המחשב ממליץ לארוז תפוזים בפירמידה

מאז המאה ה-16, טרוד המין האנושי בשאלה כיצד יש לארוז תפוזים. מתימטיקאים התנגדו לפתרון שהוצג ב-1998, בטענה שהסתמך על תוכנת מחשב. כעת מפרסם כתב עת מתימטי את הההוכחה התיאורטית

קנת צ'אנג, ניו יורק טיימס, הארץ; חדשות וואלה!

אריזה בצורת חלת דבש יעילה כמו פירמידה, אך לא יותר (צילום: הארץ)

קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/orangemath.html

כתב עת מוביל לענייני מתמטיקה הציג לאחרונה את הפתרון לאחת הבעיות העתיקות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה: “מהי הדרך היעילה ביותר לארוז תפוזים?”. הפתרון, כפי שחשדו זה זמן רב מתמטיקאים (וגם חנוונים) הוא סידור התפוזים במבנה של פירמידה. כל שכבת תפוזים מוצבת ברווחים שבין התפוזים בשכבה שמתחתיה, וכך תופסים הפירות העגולים פחות מקום מאשר אם היו מסודרים ישירות זה על זה.

למרות שנראה מובן מאליו שזהו הפתרון הנכון, איש לא הציג הוכחה מתמטית משכנעת לכך עד ל-1998, ואפילו אז אנשים לא השתכנעו עד הסוף. ייתכן שיש מדענים שיטענו גם כעת שהוכחת הפתרון אינה מספקת, מאחר שהיא מבוססת על חישובי מחשב.

בעיית אריזת התפוזים הוצגה לראשונה ב-1590 כשסר וולטר ראלי, שאירגן את המלאי על גבי ספינתו, תהה אם יש דרך מהירה לחשב את מספר כדורי התותח בערמה לפני גובהה. עוזרו, תומס האריוט, הגה את המשוואה הדרושה לחישוב המספר. כמה שנים מאוחר יותר העלה האריוט את הבעיה בפני יוהן קפלר, האסטרונום שחישב את מסלול תנועת כוכבי הלכת. קפלר הסיק שהפירמידה היא המבנה החסכוני ביותר – אך לא הציג הוכחה למסקנתו (אגב, נמצא שסידור הכדורים בצורת חלת דבש יעיל באותה מידה, אך לא יותר).

ב-1998, הציג ד”ר תומס היילס מאוניברסיטת פיטסבורג הוכחה לפתרון הפירמידה, המכונה “השערת קפלר”. אלא שההוכחה מסתמכת על סדרה ארוכה של חישובי מחשב, שהיתה קשה ומייגעת מדי לבדיקה ידנית. כדי לקבלה, נאלצו מתמטיקאים להסתפק באמונה שחישובי המחשב נכונים ושלא היו בתוכנה “באגים”. בתחום המקדש ערכי אמת מוחלטים, הוכחה כזו מהווה תחום אפור של אי ודאות בלתי נסבלת. מסיבה זו, החליט כתב העת היוקרתי “אנאלס אוף מתימטיקס” מפרסם רק את החלק התאורטי של ההוכחה, שנבדק בשיטות מסורתיות. החלקים החישוביים יתפרסמו בעתיד בכתב עת אחר.

ההחלטה משקפת את מעמדן השנוי במחלוקת של שיטות ההוכחה באמצעות חישובי מחשב, שהופכות מקובלות במתמטיקה של ימינו. “אני לא אוהב את החישובים בעזרת מחשב כי הם מעניקים תחושה שאתה לא באמת מבין מה קורה”, אמר הד”ר ג'ון קונוויי, מרצה למתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון. מתימטיקאים אחרים טוענים כי מחשבי המחר יוכלו לגלות הוכחות מתמטיות שחמקו מגדולי המתמטיקאים עד כה.

בעתיד ישמש המחשב לגילוי הוכחות חדשות

הפתרון להשערת קפלר אינו ההוכחה הראשונה שמסתמכת על מחשב. ב-1976 השתמשו הד”ר וולפגאנג האקן והד”ר קנת אפל מאוניברסיטת אילינוי במחשב להוכחת “משפט ארבעת הצבעים” – הקובע שבכל מפה דרושים רק ארבעה צבעים כדי להבטיח ששני אזורים סמוכים לא ייצבעו באותו הצבע. ההוכחה פורסמה, אך לאחר מכן החלו להימצא בה שגיאות. כל שגיאה תוקנה אך “אצל רבים מהמתמטיקאים, העניין הותיר טעם רע”, אמר הד”ר רוברט מקפירסון, אחד מעורכי כתב העת.

כדי שמקרים דומים לא יישנו, החליטו עורכי כתב העת לערוך בדיקות מקיפות יותר של הוכחת הפירמידה של היילס. “אך זה לא עבד”, אמר מקפירסון. הצוות הראשון שבדק את ההוכחה השקיע כמה שנים בעבודה, והתייאש לבסוף.

פרסומתהעורכים שקלו לפרסם את ההוכחה בתוספת הסתייגות אך הד”ר קונווי הרגיש שבפרסום המאמר עם הסתייגות יהיה משום פגיעה בלתי הוגנת בהיילס. ההוכחה נשלחה להערכה אצל מתמטיקאי אחר, והוא אישר שההנחות התאורטיות מבוססות. לפיכך, החליטו העורכים לפצל את ההוכחה לשניים ולפרסם רק את החלק התאורטי. בכך התוו מדיניות חדשה, שלפיה הוכחות בעזרת מחשב תקפות, אך יוענק להן מעמד נמוך יותר.

יש המאמינים כי בעתיד, במקום לשמש רק ככלי עזר יוכל המחשב לשמש גם לגילוי הוכחות חדשות. מתמטיקאים כמו ד”ר לארי ווס, מהמעבדה הלאומית של ארגון, משתמשים במחשב ל”הסקה אוטומטית”. הם מזינים הנחות לוגיות והמחשב בודק את כל האפשרויות כדי לגלות הוכחה. האדם צריך עדיין להורות למחשב היכן לחפש. “למוח האנושי אין תחליף”, אמר ד”ר ווס, “אך יתרון המחשב הוא שאין לו מושגים מוכתבים מראש”.

ידען המתמטיקה
https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~813688108~~~133&SiteName=hayadan