יוני תוהה על השיטה העשרונית: “האם טבעו של האדם להיות לספור במחזורים של 10?”
השיטה העשרונית נראית לנו מובנית מאליה מכמעט חלק מהטבע. אנחנו מוקסמים ממספרים עגולים. את ההיסטוריה אנחנו מסדרים לפי מאות, את החיים לפי עשורים ורק את המחירים מקפידים לקבוע כמה שפחות עגולים. ובכל זאת מדוע זכה דווקא 10 בבכורה?
בספר הכוזרי השתמש המשורר והפילוסוף יהודה הלוי באוניברסליות של בסיס 10 כהוכחה למוצאה המשותף של האנושות מאדם הראשון של ספר בראשית ” מִנְיַן הָעֲשָׂרָה, הִסְכִּים כָּל אָדָם עָלָיו בַּמִּזְרָח וּבַמַּעֲרָב, אֵיזֶה טֶבַע יָבִיא לַעֲמד בעשרה? אלא שֶׁהוּא מְקֻבָּל מִמַּתְחִיל בּו”. מדעני נאס”א לא השתכנעו ודיסק המידע לחוצנים ששוגר לחלל עם החללית וויאג’ר ביטא גדלים בבסיס בינארי מתוך מחשבה ששפת המחשב המבוססת על 0 ו 1 היא הבסיס שכל בעל תבונה ביקום יבין. האפשרות שמקבלי המסר ישתמשו במחשבים קוונטים בהם ה”קיוביט” אינו בינארי לא נלקחה בחשבון כששוגר המסר בשנת 11110111001 ( 1977). מחקר היסטורי ואנתרופולוגי מערער עוד יותר את הביטחון בטבעיות או באוניברסליות של בסיס 10.
השיטה העשרונית כפי שהיא מוכרת לנו נוצרה בעמק הנילוס והתפשטה תחילה למזרח התיכון ואחר כך לאסיה ואירופה. כל מי שביקש, כבניו של יעקב למשל, לסחור עם האימפריות נאלץ להתאים עצמו לבסיס 10 וכך נכחדו האלטרנטיבות. המתחרה הרציני ביותר ל-10 היה התריסר, ספירה כזו שרדה באפריקה ובהודו עד לתחילת המאה ה-20, בצפון ניגריה תועדה אפילו מילה מיוחדת ל”אלף” של בסיס 12 (12 בחזקת 3) הנקרא בשיטה “שלנו” 1728.
לא קשה למצוא שרידים לתרבות התריסר גם אלפי שנים לאחר ניצחון העשר: היממה מחולקת ל-24 שעות – זכר לחלוקת תריסרית של היום. בעברית ובשפות אחרות יש מילה מיוחדת ל12 ואפילו חיפוש בגוגל מגלה כי ל-“12” בשני שמותיו האנגליים (Twelve,dozen) יש יותר מופעים מלשכניו 11 ו-13. אילולא ניצחון ה-10 המצרי על התריסר היינו חוגגים השנה את יום העצמאות ה60 והשנה הייתה 1204
יש הרואים בעשרת האצבעות את החשבוניה הטבעית שנותנת ייתרון לבסיס הזה ואכן ספירה בעזרת אצבעות נפוצה אצל ילדים בתחילת לימודי החשבון כמו גם אצל לא מעט מבוגרים. אבל היעזרות באצבעות אינה מחייבת ספירה בבסיס 10. כפות הידיים מכילות חשבוניית 8 וחשבוניית 12 שימושיות לא פחות.
בנוסף, גם לכפות הרגליים יש אצבעות וספירה בבסיס 20 היתה נפוצה בקרב ילידי דרום ומרכז אמריקה שהמסורת המתמטית שלהם הוכחדה, יחד עם נכסי תרבות אחרים, בחורבן שהמיטו הכובשים העשרוניים מספרד, בסיס 20 שרד אצל שבטי אינואיט (אסקימואים) ואפילו בצרפתית המודרנית נשמר לו זכר בשמות המספרים שבין 80 ל-99 (91 למשל הוא Quatre vingt onze כלומר ארבע עשרים אחד עשרה) . בסיס 20 מערער עוד מוסכמה : אפשר לעבוד בו זמנית עם יותר מבסיס אחד. נראה ש-20 שמות לספרות הם יותר מדי ולכן בשפות אלו נפוץ בסיס משנה 5 למספרים קטנים כך שהמילה ל—17, למשל מבטאת 3 חמישיות ועוד 2. בחברות לא עשרוניות רבות היה נפוצה שיטת ספירה המבוססת על 2 ו5 (9 הוא 5+2+2) וגם הספרות הרומיות משמרות מסורת קדומה של בסיס 5 (4 הוא IV כלומר 5-1 ואילו 6 הוא VI או 5+1)
למרות שתרבות המערב קיבלה את השיטה העשרונית מהציוויליזציות הגדולות שקדמו לה נותרו בה מובלעות של שיטות לא עשרוניות עד לימינו אנו. השיטה העשרונית כבשה את ציר המספרים הטבעיים אך שברים עשרוניים שפותחו בתור הזהב של המתמטיקה הערבית במאה העשירית חלחלו לאט מאוד אל חיי היום יום. המתמטיקאי היהודי עמנואל טוב עלם כתב על השימוש בהם במאה ה14 אך מתמטיקאים אירופים החלו לעסוק בהם רק בתקופת הרנסנס. רישום נקודה להפרדה בין השלם לשבר התקבל רק במאה ה17 וספרי הלימוד למתמטיקה לא כללו שברים עשרוניים עד לסוף המאה ה18. העדר שיטה עשרונית נוחה לשברים הביא לשימור שיטות לא עשרוניות במטבעות ובמידות אורך ומשקל. כך למשל התחלק הפאונד האנגלי ל4 “כתרים” ול20 שילינג ו21 שילינג כלומר 1.05 פאונד הצטרפו ל גיני (guinea). בארה”ב שרדו מידות אורך ומסה לא עשרוניות עד עצם היום הזה: 12 אינטש הם רגל (foot) שלוש רגליים הם יארד ו 1,760 יארדים הם מייל. מעניין לציין כי האבות המייסדים : הנשיא הראשון וושינגטון ותומאס ג’פרסון ביקשו לנצל את רגע החסד של ההתנתקות מהאימפריה הבריטית כדי להעביר את האומה הצעירה לשיטת מידות עשרונית. הם הצליחו בתחום המטבע (הדולר, בניגוד לפאונד, מתחלק ל100 סנט) אבל הקונגרס, שרוב חבריו לא הכירו את הנקודה העשרונית מספרי הלימוד של ילדותם, דחה את בקשתם. כך נתקעה המעצמה הגדולה עד ימינו עם שיטת מידות ומשקלות המשמרת מסורות קדם-עשרוניות.
איך היה נראה עולמנו אילולא השליטו המעצמות את בסיס 10 על כולנו?
האנתרופולוג גלנדון לין (Glendon Lean) תיעד מאות שיטות ספירה בפינות האחרונות על פני כדור הארץ שניצלו מהגלובליזציה: בפפואה ובאיי האוקיינוס השקט. הוא מצא אמנם שבטים עשרוניים, רובם דוברי שפות אוסטרונזיות, תרבות ששטפה את האזור לפני כ-5,000 שנים אך לצידם מגוון עצום של שיטות ספירה וחישוב: אזורים בהם שלט בסיס 5 , בסיסים מעורבים ( בפרט 2,5 ו 2,5.20) אזורים בהם ה6 דומיננטי וכן עשרות שבטים שהקדימו את עידן המחשב והשתמשו בבסיס 2 (בינארי).
לין מיפה כך את פפואה וסביבתה ושחזר את ההיסטוריה המתמטית שלה. הספירה באמצעות אברי גוף היא הקדומה ביותר ונדחקה לאזורים נידחים כשנוצרו שיטות בבסיס 2 שמצידן הפסידו את הקרב לבסיס 5 ו-6 לפני הפלישה העשרונית. אבל מה שמפתיע במיוחד הם שבטים שמסתדרים בלי שמות למספרים ומבטאים מידע כמותי באמצעות אברי גוף. לכל אצבע מיוחס מספר, כדי לבטא 6 מצביע הדובר על מרכז כף היד, 7 הוא פרק כף היד, 8 הוא אמצע הדרך למרפק וכן הלאה. יש שבטים ששיטה זו מביאה אותם ל-18 באזור הפנים ושבט היופנו (yupno) מביא את הספירה עד 33 כשנעשה שימוש במגוון איברים -21 למשל הוא אוזן שמאל ו 32 הוא אשך ימין. אלא ששיטות אלו אינן אינסופיות, בני יופנו סופרים, כאמור, על גופם עד 33 כך שנתקשה להסביר לבן יופנו כמה שרים מכהנים כרגע בממשלת ישראל (יש לקוות שהשבט יתגבר על החוסר בפריט האינפורמציה הזה). אפשר, מסתבר, לוותר על שמות למספרים גדולים ועל בסיסי ספירה בכלל.
עלתה בדעתכם שאלה מעניינת, מסקרנת, מוזרה, הזויה או מצחיקה? שלחו ל [email protected]
עוד בנושא באתר הידען:
7 תגובות
אז איך אישה חסרת אשכים משבט היופנו סופרת? *אימוגי מוטרד*
בנוסף לתגובה של חגי
המסופוטמים הקדמונים גם הגדירו את המעלה לפי בסיס 60, 360 מעלות מתחלקות מצויין בבסיס 60 כי 60 הוא מחלק של 360 והוא בעצמו מלא במחלקים.
10 זה מספר מגעיל וטוב היה אם היינו משתמשים ב12.
תגיד להם יופונו שיש 10 שרים, הוא יבין.
כי זה הכי נוח. וטוב שכך. ובאמת מסתדר טוב עם עשר אצבעות.
ובאצבעות יש גם אגודלים אז זה בסיס 14
איך מכל שיטות הספירה דילגתם על השיטה החשובה ביותר של העולם העתיק – בסיס 60 של המסופוטמים. השיטה הזו שלטה במרחב יותר זמן ממשך קיומה של השיטה העשרונית.
איכשהו את בסיס 12 באפריקה הכנסתם, אבל את בסיס 60 שכחתם?
לא חבר’ה, אלו לא האפריקאים שחילקו את היום ל24 שעות, אלא זה תוצר של השיטה המסופוטמית (60 מתחלק ב12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 וכך ממש הם השתמשו בו. המשקולות שלהם למשל כללו כפולות של 1, 2, 4, 8, לפעמים 12, 16, 24, 32, 36, 40, 48, 60 ובשיטות שונות ששאבו משיטה זו גם 50, 42, 28, 6 ו-5).
המהפכה הצרפתית חשובה מאד לעניין הזה. במקום להגדיר את המייל הימי על פי חלוקת היקף כדור הארץ ל 360 מעלות, 60 דקות קשת בכל מעלה, כלומר המייל הימי הוא דקת קשת על כדור הארץ (נוח לניווט) החליטו הצרפתים לחלק את המעגל ל 400 מעלות, בכל מעלה 100 דקות קשת ובכל דקת קשת 100 שניות קשת. בחישוב הזה כל שניית קשת צרפתית יוצאת 10 מטר. חילקו ב-10 שתהיה מידה נוחה לשימוש. עד היום יש מכשירי מדידה שמודדים מעלות ביחידות האלו, שנקראות GRAD במקום DEGREE כמו בשיטה הקודמת.
הצרפתים גם בנו מערכת שעות עם 20 שעות ביממה, 100 דקות בשעה ו-100 שניות בדקה. במוזיאון האסלאם בירושליים יש שעונים כאלו. רק שלא תפס.
לפי איזה בסיס חושב גילו של מתושלח?