המתמטיקה מלאה בהפתעות – על הספר חיתוך הזהב קורותיו של מספר מופלא

מריו ליביו. תירגם מאנגלית: עמנואל לוטם. הוצאת אריה ניר, 317 עמ', 84 שקלים

אריה רוקח

גיבור הספר הוא המספר הידוע בשם “חיתוך הזהב”, וגדולתו היא בכך שהוא מופיע באין-ספור מקומות בלתי צפויים: בטבע, באמנות, בגיאומטריה ובתורת המספרים. זהו מספר אי רציונלי (כלומר, אי אפשר לבטאו כשבר של שני מספרים שלמים), בעל אינסוף ספרות שהראשונות שבהם הן 1.61803. הוא העסיק ומעסיק את דמיונם של מדענים ויוצרים במשך תקופה רבה, ועוד ימשיך להעסיק אותם רבות ולהופיע במקומות הבלתי צפויים ביותר.

מספר זה הוא קרוב משפחה של סדרה מפורסמת לא פחות, הידועה בשם “סדרת פיבונצ'י”. גם היא מככבת בספר, ולמעשה קשה מאוד להפריד בין שתי היישויות הללו. על כן נפתח בהיבט זה של חיתוך הזהב (מקובל לסמן אותו באות היוונית phi. בעברית זה מבוטא פי.

סדרת פיבונצ'י נקראת על שמו של המתמטיקאי האיטלקי לאונרדו פיזאנו (בן העיר פיזה, 1250-1170), בן למשפחת בונצ'י, והוא היה הראשון לתארה בספרו Liber Abacci. זוהי סדרת המספרים הבאה: …0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13, שכל מספר מבוטא כסכום שני קודמיו. קל לראות שחילוק של מספר בקודמו הולך ומתקרב לחיתוך הזהב, למשל 21/13 = 1.615 ,13/8 = 1.625 וכך הלאה. בהקשר הזה ניתן להוכיח שחיתוך הזהב יכול להתקבל על ידי הוספת אחד לשורש של המספר 5, וחלוקה בשתיים. לסדרת פיבונצ'י עצמה יש כל כך הרבה הפתעות וקסמים, עד שייסדו לפני שלושים שנה בערך כתב עת – Fibonacci Quarterly – העוסק אך ורק בקסמים הקשורים בה והמתגלים חדשות לבקרים.

קסם אחד הוא מיידי: קחו שני מספרים בסדרה זו, שהם במרחק של שני מקומות זה מזה, למשל: 13 ו-5. הכפילו אותם זה בזה. התוצאה היא 65. קחו עכשיו את המספר שביניהם והעלו אותו בריבוע. התוצאה היא 64, במרחק אחד מ-65. זה עובד לאורך כל הסדרה. לתופעה זו יש שימוש בפרדוקסים והטעיות שונים.

והנה קסם מקסים אחר המובא בספר, והקשור למפגש מוזר נוסף של מספרי פיבונצ'י עם שלשות פיתגוריות. שלשה פיתגורית היא שלשה של מספרים שלמים, כך שריבועו של אחד מהם, בתוספת ריבועו של המספר השני, יוצרים את ריבועו של המספר השלישי.

למשל: השלשה 3 ,4 ,5 היא שלשה פיתגורית, מכיוון ששלוש בריבוע ועוד ארבע בריבוע הם עשרים וחמש, כלומר חמש בריבוע. והנה, הספר נותן מתכון קסם כיצד לבנות שלשות פיתגוריות על ידי סדרת פיבונצ'י: קחו ארבעה מספרי פיבונצ'י רצופים, למשל: 1 ,2 ,3 ,5. הכפילו את שני החיצוניים: אחד כפול חמש, וקיבלתם חמש.

זהו הראשון בשלשה הפיתגורית הנבנית מול עינינו המשתאות. הכפילו כעת את שני הפנימיים ואת התוצאה הכפילו בשתיים: שתיים מוכפל בשלוש מוכפל בשתיים הם שתים-עשרה. זהו המספר השני בשלשה הפיתגורית. כעת קחו את סכום הריבועים של שני המספרים הפנימיים: שתיים בריבוע ועוד שלוש בריבוע והתוצאה היא שלוש-עשרה, זהו המספר השלישי בשלשה הפיתגורית. ואכן: חמש בריבוע ועוד שתים-עשרה בריבוע הם אכן שלוש-עשרה בריבוע. הנה, כמובטח, קשר מסתורי, מוזר ובלתי צפוי בין שתי ישויות שונות בעולם המספרים: שלשות פיתגוריות ומספרי פיבונצ'י.

כאמור, סדרת פיבונצ'י היא כה מדהימה עד שאין טעם, וגם אי אפשר לסקור אפילו חלק זעיר מקסמיה המתמטיים, אבל נתעכב על תכונה מדהימה שלה שהכרתי בזכות הספר הנפלא הזה, ורק בגללה ראוי לקרוא אותו. זוהי תכונת הספרה הראשונה. אם תבדקו את אלפיים המספרים הראשונים בסדרה, כך אומר הספר, תמצאו שהמספר אחד מופיע כספרה ראשונה ב-30% מהמקרים, המספר שתיים מופיע כספרה ראשונה ב-17% מהמקרים, המספר שלוש ב-12% מהמקרים, וכך הלאה. והנה, פרופסור בשם מארק ניגריני חקר את אוכלוסיותיהן של כשלושת אלפים נפות במפקד האוכלוסין של ארה”ב בשנת 1990. הוא מצא שהמספר אחד מופיע ב-32% מהמקרים, המספר שתיים מופיע ב-17% אחוז מהמקרים, שלוש ב-14% מהמקרים, בדיוק אותה התפלגות שתיארנו במספרי פיבונצ'י. זוהי שוב תופעה מוזרה ומסתורית ביותר.

הפיסיקאי בנפורד הכליל את התופעה הזאת לשטחים רבים, וביניהם השטח של אגני ניקוז של נהרות. המוזרות והקסם של מספרי פיבונצ'י אינם נגמרים איפוא לעולם. לא פלא איפוא שיש פילוסופים שטענו כי “מספרי פיבונצ'י הם אבני הבניין של אלוהים”.

מאוד ייתכן שכך הוא, בפרט שהם לא מופיעים אך ורק במתמטיקה אלא אף בטבע, והדוגמה היפהפייה המובאת בספר (עמ' 119) תוכיח זאת. החוקר השווייצרי שרל בונה קבע את המונח פילוטקסיה, לגבי סידור עלים בעץ. למשל התפוח, אלון השעם והאפרסק מצמיחים עלים כל 2/5 סיבוב (שימו לב לכך ש-2 ו-5 הם מספרים בסדרת פיבונצ'י, בדילוג של אחד), בעוד האגס והערבה הבוכייה מצמיחים עלים מדי 3/8 סיבוב (ושוב, אלה הם מספרים, בדילוג אחד, בתוך סדרת פיבונצ'י). כיצד יודע הטבע לנהוג כך?

לעניות דעתי, תשובה לתופעה כזאת אינה בגדר האפשר. אך אפשר לנהוג אחרת: אפשר להניח מראש שמספרי פיבונצ'י צצים בכל מקום בלתי צפוי בטבע ובמתמטיקה, ופשוט לחפש אחריהם. ישנם גם כאלה שטוענים ליחס שכזה בהתנהגות של בורסות. הספר מכיל דוגמאות רבות להימצאות מספרי פיבונצ'י בטבע, במוסיקה, באמנות, בגיאומטריה, בכלכלה, ובקיצור – בכל מקום בלתי צפוי.

בינתיים, כך בוודאי חשים הקוראים, הזנחנו את חיתוך הזהב, הגיבור האחר של הספר. מה אתו? איפה הוא צץ לו בכל מקום לא צפוי? אל דאגה! גם הוא מופיע בכל פינה באמנות, בטבע ובמתמטיקה.

חוקרי אמנות רבים טוענים שחיתוך הזהב (או יחס הזהב) מבטא את היחס הקלאסי בין אורכו ורוחבו של מלבן ושל צורות נוספות. הם אף טוענים שהיופי בטבע, למשל פנים יפות, מכיל בתוכו את יחס הזהב. המחבר אינו מסכים לכל קביעה כזאת, ואף מתפלמס עמה. כך גם יש הטוענים שממדי הפירמידה הגדולה במצרים נגזרו מתוך יחס הזהב, וגם קביעה זו מנותחת באריכות (אולי מוגזמת קצת) בידי המחבר.

זהו ספר חשוב ומעניין ביותר, ותרגומו של עמנואל לוטם מצוין. בצד זאת, יש כמה חסרונות. מצד אחד הספר מצטט ספרים ומאמרים רבים אך אינו מציין את השמות המקוריים בלועזית, והדבר מקשה על הקוראים לאתר את המקור.

חיסרון אחר הוא העדר הפנייה לאתרים באינטרנט, שאף הם מכילים ים בלתי נדלה של חומר. למשל, את המקרה הבא מצאתי באינטרנט והוא נקרא החוק של Jean-Clode Perez. הוא חקר את רצף הקוד הגנטי במולקולת האינסולין, המורכבת מ-90 בסיסים (“אותיות”). האותיות האפשריות בקוד הגנטי הן: ,G A, C, T. אם סופרים את מספר אותיות T ברצף הגנטי מקבלים 34 אותיות, כאשר סכום שאר האותיות הוא 34 .56 ו-55 הם שני מספרי פיבונצ'י עוקבים.

יתר על כן, כך הוא מצא, אם לוקחים תת-רצף של הקוד הגנטי באינסולין, תופעה זו חוזרת על עצמה: בתת-רצף של 54 אותיות מקבלים סה”כ 22 אותיות T (שזה קרוב ל-21, מספר פיבונצ'י), וסכום שאר האותיות הוא 32, שזה קרוב למספר פיבונצ'י העוקב אחר 34 ,21.

עצה פשוטה ביותר למתעניין היא להיעזר במנוע חיפוש ולהקיש את המלה Fibonacci, או המלים golden ratio, ולקבל שפע בלתי נדלה של חומר מרתק.

חיסרון נוסף של הספר הוא העיסוק הארוך מדי בשאלה אם יחס הזהב אכן היה ידוע למצרים ולבבלים ומי גילה אותו לראשונה. אך חיסרון זה מפוצה בהחלט על ידי הפרקים האחרים.

The Golden Ratio Mario Livio

מאמריו של אריה רוקח על מספרי פיבונצ'י התפרסמו ב-Quarterly” “Fibonacci וב”על”ה” – העלון למורי המתמטיקה

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~783130595~~~133&SiteName=hayadan