המיפוי המתמטי E8

צוות מחקר של מתמטיקאים מהמכון הטכנולוגי במסצו'סטס, מיפה את  אחד המבנים המתמטיים המסובכים ביותר שהוגדרו אי-פעם

הנושא קיבל את השם: “חבורת לִי”  E8 exceptional Lie group ע”ש המתמטיקאי הנורבגי לי סופוס/ בגלל הקישורים של  E8 לתחומי מדע אחרים, זהו הישג בעל משמעות עבור הידע הבסיסי, כולל תורת המחרוזות בגיאומטריה.

שעור ההחישובים הוא מדהים, ואם הוא ייכתב על נייר בכתב זעיר הוא יכסה את כל מנהטן. המתמטיקאים שפיתחו את העבודה הזאת ידועים בסגנון עבודה ייחודי אבל התקיף. זהו חלק מפרויקט רחב יותר הידוע בשם “מתמטיקה 18” שפותח בשיתוף פעולה בין מתמטיקאים מארה”ב ואירופה באיטנסיביות במשך 4 שנים. יוג'ין היגינס Eugene Higgins – פרופסור לתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון – אשר איננו שותף בפיתוח הפרויקט. “הבנת ודרוג חשיבות הצגת המודל הזה הינה קריטית להפנת תופעות שונות בתחומים רבים של מתמטיקה ומדע כולל אלגברה, גיאמטריה, תורת המספרים, פיסיקה וכימיה. הפרויקט הזה יהיה בעתיד בעל ערך רב עבור מתמטיקאים ומדענים.

גדול יותר מהגנום האנושי

משעור החישובים של E8 מתבקשת השוואת הפיתוח עם פיצוח הגנום האנושי. גודלו של הגנום האנושי המכיל את כל המידע הגנרי של התא, הוא פחות מ- GigaByte. התוצאה של חישוב E8 שמכילה את כל המידע המיוצג ב-  E8הינה בשעור של   GB60. כמות כזאת מספיקה לאיחסון מוסיקה רציפה בפורמט MP3  למשך 45 ימים.

בעוד שפרויקטים רבים של מחקר מדעי מכילים כמות גדולה של נתונים, החישוב של E8 שונה לחלוטין:כמות נתוני הקלט היא קטנה יחסית אבל תוצאת החישוב היא עצומה בגודלה ומאוד דחוסה.

כמו בפרויקט של פיצוח הגנום האנושי, תוצאות אלו הינן רק צבראשית הדרך. על-פי דבריו של ראש הפרויקט ג'פרי אדמס, Jeffrey Adams , “למחקר הבסיסי הזה יש השלכות רבות שאת רובן איננו מבינים עדיין. כמו שהגנום האנושי איננו נותן תרופת פלא מיידית, כך גם התוצאות שלנו, הינן כלי בסיסי שישמש למחקר מתקדם של תחומים אחרים.”

לדבר זה עשויות להיות השלכות בלתי צפויות במתמטיקה ופיסיקה שלא נצפו במשך שנים רבות.

על-פי דבריו של Hermann Nicolai המנהל של מכון מקס פלאנק בפטסדאם – גרמניה (שאיננו שותף בפרויקט), “זהו הישג מרשים. בעוד שהמתמטיקאים היו מודעים זמן רב ליופי ולייחודיות של E8, אנחנו, הפיסיקאים, הגענו רק לאחרונה להבנה של התפקיד יוצא הדופן  של הרעיון במאמצנו לאיחוד הכבידה עם כוחות יסודיים אחרים בכבידה ע”פ תורת הקוואנטים, יש לנו כעת גישה כמעט לכל פינה! כך הבנת העבודה של E8 לעומקה, איננה רק התקדמות של המתמטיקה הטהורה, אלא תעזור גם לפיסיקאים בחיפושם אחרי תורה של כוח מאוחד.”
חישוב E8

הצוות שפיתח את החישוב של E8  ,  התחיל את עבודתו לפני ארבע שנים. הם נפגשים בכל קיץ ב- American Institute of Mathematics וקבוצות עבודה קטנות יותר נפגשות מדי שנה. עבודתם דורשת שילוב של מתמטיקה תיאורתית ותיכנות מורכב של תכנת מחשב.

ע”פ דבריו של חבר בצוות David Vogan מ-MIT: “הספרות על נושא זה דחוסה וקשה מאד להבנה. גם לאחר שהבנו את הבסיס המתמטי של הרעיון, לקח לנו זמן של עוד שנתיים ליישם את זה על מחשב. ואז החלה הבעיה של מציאת מחשב חזק דיו לביצוע החישוב. שנה נוספת נדרשה לייעל את החישוב כך שיתאים למחשב-על קיים המסוגל לבצע את החישובים, אבל עדיין נשארה הבעיה של קיבולת החמרה  שמאפשרת להכיל את נתוני תוצאות החישוב.”

הצוות שקל אפשרות לחכות להופעת מחשב גדול יותר, כאשר נועם אטקינס מאוניברסיטת הרדוור גילה דרך גאונית לבצע שינויים קלים בחישוב אשר כל אחד מהם מציג גרסה חלקית של התוצאה. תוצאות חלקיות אלה מסתכמות לפתרון השלם. עלות הפתרון הזה היתה בזמן הנדרש לביצוע החישובים – פי ארבעה מהזמן הנדרש לחישוב המקורי, ועוד תוספת הזמן הנדרש לחיבור התוצאות. בסיכומו של הדבר נדרש זמן של 77 שעות על מחשב-העל.

הסימטריה ה-“יפיפיה”

ברמה הבסיסית ביותר, חישוב E8 הינו חקירה של ה-סימטריה. המתמטיקאים המציאו את “חבורת לִי” –  Lie group – כדי למצוא דרך להגדרת הסימטריה עבור כל אובייקט סימטרי. לדוגמא גוף סימטרי כמו כדור במרחב התלת ממדי הוא חבורת לִי.חבורות לִי באות במשפחות.

החבורות הקלאסיות A1, A2, A3, … B1, B2, B3, … C1, C2, C3, … D1, D2, D3, … מתנשאות כגבעות מתגלגלות כלפי האופק. מתבלטות מעל הנוף המתמטי, נדחקות אל הפסגות של החבורות יוצאות הדופן G2, F4, E6, E7 ומעל כולן נמצאת E8. E8  היא חבורה מסובכת במיוחד: היא מכילה אוביקטים סימטריים בעלי 57 ממדים והיא עצמה בעלת 248 ממדים!

כדי לתאר את התוצאות נדרשת רמה נוספת של הפשטה. הדרך שבה E8 מצהירה על עצמה כסימטריה קרויה “מצגות” – representations. המטרה היא לתאר את כל המצגות האפשריות של E8 .מצגות אלה מסובכות באופן קיצוני, אבל המתמטיקאים מתארים אותם במושגים של מבני בלוקים בסיסיים, והתוצאה המתקבלת הינה רשימה של המבנים הללו עבור מצגות של E8 ותאור מדוייק של היחסים ביניהם, הכל מקודד במטריצה בעלת 205,263,363,600 כניסות.

האטלס של פרויקט חבורת לִי

חישוב ה- הוא חלק מפרויקט יוקרתי הידוע בשם: “אטלס המצגות של חבורות לִי” –  Atlas of Lie Groups and Representations

מטרת פרויקט האטלס, להגדיר באופן יחידני כל מצגת של חבורת לִי. זוהי אחת מהבעיות הגדולות, הבלתי פתורות של המתמטיקה שהוצגו בראשית המאה העשרים. ההצלחה של חישוב  E8 ממזערת את הספק שצוות פרויקט האטלס ישלים את המטלה שלו.

תורגם ע”י יורם תומר מתוך הודעה לעיתונות של המכון האמריקני למתמטיקה על דיון שנערך במכון MIT בהנחייתו של David Vogan ביום שני 19.3.2007: “תוצאות חישוב E8 “