אין צורך בתצלומי לוויין או במתמטיקה מתקדמת: המרחק מהקוטב לקו המשווה והיקפו המדוד של קו המשווה אינם יכולים להתקיים יחד על משטח שטוח
מאת: איתי שלמה כהן
בשנים האחרונות מנסים פעילים בקהילת “הארץ השטוחה” ברשתות החברתיות ליצור רושם כאילו מתנהל ויכוח מדעי אמיתי על צורתו של כדור הארץ. כאשר מציגים בפניהם הסברים מתחומי האסטרונומיה, הכבידה, הניווט או הטריגונומטריה הספירית, הם טוענים לעיתים שמדובר במתמטיקה מסובכת שנועדה לבלבל את הציבור.
אלא שאין צורך במשוואות מורכבות כדי להראות שהמודל השטוח אינו מתאים למציאות. די בשלושה נתונים שאפשר למדוד באופן עצמאי: שינוי גובהו של הקוטב השמימי כאשר נעים צפונה או דרומה, המרחק בין הקוטב הצפוני לקו המשווה, והיקפו של קו המשווה.
כאשר מציבים את הנתונים האלה על מפה שטוחה, החשבון אינו מסתדר. על פני כדור הוא מסתדר כמעט מאליו.
המכשיר המכני שמודד את השמים
במשך מאות שנים ניווטו יורדי ים באמצעות סקסטנט – מכשיר אופטי־מכני המודד את הזווית שבין גרם שמים לבין האופק.
בחצי הכדור הצפוני אפשר להשתמש בכוכב הצפון, פולאריס, כאומדן נוח למיקומו של הקוטב השמימי הצפוני. כוכב הצפון אינו נמצא בדיוק בקוטב השמימי, ולכן ניווט מדויק מחייב תיקון קטן, אך לצורך ההסבר הגאומטרי הוא קרוב אליו במידה מספקת.
גובהו של הקוטב השמימי מעל האופק שווה בקירוב לקו הרוחב של הצופה. בקוטב הצפוני הוא נמצא כמעט ישירות מעל הראש, בגובה של 90 מעלות. בקו המשווה הוא נראה סמוך לאופק, בגובה של אפס מעלות.
כאשר נעים צפונה, גובהו של הקוטב השמימי עולה בקצב קבוע: מעלה אחת לכל מעלת רוחב. כאשר נעים דרומה הוא יורד באותו קצב. זהו אינו חישוב המבוסס על צילום לווייני, אלא תיאור של מדידה שאפשר לבצע מן הקרקע באמצעות מכשיר מכני פשוט.
כמה רחוקה מעלה אחת?
הגדרתו ההיסטורית של המטר בסוף המאה ה־18 התבססה על ממדי כדור הארץ. הכוונה הייתה שהמרחק לאורך קו אורך, מקו המשווה ועד לקוטב הצפוני, יחולק לעשרה מיליון חלקים שווים – וכל חלק יהיה מטר אחד.
המדידות המקוריות לא היו מושלמות, וכדור הארץ אינו כדור מושלם אלא פחוס מעט בקטבים. המרחק בפועל לאורך פני השטח, מקו המשווה לקוטב, הוא כ־10,002 קילומטרים. עם זאת, 10,000 קילומטרים הוא קירוב מצוין לצורך החישוב.
בין קו המשווה לקוטב יש 90 מעלות רוחב. לכן:
10,000 קילומטרים ÷ 90 מעלות = כ־111.1 קילומטרים למעלה.
הקשר הזה נמדד שוב ושוב במסעות יבשתיים וימיים, במיפוי ובניווט. כאשר מתקדמים כ־111 קילומטרים צפונה או דרומה, גובהו של הקוטב השמימי משתנה בקירוב במעלה אחת.
המלכודת של מפת הארץ השטוחה
המפה הנפוצה ביותר בקרב תומכי הארץ השטוחה מציבה את הקוטב הצפוני במרכז ואת קו המשווה כמעגל המקיף אותו. מבחינה קרטוגרפית היא מזכירה היטל אזימוטלי שווה־מרחק, שבו המרחק מן המרכז נשמר לאורך כל כיוון.
אם המרחק מן הקוטב הצפוני לקו המשווה הוא כ־10,000 קילומטרים, אז במפה כזאת רדיוס המעגל של קו המשווה חייב להיות 10,000 קילומטרים.
כעת נדרש רק חישוב היקף של מעגל:
היקף = 2 × פאי × רדיוס
ולכן:
2 × π × 10,000 = כ־62,832 קילומטרים.
אם פני הארץ היו דיסקה שטוחה, והמרחק מן הקוטב הצפוני לקו המשווה היה נשמר, היקפו של קו המשווה היה חייב להיות כמעט 63 אלף קילומטרים.
אבל קו המשווה קצר בהרבה
היקפו המדוד של קו המשווה הוא כ־40,075 קילומטרים. הנתון הזה אינו תלוי בסוכנות חלל אחת או במדינה אחת. הוא מופיע במסלולי ספנות ותעופה, במדידות גאודטיות, במפות, בתקשורת לוויינית ובמערכות ניווט עצמאיות ברחבי העולם.
הפער בין תחזית המודל השטוח לבין המדידה הוא עצום:
62,832 פחות 40,075 = כ־22,757 קילומטרים.
זה אינו פער קטן שאפשר להסביר באמצעות טעות מדידה, הבדל בין מפות או סטייה מקומית. מדובר בהפרש הגדול ביותר ממחצית מהיקפו האמיתי של כדור הארץ.
כדי שהמודל השטוח יתאים להיקף האמיתי של קו המשווה, רדיוסו של המעגל היה צריך להיות:
40,075/2π = כ־6,378 קילומטרים.
אבל המרחק המדוד מהקוטב לקו המשווה הוא כ־10,000 קילומטרים, לא 6,378. כלומר, מפה שטוחה אינה יכולה לשמר בעת ובעונה אחת גם את המרחק מצפון לדרום וגם את המרחק סביב קו המשווה.
מדוע הנתונים מתאימים לכדור?
על פני כדור, המרחק מקו המשווה לקוטב הוא רבע מהיקף של קו אורך מלא. אם היקפו של כדור מושלם הוא כ־40 אלף קילומטרים, רבע ממנו הוא כ־10,000 קילומטרים.
אותו חישוב נותן רדיוס של:
40,000/2π = כ־6,366 קילומטרים.
זהו קירוב קרוב מאוד לרדיוס הממוצע של כדור הארץ, כ־6,371 קילומטרים. כאשר מביאים בחשבון שכדור הארץ פחוס מעט, מקבלים רדיוס של כ־6,378 קילומטרים בקו המשווה וכ־6,357 קילומטרים בקטבים.
במילים אחרות, המספרים אינם מצביעים על כדור מושלם לחלוטין, אלא על גוף כמעט כדורי הפחוס מעט בגלל סיבובו – בדיוק כפי שמדידות גאודטיות מראות.
אין מפה שטוחה שאינה מעוותת דבר
כל מפה שטוחה של כדור הארץ חייבת לעוות לפחות תכונה אחת: מרחקים, שטחים, זוויות או צורות. זו אינה תקלה במפות, אלא תוצאה מתמטית בלתי נמנעת של הניסיון לפרוס משטח כדורי על מישור.
גם מפות רגילות של העולם מעוותות נתונים מסוימים. בהיטל מרקטור, למשל, גרינלנד נראית גדולה בהרבה מכפי שהיא באמת. ההבדל הוא שקרטוגרפים מציינים במפורש איזה עיוות יוצר כל היטל ואינם טוענים שהמפה היא צורתו הפיזית של העולם.
מפת הארץ השטוחה הנפוצה יכולה לשמור בקירוב על המרחקים היוצאים מן הקוטב הצפוני, אך המחיר הוא הגדלה הולכת וגוברת של המרחקים ממזרח למערב. ככל שמתרחקים מן הקוטב, העיוות נעשה קיצוני יותר.
בקו המשווה מתקבל כבר פער של כמעט 23 אלף קילומטרים. בחצי הכדור הדרומי הבעיה חמורה עוד יותר.
המסקנה נמצאת במספרים
אין צורך להסתמך על תמונות של נאס"א כדי לבדוק את הטענה. אפשר למדוד את גובהם של גרמי השמים, את המרחק בין קווי רוחב ואת אורכם של מסלולים סביב כדור הארץ.
שלושת הנתונים אינם מתיישבים עם דיסקה שטוחה:
- המרחק מהקוטב הצפוני לקו המשווה הוא כ־10,000 קילומטרים.
- היקף קו המשווה הוא כ־40,075 קילומטרים.
- גובה הקוטב השמימי משתנה בקצב של מעלה אחת לכל כ־111 קילומטרים של תנועה מצפון לדרום.
על משטח שטוח אי אפשר לקיים את שלושתם בו־זמנית. על גוף כמעט כדורי הם נובעים מאותה גאומטריה פשוטה.
הטיעון אינו דורש אמונה במוסד כלשהו. הוא דורש רק סרגל, מד־זווית, מרחקים הניתנים לבדיקה וחישוב היקף של מעגל.
שאלות נפוצות
האם סקסטנט לבדו מוכיח שכדור הארץ עגול?
סקסטנט מודד זוויות ואינו “מכריז” על צורת הארץ. אולם השינוי העקבי בגובה הקוטב השמימי בהתאם למרחק הנמדד צפונה או דרומה מתאים לגאומטריה של גוף כדורי ואינו משתלב עם מפת הדיסקה השטוחה הנפוצה.
האם אפשר ליצור מפת ארץ שטוחה אחרת שתתאים לנתונים?
אפשר ליצור מפות שטוחות רבות, אך אף אחת אינה יכולה לשמר בו־זמנית את כל המרחקים, השטחים, הזוויות והצורות של משטח כדורי. תיקון העיוות באזור אחד יגדיל אותו באזור אחר.
מדוע השתמשנו ב־10,000 קילומטרים ולא במספר המדויק?
זהו קירוב המבוסס על ההגדרה ההיסטורית של המטר. המרחק האמיתי מקו המשווה לקוטב לאורך קו אורך הוא כ־10,002 קילומטרים. ההפרש קטן ואינו משנה את מסקנת החישוב.
האם כדור הארץ הוא כדור מושלם?
לא. הוא פחוס מעט בקטבים ורחב יותר בקו המשווה. רדיוסו הממוצע הוא כ־6,371 קילומטרים, אך רדיוסו בקו המשווה כ־6,378 קילומטרים ובקטבים כ־6,357 קילומטרים.
עוד בנושא באתר הידען:
