עולם רדוף שדים / האומנם צירוף מקרים?

כולנו חווים במהלך חיינו צירופי מקרים שנראים בלתי סבירים, ושומעים סיפורים על אירועים הגובלים בבלתי אפשרי. האם יש יד מכוונת שדואגת שחיינו לא יהיו אקראיים, או שמא יש לתופעה הסבר פשוט?

מריוס כהן/גלילאו

כשנעימת הפתיחה של “תיקים באפלה” מתחילה להתנגן בראשנו
מי לא שמע (או אף אמר) במהלך חייו משפטים כגון:
“לאחר שסימה ואני התחתנו גילינו ששנינו שהינו באותו מלון בפריז בדיוק באותו תאריך כשנה לפני שהכרנו. מדהים, לא?”
“בדיוק כשקראתי בעיתון את הכתבה על נינט, התחיל השיר שלה להתנגן ברדיו. כל הזמן קורים לי דברים כאלה…”
“אני יושב בבית-קפה בעיירה נידחת בסקוטלנד ומי נכנס? רוני שהיה בכיתה שלי בתיכון!”
“יום אחרי שחלמתי שדוד שלי מת, הוא אושפז במצב קשה בבית-החולים. איך תסביר דבר כזה?”
“יומיים אחרי שאשתי נזכרה במורתה לשעבר, גילינו שמורה זו נהרגה בתאונת מטוס ממש באותם רגעים שאשתי דיברה עליה. איך שלא תסתכל על זה, זה לא יכול להיות סתם צירוף מקרים!”
צירופי מקרים מעין אלה מעוררים בנו הפתעה ופליאה משום שאנו מעריכים שהסיכוי להתרחשותם הוא נמוך ביותר, וקשה לנו לקבל את האפשרות שאירועים בעלי סבירות כה נמוכה יצוצו בחיינו בתדירות גבוהה כל-כך. קרל גוסטב יונג (Jung), הפסיכולוג השווייצרי הידוע, טבע את המונח סינכרוניות (synchronicity) כדי לציין את התרחשותם בעת ובעונה אחת של שני אירועים קשורים זה לזה, שאין ביניהם קשר סיבתי. האם תופעה זו, שכולנו מכירים היטב, היא באמת מסתורית ובלתי מובנת, ואולי אף מרמזת על יד מכוונת המתערבת בחיינו? או שמא יש לשכיחותם הגבוהה של אירועים כגון אלה הסבר רציונלי, ולמרות הכל אין מדובר אלא באוסף של צירופי מקרים?

הסבר סטטיסטי בכמה רמות
למעשה, הסיכוי להתרחשותם של אירועים כדוגמת אלה שהזכרנו הוא גבוה באופן משמעותי מכפי שנדמה לנו, מכמה סיבות. ראשית, יכולתנו להעריך הסתברויות לוקה פעמים רבות בחסר. נמחיש זאת בכמה דוגמאות.
מהו הסיכוי שיום ההולדת של שני אנשים לפחות מתוך קבוצה מקרית של 23 אנשים יחול באותו התאריך? רוב האנשים שיתבקשו לענות על השאלה יעריכו שהסיכוי לכך נמוך למדי, אך האמת היא שסיכוי זה גבוה מ-50%! ואם גודל הקבוצה הוא 40 אנשים, הרי שהסיכוי לכך הוא 90%! פירוש הדבר שברוב המוחלט של הכיתות בבתי-הספר יש לפחות תאריך אחד שבו יותר מתלמיד אחד חוגג את יום הולדתו! זוהי עובדה שבלא החישובים המתמטיים, היינו בוודאי מהססים להמר עליה.
דוגמה נוספת: אם נתבקש להכניס כמאה מכתבים באופן אקראי (נאמר, בעיניים מכוסות) לתוך המעטפות המיועדות להם, מהו הסיכוי שנצליח להתאים לפחות מכתב אחד למעטפה הנכונה? הנטייה האינטואיטיבית של רובנו תהיה להניח שהסיכוי לכך הוא אפסי, אולם למעשה סיכוי זה הוא כ- 63%.
ועוד דוגמה: אינטואיטיבית, נראה לנו שהסיכוי שהגרלת הלוטו השבועית תניב את הסדרה 1, 2, 3, 4, 5, 6 קטן באופן משמעותי מהסיכוי שהיא תניב את הסדרה 2, 8, 12, 19, 24, 31, וזאת משום שהסיכוי לסדרה בעלת דרגת סדר גבוהה נראה לנו, ובצדק, נמוך מהסיכוי לסדרה אקראית. אלא שהסיכוי לקבלת כל אחת משתי הסדרות, ולמעשה, לקבלתה של סדרה מסוימת כלשהי, הוא בדיוק אותו סיכוי! אילו השווינו את הסיכוי לכך שהסדרה תכלול 6 מספרים עוקבים לסיכוי שהיא לא תכלול כלל מספרים עוקבים, הוא אכן היה קטן ממנו באופן משמעותי, אולם לכל סדרה נתונה שהיא, כמו לשתיים שלמעלה, יש בדיוק אותו הסיכוי לעלות בגורל. באופן פרדוקסי, אם כבר ממלאים טופס לוטו, כדאי לבחור סדרה בעלת דרגה גבוהה של סדר, כי הסיכוי שמישהו אחר יבחר בסדרה כזו (שנתפשת כבעלת סבירות אפסית) הוא נמוך, ואם במקרה נזכה בפרס הגדול, כנראה לא נצטרך להתחלק בו עם אחרים.
באופן דומה, אם נחזור לדוגמאות מתחילת הכתבה, הסיכוי שאנו ואחד ממכרינו נכחנו באותו מקום ובאותו זמן עוד בטרם הכרנו איננו נמוך כלל וכלל, וזאת משום שיש לנו מספר גדול של מכרים, שרובם בוודאי בילו בעבר במקומות שגם אנו היינו בהם. לכאורה נראה שבדוגמה זו יש חשיבות לכך שמדובר דווקא בבעל ואשה ושהאירוע התרחש בפריז, אולם אין זה כך, משום שהאירוע לא היה מאבד מייחודיותו גם לו היה מדובר בעמית לעבודה או בשכנה מלמעלה, והמקום שבו הצטלבו דרכינו בעבר לא היה אלא תחנת אוטובוס בטבריה. מספר האפשרויות לצירוף מקרים ממין זה הוא גדול מאוד, מה שמעלה באופן משמעותי את הסיכוי להתרחשותו.
בהתחשב במספר מיודעינו (שהוא גדול מאוד, דרך אגב, כאשר מביאים בחשבון גם את כל מי שנתקלנו בו בעברנו), ובכך שרבים מהם בוודאי אוהבים כמונו לטייל בעולם, הסיכוי לכך שנפגוש מי מהם באקראי במקום כלשהו בחו”ל במהלך חיינו איננו קטן כלל ועיקר. ואין שום חשיבות לכך שמדובר דווקא בעיירה בסקוטלנד ובבן-כיתתנו לשעבר, שהרי היינו משתאים באותה מידה לו פגשנו בריו דה ז'נרו את בעל המסעדה שבה נהגנו למלצר בהיותנו סטודנטים.
ומהו הסיכוי שאדם כלשהו ימות (אם בתאונת מטוס ואם מכל סיבה אחרת) בשעה שאדם אחר, שאיננו בקשר קבוע עמו, נזכר בו? בהתחשב בכך שאנו נוטים מדי פעם להיזכר באנשים מעברנו, סיכוי זה רחוק מלהיות אפסי, אם כי במרבית המקרים (אשר בניגוד לתאונת מטוס, אינם מדווחים בכלי התקשורת), האנשים שנזכרים בנפטרים אינם מודעים לצירוף המקרים, והדבר יוצר את הרושם שהתרחשות מעין זו היא נדירה בהרבה מכפי שהיא בפועל.
אם נבחן בקפידה את שאר הדוגמאות, ונפעיל שיקולים דומים, נגלה שהסיכוי להתרחשותו של כל אחד מאירועים אלה גבוה אף הוא משהיינו מניחים באופן אינטואיטיבי. ואולם, להסבר הסטטיסטי יש רמה נוספת: הסיכוי להתרחשותו של אירוע מסוים שסבירותו קטנה בזמן נתון הוא כמובן קטן, אך הסיכוי להתרחשותו של אירוע כלשהו שסבירותו קטנה במהלך חיינו הוא גדול מאוד, וזאת בשל מספרם העצום של אירועים אפשריים כאלה. חִשבו כמה מקרים הייתם מחשיבים כצירופי מקרים נדירים – למעשה, מספרם הוא כה גדול, שהסיכוי לכך שאף אחד מהם לא יתרחש במהלך חיינו, לנו או למי ממכרינו, הוא אפסי. אך כאשר אחד מאינספור אירועים נדירים אלה אכן נקרה בדרכנו (למשל, התאמה מקרית בין אחד מחלומותינו הרבים למציאות), איננו נוהגים לשאול את השאלה הנכונה, שהיא: “מה הסיכוי להתרחשותו של אירוע כלשהו בעל סבירות נמוכה במהלך חיינו?” (התשובה: סיכוי גבוה מאוד), אלא את השאלה הלא-נכונה, כגון: “מהו הסיכוי שיום לאחר שחלמנו שדוד נתן נפטר, הוא יובהל לבית-החולים?” (התשובה לשאלה זו היא כמובן: סיכוי נמוך מאוד).
המתמטיקאי מרטין גארדנר (Gardner) הדגים נקודה זו כך: אם נבחר אותיות באופן אקראי מתוך מאגר גדול של אותיות, ונקבל את המלה “כפפה”, האם נראה בכך צירוף מקרים סתמי או אירוע חריג? אילו מראש היינו מצפים לקבל מלה זו, הסיכוי לקבלתה אכן היה נמוך ביותר, למעשה קטן מאלפית האחוז, מה שהיה הופך את האירוע לחריג. אך הסיכוי לקבל מלה משמעותית כלשהי, בלא החלטה מראש לאיזו מלה לצפות, הוא גבוה (כי מספר האפשרויות לכך הוא עצום, במיוחד בעברית), כך שאם קיבלנו דווקא מלה זו מתוך אינספור האפשרויות השונות מבלי שבחרנו בה מראש, אל לנו לחשוד ביד מכוונת.
על העובדה שיש סבירות גבוהה לכך, שבמהלך חיינו ניתקל בצירופי מקרים נדירים כלשהם, יש להוסיף את העובדה שמספר האנשים בעולם הוא כה גדול, שגם לאירועים שסבירות התרחשותם נמוכה ביותר יש סיכוי גבוה שיקרו לאנשים רבים. למשל, אם נניח שהסיכוי לכך שאדם שעולה במחשבתנו בדיוק מתקשר אלינו הוא אחד למיליון (סבירות נמוכה מאוד לכל הדעות), ואם בממוצע עולה במחשבתנו מי ממכרינו פעמים אחדות בשעה, הרי שצירוף מקרים זה, שנראה לנו לפעמים כהוכחה לקיומה של טלפתיה, חייב מבחינה סטטיסטית לקרות מדי יום למאות אלפי אנשים ברחבי העולם! גם אם לרבים מאיתנו דבר כזה לא יקרה לעולם, סביר להניח שניתקל באנשים שלהם זה קרה, ואשר ישמחו לשתף אותנו בחוויה ה”מיסטית” שעברו.

קנדי ולינקולן – האומנם צירוף מקרים?
הכשל שמתבטא בשאלה הלא-נכונה על הסיכוי להתממשותם של צירופי מקרים נדירים בא לידי ביטוי גם בטענות של מיסטיקנים למיניהם על תופעות המצביעות, כביכול, על יד מכוונת. דוגמה קלאסית לכך היא הטענה על דמיון מפתיע בין חייהם של הנשיאים האמריקנים אברהם לינקולן (Lincoln) וג'ון קנדי (Kennedy), המרמז כביכול על כך שהירצחו של זה האחרון היה תסריט קבוע מראש. להלן אחדים מצירופי המקרים בחיי שני הנשיאים:
• מספר האותיות בשמות המשפחה שלהם (באנגלית) זהה.
• הם נבחרו לנשיאות בהפרש של 100 שנים.
• שניהם נרצחו ביום שישי ובנוכחות נשותיהם.
• לינקולן נרצח בתיאטרון פורד וקנדי – במכונית מתוצרת חברת פורד.
• מספר האותיות בשמותיהם של שני הרוצחים – זהה (John Wilkes Booth ו- Lee Harvey Oswald).
• רוצחו של קנדי ירה בו ממחסן ונמלט לאולם תיאטרון; רוצחו של לינקולן ירה בו באולם תיאטרון ונמלט לאסם (שהוא סוג של מחסן).
• לשני סגני הנשיאים שהושבעו לתפקידם החדש בעקבות הרציחות היה אותו שם משפחה (ג'ונסון) ושניהם היו דמוקרטים מהדרום. כמו כן, בשמותיהם הפרטיים (Andrew ו- Lyndon) מספר אותיות זהה, והם נולדו בהפרש של 100 שנים זה מזה.
אילו היינו שואלים, עוד לפני שהיה לנו מידע כלשהו על שתי הפרשות, מהו, למשל, הסיכוי ששני הנשיאים נרצחו באולם וברכב הנושאים אותו שם, התשובה לכך הייתה, כמובן: נמוך ביותר. אך לאחר שכל המידע כבר בידינו, השאלה הנכונה תהיה מהו הסיכוי למצוא דמיון כלשהו ביניהם. מכיוון שמספר הקשרים שאפשר למצוא בין שני אנשים כלשהם הוא עצום (קשרים בשמות, בתאריכי הלידה, במקומות הלידה, בתחביבים, בממדי גוף, בשפות שהם דוברים ועוד רבים אחרים, כמו גם קשרים דומים בין אנשים הקרובים להם), הרי שקווים משותפים כמו אלה שנמצאו בין חייהם (ומותם) של שני הנשיאים אינם מרמזים על יד מכוונת.

לקריאה נוספת:
פאולוס, ג'ון אלן, “חרדת המספרים”, הוצאת זמורה ביתן, 1997.
ליברמן, ורדה וטברסקי, עמוס, חשיבה ביקורתית, האוניברסיטה הפתוחה, 1996.

לאתר כתב העת גלילאו בו ניתן גם לרכוש מנוי
ידען המיסטיקה וסכנותיה
https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~492828944~~~105&SiteName=hayadan