מתמטיקה / מתמטיקאי רוסי-יהודי הצליח, כנראה, להוכיח את השערת פואנקרה, אחת משבע "בעיות המילניום". מתמטיקאים שוקדים כעת על בדיקתה
אוריאל בריזון
פואנקרה. למרות הפשטות היחסית שבה נוסחה השערתו, טובי המוחות כשלו בהוכחתה * פרלמן מציג את הוכחתו בהרצאה בפרינסטון. הסתגר בביתו כעשור ועמל על הבעיה
קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/poincare_perlman.html
האם פוענחה השערת פואנקרה?
עולם המתמטיקה כמרקחה: חוקר רוסי הצליח ככל הנראה לפתור את אחת ההשערות המסובכות בהיסטוריה. חוקרים מכל העולם בודקים כעת את עבודת החוקר ויקבעו בקרוב האם נפלה עוד אגדה מתמטית
אי.פי
האם חוקר רוסי הצליח לפתור את השערת פואנקרה? מדובר באחת ההשערות העתיקות והקשות לפיענוח בהיסטוריה המתמטית המודרנית. הטוען לכתר הוא גרגורי פרלמן, חוקר יהודי מרוסיה, שככל הנראה פתר את הבעיה הסבוכה ששואפת להסביר את המרחב הגיאומטרי של החלל התלת מימדי.
הראיות שהציג פרלמן נבדקות מזה שלושה חודשים וכעת עולה ההסתברות כי הוא אכן הצליח לפתור את הבעיה. חוקרים מרחבי העולם מחפשים כעת שגיאות בעבודתו המסובכת של פרלמן שככל הנראה הצליח איפה שחוקרים רבים נכשלו במהלך מאה שנים האחרונות.
אם אכן הצליח, יזכה פרלמן במענק על סך מיליון דולר שיוענק לו ע"י קרן קליי מקיימברידג', ששמה לעצמה כמטרה לפתור את שבע הבעיות המתמטיות המורכבות בעולם.
"זאת ללא ספק אחת הבעיות המפורסמות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה" אמר פרופ' מאוניברסיטת מישיגן הבוחן את עבודתו של פרלמן.
ההתרגשות בשיאה
בעולם המתמטי ההתרגשות בשיאה לקראת מה שיכול להיות האירוע הגדול ביותר מאז פיענוח משפט פרמה לפני כעשר שנים. "לא היה מקרה כזה בעבר שריכז את תשומת הלב של כל כך הרבה מתמטיקאים", סיפר אחד החוקרים.
פרלמן עצמו הוגדר כמדען מבריק וביישן ששונא חשיפה. הוא מועסק במכון סטקלוב בסנט. פטרסבורג, ולפני כן למד מספר שנים בארה"ב. חבריו, המכנים אותו "גרישה", מספרים כי במשך שמונה שנים לא פרסם הוא שום מסמך או עבודת מחקר. גם השאלה האם ירצה לקבל את סכום הכסף שיוצע לו נשארה עלומה לאחר שסרב לפי שעה להשיב לפניות עיתונאים בנושא.
פואנקרה: הקדים את תורת הכאוס
על ז'יל-אנרי פואנקרה ניתן ללמוד מהערך הנושא את שמו באנציקלופדיה של ynet: פואנקרה עסק בבעיית n הגופים באסטרונומיה (שאלת יציבותה של מערכת כבידתית בעלת מספר גופים העולה על 2), וסיפק פתרון למקרה של 3 גופים. אך אחרי שהגיש את הפתרון, וזכה בפרס שהציע אוסקר ה-2 מלך שבדיה למי שיפתור את בעיית יציבות המסלולים במערכת השמש (ב-1889), גילה שנפלה שגיאה בפתרונו: בפועל, מסלול הגוף השלישי יהיה תלוי במידה רבה בשינויים קלים בתנאים ההתחלתיים.
בכך הקדים פואנקרה את תורת הכאוס שפותחה במחצית השנייה של המאה ה-20.
לידיעה באתר החדשות של יאהו
את פרמה לקח 358 שנה להוכיח; לפואנקרה הספיקו כנראה 100 שנה
12/5/03
מאת אורי בריזון
קיים סיכוי רב שהשערת פואנקרה, מהבעיות הבלתי פתורות הידועות ביותר במתמטיקה, נפתרה על ידי המתמטיקאי הרוסי-היהודי גרגורי פרלמן. מתמטיקאים המקורבים לפרלמן מספרים כי במשך קרוב לעשור הוא ישב מכונס בדירתו בפטרבורג ועמל על ההוכחה. אם יתברר כי ההוכחה נכונה, יגיעו לסיומן מאה שנים של ניסיונות כושלים להתמודד עם השערת פואנקרה, ופרופסור פרלמן יזכה במקום של כבוד בהיסטוריה של המתמטיקה ובפרס של מיליון דולר. הפרס יינתן על ידי מכון "קליי" בארה"ב, שהתחייב להעניק פרס בסך מיליון דולר למי שיפתור כל אחת משבע הבעיות שהוגדרו כ"בעיות המילניום" – הבעיות הבלתי פתורות החשובות ביותר של המתמטיקה.
פרלמן, שנחשב למתמטיקאי מבריק ופירסם מאמרים רבים בעבר, החליט להקדיש את עצמו לניסיון להוכיח את השערת פואנקרה. בשל הרצון להקדיש את כל זמנו להוכחת המשפט, הוא סירב לקבל משרות שונות שהוצעו לו באוניברסיטאות בארה"ב וכן דחה את פניית אוניברסיטת תל-אביב, שהציעה לו משרת פרופסור למתמטיקה בפקולטה למדעים מדויקים (חלק מבני משפחתו של פרלמן עלו לארץ לפני כמה שנים).
בפרסומיו מודה פרלמן לאוניברסיטאות האמריקאיות שהזמינו אותו להתארח לתקופות קצרות. בכסף שהעניקו לו האוניברסיטאות הללו הוא מימן את מחייתו בפטרבורג וכך יכול היה להקדיש את כל זמנו לעבודתו. פרלמן אמנם רשום כחבר בסגל של מכון סטקלוב למתמטיקה בפטרבורג, אך ככל הנראה אינו פעיל במכון ולפחות עד לאחרונה בילה את זמנו בביתו, עמל על מלאכת ההוכחה.
לאחר שהתפרסמו המאמרים הראשונים בדבר ההוכחה, בנובמבר שעבר, הוזמן פרלמן להציג את רעיונותיו בפני עמיתיו בארה"ב. לפני כשבועיים התקבצו באולם ההרצאות באוניברסיטת פרינסטון שבניו ג'רסי כמאה מבכירי המתמטיקאים בעולם כדי לשמוע את דברו. בין הנוכחים בהרצאה היו זוכה פרס נובל ג'ון נאש, המוכר מהסרט "נפלאות התבונה" שסקר את חייו, ואנדרו ויילס, המתמטיקאי הבריטי שהוכיח את משפט פרמה – ההשערה המתמטית ששרדה ללא הוכחה במשך 358 שנה.
פיטר סארנק, פרופסור למתמטיקה שנכח בהרצאה, אמר לעיתון אוניברסיטת פרינסטון כי "ניכר שנעשתה כאן פריצת דרך", אך ציין כי "אף שפרלמן לא טען בעבר טענות שהתבדו, יש לבדוק כל פרט ופרט בקפידה". מתמטיקאים רבים נוקטים עמדה דומה לזו; הם מביעים התרשמות עמוקה מהעבודה יחד עם הסתייגות זהירה עד לסיום הבדיקות הקפדניות. פרלמן עצמו סירב להתראיין בטענה כי טרם הגיעה השעה להכרזות פומביות. במשך השנים נרשמו מקרים רבים של הוכחות שנפלו בשלב הבדיקה, אך ניכר שהפעם הציפיות גבוהות מאוד.
את ההשערה הידועה כהשערת פואנקרה ניסח המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה (Poincare) בסוף המאה התשע עשרה (את הניסוח הסופי הוא פירסם בתחילת המאה העשרים). ההשערה עוסקת בתחום מתמטי הקרוי טופולוגיה, תחום שהתפצל מהגיאומטריה במהלך המאה ה-.19 טופולוגים חוקרים את אותן תכונות של עצמים, שאינן משתנות בעת שמעוותים אותם – מרחיבים, מכווצים או מעקמים – בלי לקטוע את המעטפת שלהם ובלי לחבר בין חלקים שלה שלא היו מחוברים קודם לכן. לדוגמה: משולש הוא שווה ערך, מבחינה טופולוגית, למעגל אך לא למקטע של קו ישר – המעבר ממשולש למעגל דורש עיקום בלבד, אך את הקו הישר יש "לשבור" כדי לייצר משולש. באופן דומה הצורה המכונה ספירה (המעטפת החיצונית של כדור) היא שוות ערך למעטפת של פירמידה או של קובייה, אך לא למעטפת של צורה דמוית טבעת או אבוב (המכונה על ידי מתמטיקאים "טורוס") וזאת משום שאפשר לעקם קובייה או פירמידה לכדור (ולהיפך) אך יצירת הטורוס אינה יכולה להתבצע ללא שבירה של מעטפת הכדור ויצירת החור במרכז.
מבחן טופולוגי לשקילותן של צורות שונות הוא מבחן הלולאה: כל לולאה שנצייר על מעטפת הכדור (או הקובייה) אפשר לצמצם בגודלה עד לנקודה אחת בלי לחרוג מן המעטפת. אפשר לדמיין גומייה הכרוכה סביב תפוח: אפשר להניע אותה על פניו כך שהיא תלך ותצטמצם. גם על צורה כמו טבעת, בדומה לכדור, אפשר למתוח לולאה באופן שאפשר יהיה לצמצם אותה לנקודה בלי לחרוג ממעטפת הטבעת. אבל בשונה מכדור, על פני טבעת אפשר למשל למתוח גם לולאות סביב החור שבמרכזה, ואת אלה אי אפשר לצמצם לנקודה בלי לחרוג מהמעטפת. לכן, ספירה וטורוס הן צורות שאינן שקולות מבחינה טופולוגית.
הטופולוגיה, כדרכם של תחומי מחקר מתמטיים, שואפת לקבוע משפטים כלליים ככל האפשר ולכן אינה מסתפקת בחקר גופים דו-ממדיים או תלת-ממדיים. המחקר הטופולוגי כולל, איפוא, את כל הגופים האפשריים בכל הממדים. אמנם בני אדם אינם מסוגלים לדמיין גוף בעל יותר משלושה ממדים בצורה ישירה, אך אפשר בהחלט לייצג אותו באופן מתמטי. פואנקרה ידע כי לכל עצם תלת-ממדי, שבאמצעות כיווץ, הרחבה או עיקום אפשר להופכו לכדור, יש את התכונה, שכל לולאה שנצייר על המעטפת שלו ניתנת לצמצום לנקודה בלי לחרוג מהמעטפת. הוא שיער כי אותו כלל מתקיים גם במרחב הארבעה-ממדי (למען הדיוק נבהיר כי מעטפת כדור תלת-ממדית, כפי שהיא מוכרת לנו, מכונה על ידי הטופולוגים מעטפת במרחב דו-ממדי ש"עוקם" לממד שלישי, בדומה למשל לדף נייר שעוטף כדור טניס. למען הפשטות, אנו מכנים זאת כאן מעטפת תלת-ממדית).
על ספירה ארבעה-ממדית, שאינה ניתנת, כאמור, לתפישה באופן ישיר, כדאי לחשוב באמצעות ההגדרה המתמטית שלה. ספירה היא מכלול הנקודות בעלות מרחק שווה מנקודת המוצא במערכת צירים. במרחב תלת-ממדי קיימים שלושה צירים. אם נמדוד יחידה אחת בכל כיוון אפשרי ממוצא הצירים תתקבל מעטפת של כדור, כלומר ספירה. כעת אפשר לנסות לחשוב על מרחב שבו קיימים ארבעה צירים במקום שלושה, זאת אומרת, מראשית הצירים יוצאים ארבעה ישרים ניצבים. הצורה שתיווצר אם נמדוד יחידה אחת בכל כיוון אפשרי ממוצא הצירים במרחב זה היא מעטפת של "כדור" ארבעה-ממדי.
פואנקרה שיער, כאמור, שגם במרחב הארבעה-ממדי לכל ספירה, ולכל עצם שיכול להפוך לספירה באמצעות כיווץ, הרחבה או עיקום, יש את התכונה, שלפיה כל לולאה המותווית על המעטפת שלו ניתנת לצמצום לנקודה. זוהי השערת פואנקרה, ולמרות הפשטות היחסית שבה היא מנוסחת, כשלו טובי המוחות במשך מאה שנה בניסיונות להוכיחה. במהלך המאה העשרים התברר כי קל יותר להוכיח את המקבילה של משפט פואנקרה עבור ממדים גדולים יותר ואכן הצליחו להוכיחו עבור כל הממדים הגדולים מארבע, אך ההשערה המקורית נותרה בלא הוכחה.
עבודתו של פרלמן מכוונת, בעצם, ליעד שאפתני יותר מהוכחת השערת פואנקרה בלבד. בשנות השבעים ניסח המתמטיקאי ויליאם תרסטון את "השערת הגיאומטריות", השערה בסיסית שמאפשרת שינוי תפישה בטופולוגיה ומראה כי בתנאים מסוימים אפשר לחלק כל מעטפת תלת-ממדית של גוף במרחב בעל מספר ממדים גדול יותר לחלקים, שכל אחד מהם משתייך לאחת משמונה קטגוריות גיאומטריות אפשריות שאותן הוא הגדיר. על ידי שימוש בתהליך זה אפשר לבצע פעולות טופולוגיות רבות ובכללן לגשת בצורה חדשה להוכחת משפט פואנקרה. פרלמן טוען שהוא הצליח להשלים את עבודתו של תרסטון, להוכיח את השערת הגיאומטריות ובכלל זאת, באמצעות היכולות החדשות שעמדו לרשותו, לספק גם פתרון, כמעט כבדרך אגב, להשערת פואנקרה.
תהליך בדיקת עבודתו של פרלמן מלווה בהתרגשות רבה, אם כי דווקא מצד מתמטיקאים המתמחים בטופולוגיה הרלוונטית להשערת פואנקרה ניכרים רגשות מעורבים. בין אם יתברר שפרלמן צודק ובין אם יימצא כשל בהוכחה שלו, עבודתו בכללה צפויה להוות בסיס להתפתחות בתחומים מתמטיים שונים ואולי אף בפיסיקה; אם יתברר כי היא אכן נכונה – היא תסמן כנראה, באופן אירוני, את סופו של תחום המחקר הטופולוגי הזה.
המתמטיקאי מייקל פרידמן, שהקדיש שנים רבות לעיסוק בהשערת פואנקרה ובטופולוגיה, חשף את רגשותיו בנושא בראיון ל"ניו יורק טיימס": "נניח שאתה סטודנט מתקדם למתמטיקה העומד בפני בחירת תחום העיסוק האקדמי שלך. האם תבחר בתחום שהבעיה המרכזית בו בדיוק נפתרה?"
לידיעה בנושא זה בבי.בי.סי
ספרים במבצע: סודות ההצפנה + המשפט האחרון של פרמה – באתר מיתוס
ידען המתמטיקה
https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~525785579~~~133&SiteName=hayadan
