טרפו את הקלפים
כמה פעמים צריך לערבב חפיסת קלפים כדי להיות בטוחים שהיא ממש,
אבל ממש, מעורבבת? הסוגיה הזאת מדידה שינה לא רק מעיניהם של
דילרים זריזי אצבעות, אלא גם מעיניהם של סטטיסטיקאים
ומתמטיקאים. מחקר חדש, שפורסם בחודש שעבר בכתב העת של החברה
המלכותית של לונדון, טוען שהמשימה קלה יותר ממה שנטו להאמין עד
היום סביב שולחנות הבלאק ג'ק.
בראשית שנות התשעים היה נראה שהשאלה הזאת מצאה את פתרונה
הסופי. שלושה מתמטיקאים (אלדאוס, באיר ודיאקוניס) ניסו ב-1992
לחשב כמה פעמים צריך לטרוף חבילה סטנדרטית של 52 קלפים כדי
להיות בטוחים שהסדר שהיה בה קודם אבד. על פי החישוב שהם הציעו,
אי שם בין הערבוב השביעי לשמיני מתערבלת החבילה עד כדי כך
שהקלפים מונחים בה עתה בסדר מקרי. ולא זו בלבד, הוסיפו החוקרים
ושטחו את חישוביהם במאמר שנהפך מאז לקלאסיקה, אלא שארבעת
הערבובים הראשונים כמעט שלא מקרבים את החבילה אל המקריות
הנכספת. החישובים הראו על נקודת מפנה פתאומית ברמת הערבוב של
החבילה, שמתחוללת מיד אחרי הערבוב החמישי.
אבל המחקר החדש, כך נראה, שב וטורף את הקלפים. לויד נ' טרפתן
מאוניברסיטת אוקספורד ולויד מ' טרפתן מאוניברסיטת טאפטס,
מסצ'וסטס, טוענים שאפשר לתקוף את הבעיה מזווית אחרת לגמרי, ואז
לגלות שכבר אחרי הערבוב החמישי אי אפשר להבחין בין הערימה
המקורית לבין ערימה מקרית אחרת. לפי החישוב החדש, מוסיף הצמד
טרפתן, אין בערבוב נקודת שבר פתאומית כמו שהציע המחקר הקודם,
אלא שבכל ערבוב עולה רמת האי-סדר באותה מידה, עד שהיא מגיעה
לאי הסדר המוחלט, אחרי הערבוב החמישי.
מעבר לפיקנטיות האנקדוטלית, המחקר החדש חושף בעצם ויכוח נוקב,
שיש לו השלכות מרחיקות לכת. השאלה במוקד הוויכוח הזה היא איך
מודדים סדר, או במלים אחרות איך אפשר לדעת מתי הבלגן הוא גדול
כל כך עד שאפשר לקרוא לו מקריות (רנדומליות). לשאלה הזאת יש
השלכות כמעט על כל תחומי החיים. זו שאלת מפתח לא רק בשביל
פיסיקאים, אנשי מחשבים, חוקרי שפה או ביולוגים. מתי ואיך
יכולים, למשל, אנליסטים בבורסה לדווח על דפוס מסוים של תנודות
בערכה של מניה, ומתי צריך לומר למשקיעים שהתנודות בשוק מקריות?
שני המחקרים מציעים שתי דרכים שונות לבחון שאלות כאלה.
מספר הדרכים לסדר ערימה של 52 קלפים הוא בערך 8 עם 67 אפסים
אחריו. אם, למשל, בהתחלה הקלפים מסודרים בסדר עולה, לא סביר
שאחרי ערבוב אחד הם יהיו מסודרים פתאום בסדר יורד. אמנם אי
אפשר לדעת בדיוק מהו הסדר החדש, אבל אפשר להצביע על קבוצה קטנה
יחסית של סידורים, מתוך טריליוני הטריליונים של הסידורים
האפשריים, שסביר לקבל אחרי ערבוב אחד. המחקר הישן, בחפשו אחר
הסדר המקרי, חישב את מספר הערבובים הדרוש כדי להתרחק מהסידור
הראשון, עד שכבר אי אפשר לומר על סדר מסוים של הקלפים אם הוא
סביר יותר או סביר פחות. המסקנה של החוקרים היתה שאחרי שבעה או
שמונה ערבובים כבר אי אפשר לנחש איזה סידורים באים בחשבון.
המחקר השני, לעומת זאת, מגדיר את המקריות בצורה אחרת. החוקרים
השתמשו בתורה מתמטית שנקראת תורת האינפורמציה. סדר מסוים של
קלפים הוא בעצם אינפורמציה. כל ערבוב מבלבל את האינפורמציה
הזאת. איך אפשר למדוד את כמות האינפורמציה שהלכה לאיבוד בכל
ערבוב? נניח שהדילר מחזיק את החבילה המעורבבת ומציע לנו לשאול
אותו שאלות כדי לגלות את הסדר החדש. תורת האינפורמציה מחשבת את
מספר השאלות המינימלי שדרוש כדי לגלות את הסדר החדש. אם הדילר
עירבב את הערימה רק פעם אחת, מספר השאלות הזה קטן כי אנחנו
יודעים שהקלפים היו מסודרים בסדר עולה, ואנחנו יודעים להעריך
את מספר הקלפים שיכולים להחליף את מקומם בערבוב אחד. אבל אם
הדילר עירבב את הערימה חמש פעמים, מגלה תורת האינפורמציה, מספר
השאלות שנצטרך לשאול אותו לפני שנגלה את הסדר החדש יהיה זהה
למספר השאלות שנצטרך לשאול אותו על ערימה שאנחנו לא יודעים
עליה כלום. לכן, על פי תורת האינפורמציה, קובע המחקר החדש,
אחרי חמש טריפות הערימה כבר מבולגנת לחלוטין.
ההבדל בין תוצאות שני החישובים מבלבל בינתיים גם את
המתמטיקאים. נראה כי אפילו עורכי המחקר השני מתקשים לקבוע
איזו משתי ההגדרות מתארת בצורה נכונה את השאיפה לערבוב מושלם.
השאלה הקשה באמת, שעליה צריכים עכשיו החוקרים לשבור את הראש,
היא באיזה מקרים יהיו השלכות מעשיות להבדל בהגדרת הרנדומליות.
בבתי הקזינו, בינתיים, לא נרשמת התרגשות.
{הופיע בעיתון הארץ, 17/10/2000{
אתר הידען היה עד שנת 2002 חלק מפורטל IOL מקבוצת הארץ
מאת ינאי עופרן
