל של המלה, אין דבר כזה. לפיכך, במשך כמאתיים שנה היתה האנושות במצב מוזר מאוד ביחס לחדו"א. הפיסיקאים השתמשו בו, בהצלחה יתרה, כדי להבין את הטבע ולנבא את אופן התנהגותו; המתמטיקאים הוטרדו בשאלה מה משמעותו האמיתית וכיצד לבנותו כך שיפעל כתורה מתמטית מבוססת כהלכה; והפילוסופים טענו שכל זה שטויות. הכול נפתר בסופו של דבר, אך עדיין אפשר למצוא הבדלים גדולים בגישות."

    לקוח מתוך ספר שאני קורא עכשיו שנקרא "המספרים של הטבע : המציאות הלא מציאותית של המתמטיקה" של המתמטיקאי איאן סטיוארט

    http://lib.cet.ac.il/pages/item.asp?item=12127

  61. האלכסון של הבדידים הוא היחידת אורך, הוא ההגדרה הפיזיקלית ליחידת אורך אלכסונית !, יחידות אורך של ס"מ אינצים וכו' הן רק מטעמי נוחות שלנו כבני אדם שנגישים לסקאלות ולקני מידה ששונים מהסקאלות של פלאנק, תקרא בויקיפדיה על יחידות פלאנק. מה שאתה שואל זה למעשה כמה יחידות אורך יש בתוך יחידת אורך הכי בסיסית שיש , והתשובה לכך היא שבתוך יחידת האורך הבסיסית ביותר שקיימת בטבע, יש רק יחידת אורך אחת, והיחידה הזאת היא היא בעצמה. ובזה היא שונה מפיקסל של מסך, פיקסל של מסך מורכב ממספר עצום לאין שיעור של אותן יחידות בסיסיות שלא ניתנות לחלוקה ולכן ניתן לשאול על פיקסל כזה את השאלה מהסוג ששאלת כלומר כמה יחידות אורך יש לו באלכסון. יתכן שאין מרחק בין הבדידים עצמם, כלומר הם צמודים זה לזה בלי רווח, אם יש רווח בינהם אז הרווח הזה לא שייך למרחב-זמן שלנו, אלה למשהו אחר. החומר שממנו אנחנו עשויים והזמן בו אנו נמצאים יכול להתקיים רק בתוך הבדידים האלה.

  62. אוקי, רענן:
    אז בוא נישאר לרגע במישור.
    אלה פיקסלים כמו במסך, נכון?
    כלומר – הם מסודרים בצורה של ריבועים – נכון?
    עכשיו אמור לי – אם נגדיר את המרחק בין שני פיקסלים כיחידה – כמה יחידות הוא אורך האלכסון של הריבועים הללו?

  63. אמרתי כבר שהמרחב בדיד וכך גם הזמן, כמו שיש פיקסלים על מסך, אותו דבר המרחב רק בתלת מימד +מימד זמן, אין רציפות לא בתנועה ולא בזמן. והכיוונים שניתן לנוע בו הם רק מבדיד לבדיד, ולכן אם תרצה לנוע סתם לדוגמא 12 מעלות תוך מעבר של בדיד אחד בלבד זה לא אפשרי.במרחק של בדיד אחד ניתן לנוע רק בכיוון ימינה שמאלה קדימה אחורה אלכסונים של 45 מעלות, וגם בציר Z למעלה ולמטה ואלכסונים 45 של ציר Z, כמו קוביה הונגרית. בסקאלות הקטנות אין חופש תנועה כמו שזה נראה לנו שיש מנקודת המבט של סקאלות שבהם בני אדם חווים את העולם. ובכל כיוון המרחק המינימלי שניתן לעבור הוא אותו מרחק, והוא מרחק של בדיד אחד או משבצת אחת.

  64. רענן:
    הבנתי אותך טוב מאד.
    האמת שיש אינסוף שאלות שאפשר לשאול אבל רובן קשות להבהרה באתר ולכן בחרתי בשאלה הפשוטה הזאת.
    אתה רואה בזה חוסר הבנה של דבריך?
    לא אתעכב על זה כי זה טפשי להסביר לך שאני כן מבין ואשאל שאלה אחרת.
    איך, לדעתך, מאורגן המרחב?
    האם אפשר לנוע בו בכל כיוון?
    האם בכל כיוון המרחק המינימלי שניתן לעבור הוא אותו מרחק?
    קח בחשבון שאלו רק שאלות מבוא ואני מכין לך מלכודת על פי התשובות שתיתן

  65. אם אני מבין נכון אתה שואל כיצד ניתן לדלג על אותם קטעים מינימליים?ועוד מבלי לעבור בשום נקודה באמצע? ואני שואל על מה אתה מדבר ?
    על איזה דילוגים אתה מדבר? לא דיברתי על דילוגים כלשהם. ואיזה נקודה? ובאמצע של מה? אני מדבר על מרחב זמן מדיד ואתה שואל אותי על חלקיקים? לא נראה לי שהבנת אותי כלל למרות שקראת.

  66. רענן:
    זה פשוט מדהים.
    אתה רוצה לומר לי שבכל הפעמים בהן אמרת שנתת כבר את התשובה העזת לעשות זאת בלי לדעת מה השאלה?
    אבל בתגובה 61 שלך דווקא חזרת על שאלתי כמעט במדוייק אז אתה בעצם כן יודע מהי.
    שמע – אתה ממש מבלבל.
    למען הסר ספק – שאלתי מופיעה בתגובה 60 והרחבה שלה מופיעה ב 62

  67. אגב, רענן:
    חזרתי וקראתי כל מה שכתבת בקישור שהבאת ואכן – כפי שזכרתי – אין שם כל מענה לשאלתי.

  68. רענן:
    הפסק להתחמק וענה ספציפית.
    טוב שלא אמרת לי שיש את כל תשובותיך בעולם ושרק אחפש בעולם.

  69. רענן:
    אני לא ראיתי שום הסבר שנתת. בכל אופן – לא הסבר משכנע.
    אולי פספסתי משהו ולא ראיתי.
    מה הבעיה לחזור על ההסבר או לתת קישור מדוייק אליו?
    מדוע לא גמרת את הוויכוח בצורה זו במקום להתחיל להתווכח על ההיסטוריה?
    אני מבקש ממך – מתחנן בפניך – לא מצאתי את ההסבר. אמא הסבר שנית או הצבע במדוייק על מקום אחר בו נתת אותו.

  70. רענן,

    פרדוקס אכילס והצב נפתר במרחב רציף – תפנים, תחשוב תקרא .
    למענך פעם נוספת:

    אפשר לעבור אינסוף נקודות שהמרחק ביניהן מתקצר במהירות בזמן סופי, כיוון שגם זמן המעבר מנק' לנק' מתקצר במהירות.
    וכאן הקפיצה "הנפשית" שאתה צריך לעשות:
    סכום אינסוף הזמנים המתקצרים במהירות (של המעברים מנק' לנק') הוא ** סופי! **
    לא קל להבין זאת אבל זה הוכח מעבר לכל ספק!
    זהו, אמרתי, וכדאי לך לחפש מקורות בהירים ממני בנושא

  71. מיכאל
    איזה התחמקות? מי מתחמק ? אני כבר עניתי על זה, וגם יותר מפעם אחת.
    לעומת זאת השאלה ששאלת היא טכניקת מילכוד ידועה שמטרתה היא להתיש את הבר שיח ע"י כך שתגרום לו להשיב שוב ושוב על אותה שאלה שמנוסחת בצורה מעת שונה כל פעם.

  72. רענן:
    אז אמרת.
    אולי תגלה לנו כיצד?
    אגב, חלקיקים שמסלוליהם חותכים זה את זה בדיוק באמצע כזה קטע לא יתנגשו?

  73. מיכאל
    הפיתרון שאני מציע מסביר כיצד ניתן לדלג על אותם קטעים מינימליים מבלי לעבור בשום נקודה באמצע.

  74. רענן:
    כל מה שזנון הראה לנו שה שהוא טועה.
    בעייתו ניתנת לפתרון מתמטי במרחב רציף רק שהוא – כמוך – לא ידע מתמטיקה.
    ה"פתרון" שאתה מציע לא פותר, כפי שאמרתי לך פעמים רבות, שום דבר כיוון שהוא לא מסביר כיצד ניתן לדלג על אותם קטעים מינימליים ועוד מבלי לעבור בשום נקודה באמצע.
    אני חייב לחזור ולהדגיש שאינני טוען שהמרחב אינו קוואנטי. אני רק טוען ששום דבר מדבריך אינו מצביע על כך ושום ניסוי מחשבתי או אחר שמוכר לאנושות אינו מחייב מסקנה כזאת.
    אני יכול לשכלל את טענתך ולטעון גם שהקטעים הם ירוקים וסגולים לסירוגין. יהיה לזה בדיוק אותו תוקף כמו לדבריך.
    יש אנשים שמתבלבלים וקוראים להפרחת הגיגים באוויר בשם פילוסופיה.
    אין שום פילוסוף רציני שרואה את זה כך. למעשה הפילוסופים הרציניים ביותר הם אנשי המדע.
    כבר נאמר על סוג ה"פילוסופיה" שאתה מדבר עליו שכדי להיות מדען תיאורטי צרים ניר, עפרון, מחק ופח אשפה אבל כדי להיות "פילוסוף" צריך רק ניר ועפרון.

  75. לנעם ומיכאל
    מתמטיקה זה לא העולם, זה רק סמלים שמייצגים אותו. השאלה אם אינסוף קיים באופן ממשי בעולם או יותר נכון מינוס אינסוף שמייצג סקלות של מרחב-זמן היא שאלה פילוסופית ולא מדעית כי אין ניסוי יאשש או יסתור, אין מיקרוסקופ שמגיע לסקלות האלה ואין מצלמה שיכולה לצלם במימדי זמן כ"כ קצרים, ולכן עד שימציאו מכשירים כאלה, וכנראה שלעולם לא ימציאו, לא נסכים אחד עם השני.לכן התשובה לשאלה הזו חייבת להיות גם פילוסופית או לוגית בינתיים, וזנון הראה לנו יפה מאוד שכאשר אנו מניחים שהזמן-מרחב הוא רציף אנו מגיעים לסתירה, לכן המרחב-זמן בהכרח בדיד, לפחות ביקום שלנו, מה שיש מעבר ליקום שלנו, כלומר מה שמכונה לפעמים ה-BULK של המולטיוורס, במידה וה-BULK הזה בכלל קיים, לא חייב בהכרח להיות בדיד .

  76. רענן,

    אתה עסוק מידי בלתת לי ציונים ולא משקיע מספיק זמן בלחשוב- אולי בגלל השעה. נסה שנית כשתתעורר…

  77. רענן:
    נראה שאתה כבר לגמרי מבולבל מן השעה.
    איפה דיברתי על משוואותשעושות שימוש במספרים אי רציונאליים?
    תשובתך מתייחסת בחלקה לדברי נועם ובחלקה לדברי.
    אתה כנראה לא מבין בכלל מהו פרדוקס.
    פרדוקס הוא מצב בו מערכת שיקולים הנראית לממציא הפרדוקס כלגיטימית מביאה למסקנה שאינה תואמת את המציאות או שנמצאת בסתירה למסקנה העולה ממערכת שיקולים לגיטימית אחרת.
    לכן כל פרדוקס מושתת על מערכת שיקולים.
    לך לישון.

  78. לנעם
    אז מה אם יש משוואות שמשתמשות במספרים אי רציונליים? מה זה קשור בכלל?, אתה כנראה בכלל לא מבין מה שאני אומר.

    לרענן לא זכור לי שמישהו הראה לי שמרחב בדיד לא פותר את הלכאורה פרדוקס הזה ומה זה בכלל מערכת השיקולים של זנון? איזה שיקולים? זנון המציא פרדוקס מחשבתי ולא יצר שום מערכת שיקולים.

  79. אגב, רענן:
    המבדח הוא שהתחלת לדבר על חלוקת המרחב ליחידות שאינן בנות חלוקה כ"פתרון" לבעיית זנון.
    כבר כשעשית זאת הראיתי לך שזה לא פותר דבר כי אם מקבלים את מערכת השיקולים של זנון (שלטעמי היא שגויה אבל לטעמך – לא) אז ברור שזנון היה טוען שאין כל דרך לעבור את המקטעים הקטנים.
    לא ענית לזה.
    פשוט דילגת על זה כי זה לא מסתדר עם מטרותיך.

  80. רענן,

    אתה מתעקש לחשוב שבעולם המציאותי אין מקום למספרים אינסופיים. זו טעות. יש לא מעט משוואות שמשתמשות סמס' אי רציוניים כאשר התוצאה לפעמים – לא תמיד – היא רציונלית לחלוטין.
    בקיצור, ההפרדה בין המתמטיקה שכוללת מס' אינסופיים, לבין המציאות "שלך" שאיננה כולל מס' אינסופיים ובכך אתה חושב לפתור את את הקשיים שמס' אינסופיים אכן מביאים עימם ** איננה נכונה**

    אה כן, אני מבין את ההבדל בין פאי לבין שבר עשרוני עם 3000 ספרות אחרי הנקודה הקרוב לו בערכו…

  81. נועם
    זה לא שאני עושה הפרדה מלאכותית, זה אתה שעושה איחוד מלאכותי, היכן שאיחוד כזה לא הגיוני. למציאות אין דיוק אינסופי, למתימטיקה יש כי המתמטיקה זה דבר מחשבתי ולא פיזיקאלי, ההבדל בין שורש שתיים או פיי בתור אורך פיזיקאלי לבין מספרים אלה בתור מושגים מתמטים הוא כ"כ קטן אפסילוני וזניח מבחינה מעשית ויחד עם זאת כ"כ גדול ומשמעותי מבחינת תפיסת עולם. צר לי שאתה לא מבין זאת.

  82. רענן

    אתה עושה הפרדה מלאכותית. המספרים פאי, אי, שורש 2 ועוד רבים הם מספרים אי רציונליים, אינסופיים באורכם. למרות זאת אין כמעט משוואה בעולם הפיזיקה "שלך" שלא משתמשת בהם. מה יהיה שטחה של גינה עגולה שהחלטת לבנות בביתך, שרדיוסה 1 מ' הדיוק?
    התשובה בדיוק פאי. אבל מיד תכריז על שריפת קרתגו ותטען שלא ניתן לחלק את שטח הגינה לאינסוף חלקים. אבל משמעות הטענה ששטח הגינה ** המדוייק ** הוא פאי – היא ששטחה מתואר ע"י מס' בעל אורך ** אינסופי **. אם תטען אחרת, אזי או שפאי הוא כן רציונלי או שנוםחת שטח העיגול איננה נכונה.

  83. והבנתי היטב שהתכוונת לחזרה על רעיון,ומה רע בזה? אני רק שאנשים יבינו אותי נכון. אני מדבר על זה רק איפה שלדעתי זה קשור כמובן.
    אגב אשמח לשמוע במקום האשמות אישיות כלפי טענות שסותרות את תוכן דברי, אם יש כאלה…

  84. לנועם ידידי
    לידיעתך אני התעמקתי בקאנטור. ואין שום סתירה ביני לבינו.זה שקיים במתמטיקה מושג שנקרא אינסוף ואף עוצמות שונות של אינסופים לא מחייב קיום ממשי של אינסוף. ולכן כמו שכבר ציינתי יש להבדיל בין אינסוף מחשבתי/רעיוני/מתמטי, לבין המציאות הפיזיקלית.

  85. רענן,

    זה לא הפעם הראשונה שאתה "מבין על יד".

    למשפט הזה יש פרוש נוסף לזה שציינת והוא הכוונה האמיתית:

    מתכוונים לאדם שחוזר ללא הרף על אותו משפט, בין אם זה קשור לנושא ובין עם לאו.
    אמרתי לך כבר בעבר, ההתעקשות שלך לסלק את מושג האינסוף מעולמך, גורמת אך ורק לך נזק. אני מציע לך בידידות להתחיל להתעמק בקאנטור לדוגמה.

  86. לנועם
    המשפט הזה אומר "דעה או השקפה שאדם דבק בה ברבים ומשמיע אותה תכופות". הביטוי מביע במקרים מסוימים גם עקשנות בלתי נלאית, נחישות ודבקות במטרה.

    אז ברצוני להודות לך על המחמאה למרות שאני מרשה לעצמי להניח שהתכוונת עקשנות במובנה הרע.

  87. קראתי את "הסברך" והוא היה מקנה לכ ציון נכשל במתמטיקה.
    אכן – בצורה שבה אתה מנסה לקשור כל דבר לתיאוריה הבלתי מבוססת הזו אתה מזכיר את קאטו.
    להזכירך – פעילותו של קאטו הייתה בתחוםהפוליטיקה ולא בתחום המדע.

  88. רענן,

    שמעת על קאטו הזקן, שהיה מסיים כל נאום במשפט "וצריך לשרוף את קרתגו" ?

  89. רענן:
    משפט פיתגורס אומר שהיתר של משולש ישר זווית ושווה שוקיים הוא הניצב כפול שורש שתיים.
    בשיקולים פשוטים של תורת המספרים ניתן להראות שאין שום גודל למחלק גם את אורך הניצב וגם את אורך היתר.
    אם המרחב היה מחולק לקטעים כטענתך היו קטעים אלה מחלקים גם את הניצב וגם את היתר.
    לא ממש ברור לי מדוע אני טורח עליך כי אתה הרי גמרת אומר שלא להבין.

  90. מיכל

    א.משפט פיטגורס לא סותר כלום וגם אם תמשיך להצהיר כל יום עד קץ הזמן, שמשפט פיתגורס סותר זה עדיין לא יהפוך את משפט פיתגורס לסותר

  91. רענן הנביא שמוכן להרביץ את תורתו בכל מקום מבלי להתחשב בעובדה שהממצאים (כמו משפט פיתאגורס) סותרים אותה.
    במקרה הנוכחי זה עוד יותר מגוחך כיוון שכבר הוסבר כאן מדוע כשמפעילים את ההיגיון בצורה נכונה לא נתקלים כאן בפרדוקס כך שאין צורך "להציל" אותנו באמצעות נבואות חסרות בסיס.

  92. אין פה שום פרדוקס אם מניחים שהמרחב-זמן הוא בדיד(קוונטי).
    הפרסוקס מתקיים רק אם מניחים שהמרחב-זמן הוא רציף (כלומר שאפשר לחלק מימד מרחבי או מימד זמן בצורה אינסופית מבלי להעצר באיזה שהיא נקודה)
    ולכן בהכרח המרחב-זמן הוא בדיד(קוונטי). וכשיהיה לאנושות מיקרוסקופ מספיק טוב או מצלמה שמצלמת בהילוך איטי מספיק זה יוכח.

  93. פרדוקס המנורה: הייתה מנורה אחת. הדליקו אותה, כיבו אותה. הדליקו אותה, כיבו אותה. הדליקו אותה, כיבו אותה. אבל נתנו לה זמן מוגדר לכל פעולה, והחליטו את מספר הפעולות. איך זה מוביל לפרדוקס? יש שלושה ניסוחים למושג פרדוקס, אחד נכון, אחד לא, ואחד בעצמו מנסה ליצור פרדוקס.

    הלא נכון: פרדוקס זה משהו לא הגיוני.
    הנכון: פרדוקס זה משפט לוגי, אשר בני האדם בגלל אי-הרציונאליות שלהם הם מניחים הנחות שגויות לגמרי ואחר-כך מופתעים שהתשובה מוזרה, ממש כמוהם.
    הפרדוקס: המספר המוגדר במשפט זה+1.

    לגבי ה"פרדוקס" שאמרתי כאן: אין מספר המוגדר במשפט! וואו! איזה פרדוקס!

    לגבי הפרדוקס ששמו בסוף הכתבה:

    אני יכול לחשוב על עוד סדרה: על כל 10 מספרים חיוביים נעשה מספר שלילי. איך אפשר לעשות את זה? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,-1. 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,-2. אפשר כמובן להמשיך באופן זה. אז איך בכל זאת אפשר לסדר בדרך אחרת ושזה יתקבל 0? (שאלה למחשבה- מחשבה קצרה ונבונה.)

  94. שווה לקרוא שוב-בהילוך חוזר- @ מאמר זה וכלל התגובות לעניין,שהתנהלו כאן בהקשר,למאמרים
    האחרונים..ממש..כהמלצה צנועה בלבד..אני,מבחינתי,אשוב,למפוחית,לחלילית,לרישומים…בעט..והמחברות..
    לקפה ההפוך..למקטרת הסיגריה-אגב,ללחוצים בענין..פתרון גאוני חדש..
    סיגריה אלקטרונית..חנות לגבר..בדיזינגוף סנטר-בלי להזכיר שמות.
    שווה גם,לשבת בנמל-תל-אביב..יוניזציה טובה..אה עוד דבר..יש שם בקפה
    נמרוד..חברה על הכייפק,ואפילו–משקה הנקרא..מוחיתה..חה.חה.
    אז,ארכי חוכם..ושבוע טוב..קוונטוס..בחזקת..הטובים והחביבים,שנחלצו
    לעניינינו המבורכים.

  95. החידה של אכילס והצב רלבנטית גם להבנתנו את תורת היחסות.נניח עכשיו, שהצב מתחיל את המירוץ במהירות איטית,אך מאיצה.במקרה זה הצב מסוגל להתחמק מאכילס גם אם מהירות ריצתו לעולם אינה משתווה למהירותו של אכילס.אם נמיר את הצב באסטרונאוט ואת אכילס בקרני-האור הנעות מאחוריו לעברו.האסטרונאוט אינו מסוגל לעבור את מהירות האור.אך על ידי האצה רצופה הוא מסוגל (עקרונית)להתקרב אליה יותר ויותר.בנסיבות אלו אין אלומת-האור מסוגלת לעולם להשיג את האסטרונאוט.

  96. נעגכררהפתרון לחידה של אכילס והצב אומר שניתן למעשה להשלים בתוך רגע (בתוך זמן נתון)סידרה אינסופית של אירועים.

  97. למיכאל
    בדבריך אני רואה הסטה פרועה והוצאת דיבה על מדענים תמימים שס"ה, מקסימום, פינטזו על פרה תמימה.
    כשאני רואה כיצד תאוותך ל B12 מעבירה אותך על דעתך אני חייב לשאול אותך אם לבלש קראו אולי במקרה מיכאל.
    לפרות יש את כל הזכויות לחיות בשלווה בדרך לצלחת שלנו.

    אבל אם נהיה רציניים באמת, אזי איך אתה באמת יודע שפגשת פרה?, זאת בעיה לא קלה כי כידוע, אין פרה אחת שדומה לרעותה, לכן, האם לא ייתכן שבמסגרת אי הוודאות במדידות, פרה יכולה להיות, חלילה, אתון, ולא רק זאת, אפילו אם נידברת להפגש עם פרה באינטרנט אתה לא יכול להיות בטוח שזה סוס שמתחזה.
    ושלא יגידו לי שעקרון קוסמולוגי יכול לאפשר לי להאמין שזו פרה!
    ןהשימוש בתער שך אוקהם במקרה זה יכול לשמש מקסימום….לשחיטה.

    לילה טוב
    סבדרמיש יהודה

  98. איך ידעו מהי פרה אם לא ראו פרות גם במקום אחר? שאל הבלש שחקר מקרה שבו נרצחה פרה כדי לשדוד את ה B12 שלה ועצר את שלשתם.

  99. דרך אגב,
    בספר 'המשפט האחרון של פרמה' (אין מה לדאוג, לבסוף הוא יצא זכאי…) מופיעה הבדיחה הבאה:
    שלושה מדענים נוסעים בסקוטלנד ורואים פרה:
    האסטרונום קורא: ראינו הוכחה, כל הפרות בכל העולם שחורות!
    הביולוג קורא: מה פתאום, רק הפרות בסקוטלנד שחורות;
    משיב כנגדם המתמטיקאי: הכל שטויות: ראינו פרה אחת(!) שידוע לנו רק על צד אחד שלה(!) שהוא שחור.
    במלים אחרות: המגבלות הטכניות מכתיבות לנו תמיד את המגבלות המתודולוגיות: באסטרונומיה אני מתפשר על רמות ודאות נמוכות יותר מרמות הוודאות שהייתי מוכן לקבל בתחומי מדע אחרים. זו עובדה שבלית בררה אנו חיים איתה, אך אסור לשכוח את המגבלות שמובנות בה ממנה.

    שבוע טוב

  100. לשאול
    לגבי הלינק בתגובה 5 אני מצטרף למיכאל שלמעשה אין חידוש על מה שאנו יודעים כבר מדיון קודם. יש לנו שתי תופעות מוזרות לגבי חלליות הטסות בחלל. הראשונה אנומלית פיוניר המופיעה בקצה מערכת השמש הפנימית ומדברת על תאוטה לא מוסברת במעוף החללית אל מחוץ למערכת השמש והשניה הנקראת אפקט פליי ביי ומדברת על תופעה לא צפוייה של תאוצה/ תאוטה של מספר מ"מ לשניה בטיסת החללית ליד כוכביי הלכת. המסקנה שמגיעים במאמר היא שייתכן ומדובר כאן על הצורך בשינוי חוקיי הגרביטציה הידועים. גם זה היה ידוע לנו.
    לכן, צר לי, אבל עבור סעיף חמש לא תקבל על שימך שום נתח נוסף של הקוסמוס.
    אני מנסה לראות מה אפשר לעשות עם האין מסה האפילה שמסרת לי . אולי להאכיל איתו את בעליי החיים שתרמת למיכאל. השאלה היא אם איכות ה B12 לא תשתנה.

    אז שיהיה לנו שבוע טוב

    סבדרמיש יהודה

    א

  101. שאול:
    על פי מה שראיתי הכיל הקישור מתגובה 5 חומר דומה לזה שכבר הבאת בקישור קודם. לא מצאתי, לכן, דבר חדש לומר בנושא ואולי פישלתי כשלא אמרתי פשוט, תודה.
    לגבי איינשטיין, לרוב מי שחקר את הנושא יש ספק, כולל לאברהם פייס שכתב את הביוגרפיה המעמיקה שלו Subtle is the Lord גם אני חושב שסביר שהכיר את הניסוי אבל, כאמור, זה לא "ידוע" במובן המקובל של המילה

  102. למיכאל ויהודה הנכבדים,

    תודה על הכבוד. יש מדענים שמשקיעים מליונים של דולרים ועשרות שנות חיים שלהם ושל העוזרים שלהם, כדי להכנס להסטוריה, והנה, בזכותכם, זכיתי לבעלות על גלקסיה שלמה!!!!

    לאות הכרת הטוב, אני מעניק ליהודה את הבעלות על החומר האפל (שאין בה) ועל החורים השחורים שיש בה, ולמיכאל הצמחוני את הבעלות על כל בעלי החיים שבה. מי כמוהו ייטיב לדעת כיצד לשמר אותם.

    שבוע טוב. ושובע טוב.

    ביי

    משום מה לא התייחסתם ללינק שהבאתי בתגובה 5 לעמוד זה. מאמר המשך לסוגיית האנומליה של מסלולי החלליות.

    למיכאל: לניסוי של מייקלסון ומורלי מ1897 התייחס לורנץ במאמר מפורסם עשר שנים אחר כך. אין ספק שאיינשטיין הכיר את הניסוי.

  103. לכל המעוניינים ששאלו אותי. בשם "גלקסית שאול" מיכאל ואנוכי מכנים את הגלקסיה NGC4736 שאליה הפנה אותנו לראשונה המגיב הנחמד , העילוי, שאול.
    הרעיון לשם הובא לראשונה ע"י מיכאל, ואני מצטרף בהכנעה לכבוד אותו הענקנו לשאול.
    גלקסיה ספיראלית זו מאד מעניינת כי לצורך סיבובה היא אינה זקוקה לתוספת מסה אפלה כמו שנדרש בכל שאר הגלקסיות הספיראליות.
    למעוניינים:-
    http://space.newscientist.com/article/dn13280-galaxy-without-dark-matter-puzzles-astronomers.html

    שיהיה לנו שבוע טוב

    סבדרמיש יהודה

  104. לרועי צזנה
    היום ביתי הבכורה שהצטרפה לזבחים, הביאה בלי חשבון גופות טהורות של הולכיי על ארבע. אני חייב לציין שאני לא בטוח שהרענו את מצב ההתחממות של כדור הארץ כיוון שהשתמשנו רק בשקית אחת של פחם ארכיאולוגי והוספנו לכך קישושיי ענפים מסביבתינו הקרובה, כאלה שאמורים להתחדש ביערות בן שמן. בהתחשב בכך שכל פרה מתה מפסיקה תמידית להפיץ ניחוחיי גז החממה הידוע- מיתן , הרי שלא הרענו את המצב בצורה משמעותית.
    אני רוצה לציין שבחטא הזבחים חטאו רבים, כחול אשר על שפת הים, והזבחים היו בכל מרחביי בן שמן ותחת כל עץ רענן, המון רב (ורעב} מאד.
    ולגביי ביתי הצעירה והיפה, היא נרשמה לגאוגרפיה ומדעי הסביבה. היא הצדיקה בחירתה זו בצורך העתידי להציל את כדור הארץ, ובכייף שהיא עומדת לחוות בטיולים הצפויים לצורך המחקרים הסביבתיים. לידיעתכם ביתי למדה חמש יחידות במקצועות אנגלית גאוגרפיה כימיה וארבע יחידות במתמטיקה כך שהיא לא רק יפה כמו האמא שלה אלא גם חכמה כמו האבא שלה.
    וכמובל את החגיגה סגר בני "הסנדביץ'? אשתו היפה ונכדתי המתוקה וקרוב לוודאי חכמה. היה ממש, ממש, ממש מהנה.
    לאריה סתר
    ברוכים השבים לגבולותינו, מזמן לא שמענו ממך.
    ולמיכאל
    אומנם גלקסית שאול לא נתנה מכה ניצחת לניוטון, אך היא הגבול התחתון לאפשרות להסביר ע"י ניוטון. מעבר לכך יוכלו להיות רק פתרונות קסם.

    אז נראה מה ילד יום.

    סבדרמיש יהודה

  105. אריה סתר:
    אינני בטוח שהבנתי את שאלתך אבל אם הבנתי אז אתה מייצג תפנית מפתיע בדיון וחוזר לנושא המאמר:)
    אם אני מנחש נכון (ושוב, אינני בטוח שכך הדבר כי דבריך לאקונים) שאלתך מתייחסת לפרדוקס האלים.
    מה שניסיתי לטעון בתגובתי (ואני עדיין טוען) שמקור הבעיה שם הוא בכך שאנחנו מרשים לעצמנו להתייחס למערכת פיסיקלית ולתכונות שלה במודל מתמטי שלא טרחנו להגדיר בתוכו את המקבילה המתמטית המלאה של התופעה הפיסיקלית. כתוצאה מכך אנו נתקלים בבעיות לוגיות הנובעות מהנחות בלתי מבוססות שאנו מניחים ביחס למהויות שאינן מוגדרות.
    נראה שדבריך מתייחסים לשאלה כיצד נכון יהיה למפות את העולם הפיסיקלי לתוך המודל המתמטי וזו אכן שאלה נכבדה שכל מדע הפיסיקה מנסה לענות עליה. לא התיימרתי, בתגובתי, לענות על שאלה זו.

  106. יהודה:
    אני מסכים עם רוב דבריך פרט להשערה שהמסה האפלה חוטפת מכה מגלקסיית שאול.
    לדעתי תיאורית המסה האפלה (בניגוד למסה האפלה עצמה) דווקא זוכה לאישוש מגלקסיה זו כיוון שהיא מראה שתנועת הגלקסיות אינה מצריכה חוקי גרביטציה שונים ולכן גלקסיות שבהן הכוכבים מסתובבים מהר יותר כנראה מושפעות מגורם נוסף שאינו שינוי בחוקי הגרביטציה. המסה האפלה בהחלט מהווה גורם אפשרי שעולה בקנה אחד עם הממצאים ולכן היא מועמדת מצוינת להיות אותו "גורם נוסף" .
    אני חוזר ואומר שלי אישית לא ידועה סיבה אמיתית לחשוב שהמסה האפלה אינה מסה רגילה ושכל הרעיון של מסה מסוג מיוחד נראה לי, בשלב זה (ועל פי התער של אוקהם) מיותר.
    לגבי גלקסיית "שאול מינוס" אני מסכים לטענה שאם תתגלה גלקסיה כזו תחטוף תורת הכבידה הנוכחית זעזוע רציני (אם כי הניחוש שלי הוא שלא תתגלה כזאת גלקסיה).
    אגב, גם אני ניצלתי את הבוקר היפה. ערכתי טיול רגלי באזור וביקרתי (ללא התרעה) כמה חברים שלא פגשתי כמעט כל החורף כי הם גרים במרחק שהוא קצר מכדי הצדקת נסיעה במכונית אבל ארוך מכדי עידוד הליכה ברגל בגשם.

  107. ילמדוני רבותי. האם לא ניתן לחפש את הפיתרון לבעיות אלו בפיזיקת הקוונטים. אני מתכוון לאורך פלנק וזמן פלנק. אז תאמרו שזו מגבלה פיזיקלית – שיש אורך וזמן מינימליים שמתחתם אי אפשר לרדת עוד, וזה לא פותר את הבעיה הלוגית. אך כבר הורגלנו למוזרותה של תורת הקוונטום ואולי המגבלה הפיזיקלית היא גם מגבלה לוגית.

  108. רחמים על החיות, יהודה. ביני לבין משפחתך, אנחנו עלולים לכלות את כל החי.

    דרך אגב, שכחתי לברך אותך ואת בתך הצעירה והיפה על קבלתה למכללה. באיזה תחום היא בחרה, אם מותר לי לשאול?

    שבת שלום,

    רועי.

  109. משום מה נעלם שמי בכותרת של התגובה הקודמת. אז לכל מאן דיבעיי, זו תגובתי!

    סבדרמיש יהודה

  110. למיכאל
    אז כנראה שהמשיח עומד להגיע.

    בנוסף
    אני חייב לציין שגלקסיית "שאול" לא מפסיקה לעורר בי מחשבות.
    ונראה לי ששוב נסכים למספר מסקנות:-

    א. גלקסיית "שאול" היא הוכחה שתיאוריית ה MOND של פרופ' מילגרום אינה נכונה, כי בגלקסיה זו לא מתקיים השינוי בנוסחת החוק השני של ניוטון שהיא הבסיס לכל התיאוריה הנ"ל.

    ב. המסה האפילה מקבלת כאן מכה חזקה כי נידרש מאיתנו להסכים שקיים איזור אדיר בשמיים שהוא נקי ממנה לחלוטין (או כמעט לחלוטין)

    ג. מסקנה פרטית שלי.
    אם תתגלה גלקסיה שמהירות הסיבוב שלה נמוכה מזו הצפוייה ע"י ניוטון, (נקרא לה "שאול מינוס") אזי גלקסיה זו תפיל לחלוטין את המסה האפילה, האנרגיה האפילה, ואיתם את חוקיי ניוטון למרחקים גדולים.
    שים לב שזה בלי שום קשר לנכונות או אי הנכונות של לה סאג' שהיא צולעת גם ככה.

    ד. אני בטוח שאנשים לא יוותרו בקלות על המסה האפילה "האהובה" והם ייצרו מושג קוסמולוגי חדש כדי להסביר את גלקסיית "שאול מינוס"- "מסה אפילה שלילית".

    ה. מעניין אם משהו דיבר כבר על מסה אפילה שלילית?

    ו. בגלל חשיבות הדבר, השלב המיידי חייב להיות בדיקה מדוקדקת של נכונות הנתונים המסקנות של גלקסיית שאול.

    ז.הגיע הזמן לתגובה גם לגבי חלק קולינארי שאהוב מאד על ידידי היקר רועי צזנה ועוד רבים אחרים,
    כמו שאתה וודאי שמת לב אני חייב לסיים שהיום הוא יום יפה ואין כמו יום כזה לצאת לשוח בשדמות ארצינו האהובה ולהעלות עולות וזבחים (מנגל בלעז} ופה ושם יתרמו כמה חיות אהובות את ה B12 שלהם לרווחת ההומו ספיאנס. אז יער בן שמן יהיה הכתובת המועדפת וליבי, ליבי, יהיה עם כל הצמחונים.

    חזק ואמץ.

    אשמח לשמוע את דעתך על מסקנות מגלקסיות "שאול" ו"שאול מינוס".

    שיהיה לנו יום יפה ונעים.

    סבדרמיש יהודה
    .

  111. יהודה:
    נראה לי שהגיע הזמן להרים כוסית!
    שבת שלום.
    מיכאל

  112. למיכאל
    אני משתדל למצוא בתגובתך דברים שאינני מסכים להם, ומתקשה.
    אולי על לה סאז' , אני עדיין חושב שחלקיקים מסוגלים להביא משיכה בתנועתם אם כי , אני מודה , זה מצב שדורש כנראה התנגשות לא אלסתית לפחות בחלקה, ולכן גם יחייב להסביר היכן נעלמת האנרגיה.נדמה לי שגם אתה מסכים שזה יוכל לגרום לגרביטציה. מודה, שכרגע, יש בעיה עם לה סאג'.
    אי ההסכמה ביננו נוגעת כנראה רק לאופן בו עלינו להתייחס לחוקים מעבר לטווח הניסויים שלהם. אתה ורוב המדענים גורסים על פי אוקאם, ללכת עם החוק הפשוט,
    אני, מוכן להתפשר, עד לטווח קרוב מעבר לתחום הניסוי/ המדידה, אני מוכן להסכים על פי אוקאם, מעבר לכך בטווחים רחוקים עשרות מונים מטווח הניסוי/ מדידה, אני דוגל להשתמש בהם בערבון מוגבל מאד.
    אם היו משתמשים בדרכי, נדרשים להיות זהירים במסקנות כגון נקודות סינגולריות מסה אפילה אנרגיה אפילה וכדומה.
    מודה לך על תגובתך המחכימה.
    חבל שלפעמים אנחנו לא "מבינים" איש את רעהו.
    ערב טוב

  113. למיכאל
    המחשב עושה קצת צרות וקשה לי לרשום תגובה, לכן יצא מבנה
    התגובה מוזר.
    מצאה חן בעיניי תגובתך.
    אתעמק בה ואגיב
    ש
    הגדרתך ש"החוקים הם רק הניחוש הטוב ביותר שהצלחנו לנחש על סמך סמך המידע שהיה בידינו".
    ממש טובה ואשתמש בה בעתיד.

    אני מסכים לחלק מדבריך ולחלק לא, אבל בעיקר אני לא לא חסיד של "תרגיליי התעיפות" זה האופן שבו אני מגדיר את דתך.
    ערב טוב

    סבדרמיש יהודה

  114. שאול:
    דבריך הם מקרה פרטי של טענתי שאין יודעים את התשובה לשאלה אם איינשטיין ידע על ניסויי מיקלסון מורליי או לא.
    למרבה הצער הוא לא הזכיר את שמם והדיון סביב השאלה אם ידע או לא ידע כנראה שלא יוכרע לעולם.

  115. יהודה:
    האמת היא שצפיתי את תגובתך אבל אתה טועה ולכן אוסיף את המילים שחשבת שהן מיותרות.
    כבר בתגובתי הראשונה (שלא כוונה במיוחד אליך) הסברתי את ההבדל בין המחקר המדעי לבין הטיפול בפרדוקסים מתמטיים ולוגיים.
    הסברתי למשל שאנחנו מרשים לעצמנו להניח שחוקי הטבע ממשיכים להיות תקפים גם אחרי הניסוי.
    באופן כללי, כל חוק שאנחנו מגלים הוא הכללה של הניסויים שעשינו.
    אז איך נדע אם זו הכללה לגיטימית או הכללת יתר?
    אין לנו כל דרך לדעת זאת פרט להיגיון העומד לרשותנו ומאפשר לנו להסיק מסקנות מן המידע הקיים ומניסויים שאנחנו עורכים במיוחד כדי לבדוק את תקיפות החוק.
    תורת היחסות, למשל, עדיין עומדת במבחנם של כל הניסויים שערכנו היכן שיכולנו. היא גם מתקיימת, כפי שמסתמן, באותה גלקסיה שלשם הנוחיות והקרדיט אכנה גלקסיית שאול.
    עובדות אלו, כפי שציינתי, תומכות בהמשך השימוש בתורה זו, כמובן, רק כל עוד היא מספקת תחזיות נכונות.
    מנגד – תורת LeSage נכשלת אפילו ללא ניסוי מיוחד והקדשנו דיון מיוחד לנושא, כפי שידוע לך. בדיון זה הבאתי הן הפרכות משלי לתורה זו והן כאלו של גדולי המדענים והפילוסופים.
    לכן תורת LeSage אינה יכולה להתקבל כחוק טבע אפילו לרגע.
    אם נחזור לפילוסופיה, בבואך לאמץ דרכים לפתרון פרדוקסים עדיף להקדים ולשאול מהו פרדוקס.
    פרדוקס הוא מצב בו שתי דרכי חשיבה הנראות לגיטימיות לכאורה נותנות תוצאות שונות ואף סותרות.
    פרדוקס יכול להתגלות בתחום של הלוגיקה הטהורה כמו בתחום של האינטראקציה בין הלוגיקה לעולם הממשי.
    פרדוקס אכילס והצב הוא בתחום הלוגיקה הטהורה כי כל הישויות בו מוגדרות היטב והגדרתן מאפשרת הסקת מסקנות עם "התנהגותן". הפרדוקס נוצר כאן כתוצאה מכך שעל פי חישובים רגילים של פתרון משוואות תנועה אנחנו יודעים שאכילס אמור להשיג את הצב ואילו על פי השיקול שאת הטעות בו הצגתי אנחנו מסיקים שהוא לא ישיג אותו.
    בתגובתי טענתי שלמעשה, פרדוקס האלים אינו בתחום המתמטיקה הטהורה וכדי שיוכל להיחשב לכזה יש להגדיר הגדרות נוספות שלא שמנו אליהן לב מלכתחילה.
    בתחום הפיסיקה ניתקל ב"פרדוקס" אם התנהגותן של מערכות פיסיקאליות לא תתאם את החוקים שאנו יודעים אבל זה לא ממש פרדוקס כי מלכתחילה ידענו שהחוקים הם רק הניחוש הטוב ביותר שהצלחנו לנחש על סמך המידע שהיה בידינו. איך שלא יהיה – פרדוקס מעין זה יחייב אותנו לבחון מחדש את החוקים ולהתאימם למציאות כפי שאנחנו מכירים אותה אחרי הניסוי החדש.
    עד אז – כדי שלא נשקע סתם בעבודות סרק – המציאו את התער של אוקהם האומר שאין לסבך תיאוריה אם התיאוריה מתארת את המציאות גם ללא הסיבוך הנוסף (או במילים אחרות – אין לסבך את התיאוריה ללא צורך).
    אגב, אני מתנצל על האיחור בתגובה – איחור שיאפשר לשאול לצפות בה רק במוצ"ש – אבל איחור זה התחייב מה"דת" שלי.
    בפרפראזה על דברי איינשטיין הרי שאם יש התנהגות אצלי הראויה לכינוי "דתית" – זו דבקותי הכמעט אובססיבית באימוני הכושר.
    פעם ביומיים אני מקדיש חמש שעות לכזה אימון– שעה ורבע לבירוקרטיה (נסיעות, החלפות בגדים ומקלחת), שלשת רבעי שעה למכשירי כח ושלש שעות לנסיעה על אופני כושר.
    באימון כזה אני תורם להתחממות כדור הארץ כ 1500 קלוריות (בלי הנסיעות).

  116. פניה לשאול,

    הלינקים שאתה מביא פה מאוד עוזרים. אנא אל תחדול ממעשיך. אזור התגובות נועד בדיוק למטרה זו. זה גם מרחיב את הידע של אנשים נוספים המתעניינים בתחום.

  117. למיכאל:

    למיטב זכרוני, המלים בהם פותח המאמר המפורסם הם: "תוצאות ניסויים שנעשו באחרונה מלמדות וכו'": לאלו ניסויים הכוונה?

  118. הערה נוספת לשאול:
    נדמה לי שאומרים "אחדל" ולא "אחדול"
    זה מזכיר לי את העובדה שעל הרבה דלתות בקניוני ארצנו כתובה המילה "דחוף" (urgent ) במקום המילה "דחף"

  119. שאול:
    למיטב ידיעתי לא ברור אם איינשטיין ידע על ניסוי מייקלסון מורליי כאשר ניסח את תורת היחסות ומניעיו היו אחרים (הוא, מכל מקום, לא הזכיר ניסוי זה במאמרים שחשפו את תורתו) על פי עדותו קשורים מניעים אלה בניסויים מחשבתיים שעשה עוד בימי נעוריו.
    איך שלא יהיה, מה שניסיתי לומר בדברי זה שעם פרדוקסים יש להתמודד באומץ ולא "לעקוף" אותם על ידי הסברים חלופיים. נדמה לי שבמקרים רבים נוקטים אנשים בדרך ה"עקיפה" ובכך הם מפסידים את התובנה האמיתית שעשויה לצמוח מזיהוי הטעות שגרמה לפרדוקס.

  120. למיכאל
    חייב לציין שההסבר שלך ממצה ומעורר מחשבות. עוד אציין שהוא בהחלט ידרוש ממני לחזור ולהתעמק בדוגמאות שהבאת .

    כוחן של דוגמאות טובות שאפשר "לשדרג" אותן בעזרת טרספורמציה פשוטה של החלפת מילים מסויימות באחרות ולקבל שוב את המסקנה הנידרשת.
    לדוגמא, אצטט במדוייק את הדוגמא המעולה שהבאת בתגובתך כדי להראות את השלילה ב"הכללת ייתר" :-

    "אני מסתובב ליד ביתי ושואל את כל האנשים שאני פוגש שם מהי ארץ מגוריהם. כולם עונים לי "ישראל" ואני מרשה לעצמי להסיק מכך שכל האנשים בעולם גרים בישראל." סוף ציטוט.

    כעת אם נעשה טרספורמציה , והיכן שכתוב "ביתי" נכתוב "מסעדה סינית" ובמקום "ישראל" נכתוב "אוכל סיני". והשאלה תהיה:- " מה אתם אוכלים" .נקבל דוגמא חדשה.:

    "אני מסתובב ליד מסעדה סינית ושואל את כל האנשים שאני פוגש שם מה אתם אוכלים. כולם עונים לי "אוכל סיני" ואני מרשה לעצמי להסיק מכך שכל האנשים בעולם אוכלים אוכל סיני."

    ברור לנו שגם מהדוגמא "החדשה" על האוכל הסיני נוכל להסיק אותן מסקנות נגד הכללת יתר.
    זה כלל חשוב מאד, מיכאל , כל כך חשוב שממש בא לי להביא עוד דוגמא:-

    "אני מסתובב ליד ביתי ושואל את כל כוכביי הלכת שאני פוגש שם מה מסובב אותם. כולם עונים לי "גרביטציה" ואני מרשה לעצמי להסיק מכך שכל כוכבי הלכת בעולם ואיתם כל הכוכבים, ונוסיף להם גם את כל הגלקסיות בעולם , כולם, כולם, בלי יוצא מן הכלל, סובבים בגלל "גרביטציה".

    כל מילה נוספת מיותרת.
    שיהיה לנו סוף שבוע שקט, והחלמה לפצועים בפיגוע.

    סבדרמיש יהודה

  121. הוספה קטנה למיכאל,

    נדמה לי שפאראדוקסים בעיקר נפתרים ע"י העלאתה לדיון של נקודה מובלעת בהנחות שמרוב פשטותה איש אינו מעיז לערער עליה ולהתייחס אליה, עד שמגיע פותר הפאראדוכס, ומעיז לעשות זאת, ומשתמש באותה נקודה כנקודה ארכימדית למבט חדש על הכל – זו היתה גישתו המהפכנית של איינשטיין ביחס לניסוי המפורסם של מייכלסון ומורלי: בדרך כלל כשאנו מדברים על מהירויות אנחנו מבליעים את העובדה שמהירויות הן ביחס לזמן; איינשטיין לא רק ש'נזכר בכך', אלא בעיקר היה מוכן לערער על מוחלטותו של מושג אינטואיטיבי זה ולטעון שבעצם 'פה קבור הכלב' ומתוך כך לפתור את הבעייה כולה.
    איינשטיין עצמו תיאר שקיימים שני סוגי מדע: התאוריות, והתאוריות שמפיחות מחשבות חדשות ומבט-על לאותן תאוריות 'נחותות'. מובן מאליו שהסוג האחרון, היה הסוג שהוא אהב יותר, כיוון שאין הוא צריך להשתמש בניסויים אלא לרכב על ניסוייהם של אחרים. איינשטיין גם טען שסוג הזה של מדע 'נקי' ו'יפה' יותר.

    שבת שלום

  122. למיכאל, יהודה ולכל ידידנו היקרים. מאמר המשך בנושא שכבר דננו בו.

    לאבי בליזובסקי: נדמה לי שאתה צריך לראות זאת כמחמאה שדיונים שנפתחו באתר שלך מתמשכים ע"י הגולשים כטפילים על נושאים אחרים. בכל מקרה, אם הדברים מפריעים לך, אמור זאת, ואחדול מהבאת הלינקים. שבת שלום.

  123. תיקון בעיית העתקה:
    בתגובה הנ"ל, במקום בו כתוב n-2 צריך להופיע שתיים בחזקת מינוס N
    הטעות נוצרה בגלל תוכנת העורך של האתר שלא טיפלה נכון בסופרסקריפט שהיה בטקסט המקורי

  124. התשובה שניתנה על ידי דוד לפרדוקס הקינוח היא כמובן התשובה הנכונה כפי שיודע כל מי שלמד מתמטיקה על תיכונית.
    ברצוני להתייחס, עם זאת, למאמר עצמו ואעשה זאת על ידי ציטוט התגובה ששלחתי בנושא זה ל"גליליאו". תגובה זו מכילה גם התייחסות לפרדוקס נוסף – פרדוקס אכילס והצב – אבל החלטתי לצטט גם את החלק הזה שלה כי הוא עשוי לתרום להבנת הדברים.
    פרדוקס נובע תמיד מטעות בשיקול.
    אולי טעות שקשה למצוא אבל בכל זאת טעות.
    פתרון הפרדוקס איננו מושג על ידי הצגת דרך אחרת לחלוטין שבה מתקבל פיתרון הגיוני אלא על ידי איתור הטעות בדרך המקורית והצבעה עליה. כל מעשה אחר אינו מיישב את הסתירה. זו הסיבה לחשיבותם של פרדוקסים – פתרונם מכריח אותנו להתעמק ולפתור בעיות יסוד בחשיבה שלנו.
    אסביר בקצרה למה כוונתי תוך שימוש בפרדוקס אכילס והצב שהוצג בגיליון קודם.
    פרדוקס אכילס והצב אומר שאכילס אף פעם לא ישיג את הצב.
    הוא מגיע למסקנה זו על ידי תיאור של סדרה אינסופית של אירועים שבהם אכן אכילס טרם השיג את הצב וסדרה זו היא אכן סדרה שמתקיימת במציאות אבל בנקודה זו בדיוק נכנסת הטעות בשיקול כאשר מסיקים מקיומה של אותה סדרה אינסופית של אירועים שאכילס לעולם לא ישיג את הצב בשעה שכל האירועים שבהם מדובר, אף כי מספרם אינסופי, מתרחשים כולם לפני שעה מסוימת (טור פרקי הזמן המפרידים ביניהם מתכנס) ולכן לא נכון להסיק מקיומם דבר על מה שיתרחש אחרי שעה זו.
    במילים אחרות – נכון היה להסיק מהם שאכילס לא ישיג את הצב לפני שעה (נאמר) 10:00 אבל לא נכון להסיק שהוא לעולם לא ישיגנו.
    השגיאה היא שגיאה של "הכללת יתר" ואפשר להמשיל אותה לשגיאה הבאה:
    אני מסתובב ליד ביתי ושואל את כל האנשים שאני פוגש שם מהי ארץ מגוריהם. כולם עונים לי "ישראל" ואני מרשה לעצמי להסיק מכך שכל האנשים בעולם גרים בישראל.
    במאמר מוסגר ראוי לציין כאן שלא תמיד אנחנו מגבילים את עצמנו באופן כזה ולפעמים יש הצדקה לאי ההגבלה.
    אם, לשם דוגמה, נתבונן במפעל המדעי הרי שהוא "לוקה" באופן קבוע במה שאך לפני רגע תיארתי כטעות כיוון שאת כל הניסויים שלנו ערכנו בעבר ומסקנותינו לגבי החוקים מדברות גם על העתיד.
    אנו מרשים לעצמנו לעשות זאת מכיוון שאנו מאמינים בנכונותה של אקסיומה מסוימת ביחס לחוקי הטבע – אקסיומה האומרת שהחוקים האלה אינם משתנים עם הזמן.
    בבעיית אכילס והצב, כמובן שאיננו מתבססים על אקסיומה מסוג זה לגבי מהמיקום שכן התנועה מוגדרת על ידי שינוי המיקום עם התקדמות הזמן.
    התשובה שניתנה במדור "הפוך על הפוך" לפרדוקס האלים נראית לי לקויה בכמה מישורים:
    במישור המתודולוגי היא לוקה בכך שאינה מצביעה על הטעות בשיקול שהביאה אותנו למסקנה השגויה.
    במישור התיאורי היא מתבססת על סתירה לכאורה בין החלטות האלים לבין עצמן, סתירה שלדעתי לא קיימת.
    כדי להגדיל את המוטיבציה להתמודדות אמיצה יותר עם הבעיה אציג תחילה גרסה אחרת שלה: נניח שכל האלים בונים את החומות באופן בלתי תלוי בדבר – לא זה בזה ולא ביציאת הגיבור לדרך ואז – אחרי שנבנו החומות יוצא הגיבור לדרך.
    כמובן שהגיבור לא יכול לזוז כי הוא ישר נתקע בחומה אבל איזו חומה? הרי אף חומה איננה הראשונה?! כלומר – לגבי כל חומה נוכל להוכיח שהוא כלל לא יגיע אליה כי החומות שלפניה היו אמורות לעצור אותו לפני כן.
    אז מה קורה כאן? נתקלנו בדיוק באותה בעיה מבלי שערבנו את החלטות האלים בסיפור.
    לדעתי פתרון הפרדוקס טמון בזיהוי העובדה שאנחנו מערבים אינטואיציות פיסיקליות במחשבתנו על מודל מתמטי בו לא הגדרנו כיצד הפיסיקה עובדת.
    משפט זה נשמע קצת מרחף ובפסקאות הבאות אנסה להוריד אותו לקרקע.
    דוגמת סדרת החומות שבה אנו עוסקים מדגימה לנו עובדה מתמטית פשוטה והיא שלמרות שבין כל שני מספרים מוגדר יחס סדר (גדול, קטן או שווה), לא בכל אוסף אינסופי של מספרים יש מספר ראשון או אחרון, אפילו אם כל המספרים נמצאים בתחום סופי נתון.
    דוגמה נוספת הממחישה עובדה זו היא אוסף כל המספרים שבין אפס לאחד, ללא אפס ואחד עצמם.
    אנחנו מדברים על עולם שבו אדם יכול להימצא בתנועה ויכול גם לעצור או להיעצר כלומר – לעבור ממצב של יש תנועה למצב של אין תנועה.
    הטענה שהאדם עוצר בנקודה שמרחקה מהכפר הוא אפס היא טענה מוגדרת האומרת שעד לרגע הגיעו לנקודה אפס היה האדם בתנועה ואחרי רגע זה כבר לא היה בתנועה.
    לעומת זאת – הטענה שאדם עוצר בנקודה הראשונה שאחרי אפס או בקטן מבין המספרים שצורתם 2-n אינה מוגדרת כי אין מספר כזה – מדובר, כאמור, בקבוצות מספרים שאין בהן איבר ראשון.
    אם האדם נמצא בתנועה זמן כלשהו ויהיה זה זמן קטן כרצוננו אחרי שהגיע לשערי הכפר הוא בהכרח יעבור לא רק דרך חומה אחת אלא דרך מספר אינסופי של חומות.
    אז מה קורה כאן בכל זאת? הרי אם נקים את החומות, ברור שהאדם חייב להיעצר, אז איזו חומה עוצרת אותו למרות הכל?
    חוסר יכולתנו לענות נובע מכך שתחושתנו ביחס מושג העצירה נובעת מניסיוננו בעולם הפיסיקלי ומכך שבמודל עליו אנחנו מדברים לא קיימת הגדרה של מה שגורם לאדם לעצור (כי כאמור, החומה הראשונה בה יתקל אינה מושג מוגדר!).
    ברגע שנכניס לסיפור הגדרה חד משמעית של תנאי העצירה – הבעיה תיעלם.
    אפשר לעשות זאת על ידי מודל יותר אמיתי של עולם הפיסיקלי – כזה שבו אין חומות בעובי אפס וכלל לא תיתכן סדרה אינסופית של חומות בתחום סופי.
    אפשר לעשות זאת על ידי אימוץ היבט אחר של העולם הפיסיקלי שעל פיו אנחנו נעצרים על ידי דחייה אלקטרומגנטית של חלקיקים ודחייה זו היא למעשה הצטברות הדחיות הנוצרות על ידי כל קבוצת החומות ולא על ידי חומה בודדת.
    יכול להיות שדחייה זו תעצור אותו מעט לפני כל החומות או בדיוק בנקודה אפס או אחרי שיעבור דרך כמה (אינסוף) חומות.
    איך שלא נסתכל על זה, מה שאסור לנו לעשות זה להתבסס על מודל בו התנאים הגורמים לעצירה אינם מוגדרים ואחר כך להתפלא על שאיננו יודעים מתי האיש עוצר.
    ומה קורה כאשר האלים בונים את החומות בדיוק בתנאים שהוגדרו בבעיה בניסוחה הראשון?
    כאן צריך לשאול אם התנאים האלה בכלל הוגדרו.
    בפירוש שנותן מריוס כהן לתנאים אלה הם בכלל לא מוגדרים כיוון שהוא מתאר את פעולתו של כל אל כתוצאה של פעולת האל שלפניו ומכיוון שאין אל ראשון אז אופן הפעולה של האלים אינו מוגדר כלל. זו דרך אחת להתמודד עם הפרדוקס אבל זה למעשה, פרדוקס פשוט יותר מן הפרדוקס שבהגדרה המקורית של הבעיה. אם קוראים את הבעיה כלשונה אז אופן פעולתם של האלים אינו מוגדר על ידי פעולת קודמיהם אלא כתלות בהגעת הגיבור לנקודה מסוימת. התלות שהכניס מריוס כהן בפעולת האלים האחרים היא מסקנה ולא נתון. על מה מתבססת מסקנה זו? שוב – היא מתבססת על אותו תנאי עצירה שהרשה לעצמו "להעתיק" מעולם הפיסיקה מבלי להגדירו במודל המתמטי.

  125. קומוטטיביות אינסופית

    כידוע, קומוטטיביות (חילוף) החיבור אינו (בהכרח) מתקיים עבור טור אינסופי. במקרה כזה, הקומוטטיביות מתקיימת רק עבור טור חיובי, או כל טור מתכנס בהחלט…

  126. התשובה הנכונה היא 0 מאחר ובסידרה השניה המספרים השליליים נמצאים בפיגור של איבר אחד כך שלבסוף יהיה צורך להחסיר אינסוף מהאינסוף והתוצאה תהיה 0 כמו בסדרה הראשונה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

לוגו אתר הידען
דילוג לתוכן