ההוכחה האולטימטיווית של משפט פיתגורס

דייוויד ולס. תירגם מאנגלית: אריה לרנר. הוצאת מי-אנ (416 ,(09-7781239 עמ', 94 שקלים
:to the Joy of Numbers David Wells A Wise and Witty Introduction You are a Mathematician

מאת אריה רוקח

חדוות המתמטיקה

ההוכחה למשפט פיתגורס, מתוך הספר

קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/math280804.html

מטרת הספר היא לחשוף את הקוראים לבעיות מתמטיות ולדרכים מרתקות לפתרונן. הקורא מוזמן לפתור את הבעיות בכוחות עצמו. אם לא יצליח, מוגשים לו פתרון אחד או יותר באופן שנועד להלהיב ולשמח אותו. השם המקורי של הספר באנגלית הוא You Are Mathematician, אתה מתמטיקאי, לומר לך: אין מה לפחד ממתמטיקה, כל אחד מסוגל לפתור בעיות במתמטיקה, לא רק מתמטיקאים מקצועיים. לצורך כך יש לעבוד. יש לשחק עם הבעיה. יש להפעיל דמיון. יש להיעזר בקשרים לתחומים אחרים, ולמצוא דמיון בין תחומים שלכאורה אין קשר ביניהם.

על כן, זהו ספר המומלץ קודם כל למורים למתמטיקה. באמצעותו הם יוכלו בנקל להעשיר את הידע של תלמידיהם וגם שלהם עצמם. הספר גם מומלץ לקריאה לכל מי שחובב מתמטיקה ויש לו ידע בסיסי. גם מי שמחשיב את עצמו כשונא מתמטיקה עשוי לגלות הפתעה נעימה במהלך הקריאה, כשיתברר לו שהוא מסוגל לרכוש ידע מתמטי לא מבוטל ואף ליהנות מכך.

כדי להמחיש כל זאת נתייחס להוכחה הנהדרת של משפט פיתגורס, המובאת בספר בעמוד 240. א”ס לומיס הציג 367 הוכחות למשפט זה בספרו “משפט פיתגורס”, שיצא לאור ב-1940. אין עוד משפט במתמטיקה שזכה לכל כך הרבה הוכחות. ריבוי ההוכחות מעיד על מקומו המיוחד של המשפט בעולם המתמטי. ואולם, ההוכחה המובאת בספר היא היפה ביותר לעניות דעתי, כפי שינומק בהמשך.

משפט פיתגורס קובע כי בהינתן משולש ישר זווית, הרי סכום שטחי הריבועים הבנוי על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. יש הוכחות מסובכות יותר ויש הוכחות פשוטות יחסית. המשותף לכולם הוא שהן מבוססות על חישובים, על חפיפות משולשים, על בניות עזר מסורבלות, ועוד. דבר מכל זה אינו מכביד על ההוכחה הנפלאה הנמצאת בספר. הרשיתי לעצמי, לטובתי שלי ולטובת הקוראים, להוסיף הארות החסרות בספר. וזו ההוכחה:

“מרצפים” את המישור כולו על ידי ריבועים, בתבניות של 4 ריבועים גדולים שביניהם נמצא ריבוע קטן. כעת מחברים את קודקודי הריבועים באופן אלכסוני. מתקבלת רשת של ריבועים. חשוב ביותר להבין מדוע אלה הם ריבועים. דבר זה נובע משיקולי סימטריה. סובבו את הדף ב-90 מעלות לכל כיוון. האם הורגש שינוי כלשהו בצורה? התשובה שלילית. צורת הריצוף הזאת סימטרית כלפי סיבוב ב-90 מעלות. מכאן, שהמרובעים האלכסוניים שנוצרו על ידי חיבור קודקודי ה”מרצפות” באופן אלכסוני חייבים להיות ריבועים, כי לולא כך היינו מרגישים בשינוי בסובבנו את הדף. היינו יכולים לקבוע בכל פעם באיזה מצב נמצא הדף, דבר שלא ייתכן בסימטריה כזאת (האמת היא שאפשר להוכיח טענה זו על ידי חפיפת משולשים וחישוב זוויות, אבל למה לקלקל הוכחה כל כך סטרילית בחישובים ובחפיפות?)

כעת אנו רואים שהמישור כולו מרוצף מצד אחד על ידי ריבועים דגולים (שצלעם היא ניצב של המשולשים הנוצרים), ועל ידי ריבועים קטנים (שצלעם היא הניצב השני של אותו משולש). כלומר: “שטח” המישור שווה לסכום שטחי ריבועים כאלה במכפלת “מספר” הריצופים. מצד שני, “שטח” המישור שווה לשטח כל הריצוף האלכסוני של הריבועים, בעוד שהריבועים האלכסוניים נשענים על היתר של אותו משולש. “מספר” הריבועים האלכסוניים “שווה” ל”מספר” הריבועים הגדולים, וזה גם “מספר” הריבועים הקטנים. בכך הוכח משפט פיתגורס לעינינו, מבלי שביצענו אף לא חפיפה אחת ואף לא חישוב אחד. זוהי ההוכחה האולטימטיווית של משפט פיתגורס. רק בשל הוכחה זו ראוי הספר להימצא בהישג ידו של כל צמא דעת ואתגר.

הספר “האיש שאהב רק מספרים” (מאת פול הופמן, הוצאת מטר, 2001), מספר על המתמטיקאי הפורה פול ארדש. הוא תמיד חיפש הוכחות מה”ספר”, כלומר: הוכחות שמימיות, מה”ספר” של אלוהים. יורשה לי להציע כי הוכחה זו של משפט פיתגורס היא כזאת. היא עושה שימוש נפלא בשני אלמנטים מהותיים ביותר במתמטיקה: סימטריה, ושינוי סדר, ארגון מחדש של אלמנטים. בנוסף, הוכחה זו מסבירה באופן משכנע וחד משמעי מדוע משפט פיתגורס נכון, מדוע הוא חייב להיות נכון. זוהי הוכחה מה”ספר”. המתמטיקאי הארדי קבע כי “אין מקום בעולם למתמטיקה מכוערת”. הוכחת משפט זה, כמו משפטים אחרים ורעיונות אחרים בספר שלפנינו, מוכיחים זאת היטב.

עם זאת, הספר אינו נקי מחסרונות. אין בו רשימה ביבליוגרפית ואין שום הפניה לספרות מתמטית. הדבר מקשה על הקורא למצוא את המקור לשפע המידע המתמטי המוגש לפניו, ולהרחיב את השכלתו. לעתים ההוכחה חסרה פירוט, או שיש דילוג על פרטים מהותיים. למורה שישאף להקנות ידע מתוך הספר לתלמידיו מומלץ לעבור על ההוכחה ולהסבירה היטב לעצמו בטרם ילמדה לתלמידיו. כמו כן, לא תמיד ברור הקשר בין חלקים שונים בספר, וישנם מקרים שבהם נדרשה עריכה קפדנית יותר.

אריה לרנר עשה עבודה מצוינת בתרגום הספר. מצד שני, חסר קרדיט לאיור השער. גם הסופר אינו מוצג כלל לפני ציבור קוראיו. כל זה אינו גורם לי לסגת כהוא זה מהמחמאות שבהן נפתחה סקירה זו. לימוד המתמטיקה ואהבתה נמצאים בשפל גדול בישראל: יש פחד גדול ולא מוצדק ממנה. חסרים מאוד ספרים כאלה, שבבסיסם יש הצדעה ליופי הגלום בעולם הזה. כל ספר, ובפרט ספר משובח, כזה, ראויים לברכה ולקריאה, שגורמת הנאה וחדווה מרובות.

ידען המתמטיקה
הידען – סקירת ספרי מדע פופולרי

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~936136599~~~133&SiteName=hayadan