ג’ון נאש שהכרתי

ד”ר זיו הלמן, מרצה במחלקה לכלכלה באוניברסיטת בר-אילן מספר על ההיכרות שלו עם המתמטיקאי, חתן פרס נובל בכלכלה ג’ון נאש ואשתו שנהרגו השבוע בתאונת דרכים וגם על שיווי משקל נאש, ותוהה מה היה קורה אם מחלת הנפש לא היתה תוקפת את נאש

מאת ד”ר זיו הלמן (Ziv Hellman)
ביום ראשון קבלתי הודעה מחבר. נתבשרתי שהתפנו בפתאומיות 40 דקות בכנס גדול בנושא תורת המשחקים שיתקיים בירושלים בסוף חודש יוני. ההודעה הפנתה אותי לאתר חדשות ובו ההסבר לחלל שנוצר בלוח הזמנים של הכנס: חתן פרס הנובל ג’ון נאש ואשתו נהרגו בתאונת דרכים במדינת ניו ג’רסי, בזמן שנסעו במונית מנמל התעופה אל ביתם.

נדרשו לי כמה דקות לעכל את הידיעה. ג’ון נאש לא ירצה בכנס, לא בארץ ולא בשום מקום אחר. לא נראה אותו עומד שוב על במת המרצים, מקרין את חיוכו הביישני. אחרי כל ההתמודדויות הקשות שעבר, חייו נקטעו בשנייה של חוסר שליטת נהג מונית בהגה רכבו. ג’ון נאש איננו.

סיפור חייו של ג’ון נאש מוכר היטב בכל רחבי תבל, אולי יותר מסיפור חייו של כל מתמטיקאי אחר בשנים האחרונות. זאת בזכות “נפלאות התבונה”, סרט עתיר פרסי אוסקר. הסרט הופק לפני 14 שנים, אבל עד היום כשאני מלמד את מושג שיווי משקל נאש לסטודנטים באוניברסיטה, מספיק להזכיר שנאש הוא גיבור אותו סרט בכדי שכולם ידעו בדיוק במי מדובר.

הסרט זכה בצדק לעניין רב, לא מעט מפני שהסיפור שבמרכזו מכיל את המרכיבים של כמעט כל סיפור מוצלח: גיבור סיפור מחונן ומוכשר, גבר אטרקטיבי עם עתיד מזהיר בפניו, נאלץ להתמודד עם משבר קשה (במקרה זה הזיות של מחלת נפש) שגורם לו לאבד את כל היקר לו. למרות התדרדרות לשפל, גיבורנו מצליח בכוחות עצמו להתרומם, להכניע את השדים הפנימיים בנפשו, לחזור לשפיות ואף לזכות בהכרה הנעלה ביותר שניתנת למדען, פרס נובל.

במקרה של ג’ון נאש העלילה אינה פרי דמיונו של תסריטאי הוליוודי אלא סיפר אמת. אחרי שסיים דוקטורט בהצטיינות באוניברסיטת פרינסטון בשנת 1950, הצטרף נאש לסגל האקדמי במחלקה למתמטיקה באוניברסיטתMIT היוקרתית. שם החל לפתח קריירה מרשימה, עם מספר השיגים מדהימים בתוך זמן קצר, עד שנתגלתה מחלת הסכיזופרניה שממנה סבל. בשנת 1959 החלה תקופת התדרדרות ארוכה. בשנות השבעים של המאה הקודמת, הדביקו לו סטודנטים במחלקה למתמטיקה בפרינסטון את הכינוי “רוח הרפאים של המחלקה” מפני שנהג להסתובב בלילות במסדרונות בנייני הקמפוס ולרשום נוסחאות בלתי ניתנות לפענוח על לוחות בכיתות.

אט אט הצליח נאש לחזור לשפיות ואפילו לשוב לשורות האקדמיה כחוקר. ב-1994, אחרי ששכנע את חברי ועדת פרס הנובל בכלכלה שמצבו הנפשי יציב דיו, הוענק לו הפרס בזכות משפט קיום שווי המשקל שהוכיח בעובדת הדוקטור שלו ב-1950, הלא הוא שווי המשקל הנושא את שמו.

בכל יום, בכל מחלקה לכלכלה סביב העולם, המילים “שיווי משקל נאש” מושמעות אינספור פעמים. רוג’ר מאיירסון, פרופסור לכלכלה באוניברסיטת שיקגו ובעצמו חתן פרס נובל, השווה את חשיבות שיווי משקל נאש בחקר הכלכלה לחשיבות הבנת מבנה הדנ”א בביולוגיה. פשוט לא ניתן לדמיין מחקר בתחומים שלמים בכלכלה של ימינו בלי אבן היסוד של שיווי משקל נאש. יתרה מזה, המושג משמש כאלמנט חשוב עד מרכזי במגוון תחומים, מביולוגיה אבולוציונית, מדעי המחשב ובינה מלאכותית ועד פסיכולוגיה ומדע המדינה.

הרעיון המרכזי בבסיס ש”מ נאש פשוט יחסית. במשחק, כידוע, כל שחקן בוחר באסטרטגיה. מכלול כל האסטרטגיות של השחקנים קובע את תוצאת המשחק ממנה נגזרים התשלומים לכל שחקן. כל שחקן שואף לבחור באסטרטגיה שתבטיח לו תשלום מרבי, אך אינו יכול להתעלם מהעובדה שתשלומו תלוי גם באסטרטגיות של שאר השחקנים.

נניח שהשחקנים בחרו את האסטרטגיות שלהם, אבל רגע לפני שהמשחק משוחק, נחשפת בפני אחד השחקנים רשימת האסטרטגיות של שאר השחקנים. האם שחקן בר המזל הזה ישנה בדקה התשעים את האסטרטגיה שלו בעקבות המידע שהגיע לידיו? לא קשה לדמיין מצבים רבים בהם בדיוק זה יקרה – הרי כל מוסדות הביון והריגול קיימים למטרה זו.

שיווי משקל נאש הוא מצב מיוחד בו דבר זה לא קורה. כלומר, שיווי משקל נאש הוא מכלול אסטרטגיות שמקיים את התכונה שגם אם נחשוף הכל לשחקנים ותהיה ידיעה משותפת לגבי האסטרטגיות המשוחקות, לא יהיה תמריץ לאף שחקן לשנות את בחירתו באופן חד-צדדי מפני שהוא יוכל רק להפסיד אם ינקוט בצעד כזה. שווי משקל נאש דומה לחוזה שאוכף את עצמו. מעצם קיומו, כל שחקן, מתוך תמריץ אנכי לגמרי, יעשה את מה שמצופה ממנו.

לפי תיאור זה, ש”מ נאש מצטייר כמצב מיוחד ונדיר. ואכן, ניתן בנקל לחשוב על משחקים בהם לא קיים ש”מ נאש ב”אסטרטגיות טהורות”. דוגמה טובה היא המשחק “אבן, נייר ומספריים”. אם, למשל, בכוונתי לשחק “נייר” אבל ברגע האחרון נודע לי שיריבי ישחק “מספריים”, כמובן שיהיה לי תמריץ לשנות את האסטרטגיה שלי לבחירת “אבן” במקום “נייר”. לא קשה לראות שלכל זוג אסטרטגיות במשחק זה, תמיד כדאי לאחד השחקנים לשנות את בחירתו.

אבל נניח שנאפשר לשחקנים לשחק “אסטרטגיות מעורבות”, כלומר, כל שחקן יכול לבחור באקראי את הפעולה שישחק, על פי הסתברות מסוימת. אזי כן נמצא בקלות ש”מ נאש במשחק זה: אם אני בוחר “אבן” בהסתברות שליש, “נייר” בהסתברות שליש ו”מספריים” בהסתברות שליש, ויריבי נוקט באותה אסטרטגיה מעורבת, ברור שלא יהיה לאף אחד יתרון מחריגה חד-צדדית מתבנית זו. לכן פתרון זה מקיים את התנאי של ש”מ נאש.

ההישג הגדול של נאש היה להוכיח שאם מאפשרים אסטרטגיות מעורבות אזי בכל משחק (עם מספר סופי של פעולות אפשריות) תמיד, ללא יוצא מן הכלל, קיים לפחות ש”מ נאש אחד. תוצאה זו רחוקה מלהיות קלה ומידית. נאש בעבודת הדוקטור שלו הפעיל משפטים כבדים מתוך חקר “נקודות שבת” בכדי להגיע להוכחה שהקנתה לו תהילה לדורות.

אין ספק שייזכר ג’ון נאש בעיקר בזכות שיווי המשקל הקרוי על שמו, אבל לנאש היו עוד תרומות רבות, לתורת המשחקים בפרט ולמתמטיקה בכלל. בחלקן ניכר עומק עוד יותר מרשים מההברקה שבתשתית משפט שיווי המשקל המפורסם שלו. מבין תרומותיו נמנות מושגי פתרון למשחקי מיקוח ולמשחקים שיתופיים, משפטים על יריעות בגאומטריה אלגברית, תוצאות פורצות דרך בחקר משוואות דיפרנציאליות ומשפט שיכון עמוק במיוחד בגאומטריה.

קצרה היריעה לתאר את כל התוצאות האלה. נוכל לגעת רק בקצה המזלג במשפט השיכון. חישבו על ספירה, כלומר שטח פני כדור, בדומה לקליפת תפוז או קרום כדור הארץ. מקומית, ניתן לתאר סביבה קטנה סביב כל נקודה על הספירה כמישור דו-ממדי – הרי זה בדיוק מה שאנחנו עושים כשאנו מסרטטים מפה של עיר או מדינה על דף נייר שטוח. אבל למרות שהספירה דומה מקומית למישור דו-ממדי, אנחנו יודעים שהיא משוכנת בתוך מרחב תלת-ממדי.

ניתן להכליל את המושגים האלה לממדים גבוהים יותר. “יריעה” n–ממדית היא מבנה גאומטרי שמקומית דומה למרחב אוקלידי n–ממדי. ישנם מצבים בהם יריעה n–ממדית משוכנת באופן טבעי בתוך מרחב ממד גדול יותר. אבל האם זה נכון לכל יריעה? במשפט השיכון שלו, הראה נאש שבתנאים מסוימים התשובה היא כן, כל יריעה ניתנת לשיכון בתוך מרחב אוקלידי. נאש אף חישב חסם עליון על הממד הדרוש לשיכון יריעה n–ממדית, לכל מספר טבעי n.

את כל ההישגים האלה הספיק ג’ון נאש לזקוף לזכותו טרם מלאו לו 30, לפני שמחלת הנפש גזלה שנים מחייו. למרות שברבות השנים שב נאש לפעילות אקדמית ולמחקר, האמת היא שהוא לא הצליח לשחזר את ההצלחות המבריקות של צעירותו. קהלים גדולים מילאו אולמות לשמוע את הרצאותיו, מתוך סקרנות ויראת כבוד, אבל איכות התוצאות שהציג הייתה דלה ביחס לציפיות הענקיות שנבעו מהמוניטין שלו. ניתן רק להצטער על האובדן למתמטיקה ולעולם ולדמיין מה היה מספיק לעשות אילו לא היה סובל ממחלתו.

מכריו של ג’ון נאש הצעיר תיארו אותו כמהיר מחשבה, שאפתן ואפילו יהיר באישיותו. אני, שהכרתי אותו רק בשנים האחרונות, זוכר אדם שונה מאוד מתיאור זה. זכור לי ג’ון נאש שקט, ביישן, אולי קצת נבוך מתשומה הלב הרבה שהסרט על חייו מיקד סביבו. גיליתי אדם נגיש, שברצון רב היה מוכן לדבר על המחקר המתמטי שלו, מנשואים בתורת במשחקים למשפטי שיכון, עם כל מי שביקש כמה דקות מזמנו. הוא ואשתו ,אלישיה, היו תמידי חמימים ונדיבים כלפי, מזמינים אותי לחלוק איתם הסעות לאולמי הרצאות או להצטרף אליהם לכוס קפה ושיחה על הא ודא בכנסים. הם יחסרו.

ד”ר זיו הלמן הוא מרצה במחלקה לכלכלה באוניברסיטת בר-אילן