מטבעות פחות “עגולים”, אבל הרבה פחות מטבעות

מתמטיקאי אמריקאי חישב שהחלפת המטבע של 10 סנט במטבע של 18 סנט תקטין במידה ניכרת את מספר המטבעות לכל פעולת תשלום בארה”ב. מטבע של 1.33 יורו יעשה דבר דומה באירופה

אוריאל בריזון

המטבעות הנהוגים בארה”ב. בפעולת תשלום ממוצעת נעשה שימוש ב-4.7 מטבעות

קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/coinsmath.html

פעולות שהן חלק משגרת החיים אינן זוכות בדרך כלל למחשבה שנייה, אולם מפעם לפעם מתפרסם בכתבי העת המדעיים מאמר המבקש לעשות זאת. כך למשל, פרופ' ג'פרי שליט, מתמטיקאי ואיש מדעי המחשב מאוניברסיטת ווטרלו בקנדה, פירסם בגיליון האחרון של כתב העת “”Intelligencer Mathematical מאמר שבדק אם השימוש במטבעות הקיימים במדינות שונות הוא יעיל. המסקנה שלו: לא רק שהשימוש הנוכחי אינו יעיל, אלא שאפשר לשפר את היעילות במידה ניכרת באמצעות החלפה או הוספה של מטבע אחד.

פרופ' שליט בדק תחילה את השימוש במטבעות בארצות הברית. המטבעות הקיימים שם הם של סנט אחד, 5 סנט, 10 סנט ו-25 סנט (מטבע של 50 סנט קיים אך אינו נמצא בשימוש נרחב). החישוב של פרופ' שליט הוביל למסקנה שבפעולת תשלום ממוצעת נעשה שימוש ב-4.7 מטבעות. במלים אחרות, אם נבחן את כל האפשרויות הקיימות לתשלום במטבעות (מתשלום של סנט אחד ועד לתשלום של 99 סנט) נמצא כי התשלום מכיל בממוצע 4.7 מטבעות.

כעת בחן שליט את כמות המטבעות הממוצעת המתקבלת כאשר משתמשים במכלולי מטבעות בעלי ערכים שונים. החישוב שלו הראה כי עבור מכלולים של ארבעה מטבעות, ישנן שתי קבוצות ערכים יעילות יותר מערכי המטבעות הנוכחיים.
בקבוצה הראשונה נכללים מטבעות של סנט אחד, 5 סנט, 18 סנט ו-29 סנט; בקבוצה השנייה – מטבעות של סנט אחד, 5 סנט, 18 סנט ו-25 סנט. כאשר משתמשים בקבוצות אלה, כמות המטבעות הממוצעת לפעולת תשלום היא – 3.89 כלומר, שיפור של %17 לעומת השיטה הנוכחית. יש לציין שהקבוצה השנייה שונה מהקבוצה הקיימת כיום במטבע אחד בלבד (מטבע של 18 סנט במקום מטבע 10 סנט הקיים). כל שנותר למטבעה המרכזית בארה”ב לעשות כדי לייעל את השיטה ולהקל על ארנקיהם התפוחים של אזרחי ארה”ב זה להחליף את המטבע של 10 סנט במטבע של 18 סנט.

שליט מציין שאפילו אם אזרחי ארה”ב לא יסכימו להיפרד מה”דיים”, המטבע הוותיק של 10 סנט, הרי שהוספת מטבע של 18 סנט למטבעות הקיימים (בד בבד עם חידוש השימוש במטבע של 50 סנט) יאפשר עלייה ביעילות ל-3.18 מטבעות בלבד לכל תשלום. אגב, המטבע היעיל ביותר להוספה ללא החזרת המטבע של 50 סנט לשימוש נרחב הוא מטבע של 32 סנט.

שליט חישב ומצא כי באירופה, שאימצה באחרונה את היורו, אפשר להשיג יעילות טובה יותר באמצעות הוספה של מטבע בערך של 133 סנט או 137 סנט (1.33 יורו או 1.37 יורו). מכלול המטבעות האירופי כולל כיום מטבעות של סנט אחד, 2 סנט, 10 סנט, 20 סנט ו-50 סנט וכן מטבעות של יורו אחד ושני יורו. השיפור ביעילות התשלום לאחר הוספת המטבע החדש יתבטא בירידה מ-4.6 מטבעות לפעולת תשלום בממוצע ל-3.92 מטבעות בממוצע. בקנדה, שבה משתמשים במטבעות של סנט אחד, 5 סנט, 10 סנט, 25 סנט, דולר אחד ושני דולר, הוספת מטבע של 83 סנט תשפר את היעילות בצורה מרבית.

בעיה אפשרית, שעלולה לסכל כל ניסיון להשגת יעילות מקסימלית בתחום המטבעות, היא ההתנגדות הצפויה להכנסתם לשימוש של מטבעות בעלי ערכים “לא נוחים”. אפשר אמנם להניח כי לאחר זמן מה הציבור יתרגל לערכים החדשים, מה גם שהקופות האלקטרוניות הנמצאות בנקודות מכירה רבות יכולות לסייע ולהציג את האפשרויות לתשלום במטבעות שונים. אך למרות זאת, יש להודות כי עצם המחשבה על מטבע של 18 או 83 סנט עלול לעורר גל התנגדות, שימוטט את רפורמת המטבעות האפשרית בעודה באבה.

ישנן כמה הסתייגויות לחישוב היעילות של פרופ' שליט. ראשית, כפי שהמתמטיקאי מציין בהערה למאמר שלו, ההנחה שעליה מושתת החישוב היא שיש הסתברות שווה לכל המחירים האפשריים. אלא שהנחה זו אינה עומדת במבחן המציאות, וזאת בשל נטייתם של קמעונאים לתת למוצרים מחיר המסתיים בספרה תשע. לפיכך, מחירם של מוצרים יסתיים בערך של 99 סנט או 49 סנט בשכיחות גבוהה יותר מאשר בערכים אחרים.

שנית, וגם זאת מציין שליט, אפשר לשער כי במקרה של מטבעות, כמו במקרים רבים אחרים הקשורים לטבלאות התפלגות ורשימות מספריות, יש השפעה לאפקט סטטיסטי המכונה “חוק בנפורד”. על פי חוק זה, הספרה 1 מופיעה בטבלאות שונות בשכיחות גבוהה יותר מהשכיחות הצפויה של 1 ל-.9.
שלישית, וזו הסתייגות המבוססת על ניסיון פשוט, לא תמיד משולם סכום הקטן מדולר אחד בצורה יעילה. עודף של שלושים סנט, למשל, לא ישולם בהכרח באמצעות מטבע של 25 סנט ומטבע של חמישה, אלא גם באמצעות שלושה מטבעות של 10 סנט. אך למרות ההסתייגויות הללו, נראה שהטענה הבסיסית של שליט נכונה ושאפשר לשפר את היעילות של השימוש במטבעות, אם כי במידה מצומצמת יותר מכפי שעולה מהחישובים.

בישראל נחקק לפני כמה שנים חוק המבטל את השימוש במטבע של אגורה אחת. סכומים באגורות שאינם מתחלקים בחמש יש לעגל למספר הקרוב ביותר המתחלק בחמש. בתי עסק רבים בארץ מקפידים לקבוע מחירים המתחלקים בחמש, בשעה שאחרים נוטים לתמחר על פי השיטה האמריקאית, המעדיפה את היתרון השיווקי של מספרים המסתיימים בתשע. ישראל גם שונה בערכי המטבעות שלה מארה”ב ומאירופה – אנחנו משתמשים רק בשלושה מטבעות שערכם פחות משקל אחד (חמש, עשר וחמישים אגורות) ובמטבעות בעלי ערך גבוה יחסית – חמישה ועשרה שקלים. בהינתן התנאים המיוחדים הללו, מעניין אלו שינויים בערכי המטבעות – או איזה תוספת של מטבעות – יוכלו לייעל את התשלום בישראל. האם מתמטיקאים, סטטיסטיקאים וחובבי מספרים ישראלים ילכו בעקבות פרופ' שליט וישלחו הצעות מנומקות לבנק ישראל?

ידען המתמטיקה
לידיעה בנושא באתר נייצ'ר
https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~534316870~~~133&SiteName=hayadan