סיקור מקיף

רבות הדרכים ללב הפיזיקה הקוונטית

על הפורמליזם החלופי של ריצ'רד פיינמן למכניקת הקוונטים התלויה בזמן – ועל הקירובים הקלאסיים שהופכים אותו לנוח למימוש בפיזיקה ובכימיה תאורטית

מאת יהונתן ברקהיים, קוונטים בעברית

גלים קוונטיים היפוטתיים.  <a href="https://depositphotos.com. ">איור: depositphotos.com</a>
גלים קוונטיים היפוטתיים. איור: depositphotos.com

מבוא

לפני כמעט מאה שנה, בשנת 1926, כתב הפיזיקאי ארווין שרדינגר את המשוואה המפורסמת הנקראת כיום על שמו. משוואה זו הניבה תוצאות מדויקות מאין כמותן לגבי מערכות קוונטיות, ואלו נצפו מאז אינספור פעמים בשלל ניסויים. אולם לפורמליזם זה יש מגבלות מובנות שכן לא תמיד ניתן לפתור באמצעותו את המערכות הקוונטיות בצורה אנליטית (למשל, חלקיקים הנתונים בפוטנציאלים מסובכים, מערכות רבות אלקטרונים וכדומה).

כך, במרוצת השנים מכניקת הקוונטים עברה תהפוכות רבות, עד כי כיום ניתן לומר בפה מלא כי מרבית פיזיקאי החלקיקים כלל אינם מכירים במשוואת שרדינגר כישות מעניינת במיוחד. זוהי נותרה בעיקר נחלתם של פיזיקאים אטומיים וכימאים תאורטיים או חישוביים.

לעומת זאת, פיזיקאי החלקיקים, אשר עיקר עבודתם מתבססת על תורת השדות הקוונטית, עושים שימוש בפורמליזם שונה לחלוטין ממשוואת שרדינגר – פורמליזם אינטגרלי המסלול שהמציא ריצ'רד פיינמן, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1965 ואחד מגדולי הפיזיקאים של המאה ה-20. פורמליזם זה הוכח שוב ושוב כיעיל בחישובי תורת השדות – למשל, מערכות רבות חלקיקים, וחישובים בפיזיקת חלקיקים – והוא הנוהג כיום.

בפוסט זה אסביר בתמצית את העקרון העומד מאחורי קירובים סמי-קלאסיים לפורמליזם אינטגרלי המסלול, וכיצד הם מגיעים לכדי מימוש.

ממשוואת שרדינגר לאינטגרלי המסלול

אחד העקרונות היסודיים במכניקת הקוונטים הוא עקרון ההתאמה, שנוסח על ידי נילס בוהר כמה שנים לפני כתיבתה של משוואת שרדינגר. עקרון זה גורס כי בגבולות מסוימים – כמות חלקיקים גדולה או אנרגיות גבוהות – המערכת הקוונטית תשאף להתנהג בצורה קלאסית.

עקרון זה קיבל תצורה מתמטית עם ניסוחו של משפט אהרנפסט. אחת מתוצאותיו הידועות של משפט זה אומרת כי ערכי התצפית הקוונטיים מתנהגים על פי משוואות תנועה קלאסיות. כך למשל, ניתן לקבל את החוק השני של ניוטון (או את משוואות המילטון) מתוך משוואת שרדינגר התלויה בזמן.

קירובים סמי-קלאסיים מבוססים על השילוב בין נקודת המבט הקלאסית וזו הקוונטית, וקשורים לפחות ברמה הקונספטואלית לעקרון ההתאמה. הם מניחים כי חלק מהמערכת מתנהג בצורה קלאסית, וחלק בצורה קוונטית. חשבו למשל על חבילת גלים גאוסיאנית שנעה במרחב ובזמן, תחת פוטנציאל מסוים, וזאת על פי משוואות התנועה הקלאסיות: מצד אחד יש לישות הזו אופי הסתברותי ומצד שני, הדינמיקה שלה תואמת את חוקי ניוטון.

הרעיון המרכזי באינטגרלי מסלול שואב אף הוא את כוחו מהמכניקה הקלאסית. במקום להסתכל על פונקציית הגל כמוטיב הקוונטי המרכזי, אומר פיינמן, נסתכל על הפרופגטור – "מכונה" אשר מקדמת מצב התחלתי של חלקיק מנקודה מסוימת לנקודה אחרת במרחב ובזמן. בהינתן שהפרופגטור קובע באופן מלא את הדינמיקה של החלקיק, למעשה מספיק לחשב אך ורק אותו, והדבר שקול לגמרי לחישוב של פונקציית הגל בכל רגע ונקודה.

כך, מוגדר הפרופגטור ככלי שלוקח את החלקיק מנקודה התחלתית לנקודה סופית תחת דינמיקה שמוכתבת ע"י ההמילטוניאן של המערכת. פיתוח פשוט למדי, אשר אמור להיות מובן לכל מי שלמד מכניקה אנליטית, מחליף את ההמילטוניאן בגודל שנקרא הפעולה הקלאסית. לפי פיינמן, הפרופגטור שקול לסכום על "היסטוריות" שונות של החלקיק, כאשר כל היסטוריה מוגדרת באופן בלעדי על ידי הפעולה. לכל אחת מהן משקל שווה בתוך הסכום, לכן טען פיינמן שההיסטוריות מתנהגות באופן דמוקרטי. כך, בעזרת הפרופגטור ניתן לרשום את האמפליטודה למעבר מנקודה אחת לשנייה ומרגע אחד לשני, על ידי סכימת פאזות כל המסלולים, כאשר הפאזה של מסלול היא למעשה הפעולה הקלאסית.

חישוב מלא של הפרופגטור בשיטה זו דורש כלים מתמטיים ופיזיקליים סבוכים, מה שכמובן לא גורע מכוחו והביא במרוצת השנים להתפתחויות רבות בפיזיקה תאורטית. אולם, פיזיקאים תמיד מחפשים קירובים, וכעת מצטרף לסיפורנו פיזיקאי חתן פרס נובל נוסף – ג'ון ואן ולק. הצעתו של ואן ולק, שפותחה ע"י הפיזיקאי השוויצרי-אמריקאי מרטין גוצווילר, הייתה לבצע קירוב מתוחכם לאינטגרל פיינמן, על ידי פיתוח הפעולה לסדרים גבוהים יותר באמצעות טור טיילור, או אם תרצו – פיתוח פאזה סטציונרית אשר מניח כי התרומה הגדולה ביותר שמגיעה מאינטגרציה על אקספוננט, מתרחשת כאשר הארגומנט שלו מתאפס.

בהינתן פעולה S, נוכל להתבונן גם על הווריאציה הראשונה δS ועל הווריאציה השנייה δ2S. עבור מסלולים קלאסיים, המהווים חלק משמעותי מסך כל המסלולים עליהם סוכמים, מתקיים δS=0 כנובע מעקרון הפעולה המינימלית של המילטון – וגם מעקרון ההתאמה. למעשה, זוהי התכונה היסודית ביותר שמבדילה מסלולים קלאסיים ממסלוליים כלליים כלשהם, והיא שקולה לכל ניסוח מכני המוכר לנו, כמו החוק השני של ניוטון או משוואות אוילר-לגראנז'. הווריאציה השנייה על הפעולה, δ2S, קשורה מתמטית לגודל המכונה סטביליות.

הסטביליות מייצגת את הקשר בין המיקומים ההתחלתיים והסופיים לבין התנעים ההתחלתיים והסופיים עבור מסלול מסוים, וממנה ניתן ללמוד למשל, עד כמה המערכת מאופיינת בכאוטיות. זהו עולם שלם בפני עצמו, הקשור עמוקות לתחום מתמטי טהור בשם גאומטריה סימפלקטית.

מהלכה למעשה

בהתבסס על תכונות הסטביליות התפתחו לאורך הזמן שיטות נומריות שמאפשרות להפוך את "ההלכה", כלומר את אינטגרלי המסלול, ל"מעשה", כלומר לאלגוריתם שניתן לממש באמצעות קוד. אחת השיטות היסודיות בהקשר זה, מאפשרת את החישוב כבעיית תנאי התחלה בבסיס של גאוסיאנים: זהו בסיס שלם המוגדר מעל מרחב פאזה, כלומר אוסף של המון מיקומים התחלתיים אפשריים והמון תנעים התחלתיים אפשריים.  לכל גאוסיאן ישנו משקל (האנלוגי להסתברות) ואשר שתלוי בסטביליות של הבעיה, וכן נלווית אליו פאזה שהיא הפעולה הקלאסית. שיטה זו נקראת שיטת הרמן-קלוק.

באמצעות שיטה זו התקבלו לאורך השנים שורה של תוצאות בתחומי הדינמיקה המולקולרית, הספקטרוסקופיה, תורת הפיזור ועוד. אך הבעיה המרכזית אפוא היא במגבלה המובנית, אשר מקשה על חישוב של אפקטים הנמצאים מחוץ לתחום הקלאסי, כגון מנהור. כפועל יוצא, קשה גם לקבל תובנות על תופעות דינמיות הקשורות באינטראקציה קיצונית בין אור לחומר, למשל יצירת הרמוניות גבוהות, שעליה דיברתי בפוסט הקודם שלי.

על מנת להתגבר על הבעיה הזו, הציע הכימאי התאורטי פרופ' דיויד טנור ממכון ויצמן למדע (המנחה של כותב מילים אלה) את השימוש בפעולה קלאסית מרוכבת, אשר ממנה נגזר סט של גדלים מרוכבים – מקום, תנע ונרמול של פונקציית הגל. ייצוג הבעיה בבסיס הגאוסיאנים, בדומה לשיטת הרמן-קלוק, אך כבעיית תנאי סיום (FVR), יחד עם המרה של משוואת שרדינגר באוסף משוואות הלקוחות מתחום ההידרודינמיקה הקוונטית (מכניקת בוהם-דה ברויי), מאפשרת קבלת תובנות החורגות מהתחום הקלאסי (כמו למשל על תהליכי מנהור), והכל כנגזר מהפרופגטור שעבר שורה של קירובים. כמובן שגם לשיטה זו, המכונה FINCO, יש בעיות משלה הנובעות מתופעות מתמטיות הייחודיות למישור המרוכב, שכן כמו שנאמר – אין ארוחות חינם.

הדינמיקה הסמי-קלאסית היא ג'ונגל קסום שמצוי על פרשת דרכים בין פיזיקה, כימיה תאורטית ומתמטיקה לא טריוויאלית כלל ועיקר. על אף היותה יסודית, ואולי דווקא בגלל זה – היא כל כך מעניינת.

עוד בנושא באתר הידען:

5 תגובות

  1. הדבר המפליא בסכום אינטגרלי המסלול של פיינמן הוא שהוא כולל הסתברויות לחלקיק להיות במרחקים גדולים מאוד מהמסלול הישיר הקלאסי או כפי שכתב: בדרכו הקצרה מהקתוד לאנוד האלקטרון גם קופץ בדרך לביקור בגלקסיית אנדרומדה.

  2. תהיה בריא. זה באמת מאמר קשוח למביני עניין בלבד. הנושא מאוד מעניין, רק חבל שהוא לא נכתב בצורה נגישה לציבור רחב יותר.

  3. פעם ראשונה שאני רואה מאמר ברמה כזאת.

    הרבה דברים ממנו לא הבנתי, ועדיין פעם בכמה זמן זה נחמד מאמר ברמה כזאת גבוהה .

    אז לא תבינו הכל, אבל תגגלו על פיינמן, המילטוניאן וכו' ותלמדו הרבה

  4. מדע פופולרי זה לא. בדרך כלל המאמרים שלכם מדברים להדיוטות כמוני. הפעם לא.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

דילוג לתוכן