אין לו סוף ואין לו ערך מספרי אמיתי, אבל אם תרצו לחשב את היקפו של עיגול המקיף את היקום כולו, הוא יכול לעזור לכם. מה סוד קסמו של פיי, שגורם למדענים כה רבים להרהר בו?
מאת רן לוי
אלכסנדר הנרי רינד לא היה מתמטיקאי. הוא היה עורך–דין סקוטי, גברבר צעיר וטיפוסי של אמצע המאה ה-19, בעל חיבה מיוחדת לתרבות מצרים העתיקה. רינד סבל ממחלת ריאות קשה, ורופאיו המליצו לו לשהות באקלים יבש. עבור רינד, זו הייתה סיבה מצוינת לחצות את הים התיכון דרומה. באחד משיטוטיו בשווקים הסואנים של העיר לוקסור, הזדמן רינד לדוכן עתיקות והבחין ביריעת פפירוס גדולה ברוחב של כשישה מטרים. פפירוסים כאלה, שלרוב נגנבו מאתרים ארכיאולוגים, צצו מדי פעם בשווקים. רינד בחן את הפפירוס בקפידה והחליט לרכוש אותו. בלא יודעין, רכש עורך–הדין הצעיר באותו רגע כרטיס כניסה לדפי היסטוריה. “פפירוס רינד” מכיל, כך נתגלה מאוחר יותר, את הערך המוקדם ביותר הידוע של הקבוע המתמטי המפורסם מכל: פיי π.
רינד לא זכה ליהנות מתהילתו כיוון שמחלתו הכריעה אותו כשהיה כבן 30 בלבד, אך הפפירוס שרכש נחקר ביסודיות רבה לאורך השנים. הממצאים מעידים ש”פפירוס רינד” נכתב כ-1,700 שנים לפני הספירה, והוא עצמו העתק של פפירוס עתיק יותר, שנכתב כנראה 300 שנים קודם לכן. ערכו של פיי כפי שנקבע במסמך העתיק, הוא 3.16, רחוק רק באחוז אחד מערכו האמיתי הידוע לנו היום. כפי שמעיד “פפירוס רינד” המצרים הקדמונים, וגם הבבלים לפניהם, הבחינו בתכונה משונה ומרתקת של מעגלים: אם מודדים את היקף המעגל ומחלקים אותו בקוטרו, יתקבל מספר קבוע. לא משנה אם העיגול קטן כמו בייגלה, או גדול כמו חומת העיר: תוצאת חילוק ההיקף בקוטר, תהיה תמיד אותו מספר, פיי.
מה סוד המשיכה של פיי?
ארכימדס מסירקיוז היה הראשון שהצליח ליישם את העקרונות הגיאומטריים לצורך חישובו של פיי. הוא שרטט עיגול, וסביבו שני מצולעים שווי צלעות: אחד בתוך העיגול והשני מחוצה לו. את היקפם וקוטרם של המצולעים קל היה לחשב באמצעות גיאומטריה פשוטה, וארכימדס הוכיח שהשניים מהווים חסם תחתון וחסם עליון להיקפו של העיגול, הכלוא ביניהם. באופן זה הגיע ארכימדס למסקנה כי פיי הוא בערך3.14 , אם כי גם ארכימדס ידע שאין זה ערכו האמיתי או הסופי של קבוע זה.
עדות לחשיבות פריצת הדרך של ארכימדס ניתן למצוא בעובדה שבמשך יותר מ-1,500 שנים איש לא הצליח לחשב את פיי בדיוק גבוה יותר. 1,500 שנה החזיק שיאו של ארכימדס, ואז בתוך 200 שנה בלבד הצליחו המדענים לחשב את פיי עד לספרה ה-100 אחרי הנקודה. אך בל נטעה לחשוב שהמשימה הפכה לקלה. עדיין נדרשו תעצומות נפש אדירות מצד המתמטיקאי, שהחליט לקחת על עצמו את המשא הכבד של חישוב פיי.
לודולף ואן–קולן השקיע את מרבית חייו בחישוב פיי עד הספרה ה-35 אחרי הנקודה. הוא היה כל כך גאה בהישגו, שהיה הטוב ביותר במאה ה-17, עד שביקש שיחרטו את הערך של פיי על מצבתו. מדוע התאמצו המתמטיקאים לחשב את פיי? איזו תכלית יש למרדף אחר מספר שנדמה שאין לו סוף? הרי אין שימוש מעשי לידיעת ערכו של פיי עד לספרה ה-100 אחרי הנקודה ומעבר לה.
למתמטיקאים הראשונים הייתה סיבה טובה לנסות לחשב את פיי בדיוק רב ככל הניתן. הכלכלה הקדומה הייתה מושתתת ברובה על חקלאות, וחישוב שטחי הגידול (שגבולותיהם לא תמיד היו ישרים כסרגל) ואורכן של תעלות ההשקיה הפתלתלות, היו בעלי חשיבות מכרעת עבור החקלאים. אך החישוב המדויק של פיי היווה בעיה קשה עבור המצרים וקודמיהם, שכן שהוא אינו מספר שלם, אלא שבר: שלוש וקצת. בהיעדר הידע המתמטי הדרוש, הם היו יכולים להיעזר רק במדידות שנעשו בפועל לצורך העניין, מדידות שמטבע הדברים היו גסות ולא מדויקות.
גם ליורשיהם האינטלקטואלים של המצרים, היוונים, היו סיבות טובות לחשב את פיי. פיתגורס, אוקלידס וחבריהם עסקו בפתרונה של חידה עתיקת יומין, ששורשיה לוטים בערפל ההיסטוריה: חידת “ריבוע המעגל”. השאלה שהציקה לפילוסופים היוונים הייתה: האם ניתן לצייר ריבוע, אשר שטחו שווה לשטח של מעגל? הבעיה היא שכדי לצייר ריבוע ששטחו זהה לשטח מעגל, צריך לדעת במדויק את שטחו של המעגל. שטח זה נתון לפי הנוסחה “פיי כפול ריבוע הרדיוס”, משמע, חובה עלינו לגלות את ערכו של פיי.
לצורך הדגמה, אם היינו רוצים לחשב את היקפו של עיגול, שמקיף את היקום כולו, די היה בדיוק של פיי עד הספרה ה-39 אחרי הנקודה. מרכזיותו של פיי הפכה אותו למושג מיתי וחלק מהמתמטיקאים רצו לגלות אם חבויה חוקיות מסוימת בספרות האקראיות לכאורה של פיי. חוקיות כזו, אם ישנה, עשויה להתגלות כרמז לתובנות מעמיקות יותר על היקום שסביבנו.
פשוט, פשוט מדי
אך היו גם כאלה שחיפשו דרך עוקפת. בשנת 1897 פנה רופא מקומי, שהיה גם מתמטיקאי חובב, אדווין גודווין, לחברי האסיפה הכללית של מדינת אינדיאנה שבארה”ב. הוא דיווח להם שהצליח לפתור את חידת “ריבוע המעגל” המפורסמת. הפתרון של גודווין היה פשוט למדי: הוא החליט שערכו של פיי הוא3.2 וזהו. כשערכו של פיי ברור וידוע, אין כל בעיה לשרטט ריבוע בעל שטח זהה לזה של מעגל: מחשבים את ריבוע הרדיוס של המעגל ומכפילים ב-3.2.
גודווין הציע לעגן בחוקי מדינה את הפתרון שלו. חברי האסיפה הכללית של אינדיאנה העבירו את הצעת החוק לוועדה לתכנון תעלות השקיה (בחירה ברורה והגיונית), שלחבריה היה מספיק שכל בקודקודיהם כדי להעביר את העניין אל ועדת החינוך. הוועדה לא מצאה כל סיבה להתנגד לקביעת ערכו של פיי, שכן “ערכו הנוכחי הוא כה מסובך ונפתל, עד שאינו שימושי כלל וכלל”. משם עלתה הצעת החוק אל האסיפה הכללית של המדינה, ועברה פה אחד באפס מתנגדים. או אז הועברה הצעת החוק מעלה, לסנאט של אינדיאנה, לאישור סופי לפני הכנסתה לספר החוקים של המדינה.
בליל ההצבעה על אישור החוק, הזדמן לבניין הסנאט פרופסור קלארנס וואלדו, מתמטיקאי מקצועי מהאוניברסיטה המקומית, שהגיע כדי להשגיח באופן אישי על תקציב המוסד שלו. מישהו תחב לידיו את הצעת החוק והציע לו לגשת ולברך את הממציא בר המזל. וואלדו קרא את הצעת החוק, הבין כי מדובר בשטות גמורה וברגע האחרון הצליח לשכנע את חברי הסנאט לגנוז את הרעיון המטופש.
אי-רציונלי וטרנסנדנטלי
המסמר הראשון בארון המתים של חידת ריבוע המעגל ננעץ בשנת 1761 כאשר יוהאן למברט – מתמטיקאי שוויצרי פורה, שתרם רבות לתחומי האסטרונומיה והאופטיקה – הצליח להוכיח כי פיי אינו מספר רציונלי. מספר רציונלי הוא מספר, שניתן לייצג כשבר. למשל, חמש שמיניות או רבע. אם לא ניתן לכתוב את פיי כשבר, כפי שהוכיח למברט, אזי הוא אינסופי: הספרות אחרי הנקודה ממשיכות וממשיכות עד לאין קץ.
תעודת הפטירה לחידת ריבוע המעגל הגיעה כמאה שנים מאוחר יותר, בשנת 1882, כשהמתמטיקאי הגרמני פרדיננד פון–לינדמן הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטלי. מספר טרנסצנדנטלי הוא מספר שאי אפשר להגיע אליו בשיטות המקובלות של חיבור, חיסור, כפל או חילוק. משמע, אי אפשר לקחת מספר כלשהו וממנו להגיע, באמצעות חישוב, לערכו האמיתי של פיי. המשמעות העמוקה יותר היא שלא ניתן להגדיר את ערכו האמיתי של פיי. נתאמץ ככל שנרצה, נזיע על המחברות ונגלה נוסחאות חדשות – לעולם לא נגיע לערכו המספרי האמיתי של פיי, פשוט מכיוון שאין אנו יכולים להגדיר כזה.
אבל יש עוד סוג של חוקרי פיי, שלוקחים אותו למקום אחר. הם נקראים “פייפולוגים” והם מתחרים זה בזה בשינון ערכו של פיי עד למספר הספרות המרבי. השיא העולמי, נכון להיום, שייך ליפאני, אשר זוכר בעל פה את ערכו של פיי עד100 אלף ספרות אחרי הנקודה. הפיזיקאי היהודי האמריקני הנודע, ריצ'רד פיינמן, הבחין בעובדה, שאי שם במקום ה-762 אחרי הנקודה נמצא רצף של שש תשיעיות בזו אחר זו. באחת מההרצאות שלו, סיפר פיינמן שהוא מעוניין ללמוד בעל פה את כל הספרות, עד למקום ה-762, רק כדי שיוכל לקרוא אותן בקול ואז לסיים ב”תשע–תשע–תשע–תשע–תשע–תשע”. הומור מיוחד יש להם, לפיזיקאים.
הכתבה המלאה התפרסמה בגיליון נובמבר של “אודיסאה – מסע בין רעיונות”
רן לוי הוא סופר מדע ומגיש את הפודקאסט 'עושים היסטוריה!', על מדע, טכנולוגיה והיסטוריה
עוד בנושא באתר הידען
18 תגובות
העניין הוא שפיי הוא בסה”כ מספר טרנסצנטנטלי ובמספרים כאלה משתמשים המון. אם אני מצייר מרובע שאורך צלעו 1 (ביחידות מסוימות) אז כבר ציירתי קטע בעל אורך טרנצסנטנטלי בעל אורך שורש 2 שהוא האלכסון. בלי לעשות דבר. ולכן אין שום דבר בעייתי בפיי מלבד העובדה שהקדמונים לא הבינו כי קיימים מספרים שאינם שברים שלמים.
מיכאל, אל תכנס לשם.
מה הקשקוש הזה?
אתה יכול להביא קישור כדי שנראה מה קראת ולא הבנת?
היות ומוסכם שפאי הוא שמו של מספר היחס בין היקף המעגל וקוטרו,
והיות שהיקף המעגל וקוטרו מהווים צירוף מידות אורך טבעי,
כל מה שאנו יודעים על צירוף המידות הזה, מסתכם בידיעה יחידה
ההיקף גדול מהקוטר
הבחנה זו מונעת כל אפשרות של ידיעת מספר היחס בין ההיקף לקוטר.
א.עצבר
הערה: נושא זה נדון בהרחבה בפורום מתמטיקה.
חידת השטח זהה של ריבוע ועיגול. פתרון: חוט קשור.
גם מעריך אקספוננציאלי הוא מספר אינסופי בערך 2.71
אני לא יודע מתי פיינמן אמר זאת, אבל הציטוט בערך קצת מטעה – מה שפיינמן באמת אמר הוא שהוא רוצה לסיים ב"תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע וכן הלאה" (And so on), מה שאומר שמכאן והלאה המספר ממשיך עם תשע בלבד, ולכן הוא רציונלי. איכשהו נראה לי שבדיחה מסוג זה (שדורשת ידע מתמטי מסויים כדי להבין אותה) מתאימה יותר לפיינמן מאשר אזכור לא ברור של הביטלס.
רוב הסיכויים שאין קשר להומור של פיזיקאים, בהנחה וזה נאמר אחרי שנת שישים ושמונה זאת כנראה התייחסות לקטע Revolution 9 של הביטלס.
הכתבה בת למעלה משנה:
http://www.ynet.co.il/articles/0,7340,L-3630050,00.html
אופס. לא יוחאי. פרקליטו של השטן, כמובן.
יוחאי – ודאי שאני מבין. לכן אני מקווה שתסמוך עלי בכך שאם למרות ההבנה הזו אני סבור שמדובר בנקודה עקרונית ומהותית ולא ב"קטנות", יש מאחורי זה משהו.
במקרה זה, אני מצביע על כך שהפריזמה שדרכה רן מסתכל על כל מושג ה"מוגדר" וה"ניתן לחישוב" היא לא רלוונטית ולא מהותית. רן הרי מגביל באופן מאוד, מאוד שרירותי את משמעות החישוב והייצוג של מספר (הוא מרשה רק הפעלה סופית של ארבע פעולות החשבון ותובע שהמספר יהיה כתוב בשלמותו על נייר) ואין מאחורי המגבלות הללו שום הגיון או טעם אלא אם מסתכלים בפריזמה של אדם מוגבל שחי חיים מוגבלים, ואז נכנס לתמונה הראשוני המפלצתי שנתתי, שהוא עוד פחות ברור מאשר פאי.
לגופו של עניין פאי מוגדר יופי וניתן יופי לחישוב. כל ספרה שרק נרצה של פאי, נוכל לדעת מהי לאחר זמן סופי – בדיוק כמו שכל מספר "אמיתי" שנכתב על נייר, המשמעות של כך לגבינו היא שנוכל לדעת כל ספרה שלו אחרי זמן סופי (הרי איננו יכולים "לתפוס בשלמותו" מספר טבעי עצום, גם אם כולו כתוב על נייר). לטעמי אין הבדל מהותי בין המספרים בנקודה הזו, מה שאומר שאני לא מסכים עם *הנקודה העקרונית המרכזית* שרן מציג במאמר (מבחינה מתמטית מה שהוא כותב פשוט שגוי – הנימוק שלו מדוע לא ניתן לרבע את המעגל אינו נכון – אבל על טעויות שכאלו קל יותר לסלוח).
אני מאוד מעריך את רן ואת הנסיון שלו להעביר את הידע לחתך גדול ככל הניתן של הציבור. מרבית המאמר הזה אכן עושה את העבודה הזו היטב. הבעיה מתחילה כשהמאמר מנסה לעשות משהו מעבר להעברת הידע – להמציא לידע הזה פרשנויות ומשמעויות שלא קיימות. זה משהו שלא נכון ולא כדאי להעביר לציבור. אפשר להסתפק בפפירוס רינד ובחוק פאי של אינדיאנה.
יוחאי
איך מציירים צלע שאורכה פאי? מתי בדיוק אתה מרים את העיפרון מהדף?
הערכה של רדיוס היקום היא כ- 10 בחזקת 26 מטר. אם המכשירים שלנו כיום יכולים למדוד עד אנגסטרם, יש צורך בכ- 36 אחרי הנקודה כדי להעריך כמה אנגסטרם מקיפים את היקום. אם נניח שהמכשירים קצת טובים מזה, והיקום קצת גדול, אז 39 זה מספר סביר.
יוכי: נכון, המספר המזערי זה הכי טוב שאנחנו יודעים למדוד והמירבי זה ההערכה הכי טובה שיש לנו לגודל היקום.
גדי, אתה קצת מתעסק בקטנות, המספר הראשוני ה… שאתה מתאר, לא נוכל לכתוב מסיבות טכניות, נוכל לעומת זאת לדקלם אותו אם נחיה מספיק זמן, את פאי לא נוכל לכתוב מסיבות קונספטואליות, אתה בוודאי מבין את זה. גם אם הקוף הראשון שלמד לדבר היה מתחיל להקריא את המספר והאדם האחרון שהיה מת באפוקליפסה היה מסיים זה לא היה ולו שבריר מהמספר. אבל שוב, אני משוכנע שאתה מבין. בקשר לניסוחים: לפי ההתרשמות (החיובית) שלי מהבלוג של רן, המטרה שלו (כאמור, לדעתי) היא להעביר את הידע לחתך כמה שיותר גדול של הציבור ולא רק לאנשים מהתחום שכבר מבינים וכנראה יודעים את זה, הדרך בה מנסחים עבור הקהלים השונים היא אחרת.
ההתפסות לניסוחים עדינים ו"לקטנות" לא תעזור להעביר את הידע לציבור רחב.
דווקא אין שום בעיה לכתוב את פיי במלואו על דף נייר, ועשיתי זאת פעמים רבות.
אני מצטרף לגדי בהתקוממות, אבל אני קצת יותר בוטה.
המאמר מלא באי דיוקים שאינם קטנוניות מתמטית, אלא מעידים על חוסר הבנה.
-"אם לא ניתן לכתוב את פיי כשבר, כפי שהוכיח למברט, אזי הוא אינסופי: הספרות אחרי הנקודה ממשיכות וממשיכות עד לאין קץ." זה נכון גם למספרים רציונלים, כמו שליש.
-"לצורך הדגמה, אם היינו רוצים לחשב את היקפו של עיגול, שמקיף את היקום כולו, די היה בדיוק של פיי עד הספרה ה-39 אחרי הנקודה". איזה משמעות יש למשפט הזה? למה 39? מהו גודל היקום?
– קל מאוד לצייר ריבוע ששטחו כשטח של מעגל. פשוט מציירים ריבוע שצלעו באורך שורש פיי. רק שאי אפשר לעשות את זה עם סרגל ומחוגה.
לגבי בעיית ריבוע המעגל, מדובר בבעיה מעט סבוכה יותר ממה שמתואר. מדובר בבניה שבה מותר להשתמש רק במחוגה וסרגל (כזה שמצייר קווים ישרים, אבל אי אפשר למדוד מרחק בעזרתו). בעיה קשורה היא חלוקת זווית ל3 חלקים שווים. למרות שלא מעורבים פה מספרים טרנסצנדטליים, כבר הוכח שזו בנייה בלתי אפשרי.
לצערי אני חייב להתקומם כאן – האמירה "לעולם לא נגיע לערכו המספרי האמיתי של פיי, פשוט מכיוון שאין אנו יכולים להגדיר כזה" היא פשוט שגויה; שימוש שגוי במילה "להגדיר". להגדיר את הערך המספרי האמיתי של פי אפשר ללא קושי. בנוגע ל"הגעה" – מושג שאינו ברור לגמרי – זה אולי נכון שלעולם לא יעלה בידינו לכתוב את פאי במלואו על דף נייר, אך גם את המספר הראשוני הגוגלפלקסי במספרו לא נוכל לכתוב על נייר כי אין מספיק אטומים ביקום (אבל לא נראה לי שיש ויכוח על כך שלמספרים הטבעיים יש "ערך מספרי אמיתי").
עוד ניטפוק: "מספר טרנסצנדנטלי הוא מספר שאי אפשר להגיע אליו בשיטות המקובלות של חיבור, חיסור, כפל או חילוק." – הגדרה זו גם לא שלמה (כי היא לא אומרת מאיפה "מתחילים" את נסיון ההגעה), וגם מתארת מספר אי רציונלי, אם מניחים את ההנחה הסבירה שמתחילים ממספרים טבעיים – כלומר, זה לא תיאור של תכונת הטרנסצנדנטליות (גם לשורש 2 האלגברי אי אפשר להגיע עם חיבור, חיסור, כפל או חילוק אם מתחילים מהטבעיים). לצערי כבר הצבעתי בעבר על הטעות הזו כשקראתי את המאמר במקום אחר והיא טרם תוקנה.
בדוגמה שלך על מספר הספרות הדרוש לידיעת פי כדי להקיף את היקום אתה צריך לציין גם את המידה המזערית – למשל שתוכל להבחין בכדורגל. הדיוק הוא מספר יחסי בין הגודל המירבי והגודל המזערי.
http://www.smbc-comics.com/index.php?db=comics&id=1809