דו קרב גורלי

בלילה שלפני הדו-קרב שקיפד את חייו בגיל 20, ניסה אווריסט גלואה לפתח את תורת החבורות, שהיא השפה המתמטית של הסימטריה. מריו ליביו, מחבר הספר “שפת הסימטריה – המשוואה שלא נמצא לה פתרון” מספר בראיון לגלילאו על המתמטיקאים המתים צעירים, על חשיבותה של הסימטריה וגם על שבירתה

המאמר פורסם בגלילאו, מאי

כולנו זוכרים מבית הספר התיכון את הנוסחה למציאת שורשיה של משוואה ריבועית. ידוע לרבים במעומעם שיש נוסחאות דומות גם למציאת הפתרונות של משוואות במעלה שלישית ואף רביעית אבל אפילו המתמטיקאים הגדולים ביותר “נתקעו” במעלה החמישית כששם קצרה ידם.
משוואות אלה לא נפתרו במשך למעלה משלוש מאות שנה, עד ששני גאונים הוכיחו בנפרד שמשוואות מהמעלה החמישית אינן יכולות להיפתר באמצעות נוסחאות פשוטות. הגאונים הללו – נורווגי צעיר בשם נילס הנריק אבל וצרפתי בשם אוריסט גלואה, גילו זאת, ושניהם מתו מוות טראגי. גלואה, למעשה, בילה את הלילה האחרון לפני הדו-קרב הקטלני (בגיל 20) בכתיבת תקציר של ההוכחה שלו, תוך שהוא כותב בשולים מדי פעם “אין לי זמן”. כמה מהמסתורין סביב מותו, נפתרים אף הם בספר, אחרי שנעלמו במשך 170 שנה.
עבודתו של גלאוה התוותה פתח לתחום המתמטי המכונה “תורת החבורות” ה”שפה” המתארת את הסימטריה. תורת החבורות מתארת משהו מהאסטטיקה של עולמנו, מהתאמת הקוביה ההונגרית, המוזיקה של באך ומוצארט, הפיסיקה של החלקיקים התת אטומיים והפופולריות של אנה קורניקובה.
“לא היה עד היום ספר מקיף פופולארי על תורת החבורות והיתה לזה סיבה, כי זה פשוט מאוד קשה. תורת החבורות זה אחד הענפים היותר מופשטים של המתמטיקה. ככל שהדברים יותר מופשטים כך קשה יותר להעביר אותם בצורה פופולרית ולכן זה היה אתגר מאוד רציני להתמודד עם החומר המסוים הזה ולהעביר אותו לספר פופולארי.” אומר מריו ליביו בראיון מיוחד שנתן לגלילאו בעת ביקור קצר שערך בארץ. ליביו, שבשנות השמונים מילא את אולם צ'רצ'יל בטכניון, אולם שבדרך כלל שימש להופעות, בהרצאות שלו בקורסי מבוא בפיסיקה לתואר ראשון. מזה כעשור הוא משמש בתפקידים שונים במכון המדעי של טלסקופ החלל, שבו יושבים מפעילי הטלסקופ והמפרשים של צילומיו. בין היתר שיש קדנציה כמנהל המדעי של המכון, וכיום הוא עוסק בתחום ההסברה. זהו ספרו השני של ליביו. ספרו הראשון – חיתוך הזבה הפך לרב מכר, גם במהדורה העברית שיצאה בהוצאת אריה ניר. אותה הוצאה מפרסמת כעת את הספר שפת הסימטריה – המשוואה שלא נמצא לה פתרון.
“המשוואה שלא נמצא לה פתרון היא החלק המרתק של הסיפור.” אומר ליביו. “תורת החבורות היא שפת הסימטריה, אבל הדרך לגילוי השפה הזו היתה קשה. הגיעו אליה מתוך ניסיון לפתור משוואה שאף אחד לא רצה לפתור. מכאן הגאונות של הגיבור של הסיפור, לואיס גלואה.
ביניים: מהי סימטריה
סימטריה של איזושהי מערכת זו תכונה של המערכת שכאשר אתה עושה משהו למערכת היא לא משתנה. אז אתה אומר שהמערכת סימטרית תחת הפעולה הזאת. לדוגמה, MADAM I'M ADAM הוא פלינדרום, אתה קורא אותו מהסוף, המשפט הזה הוא סימטרי תחת הפעולה הסצפיפית של קריאה מהסוף להתחלה. לעומת זאת אם אנחנו אומרים נניח שחוקי הטבע הם סימטריים תחת סיבובים למה אנחנו מתכוונים – לכך שחוקי הטבע לא תלויים בכיוון. הם לא תלויים אם אמדוד את הכיוונים ביחס לבניין הסמוך, ביחד לצפון וכו'. אם אקח את היקום ואסובב אותו, חוקי הטבע לא ישתנו.
סימטריה תחת העתקה. זו אותה סימטריה שרואים בחוקי הטבע – החוקים פה הם אותם כמו באלבמה וכמו בקצה השני של הגלקסיה. גם בבתים ישנה סימטריה במבנה הבית. יש סימטריה במבנה של הטפט שנמצא כאן בקפה (גלעד ודניאל, ברח' דיזינגוף בת”א, וניתן לראות מקטע ממנו ברקע התצלום של ליביו, א.ב.), בהרבה דברים יש סימטריה תחת העתקה וגם במוסיקה.

כל אדם שמתעסק בפיסיקה נתקל בתורת החבורות. הכי נתקלים בה אם עוסקים בפיסיקה של החלקיקים האלמנטרים או בפיסיקה של אנרגיות גבוהות אבל למעשה ברוב ענפי הפיסיקה, אנשים אפילו במקצוע שהוא די רחוק משלי – אנשים שמתעסקים בקריסטלוגרפיה, תכונות של גבישים – כל התיאור שם נעשה באמצעות תורת החבורות כי כל התחום הזה מורכב מסימטריות. התורות היסודיות של הפיסיקה בנויות על סימטריות ולכן הלשון שבה משתמשים היא תורת החבורות. רציתי להעביר בספר את המסר של החשיבות של הסימטריה ושל השפה שלה.
“נניח שהיה פה אדם קדמון לפני מיליון שנים. האדם הזה סובב את הראש, לא היו בניינים, לא היו מכוניות. היו עצים, חולות. האדם סובב את הראש וראה משהו סימטרי, מה זה היה, קרוב לודאי חיה אחרת. המוח שלו היה צריך להתפתח בצורה כזו שהוא יזהה סימטריות כאלה מהר וילמד אותן מהר. אם הוא לא היה לומד אותם זה היה עלול לעלות לו בחייו. זו אחת הסיבות לכך שהמוח שלנו עבר אבולוציה כזו שהוא מאוד רגיש לסימטריות. סיבה נוספת לכך שהמוח התפתח בצורה כזו היא בחירת בני זוג. לדוגמה – כאשר נקבת הטווס צריכה למצוא בן זוג, היא מחפשת בן זוג עם גנים חזקים. הדרך לזהות גנים חדשים היא שהיא מסתכלת על הזנב שלו. אם הזנב שלו לגמרי סימטרי היא יכולה להיות די בטוחה שיש לו גנים חזקים. הסיבה היא פשוטה. יש מיליוני טפילים של עופות. כשהטפילים הללו תוקפים את הטווס, הזנב שלו נהיה מדובלל ולא סימטרי. אם היא רואה את הזנב סימטרי, סימן שהזכר הספציפי הזה הצליח להשתלט על הפרזיטים, סימן שיש לו גנים חזקים. חשוב להבין שסימטריות ממלאות תפקיד מאוד חשוב לא רק בחוקי הפיסיקה – שלא כל האנשים מתעסקים יום יום בחוקי הפיסיקה אלא גם בתחומי חיים אחרים.זה לא מקרה שמוצארט או קומפוזיטורים אחרים יוצרים את הסימטריה הזאת במוסיקה שלהם. זה הסוג של הדברים שנותנים לנו הנאה. נותנים לנו גם נוחות.”

“אחת התכונות המרכזיות של היא הסגירות, אם אתה לוקח שני איברים של החבורה ומאחד אותם על ידי פעולת החבורה אתה מקבל עוד פעם איבר של החבורה. לדוגמה כל המספרים השלמים, עם פעולת חיבור אריתמטי פשוט מהווים חבורה. אם אתה לוקח מספר שלם ומוסיף לו עוד מספר שלם, אתה מקבל גם מספר שלם. לקחת איבר אחד של החבורה והפעלת עליו את הפעולה עם איבר אחר של החבורה, קיבלת איבר שלישי של החבורה.”
“מה יש בסימטריה שנותן לה את העניין הזה של סגירות. אם אתה מסתכל על אוסף כל הסימטריות של איזושהי מערכת, אוסף כל הסימטריות של המערכת תמיד מהוות חבורה. איך אני יכול להראות את הסגירות. ניקח את הפעולה שעושים משהו אחרי משהו אחר. נניח שיש לי פעולה אחת שהמערכת סימטרית לגביה. אם יש לך מערכת ויש לה סימטריה איזושהי, זה אומר שכמבצעים את הפעולה על המערכת היא לא משתנה. למשל אם אתה לוקח פתית שלג ואתה מסובב אותו בשישים מעלות סביב המרכז שלו הוא נשאר אותו הדבר. זאת סימטריה של פתית השלג. אם אני מסובב את פתית השלג ב-120 מעלות הוא גם נשאר אותו הדבר. נבצע את הפעולות בזו אחר זו. נסובב אותה בשישים מעלות ואחרי זה ב-120 מעלות. סובבנו אותו ב-180 מעלות וגם אז הוא נשאר אותו פתית. זו היתה הגאוניות של גאלואה, להבין שהחבורות הללו פתאום מתארות את כל הסימטריות.”

ביניים: שבירת הסימטריה
ואולם, למרות כל מה שנאמר, הטבע אינו סימטרי. אילו היה סימטרי לחלוטין, לא היה מקום למורכבות. וכאן ליביו מספק דוגמה מהתחום הקרוב לליבו: “אם למשל מספר החלקיקים ביקום היה זהה בדיוק למספר האנטי חלקיקים ביקום הם כולם היו עושים אנהילציה אחד עם השני, כלומר מתאיינים לא היה נשאר כלום ולא היינו נשארים לדבר על זה. יש שבירה מזערית – חלק אחד משלושה מיליארד, היו מעט חלקיקים יותר מאשר אנטי חלקיקים. כל החלקיקים והאנטי חלקיקים הרסו אחד את השני ומה שנשאר זה החלק המזערי – אחד מתוך 3 מיליארד. זה יוצר את כל החומר הבריוני שאנחנו רואים ביקום.”
גם הסימטריה של גוף האדם וגופם של בעלי איננה סימטרית וברור שאם חוצים את הפנים בתמונה ומשכפלים לשם את החצי השני, לא מקבלים את אותו הפרצוף בדיוק. פנים הגוף בוודאי אינו סימטרי וגם לא פעולת המוח. ליביו מספק גם לסימטריה החיצונית הסבר מכאני. בתנאי הכבידה של כדור הארץ יש הבדל בין החלק העליון של הגוף והחלק התחתון. בבעלי חיים יש עדיפות למקם את אברי החושים בקדמת הגוף. חיה שנעה במהירות חשוב לה שיהיו לה את כל החושים בחלק הקדמי כדי לדעת לאן להתקדם, וכן הלאה. והראיה, בקרב יצורים שלא נעים הרבה כמו צמחים אין בדרך כלל הבדל החלק הקדמי והחלק האחורי, אך יש להם כמובן הבדל בין למעלה ולמטה. וגם לבעלי חיים שנעים באיטיות גדולה כמו מדוזות – יש סימטריות גליליות. אתה לא רואה שינוי גדול בין קדימה ואחורה. אבל ליביו מודה כי גם זה לא הסבר מושלם כי מסתבר שאפילו בתהליך של ההתפתחות מהתא ליצור השלם עוברים שלבים סימטרים ושלבים לא כל כך סימטריים. יש עוד שבירה מפורסמת של הסימטריה המכונה כיראליות – חומצות האמינו הן תרכובות בחלבונים. כל בעלי החיים והצמחים על כדור הארץ, ללא יוצא מן הכלל משתמשים בחומצות אמינו המכונות “שמאליות”. ניתן היה לבנות את כל המערך הזה מחומצות אמינו “ימניות”. הדבר נובע כנראה מאותה הסיבה שבגללה משתמשים בכל העולם במיקרוסופט. זה לא אומר שמערכת ההפעלה של מיקרוסופט היא הכי טובה אבל ברגע שאחד השתלט, כל האחרים צריכים גם לדעת לדבר מיקרוסופט, כי אחרת הם לא יכולים לתפקד.

הספר רצוף דוגמאות רבות מתחומים רבים: החל מאמנויות כמו ציור, שירה, מוסיקה וכדומה ועד למסמכים הסטוריים מקוריים הקשורים לחייהם של שני הגיבורים – גלואה ואבל. “נעזרתי באנשים כדי לקרוא מסמכים מקוריים.” אמר ליביו. “אני דובר צרפתית אבל לא שולט שליטה מלאה בצרפתית. בוודאי כשמדובר בצרפתית מהמאה ה-18 וה-19 ולכן נעזרתי באנשים שדוברים צרפתית. יש לי הבנה בסיסית בהבנה באיטלקית, אבל ממילא יש מסביבי מספיק איטלקים. וכן נעזרתי באנשים השולטים בלטינית, ובדוברי שוודית שהיא שפה קרובה לנורווגית וגם טלפנתי לחוקר נורווגי שכתב ביוגרפיה מקיפה של אבל, ודיברתי איתו. הידע במוסיקה ובאמנות הוא כתוצאה מתחביב שלי. אני אוהב אמנות, אוהב מוסיקה, יש לי הרבה מאוד ספרים בנושאים האלה, אני מבקר קבוע בתערוכות, בקונצרטים. זה בא באופן די טבעי, בזה לא הייתי צריך להשקיע מאמץ. אני לא מציג את עצמי בתור מומחה בדברים הללו אבל אני יודע לא מעט, פשוט בגלל שאני אוהב את זה.”

תיאוריה שלא היתה באוויר
כשאתה מסתכל בתולדות המדע, מתמטיקה, אתה מגלה שהמון דברים חשובים שנתגלו הם היו כבר באוויר בצורה כזו או אחרת. אפילו תורת היחסות הפרטית למשל, אילו איינשטיין לא היה עושה את זה, מישהו אחר היה מגיע למשוואה, ופואנקרה כמעט שהצליח בכך. יש המון דברים שהיו באוויר. יש מעט מאוד תגליות, שכאשר נתגלו הן ממש לא היו באוויר. זה לא שלא היו להם אילושהם שורשים, אלא שאילולא גילה אותם מי שגילה, היה לוקח הרבה שנים עד שהם היו מתגלים.
דוגמה לכך היא תורת היחסות הכללית. אילו איינשטיין לא היה חושב עליה, היו עוברות מן הסתם הרבה שנים עד שמישהו היה יוצא עם רעיון כזה ותורת החבורות של גלואה היא דבר כזה. אף אחד לא דיבר על חבורות עד שגלואה בא עם תורת החבורות אף אחד אחר לא דיבר על חבורות. זה לא היה דבר באוויר. פתאום התגלה שאלו תכונות הסימטריה של המשוואה שמגלות למי מהמשוואות יש פתרון או לא. בשל כך, תגלית זו כל כך יפה כי היא מסוג התגליות הבודדות שצמחו בתוך המוח של מישהו ולא היו כבר בשלות ורק חיכו שמישהו יכתוב את זה על נייר.”
“אומרים שמתמטיקאים ומשוררים מתים צעירים. אולי אין הכוונה שהם חייבים למות מוות ביולוגי כפי שקרה בפועל לשני הגיבורים, אלא שעיקר היצירה החשובה שלהם קורית בגיל צעיר, למשל ציירים, סופרים, בדרך כלל עובדים בגילאי ביניים, ופילוסופים בגילאים יותר מבוגרים. במתמטיקה ובשירה לא צריך לקרוא אנציקלופדיות שלמות כדי להיות מסוגל לעשות משהו משמעותי. דווקא העובדה שאתה צעיר, לא הושפעת עדיין על ידי אנשים אחרים ואתה לא מרגיש שאתה חייב לעבוד בתחומים שאחרים עובדים בהם וכך הלאה היא זאת שנותנת למשוררים ומתמטיקאים את האפשרות ליצור פריצות דרך בגילאים מאוד צעירים. זה לא אומר שאין יוצאים מהכלל. גאוס המשיך לעבוד ועשה עבודות פנטסטיות במתמטיקה עד זקנה. יש מספיק יוצאים מן הכלל, אבל בגדול זה נכון. במתמטיקה ובשירה אתה רואה אנשים שיוצרים את מיטב העבודות שלהם בגיל צעיר. לפעמים קצת במוזיקה, אי אפשר להגיד שמוצארט חיבר את מיטב היצירות שלו כשהוא היה הכי צעיר אבל גם שהוא מת הוא היה בן 35, מספיק צעיר.

האם הממסד האקדמי לא שוחק גאונים?
יש גאונים גם היום, אנשים מצליחים לתפקד גם בממסדים הקיימים. מצד שני יש הרבה יותר תקשורת. כולם נמצאים על אימיילים. עם זאת אתה עדיין רואה מתמטיקאים צעירים היו שעושים דברים יוצאים מן הכלל וגם בפיסיקה. אנשים כמו אד וויטן שיוצרים פריצות דרך מדהימות (תורת המיתרים). אפילו במבנה היותר ממוסד עדיין יש את המקום לגאונים ולפריצות דרך.
אני חושב שהגאונים האמיתיים ימצאו את הדרך ליצור את פריצות הדרך שלהם. היום גם קצת יותר קשה להתבודד, בפיזיקה היום צריך רקע עמוק כדי להגיע בכלל לאפשרות ליצור משהו משמעותי. זה לא מקרה שבתחילת המאה העשרים היתה תקופה עצומה של תגליות בפיסיקה ואחר כך הדברים קצת נעצרו. ענפים שלמים נוצרו אז – תורת היחסות, תורת הקוונטים, היה מקום לגלות דברים חדשים. אחר כך כשהדברים הופכים להיות יותר מורכבים נהיה יותר קשה לגלות את התגליות המקומיות.
אבל מעבר לכך, צריך לזכור שכיום נדרשים מכשירים עצומים כדי לספק את התגליות הללו. בשנת 2007 יתחיל לפעול המאיץ הגדול בז'נבה. הציפייה היא שאחרי שנה של ניסויים נגיע להישגים משמעותיים. את ההיגס אני יכול לנחש שיראו משום אם לא יראו את בוזון ההיגס – חלקיק תת אטומי חמקמק במיוחד, זו תהיה תדהמה עצומה. סופר סימטריה אולי כן יגלו ואולי לא. אם כן יגלו תהיה דחיפה עצומה כי זה יגיד שהכיוון הזה נכון. אם לא יגלו זה יהיה יותר בעייתי מכיוון שאז הם יצטרכו להסביר את הסיבה לאי הגילוי.
אנחנו מקווים שטלסקופ החלל האבל יעבור עוד משימת שירות ואז יהיו שני מכשירים חדשים על הטלסקופ הזה, אחד מהם זו המצלמה היותר משוכללת שגם רואה באינפרה אדום ותאפשר תמונות יותר רחבות עם רגישות יותר גדולה באינפרה אדום וגם יותקן בו ספקטרוגרף חדש בתחום האולטרה-סגול בעיקר שגם יאפשר שוב לגלות את המבנים, בייחוד בתווך הבין כוכבי והבין גלקטי. ב-2013 אנחנו מקווים שישוגר הטלסקופ ג'יימס ווב, שגם אנחנו (במכון המדעי של טלסקופ החלל) ננהל וזה יראה לנו ממש את הגלקסיות הראשונות ביקום. כמעט בכל תחום בפיסיקה מתוכנן מכשיר שיבצע ניסוי גדול. טלסקופ החלל פלאנק ישוגר עוד שנה שנתיים ויבחן את קרינת הרקע ברגישות הרבה יותר גדולה מאשר WMAP. בשביל חלק מהניסויים צריך אוצרות של מדינה, לפעמים אפילו לא מדינה אלא יבשת שלמה, במאיץ מדובר במשאבי כל יבשת אירופה, בחלליות – ארה”ב. אני אופטימי, חמש-עשר השנים הקרובות יביאו תגליות פנטסטיות. אין לי שום ספק בדבר הזה.

ליביו אומר כי המסר הכי חשוב בספרו, הוא שאנשים יבינו את חשיבות הסימטריה, פחות בעניינים של טפטים כמו בחוקי הטבע ויראו את היופי של השפה המתמטית של הסימטריה וגם שיראו את היצירתיות, בייחוד זוג האנשים הללו, אבל וגלואה שעשו. חשוב גם לקדם את יחסי הציבור של המתמטיקה. “אני בטוח שיש הרבה אנשים שלא רואים בדיוק איפה המתמטיקה חשובה להם בכלל. אבל בעצם המתמטיקה נכנסת היום ממש לכל תחומי החיים, החל מניתוח התנהגות בורסת המניות וכלה במחקרים בתחום מדעי החברה. ישנו כתב עת Journal of Mathematical Sociology – העוסק בתהליכים חברתיים ומראה שאפשר לעשות אנליזה שלהם באמצעות מודלים מתמטיים. אנשים מצליחים לעשות מודלים של קשרים חברתיים שנראים כמעט אותו דבר כמו מודלים של מולקולות בכימיה. גם תורת החבורות משמשת במחקרים אלה, בין היתר כאשר חקרו את מבנה הנישואים וההשתייכות של ילדים בשבטי האבוריג'ינים גילו מבנים ותבניות שרק באמצעות המתמטיקה אתה יכול לראות אותם.”

באחד המקרים הנדירים, יכול סופר לקרוא את התרגום של ספרו לעברית. ליביו מחמיא לעמנואל לוטם, המתרגם. “עברתי על התרגום לא כדי לשנות משהו בסגנון הלשוני אלא כדי לבדוק אולי כשכתבתי את הטקטסט באנגלית משהו בו לא היה כל כך ברור. בגלל שאני במקרה קורא עברית יש בונוס נוסף, שאני יכול לקרוא גם את המהדורה העברית, מה שאני לא יכול לעשות בשום שפה אחרת כמעט ואני רוצה לומר שהתרגום הוא נפלא.”

יחס שווה זהב – על ספרו הקודם של פרופ' מריו ליביו – חיתוך הזהב

19.12.2003

עוד מחטיבת הביניים כולנו מכירים את ''פיי'' (9) – האות היוונית שערכה כ-3.14. פחות מוכרת היא האות ''פי'' (פ' רפויה, מסומנת ר), המכונה גם ''יחס הזהב'' או ''חיתוך הזהב''. זוהי פרופורציה גיאומטרית המבטאת יחס הרמוני. למשל, אם קו מסוים AB נחתך בנקודה C כלשהי, היחס בין אורך המיקטע AC לאורך המיקטע CB יהיה זהה ליחס שבין AB ל-AC. יחס הזהב מבוטא בקבוע שערכו כ-1.618.

לאורך ההיסטוריה נקשרו ביחס הזהב מיתוסים רבים, המובאים כעת בספר חדש, ''חיתוך הזהב'' (הוצאת אריה ניר), שכתב האסטרופיזיקאי הישראלי, פרופ' מריו ליביו. ליביו, לשעבר מרצה וחוקר בטכניון, מכהן כיום כראש החטיבה המדעית במכון טלסקופ החלל של ארה''ב. ליביו מספר, למשל, שזרעי התפוח סדורים בתוכו בתבנית של כוכב מחומש, כשהיחס בין כל אחת מצלעותיו שווה ל''יחס הזהב''. כך גם היחס בין מיקומם של העלים לאורך הגבעול, קשקשי האיצטרובל והאננס, וכן גבישים, חמניות, וצורות גלקסיות רבות. מאז ימי יוון העתיקה יחס הזהב מעסיק מתימטיקאים, פילוסופים, מדענים ואמנים.
ציירים, מעצבים ומוזיקאים השתמשו ביחס הזהב להשגת רושם חזותי או צלילי ביצירותיהם. חסידיו של פיתגורס אף האמינו כי הוא חושף את אצבע האלוהים.