בעזרת מודל ממוחשב, המתאר את המניפולציה שבה השתמש הצייר מ”ק אשר באחת מיצירותיו, הצליחו חוקרים למלא את העיגול הלבן שאשר השאיר, מסיבות לא ברורות, במרכז התמונה
שרה רובינסון
“גלריית ההדפסים” של מ”ק אשר. הצייר ביקש ליצור קימור מעגלי “שאין לו התחלה או סוף”
בעת טיסה להולנד, כאשר דיפדף לתומו בכתב עת של חברת התעופה, תפס את עינו של המתמטיקאי ד”ר הנדריק לנסטרה העתק של ליתוגרפיה של האמן ההולנדי מ”ק אשר. הליתוגרפיה, שכותרתה “גלריית ההדפסים”, מציגה שורה של חלונות מקושתים שדרכן מציץ הצופה לתוך גלריה לאמנות, שבה אדם מתבונן בתמונה התלויה על הקיר. בתמונה נראית שורה של בניינים בסגנון ים-תיכוני עם צריחים וגזוזטראות, הצופים על מזח באי מאלטה.
בשעה שעין הצופה עוקבת אחר שורת הבניינים הנפרשת לימין, מתחילה התמונה-שבתוך-התמונה להתקמר ולהתעוות כלפי מטה, עד שלפתע נהפכת הגלריה עצמה לפרט בתוך התמונה. במרכז המערבולת המסחררת של בניינים, סירות ושמים הותיר אשר עיגול גדול ריק. חתימתו משורבטת במרכז העיגול.
לנסטרה העמיק לחקור בהדפס, והתמקד בעיגול המרכזי. הוא תהה מדוע אשר לא מילא אותו. “שאלתי את עצמי, אם ממשיכים את הקווים כלפי פנים, לתוך העיגול, האם נוצרת בעיה מתמטית שאינה ניתנת לפתרון”, אמר לנסטרה,
“באופן כללי יותר תהיתי מהו המבנה שבבסיס התמונה – כיצד אני, כמתמטיקאי, הייתי בונה תמונה כזו”.
רוב האנשים, לאחר שהגיעו לשלב מחשבתי זה, היו בוודאי מדפדפים הלאה בלי לפתור את התעלומה. אך בשביל לנסטרה, פרופסור באוניברסיטת ברקלי בקליפורניה ובאוניברסיטת ליידן בהולנד, אין דבר טבעי יותר מפתרונן של בעיות מתמטיות. חבריו מספרים עליו, למשל, שבעת שהוא הולך לבקר ידידים הוא נוהג לפרק את הכתובת למספרים ראשוניים כדי להיטיב ולזכור אותה.
לנסטרה המשיך להרהר בסוגיה, וכמה ימים לאחר שנחת הצליח לענות על השאלות שהציב לעצמו. לאחר מכן, בשיתוף עם סטודנטים ועמיתים בליידן, החל בפרויקט צדדי שנמשך שנתיים, שהניב גרסה מתמטית מדויקת של העיקרון שאשר ביטא בציור באופן אינטואיטיווי.
למאוריץ קורנליוס אשר, שמת ב-,1972 היו השכלה תיכונית בלבד במתמטיקה ועניין מועט בהיבטיה הפורמליים. עם זאת, הוא נשבה בקסמם של עקרונות מתמטיים חזותיים והציגם בעבודותיו לעתים קרובות. הדפס מפורסם אחד, למשל, מציג שורת נמלים הזוחלות על גבי “טבעת מביוס” – אובייקט מתמטי בעל צד אחד בלבד. תמונה אחרת מציגה אנשים הצועדים על גבי מעגל של מדרגות; תחבולה גיאומטרית יוצרת את הרושם שהם כל הזמן עולים ולעולם אינם יורדים. אשר כתב פעם, שמטרת אמנותו אינה ליצור דבר-מה יפה אלא לעורר השתאות ופליאה.
בניסיון להבין את התהליך היצירתי של אשר פנה לנסטרה ל”אספקלריית הפלאים של מ”ק אשר”, ספר שנכתב (תחת שם העט ברונו ארנסט) בידי האנס דה רייק, ידידו של אשר, שביקר את האמן בזמן שצייר את “גלריית ההדפסים”. מטרתו של אשר, כתב דה רייק, היתה ליצור קימור מעגלי “שאין לו התחלה או סוף”. כדי להשיג זאת יצר אשר בתחילה את העיוות המבוקש בעזרת רשת של קווי שתי-וערב, שאותם סידר כך שבתנועה מסביב למרכז בכיוון השעון הלכו הקווים והתפצלו בהדרגה. אך התחבולה לא עלתה יפה עם קווים ישרים, ולכן אשר עיקם אותם. לאחר מכן הוא לקח ציור “רגיל” של סצינת המזח והשתמש ברשת המשבצות הקמורה כדי לעוות את התמונה, משבצת אחר משבצת.
בעקבות בחינה של רשת המשבצות הבין לנסטרה שאילו אשר היה ממשיך את התהליך עד לסופו ההגיוני, היתה נוצרת תמונה שחוזרת על עצמה שוב ושוב, תמונה בתוך תמונה בתוך תמונה עד אינסוף. כך, בציור הראשוני, הלא מעוות, של אשר היה נראה אדם בגלריית אמנות המביט בהדפס התלוי על הקיר, שבו נראית סצינת מזח הכוללת העתק קטן יותר של הגלרייה עם האיש המביט בהדפס על הקיר, וכך הלאה: הגלריה, כפי שהיא מופיעה בציור, היתה חוזרת על עצמה יותר ויותר בקטן, אך בדרך מורכבת יותר; ככל שהצופה מתמקד יותר במרכז התמונה כך היא נראית מקומרת ומפותלת סביב עצמה יותר.
מרגע שלנסטרה הבין את המבנה הבסיסי הזה, המשימה היתה ברורה: אם יצליח למצוא נוסחה מתמטית מדויקת לדפוס החוזר, יהיה לו מתכון ליצירת תמונה שבה הקטע החסר מתמלא. לנסטרה מדד את התמונה בסרגל ומד-זווית כדי לאמוד את מידת הקימור והפיתול. אך כדי למדוד את העיוות במדויק הוא נאלץ להשתמש בעקומות אליפטיות – נושא חם במחקר המתמטי, שעמד בבסיס ההוכחה למשפט האחרון של פרמה.
לנסטרה הבין שיוכל ליישם את תיאוריית העקומות האליפטיות אחרי שקרא משפט מפתח בספרו של דה רייק. מסיבות אסתטיות, מסביר דה רייק, אשר צייר את רשת המשבצות כך ש”הריבועים הקטנים המקוריים ישמרו טוב יותר על המראה המרובע”. אחרת היתה התמונה מתעוותת באופן קיצוני מדי, עד כדי טשטוש מרכיבים חיוניים כמו חלונות ובני אדם, באופן שלא ניתן היה עוד לזהותם.
“בתחילה הלכתי שולל אחר רמזים מטעים, אך המשפט הזה היה המפתח”, אמר לנסטרה. “אחרי שקראתי את זה, ידעתי בדיוק מה קורה”. אשר יצר עיוות בעל מאפיין מתמטי מוכר היטב: כשבוחנים לגופם אזורים קטנים של התמונה המעוותת, נראה שהזוויות בין הקווים נשמרו כפי היו. “העתקות קונפורמיות”, כפי שמכונים עיוותים כאלה, נחקרו רבות בידי מתמטיקאים.
בפועל משמשים עקרונות אלה בשרטוט מפות מרקאטור, הפורשות את שטח הפנים המעוגל של כדור הארץ על דף נייר באופן כזה שאף על פי שגושי היבשת מוגדלים סמוך לקטבים, כיווני המצפן נשמרים. עקרונות קונפורמיים משמשים גם למיפוי פני השטח של המוח האנושי כאשר כל קפליו פרושים.
לאחר שהבין שהעיוות של אשר שומר על עיקרון זה, הצליח לנסטרה להשתמש בעקומות אליפטיות כדי להפוך את ההערכה הגסה של העיוות למתכון מתמטי מדויק. לאחר מכן גייס עמית מליידן, ד”ר בארט דה סמית, לנהל את הפרויקט, וכמה סטודנטים כדי שיסייעו לו. בתחילה היה על המתמטיקאים להשיב לאחור את העיוות של אשר כדי לקבל את הציור הפשוט, הראשוני, של המזח. הסטודנט יוסט באטנבורג כתב תוכנת מחשב שאליה הזין את הציור הסופי ואת רשת המשבצות של אשר, והפעיל את מלאכת המחשבת של אשר בכיוון ההפוך.
כשהעיוות הותר, התוצאה שהתקבלה היתה לא שלמה. חלק מהקטע הריק שבמרכז “גלריית ההדפסים” הפך לרצועה מטושטשת שהתפרשה כספירלה על פני החלק העליון של התמונה. בעקבות כך שכרו החוקרים את שירותיו של אמן, שמילא את המשטח החסר בבניינים, מדרכות ומים ברוחו של אשר.
דה סמית ובאטנבורג לקחו את התמונה השלמה הזאת והשתמשו בתוכנת המחשב בדרך אחרת, כדי ליישם את נוסחתו של לנסטרה לייצור העיוות. לבסוף, הם השיגו את המטרה: גרסה שלמה, “משופרת”, של “גלריית ההדפסים” של אשר.
במרכז הגרסה המתמטית מתמלא הריק המיסתורי בהעתק נוסף, קטן יותר, של סצינת המזח המעוותת, שמוצגת כמעט בהיפוך גמור. בתוכה משובץ עוד העתק, קטן אף יותר, של אותה הסצינה, וכך הלאה, כאשר אינסוף ההעתקים הזעירים נעלמים לתוך המרכז.
מכיוון שהעיוות של אשר לא היה “קונפורמי” לחלוטין, הגרסה של המתמטיקאים נבדלת במעט משלו גם בדרכים אחרות. רחוק מהמרכז, למשל, קוויהם של כמה מהבניינים מתפתלים בכיוון ההפוך.
אף שלנסטרה פתר את תעלומת הכתם הריק, נותרה עוד שאלה אחת: האם אשר ידע מה צריך היה להיות במרכז, ובחר שלא להציגו, או שהוא השאיר את המרכז ריק משום שלא ידע מה לצייר שם? כאיש מדע אמר לנסטרה שאין הוא מסוגל לצלול אל נבכי נפשו של אשר. “אני מעדיף לזהות את אשר עם הטבע”, הוא אמר, “ואת עצמי עם פיסיקאי שמנסה לבנות מודל של הטבע”.
דה רייק, כיום בשנות ה-70 לחייו, אמר שהוא סבור כי אשר ידע שהתמונה יכולה להמשיך לתוך המרכז, אך לא הבין מה בדיוק אמור להופיע שם. “הוא תמיד גילה עניין כשמישהו השתמש בציוריו כבסיס למחקר ויישומים נוספים”, אמר רייק, “כשיישומים אלה היו מתמטיים מדי הוא לא הבין אותם, אבל הוא תמיד התגאה בכך שמתמטיקאים עשו משהו עם עבודותיו”.
ניו יורק טיימס
