לוויינים רואים בכוכבים – חלק ב’

אחת הבעיות בשיגור לוויין לחלל היא בעיית הניווט המיידי – כלומר, בעיית מציאת המיקום והכיוון של לוויין המרחף אי-שם מעל השמיים בזמן אמת. הכוכבים יכולים להיות הפתרון – חלק ב’

ערן גלילי, גלילאו

לחלק א’: הנתונים הדרושים ללוויין

התנועות הלא-עצמיות והעצמיות של הכוכבים הן אמנם חלק חיוני מתהליך הערכת המקום שבו לוויין אמור לחפש כוכבים, אך גם המודל הפיזיקלי המתוחכם ביותר הוא חסר תועלת בלא נתוני בסיס. מה צריך להכיל בסיס הנתונים של הלוויין, על מנת שיוכל “לחפש” את הכוכבים במקום הנכון?

ראשית, על מאגר הנתונים לכלול מיקומי כוכבים בשמיים. מיקומי כוכבים מתוארים לרוב באמצעות מערכת קואורדינטות כדורית – שבה לכל נקודה P במרחב תלת-ממדי יש 3 קואורדינטות: r (המרחק בין הראשית, O, לנקודה P), זווית “אנכית”, θ (הזווית בין הישר OP לציר האנכי z) וזווית “אופקית”, φ (הזווית בין היטל הישר OP על המישור האופקי, xy, ובין ציר ה-x).

מאחר שמטרתנו היא התבוננות בכוכבים, אפשר לפשט את המערכת הזאת. כאשר אנו מסתכלים לשמיים, למעשה אנחנו רואים מעין “יריעה” שחורה, שעליה נקודות אור לבנות – כוכבים. אם נרחיב את יריעת הכוכבים הזאת כפי שיראו אותה מתבוננים באוסטרליה, בברזיל וביפן – מסביב לכדור-הארץ – נקבל מעטפת כדורית המקיפה את כדור-הארץ ועליה “מצוירות” נקודות המייצגות כוכבים. מעטפת זו נקראת הכדור השמימי, ובאמצעותה נוכל לקבוע את מיקומי הכוכבים.

הזיהוי מתבצע באמצעות 3 אלגוריתמים שונים, אשר כל אחד מהם מתבסס על השוואת המרחקים הזוויתיים בין הכוכבים, אין מזהים את הכוכבים בדומה למערכת הקואורדינטות הכדוריות, נשתמש בשתי זוויות, אך לא במרחק – משום שכל הנקודות המצוירות על הכדור השמימי נמצאות במרחק זהה ממרכז כדור-הארץ! הזוויות יימדדו ביחס למישורי ייחוס קבועים – הזווית θ, הנקראת נטייה או declination, ביחס להיטל של קו המשווה של כדור-הארץ על הכדור השמימי, והזווית φ, הנקראת עלייה ישרה או right ascention, ביחס להיטל של קו הרוחב של גריניץ’.

אך מיקום הכוכבים לבדו אינו מספיק. הרי הראינו כי מיקום הכוכבים בשמיים משתנה בכל רגע! אם כן, יש להוסיף לנתוני המיקום את נקודת הזמן, או המועד, שבו נצפה הכוכב. ייצוג התאריך בצורה שאליה אנחנו רגילים – שנה, חודש, יום, שעה, דקה ושנייה – הוא בעייתי, משום שהוא דורש 6 שדות מספרים במאגר הנתונים. לכן, אסטרופיזיקאים משתמשים בשיטת הזמן היוליאני (Julian Time) – שיטה שבה התאריך מיוצג על-ידי מספר הימים שעברו מ-12 בצהריים ביום שני, ה-1 בינואר, 4713 לפנה”ס. לדוגמא, הכרזת העצמאות של ישראל (15.5.1948, בשעה 4 אחר הצהריים) התרחשה בזמן היוליאני 2432686.16667 (המספר אינו שלם משום שהשעה אינה 12 בצהריים), והתאריך 1.1.2000, בשעה 12 בצהריים (המסומן גם כ-J2000, ומהווה בסיס לקטלוגים אסטרופיזיקליים רבים) מקביל לזמן היוליאני 2451545.0.

נוסף על המיקום והזמן, על מאגר הנתונים להכיל גם נתונים שיאפשרו לנו להעריך את השינויים המתחוללים במיקום הנראה של הכוכבים עקב תנועה עצמית ולא-עצמית, כפי שתיארנו. עבור אברציה, נתוני המיקום והזמן ביחד מספיקים; עבור פרלקסה, יש להוסיף גם את המרחק לכוכבים; ועבור תנועה עצמית – יש להוסיף את הערכת המהירויות שבהן נעים הכוכבים בשמיים.

הקטלוג

מאגר הנתונים שבו בחרנו להשתמש עבור הסימולציות שלנו הוא קטלוג הכוכבים טיכו-2 (Tycho-2, על שם האסטרונום טיכו בראהה). קטלוג זה הוא תוצאה של ניתוח מעמיק של תוצאות תצפיותיו של הלוויין היפרכוס (Hipparcos), ששוגר לחלל בשנת 1989. בקטלוג מופיעים כ-2.5 מיליון כוכבים, ונתונים מפורטים ומדויקים עבור רובם, הממלאים את כל הדרישות שלנו. הקטלוג מסונכרן לתאריך “J2000” – כלומר, נתוני הכוכבים בקטלוג חושבו כך שיתאימו לתצפיות שנערכו ב-1.1.2000, בשעה 12 בצהריים.

אלגוריתם השרשרת משמש לזיהוי ראשוני של כמה כוכבים עבור אלגוריתם ההשוואה. לאחר הזיהוי הראשוני, נשתמש באלגוריתם ההשוואה כדי לזהות את שאר הכוכבים ואולם, עבור המעבדים החלשים-יחסית הנמצאים בלוויינים, התמודדות עם כמות כה גדולה של כוכבים איננה עניין של מה-בכך. לכן חולקו הכדור השמימי והקטלוג לכמה אזורים, ופעולת הזיהוי – לשני שלבים: ראשית, על הלוויין להעריך בצורה גסה את האזור בשמיים שבו הוא מתבונן (בעזרת מערכות זולות ופשוטות), ואז אפשר לצמצם את מאגר הכוכבים לאלו הנמצאים באזור זה בלבד (או, במקרים קיצוניים, באזורים הסובבים אותו), ולהפעיל את שיטת הניווט המדויקת בצורה מהירה ויעילה יותר.

זיהוי הכוכבים

כעת, אחרי בניית מאגר הנתונים המתאים, אפשר סוף-סוף לגשת למלאכת זיהוי הכוכבים עצמה. הזיהוי מתבצע באמצעות 3 אלגוריתמים שונים, אשר כל אחד מהם מתבסס על השוואת המרחקים הזוויתיים בין הכוכבים. מרחק זוויתי הוא גודל הזווית המפרידה בין 2 כוכבים על הכדור השמימי; באיור הקואורדינטות הכדוריות שלמעלה, למשל, גודלה של הזווית POQ הוא המרחק הזוויתי בין נקודה P לנקודה Q.

האלגוריתם הראשון שבו השתמשנו נקרא אלגוריתם השרשרת, והוא מבוסס על מאמר של קרייג ל. קול (Cole) וג’ון ל. קרסידיס (Crassidis). אלגוריתם זה הוא המהיר ביותר מבין השלושה, אך הוא פגיע מאוד לשגיאות, הן בגלל “היעלמות” של כוכבים (לדוגמא, אם הם מוסתרים על-ידי אסטרואידים), והן בגלל “היווצרות” של כוכבים “חדשים” (במקרה שהלוויין מזהה אסטרואידים אחרים ככוכבים).

אלגוריתם השרשרת מזהה בו-זמנית שרשרת של כוכבים, על פי המרחקים הזוויתיים ביניהם. האלגוריתם מתחיל בבחירה שרירותית של 2 כוכבים במרחב הקלט – כוכב 1 וכוכב 2, ומודד את המרחק הזוויתי ביניהם. נסמן מרחק זה ב-D1. כעת האלגוריתם בוחר כוכב נוסף – כוכב 3 – ומודד את המרחק הזוויתי בינו לבין כוכב 2. נסמן מרחק זה ב-D2. כעת יש לאלגוריתם “שרשרת” של כוכבים – כוכבים 1, 2 ו-3 – שהמרחקים בין איבריה הם D1 ו-D2. למעשה, שרשרת זו היא 2 “זוגות” כוכבים שהמרחקים הזוויתיים ביניהם ידועים (D1 ו-D2) ושיש להם כוכב משותף (כוכב 2).

האלגוריתם מחפש בקטלוג זוגות כוכבים כאלה בדיוק – שהמרחקים ביניהם הם D1 ו-D2, ושיש להם כוכב משותף. אם קיימת רק שרשרת אחת כזו, התבצע זיהוי מוצלח של 3 הכוכבים – אחרת, האלגוריתם מוסיף כוכב נוסף לשרשרת (כפי שהוסיף את כוכב 3), וחוזר על המדידה והחיפוש.

התמונה שלמעלה מדגימה את פעולת האלגוריתם, כאשר תמונת הקלט מוצגת בצד שמאל, ושאר התמונות הן תהליך הזיהוי הפועל על הכוכבים בקטלוג:

1. נמצאות כל ההתאמות בקטלוג למרחק בין זוג הכוכבים הראשון, D1.

2. נמצאות כל ההתאמות בקטלוג למרחק בין זוג הכוכבים השני, D2.

3. נפסלים כל זוגות הכוכבים בעלי מרחק D1 שאין להם כוכב משותף עם זוגות כוכבים בעלי מרחק D2; כך גם עבור זוגות כוכבים בעלי מרחק D2, שאין להם כוכב משותף עם זוגות כוכבים בעלי מרחק D1. עדיין אין התאמה אחת, אז…

4. נמצאות כל ההתאמות בקטלוג למרחק בין זוג הכוכבים השלישי.

5. שוב נפסלים זוגות הכוכבים שאין להם כוכב משותף, ונותרת שרשרת אחת בלבד של 4 כוכבים- זיהינו את כוכבי הקלט.
אלגוריתם השרשרת הממוקד ואלגוריתם ההשוואה

האלגוריתם השני שבו השתמשנו נקרא אלגוריתם השרשרת הממוקד, שהוא – כפי שמשתמע משמו – גרסה ממוקדת של אלגוריתם השרשרת. ההבדל הוא שבשיטה הממוקדת נבחר כוכב אחד שברצוננו לזהות, ונמדדים המרחקים בינו לבין כוכבים רבים אחרים. על פי עקרון ה”כוכב המשותף” שהשתמשנו בו באלגוריתם השרשרת, הכוכב המשותף לכל המרחקים המתאימים בקטלוג הוא הכוכב שנבחר.

אף על פי שהאלגוריתם הממוקד דורש כרגיל פחות השוואות מרחקים מאלגוריתם השרשרת הרגיל, הוא איטי יותר. הסיבה לכך היא שהוא מזהה כוכב אחד בלבד ולא שרשרת שלמה בבת-אחת. האלגוריתם השלישי שבו השתמשנו, אלגוריתם ההשוואה, מזהה גם הוא כוכב אחד בלבד, אך הוא כה מהיר ומדויק שהוא עדיף גם על אלגוריתם השרשרת הרגיל. יש לו חולשה אחת בלבד – אי-אפשר להשתמש בו לבדו!

הסיבה לכך, כפי שנראה בהמשך, היא שבאלגוריתם ההשוואה נעשה שימוש בכוכבים שכבר זיהינו כדי לזהות כוכבים נוספים, ולכן אם עדיין לא זיהינו שום כוכב – אי-אפשר להשתמש באלגוריתם זה!

בדומה לתמונה הקודמת, גם תמונה זו מתארת את האלגוריתם כאשר הקלט משמאל. אנחנו מניחים כי זיהינו כבר את הכוכב האדום והסגול, באמצעות אחד מאלגוריתמי השרשרת. מטרתנו – לזהות את הכוכב הירוק.

1. נמדד המרחק בין הכוכב הירוק לבין אחד הכוכבים שזיהינו – הכוכב הסגול, ונמצאים כל הזוגות בעלי המרחק המתאים בקטלוג. מאחר שאנחנו יודעים שהכוכב הירוק הוא בדיוק במרחק הנבחר מהכוכב הסגול, נסמן את הכוכבים במרחק הזה מהכוכב הסגול בקטלוג כהתאמות אפשריות.

2. מאחר שיש לנו יותר מהתאמה אחת (וכרגיל זה אכן המקרה), נצמצם את האפשרויות על-ידי השוואה עם הכוכב השני שכבר זיהינו – הכוכב האדום – באותה השיטה.

3. אחרי צמצום האפשרויות לכוכבים בעלי מרחק מתאים לכוכב הסגול וגם לכוכב האדום, נותרנו רק עם הכוכב הנכון.

אלגוריתם ההשוואה הוא המהיר מבין השלושה משום שהוא דורש מעט מאוד השוואות כדי להצליח – כרגיל 2 או 3 מספיקות. אלגוריתם השרשרת הממוקד דורש כ-5 השוואות, ואלגוריתם השרשרת הרגיל יכול לדרוש לפעמים עד 8 השוואות (אך כאשר הוא מצליח, הוא מזהה כוכבים רבים בו-זמנית!).

שילוב מנצח

לכל אחד משלושת האלגוריתמים שהזכרנו תפקיד משלו בסכמה הכללית של זיהוי הכוכבים. אלגוריתם השרשרת משמש לזיהוי ראשוני של כמה כוכבים עבור אלגוריתם ההשוואה. לאחר הזיהוי הראשוני, נשתמש באלגוריתם ההשוואה כדי לזהות את שאר הכוכבים.

כאשר אלגוריתם השרשרת הרגיל או אלגוריתם ההשוואה נתקלים בכוכב בעייתי (לדוגמא, חלק מזוג כוכבים שלמרחק ביניהם יש התאמות רבות בקטלוג), נשתמש באלגוריתם ההשוואה הממוקד כדי להתגבר על המכשלה.

טכניקת שילוב זו משתמשת בצדדים החזקים של כל אלגוריתם כדי להבטיח זיהוי מהיר ויעיל של כוכבים, ואכן, אחרי ביצוע סימולציות האלגוריתמים, הצליחו להגיע לאחוזי דיוק גבוהים מאוד (מעל 90%).

אחרי ביצוע הזיהוי, הניווט עצמו הוא עניין של מה-בכך: בדומה לאדם המסוגל לזהות כי מפה שהוא מחזיק הפוכה אחרי זיהוי בניינים המופיעים בה, כך גם הלוויין יכול להשתמש בפעולות אלגבריות פשוטות כדי להסיק מהי הזווית המדויקת שבה הוא מכוון, בצורה מהירה, פשוטה, וחשוב מכל – בלא כל תלות בבני-האדם שעל הקרקע.

ערן גלילי הוא תלמיד מחקר במחלקה למתמטיקה באוניברסיטת בר-אילן.