יהודה סבדרמיש/הצעה לנוסחת גרביטציה חילופית: תרגיל מחשבתי

יהודה סבדרמיש מבקש למצוא דרך חישובית שתמנע את הצורך בכמויות אדירות של חומר אפל כדי להסביר את תנועת הגלקסיות

הערת האתר: מאמר זה הוא מאמר ספקולטיבי ואין לצטט אותו בעבודות בתי ספר

חסרון אדיר של מסה ביקום הוא פועל יוצא מהשימוש בנוסחת הגרביטציה של ניוטון במרחבים הקוסמולוגיים. האם לא ייתכן שקיימת נוסחת גרביטציה אחרת, נכונה גם היא, שתבטל את החסרון האדיר במסה ביקום?

בכדי לענות על שאלה זו נבדוק כיצד התקבלה נוסחת הגרביטציה של ניוטון ?

נוסחת הגרביטציה של ניוטון פותחה ע”י ניוטון כהיסק אינטואיטיבי מחשבתי לתנועת כוכבי הלכת הידועים בזמנו החל בכוכב חמה המרוחק 0.39 יחידות אסטרונומיות מהשמש, וכלה בכוכב הלכת האחרון שהיה ידוע בזמנו – שבתאי, המרוחק 9.54 יחידות אסטרונומיות מהשמש. על סמך נתונים אלה, זמן המחזור של כוכבי הלכת, וחוקי קפלר שהיו ידועים

בתקופתו, הגיע ניוטון לנוסחתו הידועה:

כאשר Fn שווה לכוח הגרביטציה על פי ניוטון הפועל בין M מסת השמש, m מסת כוכב הלכת, כאשר r המרחק ביניהן, G קבוע הגרביטציה.

אבל אסור לנו לשכוח מספר עובדות חשובות:

א. נוסחה זו מוכחת בימי ניוטון רק לגבי המרחקים האלה. אי אפשר היה לומר באותו שלב דבר מוחלט לגבי הנוסחה במרחקים גדולים או קטנים יותר, ויתכן והיא לא נכונה מעבר למרחקים בהם היא נמדדה!.
ב. גם מאוחר יותר, עם גילוי כוכבי הלכת החדשים, אפשר היה לומר שהנוסחה נמדדה והוכחה רק עד כוכב הלכת פלוטו, כארבעים יח' אסטרונומיות, שזה מרחק הקטן מאלפית שנת אור!.
ג. שימוש בנוסחת ניוטון במרחקים של כ- מאה אלף שנות אור, ויותר (בגלקסיות), מראה חיסרון מסה של 90%.
ד. שימוש בנוסחה ניוטון במרחקים של כ- מאה מיליון שנות אור (מרחקים בין גלקסיות וצבירים) יראה חסרון מסה של לפחות 99%.

לאור החסרון העצום במסה, האם לא היה כדאי לבדוק אפשרות לנוסחאות גרביטציה אחרות?, האם נוסחת הגרביטציה של ניוטון (בצרוף המסקנות מתורת היחסות המצורפות אליה) היא בלתי ניתנת להחלפה?, האם אי אפשר יהיה למצוא נוסחאות אחרות- נכונות גם הן, שיבטאו את התנהגות הגרביטציה?, מה התנאים לכך?,
ובכן, נגדיר קודם כל מה פרוש הדבר לנוסחה פיזיקלית להיות נכונה:-

ה. נוסחה פיזיקלית תהיה נכונה רק אם תוצאותיה המחושבות תהיינה במסגרת הטעות הנמדדת.
ו. מכאן, שיכולות להיות עוד אין-סוף נוסחאות נכונות השונות רק במקצת, במסגרת אי הוודאות במדידות.
ז. אי הוודאות במדידות בנוסחת הגרביטציה של ניוטון היא לפחות אי הוודאות במדידת G שהיא כאלפית, כי אף פעם לא הצליחו למדוד את קבוע הגרביטציה בדיוק רב יותר.
ח. נוסחאות גרביטציה שייתנו סטיות עד לאלפית מהמתקבל ע”י נוסחת ניוטון יהיו נכונות גם הן בטווח המדידות, אך עשויות לתת ערכים שונים מאשר נוסחת הגרביטציה של ניוטון , מחוץ לטווח בו נעשו מדידות, כלומר תוצאות שונות לחלוטין במרחקים גלקטיים ובין גלקטיים.

כלומר , אם נצליח למצוא נוסחת גרביטציה חדשה, שתיתן לנו את הסטיות הבאות מנוסחת הגרביטציה של ניוטון, לא תהיה לנו בעיית מסה חסרה ביקום:-

א. בערכים של עד אלפית שנת אור לפחות, סטייה של לא יותר מאלפית התוצאה של נוסחת ניוטון.
ב. בערכים של עד שנת אור, סטייה של עד עשרה אחוז מהמתקבל ע”י ניוטון.
ג. בערכים של מאה אלף שנות אור, סטייה פי עשר בערך מהערך מהמתקבל ע”י ניוטון.
ד. בערכים של מאה מיליון שנות אור, או יותר, סטייה פי מאה ויותר מהערך מהמתקבל ע”י ניוטון.

מכיוון שאין הגדרה מדויקת וחד משמעית לנדרש מהנוסחה שאנו מחפשים, ונתוני ההתחלה הם עם אי וודאות גדולה, לכן ישנן רבות כאלה. כל אחד יוכל לנסות ולמצוא נוסחה משלו, וסיבותיה עימו. האופן שזה יבוצע הוא לדוגמא, ע”י שרטוט נתוני ההתחלה במערכת צירים, רצוי לוגריתמית, וחיפוש נוסחה שתקשר בין כל הנקודות.

הנוסחה שאני בחרתי התקבלה באופן הבא:
על ציר X סימנתי נקודות ממינוס 10 ועד פלוס 10 . נקודות אלו יהוו את הלוגריתים של המרחק R בנוסחת הגרביטציה, שמבוטא ביחידות של שנות אור.
על ציר Y סימנתי נקודות ממינוס 8 עד פלוס 4. נקודות אלה יהוו את לוגריתם התוספת שיש להוסיף לנוסחת הגרביטציה שחושבה על פי ניוטון.
לדוגמא אם עבור X=8 נקבל Y=2.48 , פרוש הדבר הוא, שעבור R השווה מאה מיליון שנות אור, יש להוסיף לכוח הגרביטציה המתקבל על פי ניוטון, 10 בחזקת 2.48 שהם פי 302 מהתוצאה המתקבלת בנוסחת ניוטון.

כמו שכבר ציינתי, קיימות אין סוף נוסחאות כאלה. הנוסחה שאני מצאתי היא הנוסחה:-

Y=0.56*X-2
ומסקנה מנוסחה זו היא:- שאם Fn מראה את הגרביטציה על פי ניוטון, Fg מראה את הגרביטציה על פי הנוסחה החדשה אזי:-

נעשה חישוב קטן שיראה לנו את התוצאה המתקבלת.
ניקח גלקסיה שרדיוסה, כולל ענני הגזים שמסביבה, כ- 150.000 שנות אור. נראה מה תהיה עוצמת הגרביטציה שלה על פי נוסחת הגרביטציה החדשה:-

ובכן, X= logR= log 150000=5.18
ומכאן Y=0.56*5.18-2=0.9
ומכאן (בקרוב) Fg= 9*Fn

כלומר קיבלנו שבמרחבי הגלקסיות, כוח הגרביטציה המתקבל מכמות מסוימת של מסה הוא פי 9 מהמתקבל ע”י הנוסחה של ניוטון.

לדוגמא, תוצאות נוספות:-

הגרביטציה המתקבלת ע”י הנוסחה המוצעת היא כדלקמן במרחקים הבאים:-

במרחק מיליארד שנות אור, פי אלף מהמתקבל על פי נוסחת ניוטון,
במרחק של כ- 4000 שנות אור, פי שניים מהמתקבל על פי ניוטון,
במרחק של עד שנת אור, סטייה של אחוז אחד,
ובמרחק של אלפית שנת אור (63.2 יחידות אסטרונומיות), סטייה של 0.0002 מהמתקבל ע”י ניוטון.

כלומר, במרחקים קטנים זה עדיין במסגרת אי הוודאות הנקבעת ע”י G קבוע הגרביטציה,
כך שאף ניסוי או מדידה לא יוכלו להוכיח שהנוסחה החדשה אינה נכונה (אתגר מחשבתי לקוראי המאמר!).
כמו כן, במרחקים גדולים, הנוסחה החדשה מונעת את הצורך במסה חסרה, אפלה, עם תכונות מיוחדות וכדומה.

כותב המאמר מצא לצורך הדגמה נוסחה ליניארית. אבל כמובן שאחרים יוכלו למצוא נוסחאות אחרות, ליניאריות, פרבוליות, סינוסואידות וכדומה, ואולי אף נוסחה שבמרחקים מעל לגודל מסוים יתנו כוח דחייה, הכל על פי הידע המתמטי של הקורא!

חסרונות

לכאורה, הכל טוב ויפה , אך לנוסחה זו יש את אותן חסרונות מהותיים שיש גם לנוסחת הגרביטציה של ניוטון והן:-

א. טווח המדידות הקצר, כלומר על סמך נוסחה שנמדדה כנכונה לגבי מרחק של אלפית שנת אור ( מערכת השמש המצומצמת) אנו מנסים להשליך למרחקים של מיליארדי שנות אור וזה דבר שלא יעשה.
פתרון בדמותו של “עיקרון קוסמולוגי” אינו יעיל כי הרי הוא משליך גם לגבי נוסחת ניוטון וגם לגבי הנוסחה החדשה, ואינו מסוגל להחליט מי מבין השתיים היא הנכונה במרחקים הקוסמולוגיים הגדולים.

לנוסחה החדשה יש אפילו יתרון על פני נוסחת ניוטון כי היא נותנת תוצאות נכונות גם במרחקים גדולים, גלקטיים ואף בין גלקטיים, ללא צורך במסה אפלה.

ב. חסרון נוסף, אנו יוצאים מתוך נקודת ראות שמה שידוע כמסובב את מערכת השמש, הוא זה האמור לסובב גם את הגלקסיה?, אין שום הוכחה לכך, ומשהו אחר יכול גם הוא לסובב את הגלקסיה ולהניע מערכות קוסמולוגיות גדולות, לדוגמא:- מה דעת הקוראים על כוח הנובע מהפרשי לחצים?. אסור לבטל רעיון זה על הסף. מדענים שידעו להכניס בהבל פה, כמות אדירה של מסה אפלה לגלקסיות, יוכלו גם להכניס מעט גז ליצירת הפרשי הלחץ הרצוי לסיבובה של הגלקסיה, פחות ממילירדית האטמוספרה בין מרכז הגלקסיה לקצותיה! אבל, על כך במאמר אחר.

ג. האפשרות של כוח משיכה הפועל בין שני גופים ללא כל מגע ביניהם הוא בעייתי, ואף ניוטון בספרו “עקרונות” עמד עליו, אבל שוב, על כך במאמר אחר.

ד. הנוסחה החדשה אינה מסבירה את החלוקה ה”מוזרה” של הגרביטציה שאמורה לסובב אזורים שונים של הגלקסיה במהירויות שונות (כמו שגם נוסחת הגרביטציה של ניוטון לא מסבירה).

לסיכום

הראיתי אפשרות לקיומה של נוסחת גרביטציה חדשה ונכונה, שאינה דורשת מציאותה של מסה אפלה, חסרה, וכ”ו ביקום, כמו בזו של ניוטון!
יהיה קשה לסתור, אם בכלל, את נכונותה של נוסחה חדשה זו!

נא להגיב בעדינות!
סבדרמיש יהודה