ידענים: היסטוריה של המדע | מתמטיקה

מאת 18 ביוני 2010 41 תגובות

אדולף קטלה האמין שהוא מסוגל להכניס את בני האדם לתוך אותה מסגרת נוקשה שהציבה הסטטיסטיקה. "המקריות," טען קטלה, "היא רק צעיף המכסה על בערותינו."

עקומת פעמון. מתוך ויקיפדיה

עקומת פעמון. מתוך ויקיפדיה

עבור רובנו, האנשים שמכירים את המספרים והמשוואות רק משיעורים משעממים בבית הספר, כל הנושא הזה נראה טכני, משעמם ומייגע- אבל כל מתמטיקאי יגיד לכם שמתמטיקה היא יפה. יש בה אלגנטיות מדהימה שנחשפת בעיקר כשאתה מגלה עד כמה היא מסוגלת לקשור יחדיו תופעות טבע שנראות, על פניו, בלתי קשורות לחלוטין זו לזו. הסיפור הבא ידגים את האלגנטיות הזו.

אדולף-ז'אק קטלה (Quetelet) נולד בעיר הבלגית גנט בשנת 1796. הוא היה איש אשכולות של ממש: כתב שירה, חיבר מחזות, תרגם ספרים וגם לימד מתמטיקה, פיסיקה ואסטרונומיה. הוא היה מדען מוצלח, והראשון שקיבל את התואר 'דוקטור למדעים' מאוניברסיטת גנט.

ב-1823 נשלח קטלה לפריז. המטרה המקורית של הביקור הייתה התמחות באסטרונומיה, אך בצרפת פגש קטלה את אחד מהמתמטיקאים הגדולים של דורו- פייר סימון לפלאס. זו הייתה פגישה גורלית עבור קטלה, שכן לפלאס הצית אצלו אהבה גדולה לסטטיסטיקה.

הסטטיסטיקה הייתה תחום צעיר ולא מפותח באותם הימים, אבל המתמטיקאים שעסקו בנושא זה כבר הספיקו לגלות כמה עובדות מסקרנות.

נניח, למשל, שאנחנו מודדים את הטמפרטורה של דלי מים רותחים באמצעות מד חום. מד החום איננו מושלם ולכן בכל פעם שנכניס אותו לתוך הדלי, נקבל תוצאה שונה. השינויים יהיו זעירים- שברירי מעלה לכאן או לכאן: במדידה אחת נקרא 100.5 מעלות, במדידה הבאה אולי 99.5 מעלות.

כדי להיות בטוחים בתוצאת המדידה שלנו, נבצע אלף מדידות שונות ונרשום את התוצאות בגרף: הציר האופקי בגרף יהיה הטמפרטורה הנמדדת והציר האנכי- כמה פעמים קיבלנו את אותה המדידה.

הגרף שנקבל יהיה בצורת פעמון: אזור מרכזי גבוה ושוליים שהולכים וקטנים בהדרגה. יהיו המון מדידות שנעות סביב נקודת מאה המעלות, ומעט מדידות שהולכות ומתרחקות ממנה- למשל, עשר מדידות של 101 מעלות, 5 מדידות של 102 מעלות ורק 3 מדידות של 104 מעלות.

המתמטיקאים נתקלו בגרף הפעמון הזה בהמון ניסויים שונים בפיסיקה. כמעט בכל פעם שמדידה חזרה על עצמה שוב ושוב, למשל- מדידת מהירות, זרם חשמלי, אורך, רוחב ומה לא- התוצאה הייתה עקומה של פעמון. למעשה, כל כך הרבה ניסויים ומדידות הפיקו את אותה צורת פעמון עד שהיא קיבלה את השם 'התפלגות נורמאלית': כך מתנהג הטבע באופן נורמלי.

אבל פיסיקה זה דבר אחד, ובני אדם זה משהו אחר. אנחנו לא דלי מים בעל טמפרטורה אחת- אנחנו שונים זה מזה. כל אחד מאיתנו נראה אחרת: גבוה, נמוך, רזה, שמן, קירח, שעיר ועוד ועוד. ההבדלים בין בני האדם, כך נדמה, הם אקראיים לחלוטין.

אדולף קטלה האמין שהוא מסוגל להכניס את בני האדם לתוך אותה מסגרת נוקשה שהציבה הסטטיסטיקה. "המקריות," טען קטלה, "היא רק צעיף המכסה על בערותינו."

כדי להוכיח את דבריו, קטלה מדד את גובהם של מאה אלף טירונים בצבא הצרפתי, וצייר את התוצאות על גרף. גובהם של רוב החיילים נע סביב איזה שהוא ערך מסוים- למשל, מטר ושבעים ס"מ- וככל שמתרחקים מאותו ערך מספר החיילים יורד. רק חלק קטן מהם מתנשא לגובה של מטר ותשעים או מטר וחמישים. אם התיאור הזה מוכר לכם, אתם צודקים: לגרף שקיבל קטלה היה צורה של…פעמון.

מכאן, שגם הגובה האנושי מציית לאותה התפלגות סטטיסטית 'נורמאלית' של מדידות טמפרטורה. קטלה מצא סדר מסוים בתכונה אנושית שעל פניו היא אקראית לחלוטין. קטלה מדד גם את היקף החזה של ששת אלפים חיילים סקוטיים, ושוב קיבל את אותה ההתפלגות הנורמאלית.

מנין הקשר שבין התנהגותו של מד-חום בתוך דלי מים רותחים, לגובה של חיילים צרפתים? על פניו, אלו תופעות שונות לחלוטין. קטלה ניסה לפתור את הדילמה הזו באמצעות הסבר מקורי: הוא טען שהטבע מנסה ליצור בן אדם (במקרה הזה, חייל צרפתי) בעל גובה 'אידיאלי'. אבל הטבע מפספס. במקום חייל בגובה האידיאלי, הוא מייצר חייל 'שגוי', בגובה שונה מהרצוי. הצטברות השגיאות הללו יוצרת את עקומת הפעמון, אותה עקומת פעמון שיוצרות גם שגיאות מדידת הטמפרטורה בדלי.

בעיניים מודרניות, קל לראות שקטלה טועה לחלוטין. הטבע לא מנסה 'ליצור' שום דבר, ואם כבר היה מנסה ליצור משהו מושלם- זה בטח לא יכול להיות חייל צרפתי.

כדי לסבך את העניינים עוד יותר, קטלה החליט למדוד דברים שונים לחלוטין. למשל, את שיעור ההתאבדויות בעיר מסויימת, או את חומרת הפשיעה לפי שנה, או התפלגות גיל הנישואים. גם שם, הוא גילה, הגרף נראה בדיוק אותו הדבר: התפלגות נורמלית.

המשמעות של הממצא הזה היא לא פחות ממדהימה. אותו חוק מתמטי, אותה 'משוואה' אם תרצו, שמתארת תופעות בעולם הפיסיקה והאסטרונומיה- מתארת גם תופעות שהן לחלוטין לא פיסיקליות, כמו גיל הנישואים בבלגיה ובצרפת. ישנו קשר עמוק וחבוי בין שני תחומים שנראים על פניו שונים לחלוטין, והקשר הזה הוא מתמטי. מהי משמעותו של ממצא זה- ורבים כמותו- על תפיסת העולם שלנו? האם המתמטיקה היא סוג של בד עליו מצוירת המציאות שלנו, בד אשר משמש כרקע משותף לכל תופעה שניתקל בה? זו שאלה שמרתקת את הפילוסופים של המתמטיקה כבר אלפי שנים, וכנראה תמשיך לעשות כן גם בעתיד הנראה לעין.

[סיפורו של קטלה לקוח מתוך הספר 'האם אלוהים הוא מתמטיקאי', מאת מריו ליביו. רן לוי הוא סופר מדע פופלארי ומגיש את הפודקאסט 'עושים היסטוריה!' על מדע, טכנולוגיה והיסטוריה. www.ranlevi.co.il]

41 תגובות ל “מושלם כמו חייל צרפתי- על אדולף קטלה ועקומת הפעמון”

  1. שחר

    ברצוני להוכיח שההתפלגות הנורמאלית היא גנטית. יש עוד תופעות חוץ מתופעת המדחום המערערות החלטה זו?

  2. מיכאל רוטשילד

    ר.ח:
    פשוט נראה לי בלתי סביר שגובה האנשים הוא סכום (או ממוצע) של המון משתנים בלתי תלויים ושווי התפלגות.
    מה גם שהטענה אינה רק לגבי גובה אלא לגבי כמעט כל דבר וגובה היה רק דוגמה.
    האם ייתכן שכמעט כל דבר הוא סכום של משתנים בלתי תלויים ושווי התפלגות?

  3. ר.ח

    מכ*אל,
    אתה מדגים כאן יפה את המנגנון לטענה שלי שתופעה המורכבת ממספר פרמטרים לא תלויים תראה הרבה פעמים התפלגות נורמלית אפילו אם לכל פרמטר יש רק שני ערכים (כמו בדוגמא שלך מטר ושני מטרים).
    אני לא מבין למה לדעתך לא קיימת התפלגות נורמלית של גובה אנשים ?

  4. מיכאל רוטשילד

    רח וליזה:
    התפלגות אכן נקראת נורמלית כי היא נורמלית.
    זה עדיין לא אומר שהיא צריכה להיות בצורת הפעמון המתואר בדיוק על ידי פונקציה מסוימת.
    כעיקרון – אין זה מובן מאליו שבכלל תהיה התנהגות שניתן לאפיין כ"נורמלית".
    משפט הגבול המרכזי הוא משפט חשוב שאומר שכשיש הרבה הגרלות עם התפלגות זהה אז ממוצע תוצאותיהן שואף להתפלגות נורמלית (בהגדרתה המתמטית) ככל שמספר ההגרלות גדל.
    זה משפט יפה וחשוב והוא באמת מסביר מדוע – אם ניקח מדגמים בני הרבה מאד אנשים ונמדוד את הגובה הממוצע – ונחזור על התהליך פעמים רבות – יתפלגו הממוצעים השונים על פני עקומה המתקרבת להתפלגות נורמלית – ככל שגודל המדגמים יגדל.
    עם זאת – זה לא יגרום לעקומת התפלגות גבהי האנשים להיראות כהתפלגות נורמלית!
    לשם הדגמה – נניח עולם דמיוני שיש בו רק שני גבהים אפשריים של בן אדם – מטר ושני מטר בהסתברויות שוות.
    אם תיקח מדגם של מאה אנשים ותחשב את ממוצע הגובה שלהם תקבל מספר בין 1 ל 2.
    אם תיקח אלף מדגמים כאלה ותחשב את הממוצעים שלהם יתפזרו ממוצעים אלה על פני עקומת פעמון קרובה להתפלגות הנורמלית.
    (למעשה יקרה עוד דבר – ככל שהמדגמים יהיו יותר גדולים ההתפלגות הזאת תשתנה כי השונות שלה תקטן וחלק יחסי גדול יותר שלהם יתרכז סביב ממוצע הגובה שהוא 1.5 מטר בדוגמה זו. ירידה זו של השונות הופכת את התמשכות העקומה עד מינוס אינסוף לפחות ופחות רלוונטית).
    לעומת זאת – אם תיקח את אותם מאה אלף אנשים – גובהיהם לא יתפזרו על שום עקומת פעמון!
    עדיין חלקם יהיו בגובה מטר וחלקם בגובה שני מטר. קרוב לוודאי שחלקים אלה יהיו די דומים במספר האנשים שבהם. בטוח שלא יימצא אף אחד שגבהו הוא 1.5 מטר למרות שבהתפלגות הממוצעים שעשינו דווקא 1.5 היה הגובה הממוצע בעל ההסתברות הגבוהה ביותר.

    הסיפור עם הקוביות דומה.
    אם תיקח אלף מדגמים של 100 הטלות זוג קוביות – יתפזרו ממוצעי מדגמים אלה על פני עקומה שדומה להתפלגות נורמלית.
    אם תיקח מדגם אחד של 100,000 הטלות – סביר שהתוצאות תתפזרנה על פני משולש.

    לכן – התפלגות נורמלית של הטלות זוג קוביות אינה מתקיימת.
    לכן גם – התפלגות נורמלית של גבהי האנשים היא מפתיעה (אם היא קיימת אבל – לדעתי היא גם לא ממש קיימת וכמו במדידות של תופעות טבע רבות היא רק קירוב נוח. ההסבר האינטואיטיבי לכך שזה קירוב טוב מבוסס על ההנחה שהגובה של כל אדם מהווה בעצם ממוצע של הרבה מאד הגרלות בעלות התפלגות פחות או יותר זהה – דבר שיכול להיות מוצדק אם יש – נאמר – 100 גנים שלכל אחד מהם הרבה אללים פוטנציאלים ולכל הגנים השפעה דומה על הגובה)

  5. liza

    ר.ח:

    אני מסכים שבאופן גס היה ניתן לחשוב שכאשר בוחנים תופעות בטבע, ניתן באופן אינטואיטיבי לחשוב שערכים מסוימים יהיו מאוד שכיחים ואחרים פחות. אך לא די בכך בשביל לתאר התפלגות נורמלית.
    לגבי משקל אנשים או צבעי עיניים – אישית איני רואה סיבה א-פריורית להניח שתופעות אלו ייתפלגו נורמלית (אך מעשית מסתבר שהרבה תופעות אכן מתפלגות כך).
    מהם המשתנים המקריים שסכומם קובע את משקלו של אדם או את גובהו?

  6. ר.ח

    ליזה,
    התפלגות נורמלית היא לא משהו מסתורי. הרבה פעמים ניתן למצוא לה הסבר. למשל כשיש תופעה הנובעת מצירוף של מספר גורמים בלתי תלויים , כתוצאה מהצירופים תתקבל התפלגות נורמלית. לדוגמא סכום קוביות. דוגמא אחרת משקל האנשים המתפלג נורמלי. בקצוות יהיו כאלה שמסיבות גנטיות + חוסר מזון יהיו סופר רזים ובצד השני כאלה שמסיבות גנטיות והתנהגותיות של אכילת יתר יהיו סופר שמנים. כל השאר יהיו באמצע. מה מסתורי כאן?
    צבע עניים או גובה נגרמים ע"י מספר גנים ולכן צרופים שונים שלהם יביאו לצורות שונות. רק צרוף מאד נדיר יביא לגובה מעל שני מטר או מתחת למטר (באדם בוגר) אז שוב אין כאן שום פלא או מסתוריות.

  7. liza

    ר.ח:

    זו גם דרך להסתכל על הדברים, אך אני מסתכל על הדברים כך:
    ישנם הרבה תופעות בטבע שמתפלגות על פי התפלגות מסוימת – זה דבר אחד שהוא מפתיע בפני עצמו.
    עתה אחרי שגילו את התגלית המפתיעה הזו, החליטו לקרוא להתפלגות זו התפלגות נורמלית, מפני שאכן מסתבר שזו התפלגות מאוד נפוצה (אבל ישנם הרבה תופעות שאינם מתפלגות נורמאלית).
    הדבר השני המפתיע אינו קשור ישירות לתופעות הנצפות בטבע אלא לעולם הוירטואלי של המתמטיקה. דבר זה הוא משפט הגבול המרכזי והוא אומר את הדבר הבא:
    תיקח כמעט כל התפלגות שבא לך (אפילו על ידי שרבוט של התפלגות על דף) ועתה תתחיל לדגום דגימות מתוך ההתפלגות ולסכום אותם. הסכום הוא משתנה מקרי בפני עצמו והוא שואף להתפלגות, שבמקרה נקראת מורמאלית, ככל שנקח יותר דגימות.

    המשפט המתמטי משמש לעתים כהסבר ל"נורמליות" של ההתפלגות ולעובדה שהיא מאוד נפוצה בטבע.

  8. ר.ח

    ליזה,
    כנראה שאני מפספס פה משהו.התפלגות נורמלית נקראית נורמלית כי המון תופעות מתנהגות לפיה והיא נורמלית. אז מה מפתיע בנורמלי? בדרך כלל הלא נורמלי מפתיע.

  9. liza

    ר.ח:

    מה שמפליא(אותי לפחות) הוא שהדבר כלל לא תלוי בהתפלגות המשתנים המקריים אותם סוכמים (עד כדי התפלגויות בעלות תוחלת או שונות שאינם סופיים).
    צריך לציין שהתפלגות הסכום שואפת בדיוק להתפלגות נורמאלית ולא רק למשהו שדומה כללית לפעמון.

  10. ר.ח.

    ליזה, למה זה מפליא? אם יש מספר פרמטרים שאינם תלויים זה בזה זיוצרים תופעה מדידה יש להניח שזה מה שתקבל.

  11. ר.ח.

    משולש כי יש מעט ערכים וזה קירוב, תעשה את אותו דבר עם אינסוף קוביות תקבל את הפעמון שלך. כל חישוב הסתברויות מבוסס על מה שיותר נסיונות. תזרוק מטבע 3 פעמים ולא תוכל להסיק כלום על ההסתברות לקבל עץ.

  12. מיכאל רוטשילד

    כמובן שגם משולש הוא "סוג של" פעמון.
    לכן בעצם עולה השאלה – מה אתה רוצה לכנות פעמון.
    כללית אפשר לתאר משתנים המתפלגים באופן שאפילו אינו נותן צורה סימטרית.

  13. liza

    ר.ח:

    אני מניח שאתה מכוון למשפט הגבול המרכזי שהוזכר כאן. אם משליכים אותו לדוגמאת הקוביות שנתת הוא אומר שסכום המספרים הוא אכן משתנה שהתפלגותו תתקרב להתפלגות נורמאלית ככל שניקח יותר קוביות.
    מה שמפליא במשפט הוא שהוא תקף לגבי כמעט כל התפלגות שהיא של המשתנים אותם סוכמים (במקרה הקוביות היתה זו התפלגות אחידה על ערכי הקוביה)
    עובדה זו משמשת לעתים כהסבר לנוכחות הרחבה של ההתפלגות בתופעות שונות בטבע. נהוג להניח למשל שרעש במדידות מתפלג נורמאלית, וההסבר שניתן הוא שהרעש הוא סכום של הרבה גורמים קטנים יותר.
    הדבר לא תמיד מוצדק אך יש גם סיבה הנדסית להנחה זו והיא שההתפלגות הנורמאלית של רעש מפשטת מאוד מידול מתמטי של תופעות.

  14. מיכאל רוטשילד

    ר.ח:
    לא.
    אם תצייר לעצמך טבלה של 7X7 שבשורה העליונה תייצג (החל מן העמודה השנייה מימין) את תוצאת קובייה א ובעמודה הימנית תייצג (החל מן השורה השנייה מלמעלה) את תוצאת קוביה ב, תוכל למלא את משבצות הטבלה בסכום המתקבל בהטלה המיוצגת על ידי צירוף השורה והעמודה.
    הסתברותה של כל משבצת בטבלה היא 36 / 1.
    לכן 2 מתקבל בהסתברות 36 / 1
    3 מתקבל בהסתברות 36 / 2
    4 מתקבל בהסתברות 36 / 3
    5 מתקבל בהסתברות 36 / 4
    6 מתקבל בהסתברות 36 / 5
    7 מתקבל בהסתברות 36 / 6
    8 מתקבל בהסתברות 36 / 5
    9 מתקבל בהסתברות 36 / 4
    10 מתקבל בהסתברות 36 / 3
    11 מתקבל בהסתברות 36 / 2
    12 מתקבל בהסתברות 36 / 1

    אם תצייר את הגרף תקבל משולש

  15. ר.ח

    אתה המתימטקאי. נראה לי שניתן להוכיח שכל תופעה המורכבת ממספר פרמטרים תתנהג בצורת פעמון.
    לדוגמא קוביה אחת תראה התפזרות שווה לכל הערכים אולם שתי קוביות תראינה התפלגות פעמון כשבמרכז 7 ובצדדים 12 ו 2. האם אני צודק?

  16. מיכאל רוטשילד

    ר.ח:
    אינך מתפלא כי לא "נכנסת לראש של הכתבה".
    כפי שאמרתי – כל הפליאה המובעת בכתבה היא על הדמיון המתמטי בין התופעות שאינן קשורות.
    כפי שהסברתי – הפליאה לא ממש מוצדקת כי הדמיון המתמטי הזה לא ממש קיים והתיאור המתמטי של עקומת הפעמון אינו תיאור מדויק של המציאות אלא רק קירוב נוח.
    אתה רואה ב"פעמון" רק תיאור כללי של המראה של העקומה ולכן אינני מתפלא על שאינך מתפלא 🙂
    הרי כל הפליאה (שלטעמי אינה מוצדקת) נובעת מייחוס חשיבות מוגזמת לפונקציה המתמטית שנבחרה.

הוספת תגובה

  • (will not be published)