מתמטיקה – מטרנסצנדנטלי יוצא ריאלי

על יופיה של משוואת אוילר, שנבחרה באחרונה לאחת משתי המשוואות החשובות במדע

עמרי טלמון, הארץ, וואלה!

אוילר. מגדולי המתמטיקאים, אם לא הגדול שבהם

כשקראתי את הכתבה “ובמקום השמיני: 1=2+1” (“הארץ”, 11.10), שבה דווח כי מומחים בחרו שתי משוואות כחשובות ביותר במדע ואחת מהן היא משוואת לאונהרד אוילר, שמחתי לגלות שכיוונתי לדעת גדולים. אני סבור עוד מימי לימודי בתיכון שמדובר בנוסחה מופלאה באמת, פרי מוחו של אחד מגדולי המתמטיקאים, אם לא הגדול שבהם.

הרי הנוסחה הקצרה הזאת: 1=0+e i. מה יש לנו פה?

המספר e (על שם אוילר, Euler) הוא הבסיס ללוגריתמים הטבעיים ואחד מהחשובים במתמטיקה. לא אנסה להגדיר את המספר הזה, שהוא תוצר של נוסחה מתמטית, אלא אציין שבכתיבתו כמספר עם שבר עשרוני אין לו שיעור, לאמור: לא רק שאין לו סוף, אלא ככל שתלך ותחשב אותו לא תגיע לאיזו חוקיות ולא תוכל לדעת מה תהיה הספרה הבאה ללא חישוב נוסף.

במתמטיקה מספר כזה קרוי טרנסצנדנטלי. באמצעות מחשבי הענק הקיימים כיום חושב e עד לדיוק של מיליארד ורבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית, בלי שנמצאה חוקיות כלשהי. כדי לסבר את האוזן – אם נכתוב חמש ספרות על כל סנטימטר (די צפוף), נזדקק לסרט נייר באורך של 25,000 קילומטר כדי לרשום את המספר הזה, שערכו המקורב הוא 2.71828.

המספר (פיי) ידוע לכל תלמיד והוא היחס בין הקוטר להיקף המעגל. בחיי היום-יום אנו משתמשים בערך 3.14 או, למהדרין, 3.1416 (אגב, הערך המופיע בתנ”ך הוא 3, שנאמר במלכים א' ז' 23: “ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגל מסביב… וקוה שלושים אמה יסוב אותו מסביב”). גם זה מספר טרנסצנדנטלי, אשר חושב עד לדיוק של לא פחות מ-1,241 מיליארד ספרות אחרי הנקודה העשרונית, בלי שנמצאה כל חוקיות. לכתיבת מספר בגודל זה נזדקק לסרט נייר של כ-25 מיליון קילומטר – כ-35 פעם מפה לירח ובחזרה.

i הוא בכלל יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע, ועל כן קרוי “מספר דמיוני”, מושג שכבר הוצע על ידי דקארט במאה השבע עשרה. ומהו מספר זה? לימדו אותנו בעמל ויגע שכאשר מעלים מספר בריבוע התוצאה תמיד חיובית, אבל אמר מי שאמר: למה? הבה נגדיר את השורש של 1- ונקרא לו i. לא מבינים? לא צריך. ככה זה.

ומה אומרת לנו נוסחת אוילר? טול את המספר הטרנסצנדנטלי e, העלה אותו בחזקת המספר הטרנסצנדנטלי כשהוא כפול ביצור מכוכב אחר, המספר הדמיוני i, ומה תקבל? מספר סופי, ריאלי וברור בתכלית והוא 1-, המוכר לכל מי שיש לו אוברדראפט בבנק.

מה יפה מזה?

הכותב הוא מהנדס

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~982134923~~~133&SiteName=hayadan