זנון מאלאה – המתמטיקה של מחבר פרדוקס אכילס והצב

זנון מאלאה נחשב לאחד מראשוני המתמטיקאים

מהי מתמטיקה? השאלה הזו נשמעת קצת רטורית שהרי כולנו יודעים כי מדובר בעצם באותו מאגר נוסחאות ומשוואות שאמורות לתאר משהו באופן כללי, כל מיני קשרים לוגים בין דבר אחד לאחר. למרבה ההפתעה, זוהי לא הדרך שבה התייחסו בזמן הקדום לתחום הזה של המספרים אלא ראו בו סוג של עזרה אד-הוק ; אם מצרי מהתקופה הפרעונית רצה לדעת כמה מים יכנסו בנוד מים דמוי מרובע הוא היה מחשב את האורך של שני האלכסונים במיכל וכופל אותם אחד במשנהו, התוצאה הייתה כמות המים הרצויה. לאחר מספר ניסיונות הבין שלא מדובר בתוצאה מדויקת אלא באומדן די טוב ודבר זה הניח את דעתו. כך היה נהוג עד לתור הזהב של היוונים – המתמטיקה הייתה חישובית, כזאת שיכלה לעזור לאדם הממוצע ביום-יום בעסקיו, ענייני ביתו וכדומה. שאלת התוקף הניתן לחישובים אלו לא עמדה על הפרק. בואם של היוונים הביא עימו את הבסיס החשוב ביותר של המתמטיקה המכונה – הוכחה, דהיינו סדר פעולות ברור ומוגדר שתמיד יביא לתוצאה מסוימת אותה ניתן לצפות. זוהי בעצם תחילתה של המתמטיקה כפי שאנו מכירים כיום והיא צמחה בעקבות רעיונות פילוסופים גדולים ועמוקים להם ניתן הסבר “ארצי” בדמות משוואות מתמטיות. הקשר בין פילוסופיה למתמטיקה היה כה חזק עד שקשה למצוא פילוסוף שלא היה מתמטיקאי או מתמטיקאי שלא היה פילוסוף. אחד החשובים בהם הוא נושא המאמר הבא.

את הידוע לנו על זנון (Zeno) קיבלנו בעיקר מתוך הרישומים של אפלטון (Plato) ועוד מספר כותבים אחרים אולם מידע זה איננו רב במיוחד. זנון נולד בעיר אלאה (כיום איטליה) בשנת 490 לפנה”ס וכבר בצעירותו החל לעסוק בעולם הפילוסופיה. זנון הפילוסוף הושפע עמוקות מחברו הקרוב שהיה גם כן פילוסוף חשוב בשם פרמנידס (Parmenides) – הדמות העיקרית בתורת המוניזם, שבבסיסה עומד העיקרון כי כל הדברים שקיימים בעולם הם בעצם מציאות אחת נצחית שנקראת “יש”. מתוך העיקרון הזה נובע כי היות והכול הוא דבר אחד – לא ייתכנו המצבים של אי-קיום – כי הכול קיים, או תנועה – כי אין לאן לנוע אם כל העולם והפרטים בו הם דבר יחיד. אחד הספרים המפורסמים שכתב על כך הכיל 40 פרדוקסים על עניין הרציפות כאשר ל-4 מהם הייתה השפעה מכרעת על עולם המתמטיקה כולו למשך זמן רב. נושאיו העיקרים של הספר, כפי שציינתי, היו על רעיון האחידות של הפרטים הקיימים בעולם (כלומר שאין ריבוי) ועל חוסר התנועה.

דוגמא אחת לדרך שבה תקף את הרעיון שיש יותר מדבר אחד בעולם הזה הוא שאם נניח ניקח לעצמנו גודל מסוים ונחלק אותו אז בוודאי ניתן לחלק אותו שוב עד אינסוף פעמים ולעולם לא נוכל להגיע לנקודה אחרונה שבה ניתן יהיה להגיד שזהו חלק בפני עצמו ולא שייך לאותו החלק הראשוני, כמו כן זנון טען שמצב בו אין לדבר כלשהו גודל מוגדר לא ייתכן לעולם. את ההסבר לטענה האחרונה נתן הפילוסוף סימפליכיוס (Simplicius) בשמו של זנון בכך שאם נוסיף משהו ללא גודל לגורם אחר או נחסיר ממנו את אותו המשהו הזה אז אותו גורם לא יגדל ולא יקטן; היות ולא חל שינוי בגורם זה אז מה שבעצם הוספנו או החסרנו היה כלום, ומכאן נובע כי גורם ללא גודל לא יכול להתקיים.

העניין האחר שעסק בו היה כמובן חוסר התנועה ואת החשיבות המכרעת לפרדוקסים אלו נתן אריסטו (Aristotle) כאשר שילב 4 מהם (שהזכרנו מעלה) בספרו החשוב – פיסיקה. אלו היו הפרדוקסים המוכרים לרבים מאיתנו כדיכוטומיה, אכילס והצב, החץ והאצטדיון. הנה שלושה מתוכם :

טענת הפרדוקס הראשון הייתה שלא יכולה להתקיים תנועה של גוף כלשהו מכיוון שבכדי שאותו הגוף יגיע לנקודת הסיום של המסלול עליו קודם כל להגיע לנקודת האמצע של המסלול. זוהי כמובן טענה פילוסופית והתרגום שלה לשפת המתמטיקה הוא במה שקרוי כיום – סדרה; מבחינה מספרית נוכל להגיד שאם יש לנו קו עם אורך 1 ס”מ אז כדי להגיע מ-0 ל-1 עלינו קודם כל לעבור ב-0.5 ס”מ, אך גם בכדי להגיע ל-0.5 ס”מ עלינו קודם כל להגיע ל-0.25 ס”מ שהוא חצי הדרך של חצי הדרך וכך הלאה, אם נמשיך זאת לאינסוף אז בעצם לעולם לא תהיה משמעות לתנועה כי לעולם לא נוכל להגיע לסוף. בניסוח מתמטי זה נראה כך – 1/2 + 1/4 + 1/8 +…. = 1, למשוואה זו אין פיתרון כי תמיד יהיה חלק קטן שיחסר בכדי להשלים לסכום של 1 ולכן מבחינה הגיונית תנועה המיוצגת על ידי מעבר מ-0 ל-1 (או כל אורך אחר) לא יכולה להתקיים. זהו פרדוקס הדיכוטומיה שבעצם ראינו קודם בטענה שגודל מסוים הניתן לחלוקה כלשהי ניתן לחלוקה אינסופית (פרדוקסאלית) ולכן בעצם כל הדברים הם דבר אחד. זו אכן טענה פנטסטית.

הפרדוקס השני הוא החץ ומתאר מצב של חץ הנורה מקשת ומתקדם לעבר המטרה. מרחק זה הוא בעצם כמו מעבר מ-0 ל-1 שהראינו קודם, ואם החץ היה בשלבים מסוימים בכל מיני נקודות בין 0 ל-1 אז זה אומר שניתן לחלק את אורך הקטע הזה לפחות פעם אחת, אולם טענו כבר מקודם שבמידה וניתן לחלק קטע מסוים לשניים אז ניתן לחלק אותו לאינסוף חלקים. אם כך הדבר, אז במהלך מעופו עבר החץ אינסוף נקודות ותמונה מוקפאת של כל נקודה כזאת תראה שבעצם החץ לא זז, ומכן נובע שהוא לא זז לאורך כל מעופו ולכן המסקנה היא שלא הייתה תנועה בכלל.

אנסה להסביר זאת בדרך אחרת – כשאנו אומרים שגוף נע אנחנו בעצם מתכוונים לכך שהוא היה בנקודה A בשלב מסוים ואז עבר לנקודה B, זאת עובדה אחת ברורה שכן ראינו את המעבר, אולם הצורה שבה הגוף עבר את המרחק הזה יכולה להיות באינסוף דרכים שכל אחת מהן נקראת על ידנו – זמן. נוכל להגיד שהחץ עבר מנקודה זו לאחרת בזמן מסוים, למשל שנייה אחת ונוכל להגיד שהוא עבר את המרחק הזה בשתי שניות. מהיכן נובע ההבדל ? מדבר נוסף הנקרא מהירות או קצב השינוי בזמן. כלומר, ההגדרה של המונח מהירות תלויה אצלנו בשתי נקודות זמן, זו שבה התחיל הגוף את מעופו וזו שבה סיים אותה. כפי שידוע לכולנו בין שתי נקודות עובר קו, אולם בתחילת המאמר טענו שקו הוא בעצם גודל מסוים ואם נרצה לעבור אותו לא נוכל כי לעולם לא נגיע מהנקודה שלנו לנקודה אחרת. מכאן נובע שתזוזת זמן (או הבדל בזמן) לא יכולה להתקיים ואם זמן לא זז אז מהירות לא מתקיימת, כלומר היא תמיד שווה לאפס מה שגורם לכך שהחץ תמיד נמצא במהירות אפס – דהיינו במנוחה מתמדת.
הפרדוקס השלישי שאותו הציג זנון הוא כנראה המפורסם מכולם וידוע בשם “אכילס והצב”.

הבעיה נשמעת קצת זהה לזו של הדיכוטומיה ומתארת מצב בו אכילס שהינו האיש המהיר בעולם מתחרה כנגד הצב אך נותן לאחרון “פור” של כמה מטרים על מנת שהתחרות תהיה הוגנת. שוב, גם כאן מסביר זנון כי אכילס לעולם לא ינצח את הצב מכיוון שהוא לעולם לא ישלים את המרחק ההתחלתי בינו לבין הצב בדומה לבעיה הקודמת.

עד כמה היו פרדוקסים אלו משפיעים באמת על עולם המתמטיקה ? ברטרנד ראסל (Russell), מגדולי הלוגיקנים של המתמטיקה טען באחד מספריו כי למרות שבזמנו של זנון נחשבו הפרדוקסים האלו לשטויות לוגיות בכל זאת נערכו ניסיונות רבים במהלך הזמן כדי לפתור את הבעיות שהעמיד, בעיקר על ידי תחומים חשובים במתמטיקה הידועים כתורת הקבוצות וסדרות אינסופיות מתכנסות, אולם בסופו של דבר הבעיות הבסיסיות של פרדוקסים אלו חוזרות כל פעם מחדש היות והאדם תופס את מושג הרציפות (נאמר של הקו) בשתי צורות שלא מתיישבות אחת עם השנייה.

תהינה ההשפעות אשר תהינה, כיום ניתן להסתכל על הפרדוקסים האלו כעיסוק בשתי שאלות : האחת תוהה מה קורה לדבר כלשהו ברגע נתון, עכשיו, ללא כל קשר בין מה שהיה לפני כן או מה שיהיה לאחר מכן, והשאלה השנייה תוהה מה יקרה לאותו דבר בשלב אחר, מאוחר יותר.
אלו הן שאלות שהתשובה עליהן לא פשוטה אולם בדיעבד ניתן להגיד כי מדובר בעצם ביסודות המחשבה שעמדה מאחורי פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי, שני המושגים החשובים ביותר בעולם המתמטיקה בפרט ובמדע בכלל.