הקבוע הקוסמולוגי: הטעות החמורה של איינשטיין שהובילה לפרס נובל בפיסיקה

חלק א: מהיקום הסטטי של אינשטיין ועד היקום הריק המתפשט והמאיץ של דה סיטר

אלברט איינשטיין סיפר במכתב לחברו הטוב מהולנד פול אהרנפסט ב-4 לפברואר 1917 שהוא “שוב פעם ביצע משהו בתורת הכבידה שמאיים להחזיקני בהסגר בבית חולים לחולי נפש לא שפויים. אני מקווה שאין לך כזה בלידן, כך שאוכל לבקרך בביטחון”.

לאינשטיין באמת הייתה סיבה לדאוג מהתגובה של הקולגות שלו. הוא עלה לפודיום באקדמיה הפרוסית למדעים, והודיע לקולגות שהביטו בו בתדהמה: “עובדה היא, שהגעתי למסקנה שמשוואות השדה של הכבידה שהצגתי עד כה זקוקות לתיקון קל, כדי שתורת היחסות הכללית, תמנע מהקשיים היסודיים שאנחנו… הראנו שמיושמים לתורה של ניוטון”. התיקון היה הקבוע הקוסמולוגי.

הבה נביט תחילה על היקום של ניוטון. נחשוב עליו כעל יקום אינסופי. מה יקרה אז?
צפיפות המסה של היקום תשאף לאפס. אינשטיין חשב שלאורך הזמן התנועה האקראית של הכוכבים שנעים ביקום הזה תיצור את אפקט כדור הביליארד כאשר החומר יעלם לאינסוף: כוכב אחד אחר השני יזנקו בקפיצה “מספיק גדולה כדי לשלוח את הכוכב הזה במסלולו לאינסוף, בעוד הוא אף פעם לא יוכל לשוב חזרה”. אם נחכה מספיק זמן היקום הניוטוני הזה יוותר בסופו של דבר ריק לחלוטין: “העלמות של הצפיפות באינסוף… רומזת על העלמות של הצפיפות במרכז”.

אולם היקום שלנו קיים וכפי שאנחנו יכולים לראות בעצמנו, הוא צפוף, עשיר וארוז בחומר – השמש, הפלנטות שלנו ומיליוני כוכבים שזורים במארג של שביל החלב. הגרסה של ניוטון – או יותר נכון לומר – התיאור של התנהגות היקום בסקאלת היקום כפי שפותחה על ידי ממשיכי דרכו של ניוטון בהתאם להשקפת העולם המכניסטית תוך שימוש בפיזיקה שלו, היא בבירור לא יכולה לתאר את מה שלמעשה רואים אי שם ביקום.

לפיכך אינשטיין חיפש ליצור מודל חליפי משלו שיחליף את זה של ניוטון. האם הסתירות האלה יכולות להתיישב כאשר מציעים מודל חליפי ליקום לפי משוואות השדה של תורת היחסות הכללית המקורית של אינשטיין אותה הוא הציג ב-1915? האם הסתירות מיושבות בתוך תורת היחסות הכללית כאשר מציעים מודל של יקום אינסופי? אינשטיין הבין שהתשובה היא לא; וזו הסיבה מדוע הוא הציע בפני האקדמיה הפרוסית אלטרנטיבה לה קרא משוואות השדה של תורת היחסות הכללית מ-1915 + הקבוע הקוסמולוגי ויקום סטטי.

האלטרנטיבה שאינשטיין הציע והתיקון למשוואות היחסות שבא בעקבותיה היא הבאה:
אינשטיין בהתחלה הציע את הגרסה שלו למבנה היקום. הוא ביצע שתי הנחות קריטיות:
1. היקום מכיל צפיפות ממוצעת של חומר שהוא “בכל מקום זהה ושונה מאפס”.
2. הוא סטטי, ללא שינוי במבנהו על פני הזמן. כלומר, כאשר עושים ממוצע עלפני כוכבים רבים, היקום הוא אחיד ובעקרו סטטי.

תוך ביטוי של שתי הנחות אלה בצורה מתמטית, אינשטיין גזר פתרון למשוואות השדה שלו מהיחסות הכללית שיתאר את ההתנהגות של מודל זה של היקום כולו. הפתרון תאר מצב של שיווי-משקל לא יציב. בשפה פשוטה, היקום שעולה מפתרון זה הוא חסר גבולות, אבל הוא סופי. הוא קיים כסוג של כדור ארבע ממדי, “היפרספירה”. למשטח הכדור אין גבולות, אין סוף, אבל יש לו שטח סופי או נפח סופי. ניתן לנוע סביב-סביב על המשטח של הכדור ואף פעם לא ליפול. יש כל כך הרבה קרקע לכסות ויותר.

ליקום של אינשטיין אין סוף והוא מקיף נפח סופי של מרחב-זמן. בתוך הנפח הזה מונח כל החומר כולו והאנרגיה כולה של היקום, כך שליקום יש גם צפיפות מסה סופית וחיובית (או מסה-אנרגיה סופיים), וזה תואם לתנאי הראשון מבין התנאים של אינשטיין. הסך הכולל של החומר והאנרגיה יצרו שדה כבידתי ביקום, שקבע את צורת המרחב-זמן למערכת כולה: יקום שנוצר במשטח ארבע-ממדי עקום. שימו לב שביקום כזה קרן אור צריכה לחזור לעצמה. במילים אחרות, כוכב צריך להיות נראה לא רק בכיוון אחד אלא גם בכיוון ממול בדיוק, אילו הממדים של היקום לא היו גדולים במיוחד ואילו אור הכוכבים לא היה עמום כל כך.

ככל שזה התקדם עד עתה המושג של אינשטיין נראה בסדר גמור. אבל נותרה בעיה אחת… כאשר היקום של אינשטיין נעזב לבדו, הוא לא יכול להיעזב ולעמוד בשקט. כאשר מניחים שלא קיימים כוחות חיצוניים הפועלים, הכבידה הכוללת של מערכת תוביל לקריסתו על עצמו. או לחילופין, דחיסה התחלתית כלשהי החוצה או שינוי אבולוציוני בעקמומיות של המרחב-זמן יכלה להניע להתפשטות של היקום על פני הזמן. דבר אחד היה ברור, מבלי לתקן את משוואות השדה של היחסות הכללית מ-1915, היקום של אינשטיין לא יכל להישאר קבוע במקומו כפי שהוא, ללא שינוי, במשך הזמן.

הרעיון של יקום דינאמי מתפשט בזמן, כזה בשטף קבוע, היה מעין תועבה עבור אינשטיין. ראשית, התורה צריכה להביט על העולם כפי שהוא מוצג בפניה על ידי צופים. המהירויות היחסיות הנמוכות הנצפות של הכוכבים הובילו את איינשטיין להנחה שהייתה כמעט בלתי נמנעת ב-1917, היקום הוא סטטי.

שנית, ב-1917 מעט מאוד פיזיקאים תפשו כמה גדול הוא היקום. הגלקסיה שלנו – שביל החלב – עדיין באופן כללי נראתה ככל מה שיש, והיא נתפשה בעיקר כסטטית. למעשה שביל החלב הובנה כיקום כולו. נכון שוסטו מלבין סליפר, בעודו צופה בספקטרומים מהערפיליות הספיראליות ב-1910 גילה עדיפות להסחות לאדום, מהסוגים שייווצרו בהתפשטות על ידי אפקט דופלר, אבל איש באותה תקופה לא ידע מהן הערפיליות הספיראליות. היה צריך לחכות עוד 13 או 14 שנה עד שאדווין האבל יחקור את ערפילית אנדרומדה ואז יבינו שהערפיליות הספיראליות הן למעשה גלקסיות רחוקות, צבירי כוכבים שהם בכלל מחוץ לגלקסיה שלנו. בכלל לא ידוע האם אינשטיין היה מודע להסחות לאדום של סליפר ב-1917. אבל ברור שאינשטיין ידע על משהו אחר שיכל להפיק הסחה לאדום של קווים ספקטראליים: השדה הכבידתי.

אינשטיין לכן תיקן את בעיית היקום שלו על ידי זה שהוא הוסף איבר חדש למשוואות הכבידה שלו מנובמבר 1915, “הקבוע הקוסמולוגי”. כפי שאינשטיין ציין במאמרו מ-1917, הקבוע הקוסמולוגי נדרש בגלל ההנחה שהיקום שאותו אינשטיין הציע הוא סטטי, לא בגלל שהוא סופי. הקבוע הקוסמולוגי שירת כביטוי של מעין אנטי-כבידה, כוח שדוחף החוצה בין המסות בשדות הכבידה שהן מושכות פנימה. הוא פעל ככוח דוחה שגודל עם המרחק בעוד שכוח הכבידה המושך יורד עם המרחק. למרות שישנה צפיפות מסה קריטית שבה כוח דוחה זה פשוט מאזן את כוח המשיכה הכבידתי, האיזון הוא לא יציב. התפשטות קלה תגדיל את הכוח הדוחה ותקטין את הכוח המושך כך שההתפשטות תאיץ. זה קושי שאינשטיין היה אמור לראותו כאשר הוא הציע את הקבוע הקוסמולוגי! בשפה של היחסות הכללית, הקבוע הקוסמולוגי הופך את כיוון העקמומיות של המרחב-זמן שנוצרת על ידי השדה הכבידתי; אולם גם בניסוח זה אותה בעיה נותרת.

התיקון היה קטן והוא לא נראה כמשנה את המסקנות של היחסות הכללית אודות המסלול של מרקורי וכדומה. אבל לא היה לו כל בסיס בכל רעיון פיזיקאלי מעשי או בתצפית כלשהי בעולם האמיתי. הקבוע, היה, כפי שאינשטיין הבין, “כרגע לא ידוע.. והוא לא מוצדק על ידי הידע המעשי שלנו אודות הכבידה”. אבל עדיין הוא ביצע את העבודה. תוך הוספת הקבוע הקוסמולוגי ליחסות הכללית, היקום של אינשטיין זכה להצלה בצורה טובה, הוא עמד במקום, ולא השתנה לאורך הנצח כולו (כמעט…).

מיותר לומר שהסיכוי לאימות האפקט שאותו תאר אינשטיין באמצעים אסטרונומיים – “הנוכחות הכפולה” של כוכבים רחוקים – וכך אימות של המודל של אינשטיין ליקום – היה קטן ביותר. באמצעות הטלסקופים הטובים ביותר דאז אסטרונומים יכלו לראות בערך עשרת אלפים שנות אור, בעוד שהמסקנות של אינשטיין שהתבססו על נתונים מקובלים על התפלגות הכוכבים, הניחו שהיקום היה בעל רדיוס של פי אלף גדול יותר – כלומר, עשרה מיליון שנות אור.

באותה שנה בדיוק ב-1917, וילהלם דה סיטר הציע פתרון אלטרנטיבי למשוואות אינשטיין + הקבוע הקוסמולוגי. המודל הקוסמולוגי של דה סיטר לא היה סטטי – התפשטות היקום של דה סיטר הייתה מאיצה. כזכור אינשטיין נתפס בעקשנות רבה לשתי אמונות בנוגע ליקום שלו שהנחו אותו בבניית המודל הקוסמולוגי שלו: היקום הוא סטטי והמבנה המטרי שלו לגמרי נקבע על ידי חומר, כלומר שהשדה המטרי שלו מספק את מה שהוא כינה שנה מאוחר יותר ב-1918 עקרון מאך. והנה דה סיטר מציע פתרון ואקום למשוואות השדה של אינשטיין ומציע כך דוגמת נגד לעקרון זה. אין חומר שיצור את התעקמות המרחב-זמן שאותה היקום תאר. אינשטיין ניסה להיפטר מיקום דה סיטר והתקיפו בכך שטען שהפתרון הוא לא סטטי ושהוא ככלות הכל לא חופשי מחומר. כלומר, איינשטיין חיפש חומר מתחת לאדמה ביקום המתפשט בצורה מאיצה של דה סיטר. אינשטיין ניסה למצוא טעות במודל דה סיטר והוא ניסה לטעון שבמודל דה סיטר יש סינגולאריות.

במרץ 1917 דה סיטר שלח לאינשטיין השוואה זו לצד זו של שני המודלים: שלו ושל אינשטיין. הוא המיר את המודל שלו “ההיפרבולואידי” לקואורדינאטות חדשות שהן בלתי תלויות בזמן. ואז התקבלה הצורה הסטטית של פתרון דה סיטר. צורה זו בגיאומטריה המרחבית של פתרון דה סיטר היא זהה לזו של הפתרון של אינשטיין – “ההיפרספירה” במרחב אוקלידי ארבע ממדי. אולם בניגוד למודל של אינשטיין הרכיב הזמני של המטריקה הסטטית של דה סיטר הוא משתנה ונעלם בקו המשווה. ואינשטיין טען שהתנהגות סינגולארית כזו של המטריקה היא לא מקובלת ולכן היא מצביעה על נוכחות של חומר בקו המשווה.

אינשטיין היה משוכנע שהסינגולאריות במטריקה בקואורדינאטות הסטטיות היא לא רק תוצר לוואי של המיפוי – כתיבה של המודל בקואורדינאטות חדשות, בקואורדינאטות בהן משתמשים – אלא נראה היה לאינשטיין שהאיום שהציב הפתרון של דה סיטר על עקרון מאך הוסר. דה סיטר הסביר שהסינגולאריות היא תוצר לוואי – שימוש של הקואורדינאטות הסטטיות ולכן לא סינגולאריות אמיתית. המודל של דה סיטר אכן איים על עקרון מאך.

הויכוח על המודלים של דה סיטר ואינשטיין המשיך בהתכתבויות של אינשטיין עם המתמטיקאים הרמן וויל ופליקס קליין. לבסוף פליקס קליין שלח לאינשטיין מכתב בו הוא קובע בין השאר שסינגולאריות בקו המשווה בצורה הסטטית של פתרון דה סיטר היא תוצאת לוואי של הדרך שבה קואורדינטת הזמן מוכנסת. הנושא העיקרי של המכתב היה לומר לאינשטיין שניתן על ידי טרנספורמציה לגרום לסינגולאריות בקו המשווה להעלם ולכן זה לא מראה כלל על נוכחות של חומר במודל של דה סיטר.

בסוף אחרי שכנועים מעטים אינשטיין קבל שפתרון דה סיטר הוא ללא חומר אבל הוא כנראה לא קבל את פתרון דה סיטר כמודל קוסמולוגי אפשרי. הוא עדיין סבר שכל מודל קוסמולוגי מקובל צריך להיות סטטי. אינשטיין לכן נאלץ לקבל שפתרון דה סיטר הוא דוגמת נגד לעקרון מאך, כפי שניסחו ב-1918 והביקורת שלו על פיתרון דה סיטר דורשת תיקון. משוואות השדה שלו כולל הקבוע הקוסמולוגי אפשרו פתרונות חופשיים מחומר ופתרון של יקום מתפשט בצורה מואצת. מה עושים?… חכו לפרק הבא.