סגנו של הנסיך

על חייו ופעלו של המתמטיקאי בן המאה ה-19 גיאורד פרידריך ברנהארד רימן 

גיאורג פרידריך ברנהארד רימן נולד בשנת 1826 בכפר קטן סמוך לעיר האנובר, בן לכומר לותרני עני ולא ממש צעיר. במאה ה19 אירופה היתה חזק מאוד בענייני העיור, והמהפכה התעשייתית. העניים המשיכו להיות עניים, רק גרו באזורים יותר צפופים. המחלה  הטרנדית ביותר בשכונות העוני באירופה היתה שחפת, כל המי ומי של אצולת העוני של אירופה חלה בשחפת אם לא איבדת ילד או שנים לשחפת, לא היית עני. אחד מכל חמישה חולים בבריטניה, אחד מכל שישה בצרפת, ממש היפר אינפלציה של שחפת. בסטנדרטים האלה משפחת רימן היתה בעשירון העליון.

אמו, ושלושת אחיותיו של גיאורג פרידריך ברנהארד מתו משחפת עוד כשהיה צעיר, נשארו אבא ושלושה ילדים, בנים, בלי אף אחד שיודע לבשל, לעשות כביסה או להתנהל בחיים. בהתאם לכך, אל תסמכו על אבא רימן שידע מתי לרשום את הבן לבית הספר. הוא פשוט לימד את הבן בבית. הבעיה היתה שהבן הצטיין במתמטיקה. תוך דקה וחצי בערך ברנהרד למד את כל מה שיכול אביו ללמדו. שולץ , מנהל בית הספר הקרוב, היה הבא בתור. זה הספיק עד גיל 10. במקום לשלוח את הבן לעבוד כשוליה לאינסטלטור ולשים קצת אוכל על השולחן המשפחתי, אבא רימן שלח אותו להאנובר לגור אצל הסבתא וללמוד בחטיבת ביניים – ליסאום. אולי פרידריך ברנהרד היה מעדיף לעבוד. הוא היה ילד מופנם, שקט, עם פחד במה לא נורמלי, והילדים בבית הספר לא הקלו עליו. הוא למד מערכת שעות קלאסית שהכילה שיעורים בעברית, יוונית, תנ”ך וכאלה דברים. נרשם כתלמיד טוב , אבל לא מצטיין במיוחד. שנתים אחר כך, סבתא מתה, רימן הצעיר עובר לבית הספר התיכון – גימנזיום.

תלמיד שקט מופנם, לא מדבר, לא מצטיין, לא בעייתי. צריך להתאמץ כדי להבחין בקיומו בין 381 התלמידים הרשומים. מנהל בית הספר, קונסטנטין שמלפוס דוקא הבחין. בצירוף מקרים מדהים הוא היה המנהל היחיד אי פעם בכל תולדות בית הספר שבא מתחום המתמטיקה ולמד אותה באוניברסיטה ולא במנזר, הוא הטריח את עצמו לשאול את רימן על תחומי העניין שלו וכששמע, נתן לו להשתעשע בספרים מתמטיים די קשים. רימן אכל אותם בלי מלח ואז ביקש עוד קצת. האגדה המפורסמת ביותר על תיאבונו של רימן למתמטיקה נוגעת לספרו עב הכרס של לג’נדר על תורת המספרים ולכך שרימן סיים את 900 עמודי הספר בפחות משבוע. שמלפוס גם מתאר את התענוג הרב שהיה לו בשיחותיו המתמטיות עם התלמיד רימן. הוא מציין את נועם הליכותיו, את קולו הנעים ומזגו השמח. רימן המופנם הפך למשהו אחר כשדיברו איתו נכון. שמלפוס גם ציין ביומניו שהוא למד מרימן הרבה יותר ממה שרימן למד ממנו.

עכשיו כבר היה ברור שיש פה כישרון ושהוא מרוכז במתמטיקה. לצערו של שמלפוס, הפרפקציוניזם המטורף של רימן גרם לו לא להגיש עבודות אלא אם כן היו מושלמות. זה גרם לו לאחר בחודשים שלמים במסירת עבודות בשאר המקצועות והוא עמד לצאת מהתיכון ללא תעודת בגרות. כאן נכנס לתמונה ד”ר גוסטב היינריך שפר. המורה הצעיר לעברית. שפר, בעצה אחת עם שמלפוס, לקח את רימן לגור בביתו, ישב איתו עד השעות הקטנות של הלילה והשגיח עליו עד שסיים את עבודותיו. רימן אף עזר לשפר לכתוב את ספר לימוד העברית שילמד בכל בתי הספר הלותרניים באיזור. היכרותם המעמיקה של השנים גררה אחריה את האבחנה המדהימה של שפר שהבחור הזה לא הולך להצליח עם נשים ושהוא פשוט מקסים. רימן, אם כן, יוצא עם תעודת בגרות מצוינת אך ורק תודות לקונסטנטין שמלפוס. מכאן לאוניברסיטה.

מתמטיקה לא שמה אוכל על שולחנו של אף אחד אלא אם כן יש לך איזה פטרון עשיר. הדרך היחידה בה רימן יכול להמשיך ללמוד היא להיות איש דת. האבא רימן, לא ברור מאיפה, אולי מהשוק האפור, מצליח לגייס מספיק כסף כדי לשלוח את הבן לאוניברסיטת גטינגן ללמוד תיאולוגיה.

השנה היא 1846 וגטינגן היא עדין סתם מקום. ואז הגיע הנסיך לגטינגן והפך אותה בן לילה לאחת האוניברסיטאות המובילות בעולם. מי זה הנסיך? זה גאוס.

במשפט אחד נאמר שהוא היה התאום הרשע של רימן. כמו רימן הוא היה מופנם, לא אהב לדבר בפומבי , בא ממשפחה עניה והיה מוכשר כמו שד במתמטיקה. כאן נגמר הדמיון. במקום אב תומך ואוהב גאוס קיבל אב שהתעקש על כך שיהיה פועל בנין על אף פניות חוזרות ונשנות של מוריו של גאוס שהפצירו בו לשלוח את הילד ללמוד מתמטיקה. גאוס לא היה טיפוס ביישן במובן המקובל של המילה, תיאור יותר טוב שלו יהיה שונא אדם. בזמן שלא היה שונא אדם היה רודף שמלות. בניגוד לצניעותו האמיתית של רימן, גאוס היה יהיר מתנשא ושחצן, לזכותו של גאוס יש לומר שהיו לו קבלות מפה ועד הירח לכיסוי השחצנות הבלתי נסבלת שלו. הקבלות האלה, בתחומי תורת החבורות, האנליזה המרוכבת והפיזיקה הביאו לו בצדק את הכינוי נסיך המתמטיקאים.

רימן, אם כן, מגיע ב 1846 לגטינגן ללמוד תיאולוגיה ושומע כמה הרצאות מפי הנסיך, שהיה מרצה זוועתי במיוחד. לרימן זה לא מפריע, הוא תופס הכל בלי בעיה. רימן האב מסכים, לאחר סמסטר אחד, לשחרר את בנו מסד התאולוגיה ורימן נכנס בכל הכח במתמטיקה. גאוס, לא ראה אותו ממטר. מי שכן הבחין בו היה מוריץ אברהם שטרן, שהיה הפרופסור היהודי הראשון באיזשהי אוניברסיטה גרמנית. הוא שם לב היטב לכשרון שיש לו בידים, וגם הבין שהבחור ביישן מאוד ולא ידבר מיוזמתו על פיתוח הקריירה שלו. הוא שלח את רימן הצעיר לברלין. בברלין רימן מפתח יחסים עם כמה קולגות, וקושר ידידות אמיתית עם יוהן פיטר גוסטב דריכלה.

דריכלה חולק עם רימן את שיטת העבודה שלו. הדבר הראשון הוא להבהיר לעצמך באופן אינטואיטיבי מה אתה רוצה להוכיח, אחר כך בצע ניתוח לוגי פשוט ומדויק של שאלות היסוד של הבעיה שלך והכי חשוב הימנע בכל מחיר מכניסה לחישובים ארוכים. התוצאה, מתמטיקה אלגנטית, קצרה ופשוטה לבדיקה.

1849, רימן חוזר לגטינגן לעשות את הדוקטורט שלו אצל הנסיך. הדוקטורט נפלא, רימן לוקח את המושגים של פונקציות מרוכבות שפיתחו קושי וגאוס לפניו, נפטר מהחישובים המסובכים וטורי החזקות והנחיל לענף הזה של המתמטיקה אלגנטיות נפלאה. עבודת הדוקטורט זה יופי, אבל מה עם קרירה אקדמית? בשביל להתקבל כמרצה ללא תשלום, הדרגה הנמוכה ביותר באוניברסיטה רימן נדרש להרצות בפני קהל שומעים על נושא שיבחר עבורו המנחה – גאוס. ולגאוס היו חשדות כבדים בקשר לגיאומטריה. כמה הגדרות, חמש אכסיומות ומהם נגזר הכל.

גאוס כתב כתב לחברו אולברס “אני נעשה יותר ויותר משוכנע כי אין דרך להוכיח את הצורך הפיזיקאלי בגאומטריה האוקלידית לפחות לא מכח הגיון האנושי. אולי בגלגול אחר נזכה לפלח במבטינו את טיבו של המרחב, שכיום אינינו יכולים להשיגו. עד אז עלינו להעמיד את הגאומטריה לא המחלקה אחת עם האריתמטיקה, שהיא א-פריורית לחלוטין, אלא עם המכניקה”

טוב, אני חושב שמגיע לכם הסבר קצר על מה רוצה גאוס מהחיים שלנו: נתחיל מהמושג “ידע אפריורי”.  ידע אפריורי כידע שאינו תלוי בנסיון שלנו, ידע שנובע אך ורק מהגדרות ומסקנות לוגיות מתוך ההגדרות האלה או ידע שנובע מאכסיומות. למשל “כל גודל שווה לעצמו” אנחנו לא בודקים את זה במציאות לפני שאנחנו מכריזים על זה כנכון, האכסיומה הזאת לא תלויה במציאות, היא תוצר של מחשבה טהורה. האריתמטיקה, לפי גאוס, היא אפריורית. מערכות המספרים, חוקי החיבור והכפל אינם תלויים במציאות. הם יצירי המחשבה האנושית וניתן לפתח אותם גם אם איננו רואים או שומעים כלום. הגיאומטריה, כך חושד גאוס, איננה אפריורית, למרות שהיא בנויה מאכסיומות הגדרות ומשפטים שנגזרים מהן. אין תצפיות, אין תחזיות, אין פה שום דבר פיזיקלי. אז למה גאוס חושב שגאומטריה היא חלק מהפיזיקה?

ובכן, ב 1826 , כשרימן רק נולד, גאוס נתן את אחת ההברקות המשמעותיות ביותר בקרירה שלו. גאוס הכניס לעולם המתמטיקה את מושג העקמומיות של משטח, הציע דרך למדוד עקמומיות בכל נקודה על המשטח, והכי חשוב, הוכיח את המשפט המדהים שלו (זה לא אני, ככה גאוס קרא לו: המשפט המדהים). מה שהמשפט המדהים אומר הוא שהעקמומיות בכל נקודה על משטח אינווריאנטית תחת איזומטריות.

כפי שאומרים אחי הצעירים בני דור האינטרנט WTF ? אסתפק רק בלהסביר את המשפט כך: נניח שאני יצור דו מימדי שחי על מישור דו מימדי. על מנת לדעת מהי העקמומיות של העולם הדו מימדי שלי, כל מה שאני צריך הוא לשרטט משולש ולמדוד את סכום הזויות. יותר מ 180 – עקמומיות חיובית, פחות מ 180, עקמומיות שלילית, בדיוק 180 – עקמומיות אפס. זהו. אני לא צריך לדעת כלום על היקום התלת מימדי שבחוץ כדי לחשב עקמומיות ולמען האמת, אם מחר צורת העולם התלת מימדי הזה תשתנה באופן שלא מעוות את המרחקים, אני לא אבחין בשום הבדל בעקמומיות אצלי. אם כך, הגיאומטריה האוקלידית מוכיחה שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות, כל משולש, בכל מקום ובכל זמן. זו לא טענה מתמטית. המשפט המדהים של גאוס מוכיח שהטענה הזאת היא פיזיקלית. היא נכונה רק אם העקמומיות של היקום שלנו היא אפס!. הוכחת המשפט הגיאומטרי על סכום זוויות במשולש נשענת על אכסיומת המקבילים, ולכן גילינו כאן שאכסיומת המקבילים היא בכלל לא אכסיומה. היא הנחה פיזיקלית על היקום.

כאן, קרוב כל כך לסוף הדרך, גאוס עצר. הוא לא העז להסיק את המסקנה המתבקשת. באותו מכתב של גאוס בו הוא מטיל ספק באפריוריות של הגאומטריה, הוא גם אומר שלעולם לא יפרסם את התוצאות שלו. מדוע בעצם? עשית את כל העבודה, הסיכוי לתהילת עולם לפניך, קיבלת רגלים קרות? אפשר לומר שגאוס היה שמרן, ונזהר מלבצע מהפכות וזו היתה חתיכת מהפכה פילוסופית מתמטית ופיזיקלית. אפשר גם לומר שגאוס חשש למעמד שכבר היה לו, הוא חשש מהתיגר שיקראו עליו מתמטיקאים אחרים, הוא חשש מכך שהם יוכיחו שהוא טועה – הוא, הנסיך. אולי גאוס הפרפקציוניסט לא רצה לפרסם שום דבר שלא היה מעל לכל הפרכה.

דאגות כאלה לא היו לרימן הצנוע. לא היו לו מוניטין גדולים מדי, ולא היתה לו בעיה להפוך דברים על פניהם, ד”ר שפר לימד אותו להגיש דברים גם אם לא היה בטוח שהם מושלמים.

10.6.1854. רימן נושא את הרצאת הדוקטורט הטובה ביותר שניתנה אי פעם.  כותרת ההרצאה של רימן “על ההשערות העומדות בבסיס הגאומטריה”.

בחלקה הראשון של ההרצאה רימן מגדיר את המסגרת המתמטית שלו. הוא מגדיר את המושג גודל, ואת המושג יריעה כאוסף סדור של גדלים. נשמע לכם מעורפל? ובכן, בעולם הדו מימדי ניתן לתאר כל נקודה בשתי קואורדינאטות X ו Y כלומר אוסף סדור של שני גדלים – מה שהופך את המישור ליריעה ממימד 2. באופן דומה ניתן לתאר את המרחב כיריעה ממימד 3 ואין מניעה מלדבר גם על יריעה ממימד 28 – זה פשוט אוסף סדור של 28 גדלים. עכשיו שיש לנו יריעות אנחנו יכולים להגדיר אורכים של קוים על היריעות האלה. כאן ניתקל בהשערה הראשונה שעומדת ביסודות הגיאומטריה והיא: אורך אינו מושפע ממיקום. אם נמדוד את אורכו של קו במקום מסוים על היריעה שלנו, ואז נזיז את הקו, האורך שלו לא ישתנה. רימן מראה שקיימות יריעות מכל מימד גדול מ 2 שבהן ההנחה הזאת על אי תלות של גודל במיקום אינה מתקיימת. ליריעות שבהן מתקיימת ההנחה על אי תלות רימן קורא “שטוחות”. הוא מדגים כיצד ניתן לבנות יריעה ממימד 3 שבה האורך של קו תלוי במיקום שלו ומראה באופן אלגנטי מאוד שבעצם הוא מדבר על עקמומיות – העקמומיות בנקודה שבה התחלת למדוד, והכיוון אליו התקדמנו הם אלה שיקבעו את האורך של הקו. אם העקמומיות קבועה וזהה בכל הכיוונים – באמת אין שום קשר בין אורך ומיקום. אם היריעה שלנו שטוחה, הגאומטריה האוקלידית עובדת יופי. הנחה ראשונה אם כן של הגאומטריה על מבנה היקום: היקום הוא יריעה עם עקמומיות קבועה.

עכשיו רימן מגיע להנחה השניה: הגאומטריה מניחה שכיוון גם הוא אינו תלוי במיקום. כלומר, אם ניקח קו שמצביע לכיוון מסוים ונזיז אותו בלי לסובב, הכיוון ישאר זהה. קל לראות איך על פני כדור – שהוא יריעה ממימד 3 עם עקמומיות קבועה אפשר לקחת קו שמצביע צפונה ולהזיז אותו בלי לסובב כך שנקבל קו שמצביע דרומה. רימן מראה שההנחה הזאת תקפה רק אם העקמומיות של היריעה היא אפס. כלומר, ההשערה של הגאומטריה האוקלידית לגבי מבנה היקום הוא שהוא יריעה תלת מימדית בעלת עקמומיות קבועה אפס. רימן מראה שזה כמו לומר שהיקום הוא בצורת גליל.

ההרצאה הסתיימה. שלוש או ארבע נוסחאות קצרות היו על הלוח. בלי חישובים מסובכים ובלי הסתבכויות מיותרות. הגאומטריה כבר לא היתה אפריורית. ההגדרות המובנות מאליהן הכילו בתוכן השערות על מבנה היקום. השערות שאף אחד לא הבטיח שהן נכונות. על מנת לאמת או להפריך אותן אנחנו צריכים לצאת החוצה, לעשות מדידות ולהבין שהגאומטריה היא בכלל ענף של הפיזיקה.

גאוס קם ואמר “הבנתי”. זו המחמאה הגדולה ביותר שיכול היה לקבל איזשהו בן אנוש מנסיך המתמטיקאים, זה אומר שהוא הקשיב.

אם תסרקו את רשימות המתמטיקאים הגדולים ביותר אי פעם תמצאו את גאוס תמיד בחמישיה הראשונה. רימן תמיד ידחק לעשיריה השניה או השלישית. אין דבר, הוא ממילא לא אהב תהילה וכבוד. הוא מת בגיל 39 משחפת, עני כמו אביו, ביישן וצנוע, אבל מוערך על ידי כל מי שהכיר אותו לא רק כמתמטיקאי גדול, אלא גם כאדם נעים ועדין. תודה לך קונסטנטין שמלפוס.

התמליל הנ”ל הוא חלק מפרק בפודקסט “ביוקאסט” באתר שלנו www.biocast.co.il ניתן לשמוע פרק זה וגם פרק נוסף העוסק כולו בהשערת רימן.