גבישים בעלי יחסי זהב – הנוסח המלא

כאשר דן שכטמן תיעד במחברת המעבדה שלו את התגלית שבזכותה הוענק לו פרס הנובל לכימיה לשנת 2011, הוא צירף שלושה סימני שאלה לצידה

איור 1. דפוס ההתאבכות של דניאל שכטמן היה בעל ציר סימטריה מסדר 10: סיבוב התמונה בעשירית מעגל שלם (36 מעלות) הוביל לקבלת אותו הדפוס.
כאשר דניאל שכטמן תיעד במחברת המעבדה שלו את התגלית שבזכותה הוענק לו פרס הנובל לכימיה לשנת 2011, הוא צירף שלושה סימני שאלה לצידה. האטומים בגביש שהונח לפניו הניבו סימטריה אסורה. התגלית הייתה בלתי אפשרית כמו שכדורגל שצורתו כדור, מורכב מצורות של משושה בלבד. מאז אותה תגלית, פסיפסים בעלי דפוסים מרתקים ויחס הזהב, שהיה מוכר עד אז בתחומי המתמטיקה והאומנות, סייעו למדענים להסביר את התצפית מעוררת המחלוקת של שכטמן.
“אין חיה כזו”, אמר דניאל שכטמן לעצמו. “לא תיתכן בריה שכזו”. היה זה בבוקרו של השמונה באפריל שנת 1982. החומר שנבדק על-ידו, תערובת של חמרן ומנגן, היה משונה למראה, ועל-כן הוא ניגש למיקרוסקופ האלקטרוני על מנת לבחון אותו ברמה האטומית שלו. אולם, התמונה שהופקה באמצעות המיקרוסקופ הייתה מנוגדת לכל היגיון: הוא ראה לנגד עיניו עיגולים מרכזיים (מעגלים בעלי מרכז משותף), שכל אחד מהם מורכב מעשר נקודות בהירות המצויות במרחק זהה אחת מהשנייה (איור 1).
שכטמן קירר במהירות את נתך המתכת הזוהר בשל הנחתו כי שינוי פתאומי בטמפרטורה יוביל לחוסר-סדר מוחלט באטומים. אולם הדפוס שהוא ראה סיפר סיפור שונה לחלוטין: האטומים היו מסודרים בדפוס שנגד את חוקי הטבע. שכטמן חזר וספר שוב ושוב את הנקודות. ארבע או שש נקודות במעגל יכלו להיות ממצא אפשרי, אולם עשר נקודות בלתי אפשריות לחלוטין. הוא רשם הערה במחברת המעבדה שלו: “ציר סימטריה מסדר 10???”

פסגות ועמקים פועלים בכוחות משותפים

על מנת להבין את הניסוי של שכטמן ומדוע הוא היה כה מופתע, דמיינו בעיני רוחכם את ניסוי הכיתה הבא: מורה לפיסיקה מקרין אור דרך לוחית מתכת מחוררת, מה שמכונה סריג השתברות (איור 2). כאשר גלי האור נעים מבעד לסריג, הם נשברים באותו האופן כפי שנשברים גלי הים העוברים דרך מרווח בשובר הגלים המצוי בנמל. בצדו השני של הסריג הגלים מתפזרים בדפוס מעגלי-למחצה ומצטלבים עם גלים אחרים. פסגות ועמקים של הגלים מגבירים ומחלישים אחד את השני בהתאמה. על צג המונח מאחורי סריג ההשתברות יופיע דפוס של אזורים מוארים ומושחרים – דפוס ההשתברות.
דניאל שכטמן קיבל דפוס השתברות כזה (איור 1) באותו בוקר של אפריל שנת 1982. אולם הניסוי שלו היה מעט שונה: הוא השתמש באלקטרונים במקום באור, הסריג שלו היה מורכב מהאטומים שקוררו במהירות במתכת, והוא ערך את הניסוי שלו בשלושה מימדים.
דפוס ההשתברות הראה כי האטומים שבתוככי המתכת היו מאורגנים בצורת גביש מסודר. ממצא זה עצמו לא היה בלתי רגיל. כמעט כל החומרים המוצקים, החל מקרח וכלה בזהב, מורכבים מגבישים מסודרים. אולם דפוס ההשתברות בעל עשר נקודות מוארות המסודרות בצורת מעגל היה ממצא שהוא לא נתקל בו לפני כן, למרות ניסיונו הרב בשימוש במיקרוסקופ אלקטרונים. יתר על כן, גביש מסוג זה לא נכלל בטבלאות הבינלאומיות של הקריסטלוגרפיה – מדריך הגבישים העיקרי בעולם המדע. בזמן ההוא, למדע היה מובן מאליו כי דפוס בעל עשר נקודות בצורת מעגל הוא פשוט בלתי-אפשרי.

דפוס המנוגד לכל הגיון

בתוככי הגביש, אטומים מאורגנים בתבניות החוזרות על עצמן, ובהתאם להרכב הכימי, הם בעלי סימטריות שונות. באיור 3a, ניתן לראות כי כל אטום מוקף בשלושה אטומים זהים בתבנית החוזרת על עצמה, תוך קבלת סימטריה מסדר 3 – כלומר סיבוב התמונה ב- 120 מעלות (360 חלקי 3) יביא לקבלת אותה התמונה.
אותו העיקרון חל גם עבור סימטריות מסדר 4 (איור 3b) ומסדר 6 (איור 3c). התבנית חוזרת על עצמה ואם מסובבים את התמונה ב- 90 (360 חלקי 4) ו- 60 (360 חלקי 6) מעלות, בהתאמה, תופענה אותן התבניות.

אולם, עבור הסימטריה מסדר 5 (איור 3d), הדבר אינו אפשרי, מאחר שהמרחקים שבין אטומים מסוימים יהיו קצרים יותר מאשר בין אחרים. התבנית אינה חוזרת על עצמה, עובדה שהיוותה הוכחה מספקת למדענים כי לא ניתן לקבל סימטריה מסדר 5 בגבישים. הדבר נכון גם עבור סימטריה מסדר 7 או סדר גבוה מכך.

על אף זאת, שכטמן יכול היה לסובב את תבנית ההשתברות שלו בעשירית המעגל (36 מעלות) ועדיין לקבל את אותה התבנית. על כן, הוא הסתכל על סימטריה מסדר 10, שנחשבה באותו הזמן כבלתי אפשרית. לכן, אין כלל תמיהה על כך שהוא סימן לא פחות משלושה סימני שאלה במחברת המעבדה שלו.

שגיאה בספרי הלימוד

דניאל שכטמן הציץ החוצה מהמשרד שלו לעבר המסדרון במכון הלאומי האמריקאי לתקנים ולטכנולוגיה (NIST), ורצה למצוא מישהו שאיתו הוא יוכל לחלוק את התגלית. אולם, המסדרון היה ריק מאדם, וכך הוא חזר למיקרוסקופ שלו על מנת לערוך ניסויים נוספים בגביש המסוים. בין יתר הניסויים, הוא בדק שוב אם אולי הוא קיבל גבישים תאומים: שני גבישים הגדלים מתוך גבול משותף מובילים לקבלת תבניות השתברות מוזרות. אולם, הוא לא מצא אף סימן לכך שהוא למעשה צפה בגבישים תאומים.

בנוסף לכך, הוא סובב את הגביש בתוך המיקרוסקופ האלקטרוני על מנת לבדוק מהי מידת הסיבוב שהוא יכול להפעיל עד אשר תבנית ההשתברות מסדר 10 תופיע שוב. ניסוי זה הראה כי לגביש עצמו אין סימטריה מסדר 10 בדומה לתבנית ההשתברות, אולם הוא מבוסס על סימטריה מסדר 5, שהייתה בלתי סבירה באותה המידה (באותו הזמן) כסימטריה מסדר 10. דניאל שכטמן הגיע למסקנה כי הקהילה המדעית חייבת הייתה לטעות בהנחותיה.

כאשר שכטמן סיפר למדענים אחרים על התגלית שלו, הוא עמד בפני פקפוק מוחלט במהימנות ממצאיו מצדם, וחלק מעמיתיו אפילו החל ללעוג לו על כך. רבים מהם טענו כי מה שהוא ראה היה למעשה גביש תאום. מנהל המעבדה מסר לו ספר לימוד של קריסטלוגרפיה והציע לו כי עליו לקרוא אותו. שכטמן, כמובן, כבר ידע על כל מה שנאמר עליו, אולם הוא בטח בניסוייו יותר מאשר בספרי הלימוד. כל המהומה הזו הובילה את המנהל שלו, בסופו של דבר, לבקש ממנו לעזוב את קבוצת המחקר שלו, כפי שנזכר בזאת שכטמן עצמו מאוחר יותר. המצב הפך להיות מביך מדי.

מאבק בידע מבוסס
דניאל שכטמן קיבל את הדוקטורט שלו מהטכניון – המכון הישראלי לטכנולוגיה, ובשנת 1983 הוא הצליח לעניין את עמיתו אילן בלך בממצאי המחקר המוזרים שלו. ביחד הם ניסו לפרש את תבנית ההשתברות ולתרגם אותה למערך אטומי של גביש. הם הגישו את המאמר שלהם לכתב-העת המדעי Journal of Applied Physics בקיץ של שנת 1984. אך המאמר הוחזר, למראית עין בשל בעיות בדואר, אולם למעשה העורך דחה את המאמר מיידית.

בשלב הזה שאל שכטמן את החוקר ג’ון כהאן (John Cahn), פיסיקאי מפורסם ששידל אותו להגיע למכונים בארה”ב מלכתחילה, אם הוא מוכן לעיין במידע שבידו. החוקר, שהיה בדרך כלל עסוק מכדי לבצע משימה שכזו, בחן את הממצאים ופנה למומחה גבישים צרפתי (Denis Gratias) על מנת לבדוק אם שכטמן אולי פספס משהו. אולם, לדבריו של המומחה, הניסויים של שכטמן היו מהימנים. הוא טען כי אילו היה נדרש לערוך את הניסויים בעצמו הוא היה נוהג בדיוק כמו שכטמן.
בחודש נובמבר 1984, יחד עם שלושת החוקרים שסייעו בידו ובחנו את ממצאיו שוב, שכטמן הצליח סופסוף לפרסם את ממצאיו בכתב העת המדעי Physical Review Letters. המאמר חולל מהומה בקרב קריסטלוגרפים. הוא הטיל ספק באמיתות היסודיות של תחום המדע שלהם: כי כל הגבישים מורכבים מתבניות מחזוריות החוזרות על עצמן.

מסירים את כיסוי העיניים

התגלית הגיעה עתה לקהל נרחב יותר, ודניאל שכטמן הפך למטרה לביקורת עוד יותר גדולה. מאידך, באותו הזמן, קריסטלוגרפים מרחבי העולם חוו רגע של דז’ה וו. רבים מהם קיבלו תבניות השתברות דומות במהלך הבדיקות של חומרים אחרים, אולם הם פירשו אותן כהוכחה לגבישים תאומים. עתה הם החלו לחפור מתחת לדפים הישנים שלהם על מנת למצוא מחברות מעבדה נושנות ועד מהרה החלו להופיע גבישים אחרים בעלי תבניות שנחשבו כבלתי אפשריות באותו הזמן, גבישים בעלי סימטריה מסדר 8 ואפילו 12.

כאשר שכטמן פרסם את התגלית שלו, עדיין לא הייתה בידו הבנה מדוייקת באשר למבנה הפנימי המפורט של הגביש המוזר שהוא חקר. בסופו של דבר הוכח כי הסימטריה שלו היא מסדר 5. אולם כיצד האטומים מסודרים? התשובה לשאלה זו תגיע מזירה בלתי צפויה לחלוטין: אתגרים מתמטיים עם פסיפסים.

הפסיפסים של ההסבר

מתמטיקאים אוהבים לאתגר את עצמם עם תצרפים ובעיות לוגיות. במהלך שנות השישים הם החלו להרהר האם ניתן ליצור פסיפס עם מספר מוגבל של מרצפות (אבני-בניין) כך שהדפוס לעולם לא יחזור על עצמו, ליצירת מה שמכונה פסיפס לא מחזורי (אפריודי). הניסיון המוצלח הראשון דווח בשנת 1966 על ידי מתמטיקאי אמריקאי. לשם כך נדרשו לו יותר מעשרים אלף מרצפות שונות – ממצא שהיה רחוק מאוד מלהשביע את חיבתם של המתמטיקאים לתמציתיות. מרגע שיותר ויותר אנשים קיבלו על עצמם את האתגר, מספר המרצפות שנדרש התכווץ והלך בהתמדה.
בסופו של דבר, באמצע שנות השבעים פרופסור בריטי למתמטיקה, רוג’ר פנרוז Roger Penrose, סיפק פתרון מחוכם ביותר לבעיה. הוא הצליח ליצור פסיפסים לא מחזוריים באמצעות שימוש בשתי מרצפות שונות בלבד, לדוגמה – מעוין צר ומעוין רחב (איור 4:1).

הפסיפסים של פנרוז עוררו השראה בקהילה המדעית במספר צורות שונות. בין יתר התחומים, הממצאים שלו שימשו מאז הגילוי על מנת לנתח את דפוסי האומנות האיסלאמיים מימי הביניים, ועד מהרה התברר כי האמנים הערביים יצרו פסיפסים לא מחזוריים מתוך חמש מרצפות ייחודיות כבר החל מהמאה ה-13. פסיפסים שכאלה מעטרים את ארמון ה”אלהמברה” שבספרד, וכן את השערים והכיפות של מסגד “שארין” אשר באירן.

הקריסטלוגרף אלן מקקיי (Alan Mackay) ניצל את הפסיפס של פנרוז באופן שונה. הוא היה סקרן האם אטומים, אבני הבניין של החומר באשר הוא, עשויים ליצור תבניות לא מחזוריות בדומה לפסיפסים. הוא ערך ניסוי שבו המיר עיגולים, המייצגים אטומים, בנקודות ההצטלבות של פסיפס פנרוז (איור 4:2). בשלב הבא הוא השתמש בתבנית זו כסריג השתברות על מנת לבדוק מהן תבניות ההשתברות שתוכלנה להתקבל. התוצאה הייתה סימטריה מסדר 10 – עשר נקודות מוארות בצורת מעגל.
הקישור שבין המודל של מקקיי ותבנית ההשתברות של שכטמן נעשה בסופו של דבר על ידי הפיסיקאים פול שטיינהארט (Paul Steinhardt) ודב לוין. לפני הופעתו של המאמר בכתב-העת המדעי Physical Review Letters העורך שלח אותו למדענים אחרים לשם בחינתו. במהלך תהליך זה, הפיסיקאי שטיינהרט קיבל הזדמנות לקרוא אותו. הוא כבר הכיר את המודל של מקקיי והבין כי הסימטריה התיאורטית מסדר 10 כבר הייתה חיה ונושמת במעבדתו של שכטמן.

בערב חג המולד של שנת 1984, חמישה שבועות בלבד לאחר הופעת המאמר של שכטמן, שני הפיסיקאים פרסמו מאמר שבו הם תיארו קוואזי-גבישים ואת הפסיפסים הלא-מחזוריים שלהם. קוואזי-גבישים קיבלו את לראשונה את שמם במאמר זה.

יחס הזהב – התשובה

היבט מרתק הן של קוואזי-גבישים והן של פסיפסים לא-מחזוריים הינו יחס הזהב (המונח בוויקפדיה) הקיים במתמטיקה ובאמנות, הקבוע המתמטי טאו (τ) המופיע שוב ושוב). לדוגמה, היחס בין המעויינים הדקים והעבים שבפסיפס של פנרוז הינו טאו. באופן דומה, יחס המרחקים שבין האטומים בקוואזי-גבישים הוא תמיד קבוע טאו.

הקבוע המתמטי טאו מתואר על ידי רצף של מספרים שהמתמטיקאי האיטלקי פיבנוצ’י מהמאה ה-13 גילה מתוך ניסוי היפותטי שעסק ברבייה של ארנבים. זהו רצף מספרים מוכר מאוד שבו כל מספר הוא סכום של שני המספרים הקודמים לו: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, וכו’. אם מחלקים את המספרים הגבוהים של רצף פיבנוצ’י במספר הקודם להם – לדוגמה, 144/89 – מקבלים מספר הקרוב מאוד ליחס הזהב.

• הידיעה המקורית באנגלית (שם גם תוכלו למצוא את איור 4 שלא הועלה לכאן)
• רקע מדעי מפורט
• לקריאה נוספת וקישוריות חשובות