אפקט אהרונוב-בוהם במגנטוהידרודינמיקה

התגלה שגם במגנטו-הידרו-דינמיקה, קיימים מקרים מסויימים שבהם הטופולוגיה משרה אפקט הדומה לאפקט בוהם-אהרונוב וזאת על אף שהמגנטו-הידרו-דינמיקה היא תורה קלאסית.

מאת פרופ' אשר יהלום

המצב בו מתבטא אפקט אהרונוב בוהם
המצב בו מתבטא אפקט אהרונוב בוהם

אפקט אהרונוב-בוהם נתגלה על ידי פרופ' יקיר אהרונוב (כיום פרופסור אמריטוס באוניברסיטת תל-אביב) ופרופ' דוד בוהם (ז"ל) בעת עבודתם באוניברסיטת בריסטול באנגליה בשנת 1959. בעבודתם הראו השניים שאלקטרון העובר ליד איזור בו יש שדה מגנטי מושפע מהשדה המגנטי למרות שאינו מרגיש את השדה המגנטי באופן ישיר תוצאה זו מתקבלת אך ורק אם מחשבים את ההשפעה של האלקטרון בעזרת המכאניקה הקוונטית ואינו מתקבל אם מתארים את האלקטרון כחלקיק הנע תחת חוקי המכאניקה הקלאסית.

האפקט נבדק פעמים אין ספור מבחינה ניסיונית ונמצא נכון, והוא נחשב לאחד הניצחונות של המכאניקה הקוונטית על פני המכאניקה הקלאסית. בשנה האחרונה נערך כנס לציון 50 שנה לגילוי האפקט באוניברסיטת תל-אביב, ופרופ' אהרונוב שהוא אחד ממגלי האפקט היה מועמד לפרס נובל.

לולאות המונעות זו את התכווצותה של זו
לולאות המונעות זו את התכווצותה של זו

בדיקה מתמטית של האפקט מגלה כי האזור המגנטי מחלק את סוגי הלולאות הקיימות במרחב לשניים: לולאות שאינן מקיפות את האזור המגנטי ולכן אפשר לכווץ אותן לנקודה בלי לחצות את האזור המגנטי, לעומת לולאות הקשורות מסביב לאזור המגנטי ואינן ניתנות לכיווץ בלי לחצות את האזור המגנטי. במתמטיקה מצב זה מכונה "טופולוגיה לא טריביאלית" (בטופולוגיה טריביאלית אפשר לכווץ כל לולאה לנקודה).

האפקט של אהרונוב בוהם הוא אם כן אפקט טופולוגי מאחר שהוא נגרם על ידי אלקטרונים העוברים משני צידי האזור המגנטי ויוצרים לולאה שאינה ניתנת לכיווץ לנקודה. גם במגנטו-הידרודנמיקה תורה העוסקת בתנועת זורמים בהשפעת שדות מגנטיים קיימים מקרים בהם לא ניתן לכווץ לולאה לנקודה כמו במקרה של קווי שדה מגנטי או קווי זרימה ושדה מגנטי הקשורים זה בתוך זה המתוארים באיור שלהלן (כל לולאה מונעת מהלולאה השנייה להתכווץ לנקודה).

במחקר שהתבצע באוניברסיטת קיימברידג' ובמרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון על ידי פרופ' אשר יהלום התגלה שגם במקרים אלו הטופולוגיה משרה אפקט הדומה לאפקט בוהם-אהרונוב וזאת על אף שהמגנטוהידרודינמיקה היא תורה קלאסית. תוצאות ראשונות התפרסמו בספרות המדעית:

Asher Yahalom and Donald Lynden-Bell “Simplified Variational Principles for Barotropic Magnetohydrodynamics” [Los-Alamos Archives – physics/0603128] Journal of Fluid Mechanics Volume 607 pages 235-265 (2008) (Cambridge University Press).

Asher Yahalom “A Four Function Variational Principle for Barotropic Magnetohydrodynamics" European Physics Letters 89 (2010) 34005, doi: 10.1209/0295-5075/89/34005 [Los-Alamos Archives – arXiv:0811.2309]

התוצאות הוצגו גם בכנס 50 שנה לאפקט בוהם-אהרונוב ובכנס השנתי של האגודה הישראלית לפיזיקה.

שיתוף ב print
שיתוף ב email
שיתוף ב whatsapp
שיתוף ב linkedin
שיתוף ב twitter
שיתוף ב facebook

39 תגובות

  1. לפרופ' יהלום

    תודה על הקישור אני מקווה לעיין בו מחר.

    אחזור שוב לנושא הנקודתיות של האלקטרון. לטעמי אם האלקטרון מתואר על ידי משוואת שרדינגר הוא לא יכול להיות נקודתי ועליו לקיים את עקרון אי-הודאות כאשר את התנע ניתן להחליף במספר הגל (עד כדי hbar) וכך מתקבל עבור האלקטרון אורך גל.
    את העובדה שלאלקטרון יש אורך גל ניתן ללמוד למשל מפונקציית הגל של אלקטרון בשריג הלוא היא פונקציית בלוך שאינה ממוקמת להיפך היא מתפרשת על פני כל השריג.
    אלקטרון הוא חלקיק יסודי קרי ככל הידוע לנו אינו מורכב מחלקיקים קטנים יותר עובדה זו אינה הופכת אותו לנקודתי.

    לגבי התאבכות אין לי בעית עם חיבור של שני פתרונות של משוואה לינארית וקבלת פתרון שהוא סופר-פוזיציה כפי שכתבת פתרון כזה קיים עבור משוואת הגלים אבל עבור משוואת הגלים האובייקט שמבצע התאבכות הינו גל המתואר על ידי אמפליטודה ופאזה (גל ממשי-במובן של ממשות פיסיקלית לא מתמטית). לעומת זאת אם הבנתי אותך נכון הרי אתה סבור כי פונקציית הגל מתארת את ההסתברות למציאת האלקטרון ולא את האלקטרון עצמו. איך אתה מסביר כי הסתברות הינה בעלת ערך מורכב הסתברות היא משתנה רציף בין 0 ל1 לא מספר מרוכב.
    אכן ריבוע הערך המוחלט של פונקציית הגל נותן הסתברות אבל בפונקציית הגל יש יותר אינפורמציה. אם נשתמש באנלוגיה לשדה א"מ שם השדה מתואר על ידי מספר מרוכב אבל ריבוע הערך המוחלט נותן את עוצמת השדה בכל נקודה במרחב. לעומת זאת לגבי פונקציית הגל טענת כי הינה לא מייצגת את האלקטרון עצמו אלא רק הסתברות. שאלתי אם האלקטרון הוא חלקיק נקודתי ופונקציית הגל קשורה רק להסתברות למצוא אותו איך יכולה פונקציית הגל להיות פונקציה המקבלת ערכים מרוכבים?

    לטעמי הבנה בסיסית של משמעותה של תורת הקוונטים ניתן לקבל ממיסדיה דה-ברגולי שייחס לאלקטרון אורך גל וגם בוהר שהשתמש באורך גל זה חהסביר מדוע יש מסלולים אלקטרוניים יציבים באטומים . אמנם המודל של בוהר אינו נכון אבל כלל הקוונטיזציה הסמי-קלסי שלו עדיין תקף וכלל זה מבוסס על אורך הגל של החלקיק בפרט האלקטרון הנע סביב הגרעין באטום. לפיכך לטעמי מייסדי תורת הקוונטים לא ראו באלקטרון חלקיק נקודתי.

  2. לאלעד 36

    לא כל בעיה במכניקה קוואנטית קשורת לטופולגיה, הבעייה שטיפלו בה אהרונוב ובוהם כן.

    הקשרים בין הידרודינמיקה לתורת הקוונטים ידועים וקשורים בעיקר לניסוח של בוהם של מכניקת הקוונטים.

    לדיון ארוך יותר בנושא ראה למשל:

    R. Englman and A. Yahalom "Complex States of Simple Molecular Systems" a chapter of the volume "The Role of Degenerate States in Chemistry" edited by M. Baer and G. Billing in Adv. Chem. Phys. Vol. 124 (John Wiley & Sons 2002). [Los-Alamos Archives physics/0406149]

    ייתכן וישנם קשרים עמוקים יותר בין מכניקה קוואנטית למגנטוהידרודינמיקה, זה נושא ששווה לחקור אותו.

  3. לאהוד 34

    ראשית את המצגת ניתן להוריד בקישור

    http://rcpt.yousendit.com/
    856959525/abbe556ae73defbeb19e1bc78e771cd1

    מקווה שכאן יהיו תשובות לחלק מהשאלות.

    העובדה שהאלקטרון חלקיק נקודתי היא לא סברה שלי, זה מה שטוענים מומחים לחלקיקים אלמנטרים.
    אם האלקטרון היה חלקיק "מרוח" כמו פונקציית גל הרי מדעני החלקיקים היו עומדים על כך בניסוי הפיזור באנרגיות גבוהות שהם עורכים.

    הפוטון הוא למעשה מה שמתקבל מהקוואנטיזציה של שדות אלקטרומגנטיים והדיון בו חורג מהדיון בנושא אפקט אהרונוב-בוהם, מאחר שכאן כבר מדובר בתורת שדות קוואנטית ולא במכניקה קוואנטית גרידא. אגב פוטון עם אורך גל מדוייק אינו חלקיק נקודתי ולמעשה הוא תופס מרחב גדול מאד.

    "ההתאבכות" הוא חיבור של שני פתרונות אפשריים של משוואת שרודינגר כדי לייצור פתרון שלישי, אינני מבין מדוע אתה סבור שהדבר בלתי אפשרי. התופעה הזאת אופיינית לכל המשוואות הלינאריות כאשר למשפחה הזאת שייכות כל משוואות הגלים אותן ציינת אינני מבין מה כאן הבעיה. במידה ואתה מודה שמשוואת שרודינגר נכונה תופעת ההתאבכות נובעת בהכרח.

    דה ברוגלי שייך לתקופה אחרת בהיסטוריה של המדע לפני פיתוח משוואת שרודינגר, בתקופה ההיא אכן התחבטו בשאלה מדוע בניסויים באלקטרונים קיימות תופעות גליות. דה ברוגלי הציע ליחס לאלקטרון אורך גל הנמצא ביחס הפוך לתנע שלו. אך הוא לא הסביר מהו הגל הזה ומדוע בתופעות אחרות האלקטרון מופיע כחלקיק נקודתי. רק מאוחר יותר הציע שרודינגר את המשוואה שלו שפתרונותיה הם גלים. לגבי משמעות הפתרונות גם היום יש מחלוקת , אסכולת קופנהגן רואה בפתרונות הסתברויות להימצאות האלקטרון במקום מסוים ובמהירות מסוימת מבחינת גישה זו לאלקטרון אין "מסלול" והמונח מסלול נכון רק בקירוב הקלאסי. אסכול בוהם שומרת על מושג המסלול ומסבירת את פעולת הגל על האלקטרון דרך מושג "הפוטנציאל הקוואנטי".

  4. אהוד, פרופ' אשר יהלום,
    השקילות של פונקצית הגל הקוונטית למגנטוהידרודינמיקה אינה מיקרית.
    יתכן מאד שהטופולוגיה הינה עניין מהותי למה שפונקצית הגל אמורה לתאר.
    הדואליות הקוונאטית גל חלקיק שהפונקציה אמורה לייצג אינה כל הסיפור.
    לדעתי הפונקציה אמורה לייצג דינמיקה מורכבת יותר מאשר גל חלקיק.
    פוטנציאלים וממדים נוספים ואו טופולוגיות.

  5. אלעד

    פונקציית הגל יש בה את כל האינפורמציה הדרושה לתיאור תהליכים. הבעיה עם מהות התהליכים הקוונטים אינה מתעוררת אם לא מעלים אותה. תמיד ניתן לטעון כי מכניקת הקוונטים היא המתכון הנותן את ההסתברויות לתוצאות ניסוי בהנתן תנאי התחלה. אם אנו מנסים לשחזר ניסויים בלבד ולא מציאות אובייקטיבת אין בעיה בתורת הקוונטים.

    מעבר לזה לא ידוע לי על תיקונים שעברה פונקציית הגל מאז שרדינגר או דירק.
    לגבי תהליכי התאבכות לא קיימת בעיהכלל. לגבי מדידה כן קיימת אי-בהירות או אפילו חוסר בהירות מוחלט.
    המשוואות של תורת הקוונטים הם המשוואות המדויקות ביותר שקיימות לנו אין טעם להרחיב אותם לפתרונות נוספים. מה שכנראה לוקה בחסר הוא ההבנה שלנו של מה הן מייצגות.

  6. פרופ' יהלום

    ראשית תודה על תשובתך ועל נכונתך לתת חומר נוסף בנושא, אני מניח כי השאלה לגבי האנלוגיה לאפקט אהרונוב-בוהם מורכבת מדי לדיון פשטני וניתן להבין אותו טוב יותר מהשקפים.

    בכל זאת הייתי רוצה להבין מדוע אתה סבור כי האלקטרון הוא חלקיק נקודתי? והאם אתה סבור כי גם הפוטון כזה? לגבי פונקציית הגל אם היא מכילה רק אינפורמציה על מיקום האלקטרון ותנע שלו איך היא יכולה להתאבכך? תופעות גליות מוכרות לנו מאות שנים וניתן לתארם באמצעות פונקציה מורכבת המתארת את הפאזה והאמפליטודה של הגל, מהי התאבכות אינפורמציה? אשמח גם אם תתיחס לאורך גל דה-ברגולי ומדוע למרות שלאלקטרון יש אורך גל אתה מכנה אותו חלקיק נקודתי? יכול להיות שההגדרה שלנו של נקודתי היא שונה?

  7. "מאת אהוד:
    16-04-2010 בשעה 15:32
    פרופ' יהלום

    הרשה לי להיות יותר מפורט. אתה טוען כי החלקיק במכניקת הקוונטים הוא נקודתי וכי מה שעובר התאבכות היא פונקציית הגל. אשמח אם תסביר לי מה היא לפי דעתך פונקציית הגל. עד כמה שידוע לי
    התאבכות מבצע רק חומר! גלי: אור, מים או קול. לא ברור לי איך פונקציה שלפי דעתך היא מתמטית ומייצגת הסתברות מבצעת התאבכות? יכול להיות שפיספסתי משהו?

    מיכ*אל

    תודה, אבל לא מצאתי שום איזכור לאפקט אהרונוב בוהם במאמר."

    אהוד אני מסכים איתך שלא מדובר בגודל פיזי שמבצע התאבכות כמו למשל בגלי קול או אור, אבל פונקציית גל שמייצגת אינפרומציה היא מה שקיים במכניקת הקוונטים על פי האינטרפרטציות של קופנהגן ובוהם. אני מכיר רק נסיון אחד להסבר של המקור של פונציית הגל וזה הנסיון של נלסון. נלסון ניסה להסביר את הפונקציה כתוצאה של הפעולה של כוחות סטוכסטיים הנוצרים בהתנגשויות בראוניות בין האלקטרון לסביבתו.

    אין איזכור לאפקט של אהרונוב-בוהם במאמרים שציינתי יש רק איזכור של הפונקציות "הרב ערכיות" שיוצרות את האפקט האנלוגי ומסומנות באותיות היווניות נו וזיטא. כדי לראות את הקשרים בין הפונקציות האלו ואפקט בוהם אהרונוב העליתי את השקפים של ההרצאה שלי בנושא ל LOS ALAMOS ARCHIVES.כאשר הקישור יהיה זמין אשלח לך אותו.

  8. פרופ' אשר יהלום:
    פונקצית הגל עברה תיקונים מאז ששרדינגר הציג אותה לראשונה וגם לאחר דירק.
    אולם עדיין אין בה מספיק כדי לפרש את מהות התהליכים הקוונטיים.
    עדיין קיימת אי בהירות רבה ביחס לתהליכי התאבכות ולקשר שבין חלקיק לגל.
    יתכן מאד שהגדלים האנלוגיים הללו בשדה לא קוונטי מצביעים על כך שמשוואת הגל עדיין רחוקה משלמות.
    הגיע הזמן להרחיב את משוואת הגל כך שיהיו לה פחות פתרונות לא טריבייאליים.
    כיום היא מתארת יפה מאד חלקים אחדים מחד ומאידך מכשילה הכללה של חלקים אחרים.

  9. פרופ' יהלום

    עד כמה שידע לי בפיסיקה רק גלי חומר מבצעים התאבכות ולא גלי אינפורמציה.
    האם גם הפוטון הוא חלקיק נקודתי לפי תפסיתך? או שמא יש הפרדה בין אור וחומר. דה-ברגולי הראה לנו כי גם חלקיקים מסיביים מתנהגים כמו גלים וניתן לייחס להם אורך גל. אם לאלקטרון יש אורך גל האם הוא חלקיק נקודתי?

  10. לאהוד

    אתה טוען ש"רוב האינטרפטציות המקובלות לא מפרידות בין פונקציית הגל לאלקטרון" אבל זה לא ייתכן מבחינה מושגית. שהרי האלקטרון הוא ישות פיזקלית ופונקציית הגל רק מכילה אינפורמציה על ההסתברות
    להימצאות של החלקיק במקום מסויים ואינה יישות פיזיקלית בעצמה.

    באינטרפציה של בוהם (אותה היזכרת) פונקציית הגל אינה רק מתארת הסתברות אלא גם יוצרת "פוטנציאל קוואנטי" שהוא לדעתו של בוהם (המחזיק באינטרפרטציה הקלאסית שלאלקטרון יש "מסלול") הגורם לשינויים במסלול האלקטרון כך שנוצרת תמונת התאבכות.

    הגודל שיוצר בפונקציית הגל את ההתאבכות הוא הפאזה של פונקציית הגל, פאזה זו יכול לקבל ערכים מיוחדים במקרה שהטופולגיה לא טריבאלית ומכאן האפקט של אהרונוב בוהם. יש גדלים אנלוגיים לפאזה בתורת השדה השקולה למגנטוהידרודינמיקה אותה גילו פרופ' דונלד לינדן-בל ביחד עם מחבר המאמר הזה.

  11. אלעד בתשובה לשאלותך:

    1. התנאי להופעת התופעת שגילינו היא שקווי השדה המגנטי יהיו קשורים אחד בתוך השני, התופעה לא מתקיימת כאשר קווי השדה המגנטי אינם קשורים אחד בתוך השני. כמו שהסברתי זו תופעה טופולוגית
    כאשר הטופולוגיה טריביאלית התופעה נעלמת.
    2. לגבי טענתך שהתופעה איננה תוצאה של תכונות קוונטיות ושל פונקצית הגל אלא תוצאה של ההרכבה של התבנית הטופולוגית, הייתי אומר שאי אפשר לדייק יותר. הידד לניסוח.

  12. שאלון

    הלולאות אינן לולאות מגנטיות אלא מסלולים אפשריים של האלקטרונים סביב אזור בו יש שדה מגנטי.
    לדוגמא ניתן להגביל את תנועת האלקטרונים לאיזורים מסויימים על ידי יצירת לולאות מחומר מוליך סביב שדה מגנטי. לשם הדגמה דמיין כי השדה המגנטי מוגבל לפנים של גליל צר וארוך לולאות זרם המקיפות גליל זה לא ניתנות לכווץ מבלי שיתכו את הגליל בעוד לולאות רם שאינן מקיפות את הגליל ניתנות לכווץ לנקודה. איך מיורצר שדה מגנטי צר וארוך אינו מעינינו אבל ניתן לעשות זאת באמצעות סלנואיד סליל מוליךעם הרבה טבעות זרם שהשדה המגנטי שהוא מייצר נמצא במרכזו.

  13. נקודה

    מהו בעיניך הנקודתיות חלקיק נקודתי? ומענין כי אתה טוען כי הוא לא מתואר על יד משוואת שרדינגר. אגב הספקת לקרוא על דה-ברוגלי? אשמח גם לשמוע על מה הטענות שלך מתבססות. כמוכן לא הסברת לי איך אובייקט מתמטי (פונקציית הגל )יכול לבצע התאבכות תופעה השמורה לגלי חומר? והאם הפוטון שגם הוא חלקיק יסודי הוא חלקיק נקודתי?

  14. אהוד. אתה סתם כותב הרבה. חזרת פשוט על אותם דברים שאמרת. לא הוספת כלום.
    חלקיקי היסוד הם נקודתיים. והם אינם מתוארים ע"י משוואת הגל אלא ע"י גדלים יסודיים (כמו מסה, מטען, ספין).

    אהבתי במיוחד את "התיקון" שלך שמדובר בריבוע של הערך המוחלט ולא בערך המוחלט, אתה פשוט מגוחך.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

דילוג לתוכן