הוצגה הוכחה אפשרית לקיומם של אינסוף ראשוניים תאומים

ההוכחה לשאלה, שהיא אחת מהשאלות הלא פתורות המפורסמות ביותר בתורת המספרים, פורסמה לציבור הרחב בסוף מאי ואמורה להיבדק על ידי צוות מומחים

ינון קוסטיקה

קישור ישיר לדף זה: https://www.hayadan.org.il/primetwin.html

תורת המספרים מציבה מגוון רחב של שאלות שאמנם קל מאוד לנסח אותן, אך פתרונן נותר עלום עד היום למרות מאמצים כבירים המושקעים בדבר. רבות מאותן בעיות מערבות מספרים ראשוניים, הם מספרים המתחלקים אך ורק באחד ובעצמם, הנמצאים בשימוש נרחב כיום במרבית שיטות ההצפנה המודרניות.
אחת הבעיות הללו נקראת בעיית הראשוניים התאומים (Twin Primes). ראשוניים תאומים הם זוג מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2, כמו למשל (3,5), (41,43). בעוד שהוכח כי קיים מספר אינסופי של מספרים ראשוניים, השאלה האם קיים מספר אינסופי של ראשוניים תאומים נותרה לא פתורה מראשית המאה ה-20, למרות שרוב המתמטיקאים מאמינים שהטענה אכן נכונה. הבעיה נחשבת לאחת הבעיות המרכזיות בתורת המספרים שעדיין לא באו על פתרונן.
החודש פרסם ר. פ. ארנסטורף (R. F. Arenstorf) מאוניברסיטת ואנדרבילט שבטנסי מאמר בן 38 עמודים המציג הוכחה אפשרית לטענה באמצעות שיטות מאנליזה קלאסית של תורת המספרים. המאמר נמצא ב- arxiv.org, ונגיש לקהל הרחב.
בטקס הפתיחה של האוניברסיטה העברית, שנערך ב-1 באפריל 1925 על הר הצופים, נשא המתמטיקאי היהודי גרמני אדמונד לנדאו מאוניברסיטת גטינגן הרצאה בנושא “שאלות פתורות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית”. אחת מהשאלות הראשונות שהציג הייתה בעיית הראשוניים התאומים: “זאת ידע השטן. רצוני לומר, כי חוץ מריבונו של עולם אין מי שיודע זאת, אפילו לא ידידי הרדי באוקספורד אשר בין כל עמיתי, הוא החוקר המעמיק ביותר בתחום זה” אמר בנוגע לתשובה אפשרית.
מחקר רב בנושא נערך מאז, בכיוונים רבים ומגוונים, אך לא נמצאה עד היום הוכחה אפשרית לשאלה. בשנת 1919 המתמטיקאי הנורבגי ויגו ברון (Viggo Brun) הוכיח כי סכום ההופכיים של כל הראשוניים התאומים (כלומר הטור (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+..) מתכנס לערך סופי שלימים נקרא “קבוע ברון” וערכו ..1.9021. התכנסות הטור הביאה להתבדות תקוות רבות, שכן אילו הטור לא היה מתכנס לערך סופי, אז באופן וודאי קיים מספר אינסופי של ראשוניים תאומים.
בראשית המאה היה ידוע כי הטור מתכנס, אך לא היה ידוע ערך ההתכנסות בדיוק מספק, שכן לצורך כך יש לערוך חישובים הכוללים עשרות מיליארדי ראשוניים תאומים. רק ב-1974 נעשה חישוב מניח את הדעת לקבוע ברון, ושנתיים לאחר מכן הערך אף התגלה בדיוק גבוה יותר לאחר חישוב של כמאה מיליארד ראשוניים תאומים (!).
תומס נייסלי (Thomas Nicely) מאוניברסיטת לינצ'בורג שבווירג'יניה ניגש ב-1994 לאמת את ערכו של קבוע ברון ואף לחשבו בדיוק גבוה יותר על ידי סכימת טריליוני ראשוניים תאומים. אגב כך, גילה נייסלי כי במהלך החישוב התוצאה הולכת ומשתבשת. בדיקה מדוקדקת בנושא העלתה כי התקלה נבעה מפגם במעבד הפנטיום של אינטל, שיצא לשוק באותה שנה. פגם זה נודע לאחר מכן כ”בג הפנטיום” הידוע, שהביא לקריסת מניות אינטל ולמשבר אמון קשה עם הצרכנים.
בשנים האחרונות נרתם המחשב למציאת ראשוניים תאומים בעלי ספרות רבות. כך למשל חושבו כל הראשוניים התאומים הקטנים מעשרת אלפי טריליון (אחד ואחריו 16 אפסים) על ידי פטריק פריי במכון הפוליטכני שבמדינת ניו-יורק. הראשוניים התאומים הגדולים ביותר הידועים כיום הם בעלי 32,220 ספרות עשרוניות.
גישה אחרת נקטו פ. קלי וטרי פילינג מאוניברסיטת צפון דקוטה, שהתמקדו בפיזור הראשוניים התאומים על סקלת הראשוניים בלבד, ולא על סקלת המספר הטבעיים כפי שנעשה עד אז. הם בדקו כמו ראשוניים “בודדים” מפרידים בין כל זוג עוקב של ראשוניים תאומים, כלומר בין (17,19) ל- (29,31) מפריד ראשוני בודד יחיד (23), ובין (5,7) ל- (11,13) לא מפריד אף ראשוני. מספר הראשוניים המפרידים נקרא הפרדה ראשונית (Prime Separation). בהתבסס על ניתוח של ראשוניים תאומים הקטנים מארבעה מיליארדים, קבעו קלי ופילינג שעבור תחום מספיק רחב של מספרים טבעיים, השכיחות היחסית של ראשוניים תאומים (ביחס למספרים ראשוניים) נתון על ידי יחס לוגריתמי המפליא בפשטותו.
ההוכחה שפורסמה עוברת כעת בדיקה על ידי צוות מומחים שיקבעו האם היא אכן מוכיחה את הטענה. הבדיקה תארך כמספר חודשים לכל היותר, ובסיומה נדע האם אחת השאלות הפתוחות הגדולות ביותר בתורת המספרים באה על פתרונה.
מלבד ראשוניים תאומים, קיימים גם ראשוניים “בני דודים” (Cousin Primes) שהם זוג ראשוניים בעלי הפרש 4 (למשל 19,23) , וראשוניים סקסים (מהמילה שש בלטינית, Sexy Primes) שערך ההפרש הוא 6, כמו למשל (7,13).

קישורים:

ההוכחה האפשרית לבעיית הראשוניים התאומים

עוד על ראשוניים תאומים
מאמר בגלילאו על הכשל בפנטיום וכיצד התגלה
ידען המתמטיקה

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~867973294~~~133&SiteName=hayadan