מספרים ראשוניים מרסניים הם מספרים מהסוגp^2-1כאשר החזקה P גם היא מספר ראשוני
חוקרים מטעם האיגוד האינטרנטי למציאת מספרים ראשוניים מרסניים (GIMPS), גילו ככל הנראה את המספר המרסני ה-45 ובכך קבעו שיא עולמי.
האיגוד האינטרנטי למציאת מספרים ראשוניים מרסניים הודיע השבוע כי מחשב דיווח לשרת שלהם על מציאת מספר ראשוני מרסני.
מספרים ראשוניים מרסניים הם מספרים מהסוגp^2-1 כאשר החזקה P גם היא מספר ראשוני.
מספר ראשוני מרסני הוא כה נדיר עד כי תהליך החיפוש הממוחשב עשוי להמשך חודשים ואף שנים. בדיקת תקינות עבור המספר ה-45 תמשך כשלושה שבועות ובסופה, המוצא המאושר עשוי להזדכות ב-100,000$ מטעם קרן החזית האלקטרונית.
מארין מרסן, שעל שמו קרויים המספרים המרסניים, היה נזיר צרפתי מהמאה ה-17, פילוסוף, תיאולוג, מתמטיקאי, תיאורטיקן של המוזיקה ומדען שתרם לתורת המספרים בתגליתו.
האיגוד האינטרנטי למציאת מספרים ראשוניים מרסניים מבוסס על חישוב מבוזר קהילתי בו יכול כל מי שרוצה (ושברשותו מחשב חזק דיו), לקחת חלק בניתוח ואיתור מספרים מרסניים. המספר הראשוני המרסני ה-44 נתגלה בספטמבר 2006 ע”י שני חוקרים מאוניברסיטת סנטרל מיסורי, וכלל 9.808358 מיליון ספרות.
55 תגובות
יהורם:
כמובן שאתה צודק.
אני מניח שהתקלה נובעת מבעיות בתכנית העריכה של האתר (נסה לכתוב כאן נוסחאות ותראה כמה קשה לגרום לכך שמה שרצית שיוצג אכן יוצג).
שים לב שהמגיבים הקודמים כלל לא שמו לב לטעות ובכל זאת הבינו בדיוק באיזה מספרים מדובר.
מתגנבת ללבי המחשבה שמא בגרסה קודמת של תכנית העריכה אותו קלט בדיוק הוצג נכון ושינוי כלשהו בגרסת תכנית העריכה שינתה את התוצאה.
P^2 -1 זה מספר זוגי לכל P ששונה מ 2.
כנראה הכוונה הייתה ל 2 בחזקת P ולא ל P בחזקת 2.
בידיעה שפרסמה יעל פטר נמצא מספר מרסן הגדול ביותר (ה-45 במספר)
בספטמבר 2008
:לפי הצעתכם נכנסתי לאתר המדבר על מספרי מרסן ומצאתי את הידיעה הבאה
October 20, 2008:
New GIMPS Server goes online
New Client Software available
47th Known Mersenne Prime Found!
Verification in progress.
ידיעה זו מחייבת עדכון המידע שלכם
מיכאל, תודה רבה !
אגב, זה מה שעורר אצלי את השאלות:
http://www.haaretz.co.il/hasite/pages/ShArtPE.jhtml?itemNo=201445&contrassID=2&subContrassID=2&sbSubContrassID=0
מיכאל, תודה רבה !
אני חושב שאנסה לכתוב תוכנית לפי הטיפים שלך – כאמור, רק בשביל התרגול העצמי.
אגב, זה מה שעורר אצלי את השאלות –
http://www.haaretz.co.il/hasite/pages/ShArtPE.jhtml?itemNo=201445&contrassID=2&subContrassID=2&sbSubContrassID=0
טוב – גם כאן התקלקל קצת כי ה 2 הראשון התחלף עם הגרשיים אבל אני מקווה שזה מובן בכל זאת.
בסעיף 2 סדר המילים קצת התחלף.
אנסה לכתוב את המילים מחדש בתקווה שלא יתחלף בשנית.
צריך להיות "כי מלבד 2" ולא "מלבד 2 כי"
גוסטב:
לא קשקשת שטויות אבל לא תתפלא לדעת שיש דרכים טובות בהרבה לעשות את העבודה.
אין טעם לפרט כרגע אבל חשוב על הדברים הבאים:
1. מספר האחדים – כפי שהוסבר – צריך להיות ראשוני בעצמו – אין צורך לבדוק לגבי מספרים המורכבים ממספר אחדים שאינו ראשוני.
2. אין טעם לחלק במספרים זוגיים מלבד 2 כי כל הראשונים אינם זוגיים.
3. למעשה אין טעם לנסות לחלק במספרים שאינם ראשוניים כי כל מספר פריק מתחלק בראשוני.
4. אין טעם לנסות לחלק במספרים שגדולים משורש המספר כי כשמספר מוצג כמכפלה של שני מספרים אחרים – תמיד אחד מהם קטן מן השורש או שווה לו.
5. כל הנ"ל זה רק קצה הקרחון. יש אלגוריתם פולינומיאלי לבדיקת ראשוניות (ולא ניכנס כרגע להגדרת המונח פולינומיאלי מלבד זה שנאמר שהוא הרבה יותר יעיל כאשר מדובר במספרים גדולים באמת).
שאלת תם (מאוד תמים !): האם טכניקה אפשרית למציאת מספרים ראשוניים מרסן תהיה, אפוא, לתת למחשב להתקדם בלולאה ממספרים בינאריים שכולם מורכבים מ – 1, לתרגם אותם לעשרוני ואז לבדוק אם הם עומדים בתנאי?
במילים אחרות, האם אלגוריתם כזה יעבוד? סתם בשביל הספורט חשבתי בתחילה על לולאה הפשוטה שמחפשת ראשוניים (כל מספר בלולאה מנסים לחלק בלי שארית ל – 2, 3, 4, וכן הלאה עד שמוצאים מחלק ואם לא – אז יש לנו ראשוני) ואז על כל ראשוני שמוצאים עושים בדיקה אם הוא ראשוני מרסן. אח"כ חשבתי לבדוק רק את הבינאריים שמורכבים רק מ – 1.
האם אני בכלל בכיוון, או שקשקשתי שטויות?
אגב, מרסן בתמונה למעלה נראה כאילו תפסו אותו ב… "שעת מעשה", או שמה שהוא מחזיק שם ביד זה לא מה שאני חושב?
ערב צח יקיריי, בדקתי את הנושא והכל שטויות במיץ תות בננה, הגעתי למספר המרסני הראשוני ה- 69 ושם מתגלה הבדיחה שגרמה להתפרצות המפץ הגדול, שלאחריה הדינוזאורים חדי הרגל ומשולשי האשכים דילגו להנאתם עם ירון לונדון וחבריו המלומדים.
בקיצור, תפסיקו לקשקש שטויות, מה שאתם מעשנים לא עושה לכם טוב.
או כמו שאמר הרצל בשעתו היפה: "ההממלבלבללכלשדגלדלגל!!!".
כן ירבו גאונים כמוכם, פרו ורבו ומלאו את כל הארץ!
שתהיה לכם שנה טובה, חג שמח וצום קל וכשר.
וזה יקרא בספר האחרית -לחוקיות המראות השבורות והמעללים:
"הסונטה
להוגין..השוויצרית-המופלאה"-למתקדמים בלבד.
בברכת הארה..לחלקיק ההאצה.
מונין ואודין/לשבטי ישראל – ויהודה…
(לא לשכוח את מספרי מארין מרסן-לראשוניים,כמובן)
סונט יקר!
צודק אתה בלפחות חלק מדבריך, וליבי, ליבי, לעלילת התפחמות ציציותיך!, אין ספק שהוגין היגזימה בתגובתה הבוערת, אבל, מר סונט יקר, הבה נהיה סלחניים לבנות המין היפה המגיבות כאן ואל תכעס עלינו שדאגתינו לציציותיהן היפות ,רבה יותר מהדאגה לציציותיך הבוערות (למרות כל הכאב שאתה מרגיש בצדק)
אז שיהיה לך יום טוב
בחיוך
ואנא לא לכעוס
סבדרמיש יהודה
סבדרמיש – מה אתה קופייץ? כמה פעמים היא התייחסה אליך בפטרונות פלצנית? רק אנשים חסרי חוט שדרה ימצאו חוכמה בשפה מעורפלת.
לחיזוק טענותי ראו תגובות 18, 20, ו – 37; תגובה 18 אומרת הכל (או כלום.)
בקיצור, רעש מיותר.
נספח:
* השכלתי: רבה היא…
* הקילומטרז’ באתר: שנים מספר…
* “ציציותייך המפוחמות” – ?!
לאדון הסונט
גישתך הנלוזה להוגין שלנו, מעוררת שאת נפש מכל מגיב ידען ממוצע.
רק אנשים חסרי השכלה יגדירו דבריי חוכמה כשפה מעורפלת.
צורת התבטאותך היא לא מה שמקובלת כאן באתר.
לילה טוב
סבדרמיש יהודה
לאדון הסונט
בהתייחס להתלהמותך,האם החלטת לייצג בדרך נלעגת את מועצת הסכלים??
מוטב שתלמד עוד הרבה,לפני שאתה מלעיז.
בדוק את ציציותייך המפוחמות,לפני שאתה מחליט מה מקובל פה.
לא יודע מה לגביכם אבל התגובות של העלמה "הוגין ומונין..של אודין.." בדרך כלל ניראות לי מטופשות ולא לעניין (בוודאי לא אינטילגנטיות מספיק על מנת לתת לה במה נוספת…). יתכן מאוד שמדובר פה בטרול?! (גם הדיעות, ובטח השפה המעורפלת, לא ממש מסתדרות טוב עם מה שמקובל פה באתר)
אבי. הצעה לשדרוג האתר -תבדוק את האפשרות לכלול צאט באתר
נראה לי שיש כאן המון אנרגיות מרוסנות כמעט במו בסרן (אתר המאיץ החדש)
נראה לי שנקרא לספר הבא: "שם הצופן -מרסן"
היכן שכתבתי P צריך להיות N
ט.ל.ח.
אתה צודק אריה, ולמען הסדר הטוב אצטט את הקטע הרלבנתי מויקפדיה:-
In mathematics, a Mersenne number is a number that is one less than a power of two,
Mn = (2^n)- 1.
A Mersenne prime is a Mersenne number that is a prime number
כלומר מספר מרסן הוא (2 בחזקת P )מינוס 1, כאשר P הוא ראשוני.
אם מספר מרסן המתקבל הוא ראשוני אזי המספר ייקרא מספר מרסן ראשוני.
לדוגמא :-
ניקח מספר ראשוני N=3 , שניים בחזקת N הם 8 , נחסיר אחד קיבלנו 7. 7 הוא מספר מרסן אבל 7 הוא גם מספר מרסן ראשוני.
לעומת זאת ניקח N=11 , שניים בחזקת 11 הם 2048 , פחות 1 נקבל 2047.
2047 הוא מספר מרסן, אבל הוא לא מספר מרסן ראשוני, כי 2047=23*89,
אז טוב שאריה האיר את עיננו לבעיה, ומעכשיו נדייק, מספריי המרסן שמחפסים הם מספרי מרסן הראשונים וכיום נימצא המספר ה- 45 בסידרה.
ערב טוב
סבדרמיש יהודה
אני מעיר כי זה הפריע להבנתי עד שבררתי את העניין.
כידוע לכל הקוראים והמגיבים (ולי זה לא היה ידוע או זכור כאשר קראתי לראשונה את הכתבה והתגובות) מספר מרסן הוא כל מספר מהצורה n^2 – 1 ואילו הכתבה מדברת על מספרי מרסן ראשוניים.
גם בכותרת וגם בחלק מהתגובות כתוב סתם מספר מרסן (ללא ציון – ראשוני).
אז ייתכן שלידענים זה מובן מאליו בהקשר לכתבה זו, אבל הדיוק חשוב לטובת אלה שלא כל כך יודעים.
למגיב המגניב
אל תתעצב מגניב יקר, בכל זאת צורפה לנו מבנות המין היפה רק הוגין , ואת יעל יעלת החן קבלת אתה.
אני חושב שזה די הוגן.
חלומות נעימים
סבדרמיש יהודה
הי,אתה המגנוב האולטימטי שלנו, בונים עליך…ביי
שתהייה לך שנת לימודים פוריה.
אוקי,גם מרוסנת על הצד הטוב…
מה איתי? איזה אפליה
לשי הכהן
נחשוב על איזה מאמר שלפחות יזעזע כמה פרדיגמות (ניוטון, מסה אפלה וכו’).
ולמיכאל היקר-
שמת לב ששמו אותנו…. ביחד!
כמובן, אין מה להשוות, אני- יהודה, ואתה והשאר- “אחרים”.
תרשה לי להנות מכמה רגעים של תהילה עד אשר אתה ו..ה”אחרים”, תגיבו.
אני מבקש ממך, ומהמגיבים ה”אחרים” להגיב בעדינות בשעתי היפה.
יום ניפלא!
סבדרמיש יהודה
זה דיון מספרי מידי בשבילי 🙂
יהודה ואחרים !
אני קורא באתר כבר חודשים ונתקל בהרבה תגובות שלך, של הוגין, מיכאל ועמי בכר, היגס וועוד כמה חבר’ה מאד חכמים. תכתבו גם אתם מאמרים וכתבות וכולו’ על הדברים שיש לכם להגיד. זה ממש מעניין אותי ואני חושב שגם אחרים לקרוא מידע מעשיר, חד ואינטיליגנטי !
אני גם מאד אוהב לקרוא את ד”ר נחמני ורוזנטל. רן לוי צריך לכתוב יותר.
אתר לאינטיליגנטים 🙂
סבדרמיש יהודה
אם כבר אם כבר לשאלה מדוע המשימה כה כבידה?
בחישוב גס בשימוש בשיטות ניפוי שונות מספר החישובים הוא כ- N log n
כמדומני עבור כל ביט נוסף שזה בערך מספר הספרות כפול המספר עצמו פעולות חישוב עבור כל ביט נוסף בשרשרת. חשבו בעצמכם זה הרבה מאד עבודה גם אם מחלקים את זה למספר מחשבים במקביל.
להיגס
ואם כבר, כדי שנוכל לעזור למגיביי הידען החפצים למצוא את מרסן 46 אני שולח אותם למחשבון שיכול לחשב עד מיליון ספרות משמעותיות:-
https://www.hayadan.org.il/bigest-mersennenumber-0309083/#comment-94356
אז בהצלחה
סבדרמיש יהודה
ליהודה
בא ואעזור לך לפשט עוד טיפה עבור אלו שזקוקים
מספרי מרסן והחזקה מיוצגים בינארית בזכרון המחשב כשרשרת ביטים שכולם במצב ON
כלומר 32,582,657 שלושים ושתיים מיליון וכו’ ביטים (דלוקים) 1111111…… אחדות וכזה הוא כל מספר מרסן. כלומר מספר הספרות הוא המספר עצמו ביצוג הזה.
במעבר מהשיטה הבינארית לעשרונית זה בערך כשליש מספר הספרות.
ולבסוף המספר ה-44 תופס כארבעה מגה בייט בזכרון המחשב. וכאשר בימינו מחשב אישי
שקונים בסופר מגיע עם זכרון פנימי של לפחות 1 גיגה בייט כלומר פי 250 מאורכו של המספר. זאת גם הסיבה שמחשב ביתי מסוגל לטפל בחישובים מהסוג הזה.
מקווה שזה היה מספיק פשוט ושאין יותר מידי שגיאות כתיב ותחביר.
לפגוש
הנוסחה שהבאת אינה עומדת במבחן המציאות גם במספרים קטנים.
לדוגמא:- מספר מרסן מספר 12 בנוי מהמספר הראשוני 127 והוא מכיל 39 ספרות ואילו למספר מרסן שבא אחריו יש קפיצה גדולה והוא בנוי על המספר הראשוני 521 והוא מכיל כבר 157 ספרות. לא יכול להיות שהבדל כל כך גדול בין שני המספרים העוקבים יוכל להתבטא בנוסחה שלך.
הצעתי, שאותה קראתי באחד האתרים על מספרי מרסן, לרשום את מספרי מרסן לפי בסיס 2 ולא לפי בסיס עשרוני. בצורה זו מספרי מרסן יירשמו רק עם אחדים.
לדוגמא: 3 שווה ל 11 לפי בסיס 2,
7 שווה ל 111 לפי בסיס 2,
31 שווה ל 11111 לפי בסיס 2, וכו’.
כך שאין צורך לעבור על כל הספרות העשרוניות ויש לבדוק רק את אלא שצורתן הבינארית תהיה כפי שהסברתי. חסכון קטן.
הסברים נוספים תוכל לראות באתר ששלח לי מיכאל:-
http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime
נו מיכאל, מרגישים שעשיתי שעורי בית עם האתר ששלחת אותי אליו?
יום טוב
סבדרמיש יהודה
תגידו לי:
שום דבר לא מרסן את הדיון הזה?
לפגוש
לגבי מספר מרסן ה 44 :-
(2 בחזקת 32,582,657 ) פחות 1 ייתן לך בדיוק מספר עם 9,808,358 ספרות.
לגבי הנוסחה שהבאת- אני מאמין שניתן לשפר אותה כך שבמספרים הגבוהים היא תיתן פחות
לילה טוב
סבדרמיש יהודה
32,582,657 הוא מספר מרסן ה-44? אם כן הוא לא כולל 9 מליון ספרות ככתוב בכתבה.
מסידרת המספרים שנתן נקודה עשיתי אקסטרפולציה מעריכית ובקרוב לא רע יוצא שהמספר הבא או המספרים העוקבים הבאים יהיו =
Y=1.7021*e^0.3941x
כאשר X הוא המספר הסידורי של מספר מרסן ו-Y הוא בערך הערך שלו. בערכים הנמוכים זה עובד נהדר. בגבוהים פחות.
נעשה כמה נסיונות:
נניח, מה מספר מרסן ה-20?
מהנוסחה מתקבל 4509 בעוד המספר האמיתי הוא 4423
המספר העשירי המחושב הוא 87 בעוד המס’ האמיתי הוא 89.
המספר ה-36 יהיה בערך 2,469,343 לפי הנוסחה, בעוד ערכו האמיתי הוא 2,976,221
המספר ה 44 שמחושב הוא 57,786,328 בעוד המס’ האמיתי הוא 32,582,657. זו כבר חריגה גדולה מאוד
נראה שמהמספר ה 40 ומעלה מספרי מרסן לא מתקדמים באופן מעריכי או לכל הפחות (מפאת חוסר נקודות) מקדם האקספוננט בהם משתנה באופן דרמטי.
אולי הערכות מהסוג הזה יכולות להקל על חישובים עוורים של חישוב המספר הכרונולוגי הבא?
אם הפיתוי הוא ה"כסף",ולא האישו עצמו..תזהרו לא לפול לשום "עוקץ"..מרסני ..
הבחירה כמובן..
בקיצור,לא ענייני…..
הע/ארה
קיים קשר הדוק בין מספרי מרסן למחשבים בכלל.
כיוון שכל מספרי מרסן הם למעשה שרשרת ביטים בינארית כאשר כל הביטים במצב ON
כלומר ביט סטרינג של "1"
כאשר אורך השרשרת מבטא את המספר המדויק
זאת כנראה גם הסיבה שהפרס ניתן ליושבי קרנות המחשב מאת החזיה האלקטרונית
מחשבה שעלתה במוחי גם ,יתכן וישנה כאן רמיזה כלשהי לתוצאות כמה גילויים קרובים,
טוב זו רק השערה,כי יש פה צרוף תרחישים מוזר ומעורר תהיות ..
לא תמיד ניתן לענות מראש על שאלת השימושיות.
לא מוכרים לי כרגע שימושים מעשיים של מספרי מרסן אבל, מעבר לעובדה שיכולים להיות שימושים שלא מוכרים לי, קיימת תמיד האפשרות שמישהו ימצא למספרים אלה שימוש בעתיד.
אגב – שמתי לב לכך שהמשפט שניר הזכיר מופיע גם בקישור הראשון שהבאתי והוא אף מצביע לקישור השני.
נותרת השאלה- האם יש חשיבות למספרים הנ"ל?, כי נראה הדבר שהם רק לשעשוע מתמטי (אם כי אפשר לפעמים להרוויח מאה אלף דולר)
ערב טוב
סבדרמיש יהודה
ניר:
זה נכון כפי שניתן לראות כאן:
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_numbers
פעפ שלחתי לגליליאו תגובה על מאמר שפורסם שם בנושא מספרי ערפד והראיתי קשר גם בין קבוצות שלהם למספרי מרסן אבל זה סתם קוריוז כי לדעתי מספרי ערפד הם באמת חסרי כל חשיבות (וגם את זה כתבתי להם בתגובתי).
מספרים ראשוניים מרסן קשורים למספרים מושלמים (כאלו שסכום מחלקיהם שווה לעצמם). מקבלים מספר מושלם על ידי הנוסחה: 2 בחזקת (p פחות 1) כפול (2 בחזקת p פחות 1) כאשר p נלקח מהרשימה של "נקודה" למעלה, כך שהכופל הראשון הוא ראשוני מרסן…
עד כמה שאני זוכר כל המספרים המושלמים הידועים הם מצורה זו, ויש משפט מתמטי שכל מושלם זוגי הוא מצורה זו.
יהודה:
אני רואה שמצאת את המילים 🙂
למיכאל
תודה על ההפנייה לאתר. כעת הכל ברור.
לפעמים אתה… (אני מחפש את המילים)… נחמד.
יום טוב
סבדרמיש יהודה
מרוב מספרים אין לי מילים…
תודה ליעל שהזכירה לנו נשכחות..
הוגין,המספרית.
ישנה השערה מפורסמת שישנם אינסוף מספרי מרסן (מרסן עצמו כניראה טעה כאשר שיער דווקה הפוך…).
http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime
2 בחזקת מספר מהרשימה הקודמת פחות אחד זה מספר מרסן..
2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1,279 2,203 2,281 3,217 4,253 4,423 9,689 9,941 11,213 19,937 21,701 23,209 44,497 86,243 110,503 132,049 216,091 756,839 859,433 1,257,787 1,398,269 2,976,221 3,021,377 6,972,593 13,466,917 20,996,011 24,036,583 25,964,951 30,402,457 32,582,657
מישהו יכול לתת את רשימת מספרי מרסן הראשונים כדי שניראה במה מדובר?
האם מדובר ב:-
3, 7, 31, 127, וכו’?
יום טוב
סבדרמיש יהודה
מספרי ראשוני מרסן מתקבל ע"י
2 בחזקת p ראשוני פחות 1
למה שלא לנסות לקבל מספר ראשוני – נקרה לו "ראשוני הידען"
7 בחזקת מספר ראשוני-מרסן פחות 1
ונציע פרס למוצה הישר.
שדרך אגב, צריך להיות לו מספיק מקום במחשב בכדי לאכסן מספר עם הרבה מאוד ספרות (הרבה יותר מ 9 מליון).
🙂
מספרים מרסן חשובים מאוד בתורת המספרים, עם קשר הדוק למספרים ראשוניים. ובעלי תכונות מענינות מאוד.
לדוגמה:
שאלה מענינת בתורת המספרים היא, האם קיים מספר מרסן שגורמיו (פירוק לגורמים ראשוניים) לא מכילים כפל (כלומר אותו גורם ראשוני שמופיע לפחות פעמיים) . הדעה המקובלת היא שאין כזה מספר מרסן. אבל אין הוכחה לכך.
לפי מה שאני למדתי:
p-1^2 = p-1
נראה לי שהתכוונתים p^2-1
עמי בכר,
המתמטיקה משרתת את הפיזיקה, והפיזיקה משרתת את האדם.
ברמה הכללית-
ככל שנחקור יותר את המתמטיקה יהיו לנו יותר כלים על מנת להסביר את תופעות הטבע. התיאוריות יהיו יותר אלגנטיות.
וברמה הספציפית מעשית- נדמה לי שחקר המספרים הראשוניים משמש הרבה במדעי המחשב- הצפנות וקודי רנדומליות.
ישנן שאלות רבות במתמטיקה שאינן פתורות, ומחקר כמו זה המובא בכתבה בא לחזק או להחליש את הטענות שעומדות בבסיס שאלות אלו.
בשביל מה זה טוב?
כח מחשוב, חשמל, זמן עיבוד, רכיבים… מה עושים עם מספרים מרסניים ומה צפוי להעשות עם המספר ה-45 שלא היה ניתן לעשות עם המספר ה-44? האם יש צורך חיוני במספר ה-46?
באופן אנקדוטאלי, ככתבה לאתר הידען, אני מבין את הקטע. אבל אם אין באמת משמעות (למעט הצורך האמריקאי להגדיל ולהגדיל ולהגדיל) הרי שמדובר בעניין מביך, שגוי וטפשי.
בברכת חברים,
עמי בכר