ניתוח של החיבור העלום “סטומכיון” מוביל למסקנה שארכימדס עסק בקומבינטוריקה יותר מ-2,000 שנה לפני שנהפכה לתחום מחקר מתמטי מוכר
ג'ינה קולטה
קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/archimeded221203.html
“סטומכיון” בעיבוד מחשב. החיבור הועתק על קלף בשנת 975, נמחק במאה ה-13, התגלה ב-1906, נעלם, צץ שוב בשנות השבעים והועבר לחוקרים לפני חמש שנים
תצלום: ניו יורק טיימס
לפני 2,200 שנה כתב המתמטיקאי היווני הדגול ארכימדס חיבור שכותרתו “סטומכיון”. בניגוד לשאר כתביו, חיבור זה נבלע עד מהרה בתהום הנשייה. כמעט לא נותר ממנו שריד ואיש לא הצליח להבין אותו.
אך כעת חוקר ישראלי מאוניברסיטת סטנפורד, שנבר בדפי קלף עתיקים, מכוסים ברישומי נזירים ומתפוררים מרוב עובש, פתר כנראה את תעלומת החיבור.
בכך הוא פתח אשנב חדש ומפתיע אל עבודתו של ארכימדס, הזכור בעיקר בשל קריאתו “אאוריקה!” לאחר שגילה שיטה מתוחכמת לבדוק אם כתרו של מלך עשוי מזהב טהור.
לדברי ד”ר רויאל נץ, היסטוריון של המתמטיקה, ארכימדס הקדים בהרבה את זמנו. “סטומכיון”, הוא טוען, הוא חיבור על קומבינטוריקה, תחום שלא זכה להכרה עד להתפתחות מדעי המחשב.
מטרת הקומבינטוריקה היא לקבוע בכמה דרכים ניתן לפתור בעיה נתונה. ומציאת מספר הדרכים שבהן ניתן לפתור את הבעיה המוצגת בסטומכיון היא קשה ביותר: כאשר נץ ביקש מצוות של ארבעה מומחים לקומבינטוריקה לעשות זאת, נדרשו להם שישה שבועות להשלמת המשימה.
נץ מודה שלא ניתן להוכיח את ממצאיו בוודאות מוחלטת, אך הוא הציג את עבודתו לפני חוקרים אחרים, ואלה מסכימים עם הפירוש שלו. באחרונה נאספו באוניברסיטת פרינסטון כמה עשרות מומחים כדי לשמוע את הרצאתו של ד”ר נץ על מחקרו. “אני השתכנעתי”, אמר בסיום ההרצאה ד”ר סטיבן מן, היסטוריון של מתמטיקה עתיקה מאוניברסיטת מקגיל.
מתוך כל כתביו של ארכימדס, סטומכיון היה הזנוח ביותר. החוקרים התעלמו ממנו או דחו אותו כחסר חשיבות או כבלתי נהיר. רק חלק זעיר מההקדמה לחיבור נותרה בידינו, וככל שניתן להבין ממנה נראה היה שנושא החיבור הוא משחק ילדים עתיק – המכונה סטומכיון – שבו נדרשו השחקנים לחבר יחד פיסות מנייר בדרכים שונות כדי ליצור צורות שונות. היה זה לגמרי בלתי סביר שאדם בשיעור קומתו של ארכימדס יתעניין במשחק כזה. על כן, אמר נץ, “החוקרים החליטו שהם אינם יודעים מהו הנושא של החיבור”.
לטענת נץ, ארכימדס לא ניסה לחבר יחד פיסות נייר לכדי צורות שונות. הוא ניסה לבדוק בכמה דרכים ניתן לסדר את 14 הפיסות השונות כדי ליצור צורה אחת בלבד – ריבוע. מציאת התשובה – 17,152 – חייבה ספירה זהירה ושיטתית של כל האפשרויות. “זה היה קשה”, העיד ד”ר פרסי דיאקוניס, סטטיסטיקאי מסטנפורד שעבד על הפתרון יחד עם אשתו ד”ר סוזן הומס ועם שני מתמטיקאים אחרים העוסקים בקומבינטוריקה – אף הם בעל ואשה – ד”ר רונלד גרהאם וד”ר פאן צ'ונג מאוניברסיטת קליפורניה בסן דייגו. במקביל, ד”ר ויליאם קטלר, איש מחשבים מחברת “שיקאגו רוהייד” מאילינוי, כתב תוכנת מחשב שאישרה את חישובי המתמטיקאים.
התגלית שארכימדס עסק בקומבינטוריקה מפליאה למדי, אך מפליא לא פחות סיפורו של כתב היד, שנכתב ביוונית על קלף בשנת 975. זהו אחד מתוך שלושת ההעתקים של כתביו של ארכימדס שהשתמרו עד ימי הביניים (שני האחרים אבדו, וסטומכיון לא נכלל אף באחד מהם). “במקרה של ארכימדס, כמו באלה של כל יתר המחברים מהעת העתיקה, אין בידינו כתבים מקוריים”, אמר נץ, “אלא רק העתקים של העתקים של העתקים”.
במאה ה-13 נזירים נוצרים שנזקקו לקלף לצורך חיבור ספר תפילה קרעו את כתב היד, שטפו אותו, קיפלו את דפיו לשניים וכיסו אותו בטקסט דתי. אחרי מאות שנות שימוש הגיע ספר התפילה – המוגדר כפלימפססט, חיבור שכולל שכבות טקסט מחוקות מתחת לטקסט העיקרי – למנזר בקונסטנטינופול.
המלומד הדני יוהאן לודוויג הייברג מצא את הספר בשנת 1906, בספרייה בכנסיית הקבר הקדוש באיסטנבול. הוא הבחין בסימנים מתמטיים קלושים מתחת לשורות התפילות. הוא השתמש בזכוכית מגדלת כדי להעתיק את מה שהצליח לפענח וצילם כשני שלישים מהדפים. אחר כך המסמך נעלם ואבד, יחד עם כתבי יד יקרי ערך אחרים, בתקופת המאבקים בין היוונים לטורקים.
כתב היד צץ מחדש בשנות ה-70 של המאה העשרים, כאשר התברר שמשפחה צרפתית שרכשה אותו באיסטנבול בתחילת שנות ה-20 החזיקה בו חמישה עשורים עד שניסתה למכור אותו. בני המשפחה התקשו למצוא קונה, בין השאר משום שלא היה ברור אם כתב היד נמצא בבעלותם באופן חוקי. מלבד זאת, המסמך נראה נורא. הוא התכסה בעובש במשך השנים שהוחזק בידי המשפחה והיה מרופט ומכוער.
ב-1998 מיליארדר אנונימי רכש את כתב היד בשני מיליון דולר והשאיל אותו למוזיאון וולטרס לאמנות בבולטימור, שבו הוא שמור כיום. קבוצה קטנה של חוקרים נרתמה לשחזר את הטקסט היווני המקורי של כתב היד. זה לא היה קל. “כשמסתכלים בעין בלתי מזוינת לא רואים דבר, שום דבר”, אמר נץ. באור אולטרה-סגול התגלו סימני כתב קלושים, אך אלה כללו את התפילות והמתמטיקה גם יחד. “לא רק שאותיות רבות מוסתרות, אלא שרבות מהאותיות הלא-מוסתרות הן קלושות עד כדי כך שאי אפשר לזהות אותן”, אמר נץ. ויש גם פערים בטקסט במקומות שבהם הדפים נקרעו או אוכלו בשל העובש.
הדמיית מחשב סייעה בפענוח. ד”ר רוג'ר איסטון מהמכון לטכנולוגיה של רוצ'סטר, ד”ר קית נוקס מחברת בואינג וד”ר ויליאם כריסטנס-ברי מאוניברסיטת ג'ונס הופקינס חיברו תוכנות מחשב שביכולתן להפריד בין הכתב לבין ה”רעש” שמסביב, ובמקומות רבים האותיות היווניות ממש קופצות מהמסך. “המוצר שמפיקה התוכנה מדהים באיכותו”, אמר נץ. אך יש לו גם מגבלות, בעיקר ליד הקצוות הבלויים של הדפים. כדי לשחזר את הכתבים, נץ וד”ר נייג'ל וילסון, פרופסור ללימודים קלאסיים מאוניברסיטת אוקספורד, השתמשו בכל כלי אפשרי: אור אולטרה-סגול, הדמיות מחשב, התצלומים של הייברג וההיכרות האינטימית שלהם עם הטקסטים היווניים העתיקים. ובכל זאת, בכמה מקומות “פענוח הטקסט יהיה כנראה בגדר השערה”, אמר נץ.
התובנה הראשונה בעניין טיבו האמיתי של סטומכיון צצה בדרך מקרה, אומר נץ. באוגוסט שעבר, הוא מספר, בדיוק כאשר עמד להתחיל בהעתקת אחד מעמודי כתב היד, הוא קיבל מתנה בדואר: דגם של משחק סטומכיון, עשוי מזכוכית כחולה מלוטשת. הדגם היה מעשה ידיו של איש עסקים בגמלאות מקליפורניה, שמצא את נץ, מומחה בעל שם לארכימדס, דרך האינטרנט. כשהביט בדגם הבין נץ שהתרשים המצויר על הדף שמולו היה למעשה סידור מחדש של חלקי פאזל הסטומכיון. פתאום הוא הבין לאן חתר ארכימדס.
בתרשים הופיעו 14 חלקים, והמלים “ערב רב” היו מקושרות אליו כפי הנראה. הייברג והבאים אחריו סברו שכוונתו של ארכימדס היא שניתן ליצור צורות רבות על ידי סידורים שונים של החלקים. אך הפירוש הישן נראה טריוויאלי, כמעט לא ראוי למאמציו של ארכימדס.
ככל שהעמיק בדפי כתב היד וצירף את חלקי הטקסט, הבין נץ ששאלתו האמיתית של ארכימדס היא, ככל הנראה, “בכמה דרכים ניתן לחבר יחד את החלקים כדי ליצור ריבוע?” לשאלה זו, אמר נץ, יש משמעות מתמטית. “אנשים הניחו שבעת העתיקה לא היתה קומבינטוריקה”, הוא המשיך, “כך שאיש לא שם לב לאמירה של ארכימדס, שישנם סידורים רבים והוא יחשב אותם”.
האם ארכימדס פתר את החידה? “אני בטוח שהוא פתר אותה, אחרת הוא לא היה מעלה זאת על הכתב”, אמר נץ, “אני רק לא יודע אם הוא פתר אותה נכון”.
https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~718641199~~~133&SiteName=hayadan
