על פרצסיות מוזרות בתנועת הפלנטות שלנו

רפי לאופרט, האגודה הישראלית לאסטרונומיה

מישור המשווה של כדור הארץ שומר על אוריינטציה קבועה כמעט מוחלטת בחלל במשך כל השנה בזכות האפקט הג'ירוסקופי המייצב של סיבוב כדור הארץ סביב צירו. גם מישור הסיבוב של כדור הארץ סביב השמש , נשמר קבוע. בין שני המישורים קיימת כידוע זוית של 23.50 . לכן, קו החיתוך של שני המישורים נשאר אף הוא קבוע במרחב, כאשר מישורים אלה מקיימים אוריינטציה מרחבית קבועה. בנקודות שיוויון היום והלילה ( Equinox ) באביב ובסתיו, השמש נמצאת על קו זה בשתי נקודות נוגדות ביחס לכדור הארץ. בגלל יציבותו המרחבית של קו זה, נעשה בו שימוש כקו ייחוס למדידות אסטרונומיות כבר בעבר הרחוק (להלן נכנה קו זה “קו השיוויונים”). בימינו, עם שיפור כושר התצפיות ודיוקי המדידה, האוריינטציה המרחבית של קו אינה מספיק מדויקת, וחייבים לקחת בחשבון את תנועת השמש סביב מרכז הכובד של מערכת השמש, ומכאן לתקן את החישובים הקודמים. דהיינו: מרכז הכובד של מערכת השמש כולה הוא כיום נקודת הייחוס האסטרונומית המתוקנת.

“ההרגל” הישן קבע נורמת מושגים אשר נמצאת בשימוש גם בימינו. מתוך אותו הרגל נמדדת זוית ה”אורך” של מיקום כוכבי הלכת ועצמים נוספים מנקודת השיוויון האביבית שעל “קו השיוויונים” בכוון התנועה המסלולית כאשר נקודת החיתוך של המסלול עם המישור האקליפטי (מישור הקפת השמש) מכונה ה- (AN) Ascending Node, והזוית הנמדדת אליה זוית האורך של ה- AN . ואילו הזוית בין מישור המסלול למישור האקליפטי היא זוית הנטיה (Inclination ). ב- AN עובר מסלול התנועה מהתחום הדרומי למישור האקליפטי אל התחום הצפוני (“מלמטה” “למעלה”).

הפרכוס, בסביבת 150 לפני הספירה, בהשוותו מדידות של תוכנים שקדמו לו (לרבות תוכנים בבליים), למדידות שערך בעצמו, מצא סטטיות קלות אבל שיטתיות בנתוני זוית האורך של עצמים שונים ביחס לקו השיוויונים הנ”ל. מסקנתו היתה שמיקום הקו במרחב אינו בדיוק קבוע אלא נע בתנועת פרצסיה (משנה את האוריינטציה המרחבית שלו בשיעור של 0.0127 מעלות בשנה. הנתון המקובל כיום לשיעור פרצסיה זו הוא 0.01396 מעלות לשנה, כך שמדידותיו של הפרכוס וחישוביו, בהתחשב באמצעים שעמדו לרשותו, היו מצוינים! מהנתון העדכני נובע שקו השיוויונים מסתובב בתנועת פרצסיה בשיעור של סיבוב שלם (3600) מדי כ- 26,000 שנים , ומכאן שגם ציר כדור הארץ הניצב אליו מסתובב באותו שיעור. לתנועה זו קרא קופרניקוס “התנועה השלישית של כדור הארץ”, כאשר השתיים הנותרות הן הסיבוב סביב השמש (סבוב אחד בכ-365 ימים) והאוטורוטציה סביב צירו שלו (סבוב אחד בכ- 24 שעות). המודעות לתנועה זו של כדור הארץ, שלה קבוע זמן ארוך מאוד, היא בהחלט הישג אינטלקטואלי של התרבות האנושית, משום שגילויה התאפשר רק תודות לעבודתם של דורות רבים של אסטרונומים. רק מדידה חוזרת של הסטיות לאורך זמן, אפשרה לעמוד על העובדה שמדובר בתופעה קבועה ויציבה לאורך זמן.

הסיבה להבאת מבוא זה היא שכאשר אנו צופים בציר הגדול של מסלול אליפטי של גוף במערכת השמש דוגמת “מרקורי” במשך תקופה ממושכת, ומשווים את האוריינטציה שלו במרחב לקו השיוויונים שלנו, אנו צריכים למצוא גם אצלו פרצסיה של 0.01396 מעלות לשנה, המתאימה לכ- 5025 שניות קשת במשך 100 שנים, אם מניחים שציר המסלול של “מרקורי” סטציונרי במרחב. אולם, אסטרונומים צפו פרצסיה של 5600 שניות קשת ב- 100 שנים, כך שהציר איננו באמת סטציונרי במרחב. תוצאה זו, על פניה, מצביעה על בעיה ביכולת של תורת הגרביטציה הניוטונית, להתאים לתוצאות המדידות. מאידך, יש לזכור שתורת הגרביטציה הניוטונית קובעת מסלול אליפטי סטציונרי רק במקרה האידיאלי של שני גופים הפועלים זה על זה, בהעדר השפעות חיצוניות נוספות. כאשר מחשבים במדויק את מסלול מרקורי, יש לקחת בחשבון את השפעתן של הפלנטות האחרות במערכת השמש, את גודל השמש ואת פיזור כלל המסה במערכת השמש, למרות שהשמש עצמה מהווה כ- 99% מהמסה של המערכת. חשיבות מיוחדת יש ליחס ל “נוגה” ול- “ארץ” בגלל קרבתם היחסית ל”מרקורי” ול- “צדק” בגלל גודלו. אין זה פשוט לחשב השפעות אלה ולרוע המזל, כפי שאנו יודעים, גם אין פתרון אנליטי לבעיית “n גופים” (תנועה מוכללת בהשפעה הדדית שלשלושה גופים ויותר) במכניקה הניוטונית. ע”י שימוש בטכניקות חישוב / קירוב שפותחו ע”י לגרנז' לפלס, המילטון ואחרים, ניתן להגיע למסקנה שהשפעת כל הגופים האחרים תורמת לפרצסיה של “מרקורי” עוד כ- 532 שניות קשת ב- 100 שנים.
תוצאה זו בשילוב עם הפרצסיה של קו השיוויון של כדור הארץ, מסתכמת ל- 5557 שניות קשת ב- 100 שנים, שהיא קרובה בהרבה לתוצאה הנצפית של 5600 שניות קשת ב- 100 שנים, אבל עדיין נמוכה ממנה ב- 43 שניות קשת ל- 100 שנים. האסטרונומים בימינו משוכנעים שמדידותיהם כה מדויקות, עד שהסטייה בהן יכולה להסביר טעות מדידה שאינה עולה על שנית קשת אחת ל- 100 שנים. לפיכך, נראה שהסטייה הנותרת, כ- 42 שניות קשת ב- 100 שנים, מייצגת בעליל בעיה פיסיקלית. גילוי נפטון (1840) והדרך בה הושגה תגלית זו , החזירו את האסטרונומים לבדיקת האנומליה של ציר “מרקורי”. בשלב מסוים של הבדיקה אף נבחנה תיאוריה שגרסה קיומם של גושי חומר בסביבה הקרובה ל”מרקורי”, אשר משפיעים על מסלולו.
השערות אלה לא אומתו בתצפיות. המסקנה שנגזרה ממצאים אלה ואחרים היתה שתורת ניוטון כנראה אינה מדויקת וכי כוח המשיכה הפועל בין שתי מסות אינו נמצא ביחס הפוך בדיוק לריבוע המרחק בין מרכזיהן, אלא ביחס הפוך ל- r בחזקת n כאשר: 2 ≠n. חישובים הראו שעבור n=2.00000016 , מתיישבת תוצאת החישוב עבור “מרקורי” עם תוצאות המדידות. מרבית המומחים בתחום אינם מקבלים הנחה זו, משום שהיא יוצרת סתירה עם חוקי השימור של גאוס, אלא אם מניחים שינוי מידות בשיעור דומה גם בנתוני המרחב…

הסברים נוספים ניסו ליחס לפחיסות השמש את ההפרש, אלא שהנחה זו לא הוכחה או שדרשה הבדלים גדולים ברמת הפחיסות בין המעטה החיצוני של השמש לחלקים הפנימיים שלה. הבדל כזה דורש מהירות סיבוב של החלקים הפנימיים שהיא גבוהה פי 25 בקרוב מזו של החלקים החיצוניים.
יתר-על-כן, תופעות פרצסיה “חריגה” מובחנות כיום גם בגופים אחרים במערכת השמש. בגופים בעלי מסלול אליפטי מוארך גודמת האסטרואיד “איקרוס”, התופעה חזקה יותר מאשר בגופים גודמת “הארץ” או “נוגה” שמסלוליהם כמעט מעגליים ולכן מדידת הפרצסיה של ציר האורך של מסלולם קשה הרבה יותר.

התשובה הטובה ביותר ניתנת כיום ע”י תורת היחסות הכללית. והיא מרשימה במיוחד משום שתורה זו “קשיחה” בהרבה מתורת ניוטון ואינה מתירה “הסברים חופשיים” להשפעות הגרוויטציה מן הסוג שתואר לעיל.

תאור סכמאטי של פרצסית המסלול של גופים במערכת השמש ניתנת בצד ימין למעלה של התמונה.

מקורות:
1. http://www.mathpages.com/rr/s6-02/6-02.htm
Introduction to Orbital Mechanics; F.T. Geyling & H.R. Westerman, 1971, Addison Wesely, p.p. 32-42 .2
3. Engineering Mechanics; S. Timoshenko & D.H. Young, 1956, McGraw Hill Book Comp., p.p. 417-423
4. Planets, Stars & Galaxies; S.J. Inglis, 1966, Addison Wesely, p.p. 95-113.

נספח: הסבר תופעת הפרצסיה

פרצסיה היא מהתופעות הפחות אינטואיטיביות המוכרות לנו במכניקה הקלאסית וקשורה בתכונות התנע הזויתי של גוף במרחב. במכניקה הקלאסית של ניוטון, גוף ינוע בתנועה שוות-תאוצה לאורך קו ישר, כאשר פועל עליו כוח חיצוני קבוע. הכוח הוא וקטור וכוון התנועה יתלכד עם כוון הכוח. שעור התאוצה שיקבל הגוף כל עוד פועל עליו הכוח, יהיה פרופורציוני ישר לכוח ופרופורציוני הפוך למסת הגוף. כאשר לא פועל על הגוף כוח חיצוני, תהיה תאוצתו אפס והגוף ינוע (בריק) במהירות קבועה ובקו ישר. תנע בתנועה קווית (תנע קווי) הוא כזכור וקטור, כיוונו ככיוון המהירות וגודלו שווה למכפלת ערך המהירות במסת הגוף.
במכניקה הקלאסית, גוף הנע בתנועה מעגלית (או בתנועה לאורך קו עקום), נמצא תחת השפעת כוח שכוונו אל מרכז רדיוס העקמומיות של המסלול; במעגל – מרכז המעגל. בתנועה מעגלית מחליפים: המומנט את הכוח כגורם התנועה, התאוצה הזוויתית והמהירות הזוויתית את התאוצה והמהירות הקווית ומומנט האינרציה את המסה. אולם, בעוד בתנועה הקווית וקטורי המהירות והתאוצה מתלכדים עם וקטור הכוח, בתנועה המעגלית ניצבים וקטורי התאוצה הזוויתית והמהירות הזוויתית למישור פעולת המומנט, (תרשים).
הערה: אנו מניחים שצירי התנועה של ההתקן המתואר חסרי חיכוך למעשה, ולכן התנועה תלויה רק בתכונות ההתקן ובכוחות החיצוניים הפועלים עליו.

מקרה פשוט של פרצסיה קיים כאשר גוף דמוי דיסקה מסתובב במהירות סביב ציר העובר במרכז שטח הדיסקה, (תרשים). בהנחה שהדיסקה הומוגנית, נוהגים לכנות התקן כזה גוף אקסי-סימטרי (גוף בעל סימטריה צירית). משמעות הגדרה זו היא שמומנט האינרציה של הדיסקה סימטרי ביחס לציר הסיבוב. ככל שמסת הדיסקה הומוגנית יותר ומרוכזת קרוב יותר להיקפה החיצוני, יהיה מומנט האינרציה שלה גדול יותר. תנע זוויתי גם הוא וקטור, אולם כוונו, בדומה למהירות הזוויתית, ניצב למישור הסיבוב וגודלו ניתן ע”י מכפלת גודל המהירות הזוויתית במומנט האינרציה סביב ציר הסיבוב. לגודלו של המומנטום הזוויתי חשיבות רבה ביצירת תופעת הפרצסיה, משום שהפרצסיה פרופורציונית לתנע הזויתי. במקרה המתואר להלן, אם נתעלם מהשפעת כוח הכובד (או נאזן אותו לגבי הדיסקה המתוארת), כל עוד לא יפעל על הדיסקה המסתובבת או צירה מומנט חיצוני, ימשיכו הדיסקה וציר הסיבוב שלה העובר במרכזה לשמור על כיוון (אוריינטציה) קבוע במרחב. זהו ביטוי להתמדה שבתנועה הסיבובית כשמדד לה (גורם הפרופורציה) משמש מומנט האינרציה.
אם נפעיל מומנט קבוע M, חיובי (נגד כיוון השעון) על ציר הסיבוב של הדיסקה (המסתובבת כפי שרואים מהתרשים נגד כיוון השעון במישור X-Y ) כך שינסה לסובב אותו במישור Y-Z , אזי כל עוד יפעל מומנט זה, ינועו הציר עם הדיסקה (המחוברת אליו חיבור קשיח) במעגל במהירות סיבוב קבועה Ω, במישור X-Z. ראוי לשים לב שמישור X-Z ניצב הן למישור הסיבוב של הדיסקה והן למישור פעולת המומנט. תנועת סיבוב זו היא הפרצסיה, ובמקרה הפשוט המתואר בתרשים שיעורה יהיה:

כאשר:
Ω, מהירות הפרצסיה (במעלות או רדיאנים בשניה).
ω, המהירות הזוויתית של הדיסקה, (קבועה).
I, מומנט האינרציה של הדיסקה סביב ציר Z, (קבוע).

הערות:
המהירות Ω, נותנת את ערך המומנט הקבוע M הנדרש בכדי לקיים פרצסיה קבועה בשיעור זה. המומנט הוא כזכור: כוח כפול זרוע.
תופעת הפרצסיה מנוצלת בין היתר בסדרת מכשירי מדידה המכונים ג'ירוסקופים וכן בהתקני ייצוב, כגון בספינות. התקני המדידה הג'ירוסקופיים מתאימים במיוחד לשימוש בטיסות חלל בשל תכונת ההתמדה במרחב של וקטור התנע הזויתי, כפי שתואר לעיל. עד לכניסת ציוד ה-GPS לשימוש נרחב ואמין, שימשו מצפני ג'ירו כעזרי ניווט משלימים למצפנים המגנטיים, לניווט בסביבת קטבי כדור הארץ, בשל יכולתם לשמור כוון קבוע ללא תלות בהשפעות המגנטיות של הקטבים.

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~504498892~~~56&SiteName=hayadan