שני מתמטיקאים מאוניברסיטת פנסילבניה מצאו פתרונות כלליים שלא היו ידועים במשך יותר ממאה שנים למשוואת ההולכה של בולצמן – משוואה בלתי פתירה בת 140 השנה.
המחקר הנדון הוא בחלקו מסע היסטורי אבל בעיקר הוכחה מתמטית עליה עובדים המתמטיקאים מזה שנתיים. המחקר בוצע על ידי פיליפ ט. גרסמן ורוברט מ. סטריין ממחלקת פן למתמטיקה.
http://www.math.upenn.edu/~gressman/
http://www.math.upenn.edu/~strain/
http://www.math.upenn.edu/
במהלך שנות ה-1860 וה-1870 ג’יימס קלרק מקסוול ולודוויג בולצמן פיתחו את משוואת ההולכה כדי לנבא את התפלגות החומר בגז דליל בחלל ואת האופן שבו הוא מגיב לשינויים בגדלים כגון טמפרטורה, לחץ או מהירות. בו בעת שבולצמן התווכח עם ארנסט מאך אודות מציאות קיומם של האטומים והמולקולות, הוא פיתח משוואות שהיה בכוחן להוביל לניסויים שיגלו רמזים לקיומן של המולקולות. כך נשמר למשוואת בולצן מקום של כבוד בפנתיאון המדע ולו רק בשל היותה המשוואה שמספקת את המודל להתנהגות הגז. הניבויים שנובעים מהמשוואה לגבי התנהגותו של הגז אכן זכו לגיבוי על ידי ערימות של ניסויים בתחומים רבים בפיסיקה.
האמון המלא במשוואה והתמיכה לה זכתה מהניסויים – ההנחה שהגזים מורכבים ממולקולות – הביא את קהיליית המדענים לגמרי לאמץ את התיאוריה. מה גם שהתיאוריה ספקה ניבויים מכריעים וחשובים – כאשר החשוב מביניהם הוא שגזים באופן טבעי נוטים למצב של שיווי משקל בהעדר השפעות חיצוניות. אחד מהניסויים החשובים של המשוואה הוא שאפילו כאשר הגז מופיע במנוחה מבחינה מקרוסקופית, ישנה פעילות מולקולארית גועשת בצורת התנגשויות. בעוד שלא ניתן לצפות בהתנגשויות אלה, הן מסבירות את טמפרטורת הגז.
והנה מתמטיקאים החלו לחפש הוכחה ופתרונות מדויקים למשוואה. דיויד הילברט, המתמטיקאי המבריק מגוטינגן, שכמעט והביס את אלברט אינשטיין במרוץ בדרך לתורת היחסות הכללית, ניסה במשך שנים למצוא פתרונות פורמאליים למשוואת ההולכה של בולצמן, אך לשווא. דבר זה מוכיח עד כמה המשוואה קשה להוכחה ריגורוזית.
התעניינותם של גרסמן וסטריין התעוררה במשוואה המסתורית של בולצמן בשל העובדה שהיא מתארת היטב את ההתנהגות של העולם הפיסיקאלי. אולם עדיין מגליה יכלו למצוא לה אך ורק פתרונות עבור גזים בשיווי משקל מושלם.
שני המתמטיקאים השתמשו בטכניקות מהמתמטיקה המודרנית מתחום המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות (שיטות מהאופרטורים הפסאודו-דיפרנציאליים) והאנליזה ההרמונית. המתמטיקאים התבססו בעיקר על שיטות שפותחו במאמר הזה:
R. Alexandre, Y. Morimoto, S. Ukai, C.-J. Xu, and T. Yang, “Uncertainty principle and kinetic equations”, J. Funct. Anal. 255 (2008), no. 8, 2013–2066.
כך מרבית הטכניקות המתמטיות בכלל פותחו במהלך חמישים עד חמש השנים האחרונות ולכן מדובר במתמטיקה יחסית חדשה מאוד.
גרסמן וסטריין הוכיחו בעזרת שיטות אלה את הקיום של פתרונות קלאסיים כלליים מדויקים למשוואת בולצמן ודעיכה מהירה בזמן למצב שיווי משקל עבור משוואת בולצמן עם אינטראקציות ארוכות טווח. קיום של פתרונות קלאסיים כלליים ודעיכה מהירה בזמן לשיווי משקל רומזים על כך שהמשוואה מנבאת נכונה שהפתרונות ימשיכו להתאים להתנהגות של המערכת ולא תקרה איזו קטסטרופה מתמטית. למשל, המשוואה פתאום יכולה לאבד מאמינותה הפיסיקאלית רבת השנים כתוצאה משינוי מתמטי שיגרם במשוואה. דעיכה מהירה לשיווי משקל פירושו שההשפעה של הפרעה התחלתית קטנה בגז היא קצרת חיים ומהר מאוד היא נהפכת לבלתי מורגשת.
המחקר מספק הבנה מחודשת לאפקטים עקב התנגשויות של מגע, כאשר מולקולות שכנות אך נוגעות קלות זו בזו במקום להתנגש חזיתית. מסתבר שהתנגשויות של מגע אלה הן סוג ההתנגשויות הדומיננטי עבור משוואת בולצמן השלמה עם האינטראקציות ארוכות-הטווח.
החוקרים אמרו, “זה מדהים אותנו, שמשוואה שאותה קיבלו בולצמן ומקסוול ב-1867 ו-1872 מעניקה דוגמא יסודית לנגזרות חלקיות גיאומטריות שמופיעות במודל פיסיקאלי של עולם הטבע”. וסטריין הוסיף, “הטכניקות המתמטיות שנועדו לחקור תופעות אלה פותחו רק בעידן המודרני”. פירושו של דבר, שבולצמן ומקסוול היו כה גאונים כדי לפתח משוואה לפני כמעט מאתיים שנה, כזו שתתאים לפתרונות מתמטיים מודרניים אך ורק מלפני חמש שנים…
הניסוח של בולצמן מ-1872 במקור הבא:
Ludwig Boltzmann, Lectures on gas theory, Translated by Stephen G. Brush, University of California Press, Berkeley, 1964.
והניסוח של מקסוול מ-1866:
J. Clerk Maxwell, On the Dynamical Theory of Gases, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 157 (1867), 49–88.[
38 תגובות
מחפש משוואה שמקשרת אנטרופיה לזמן ולמידע…
וגם בנובמבר 1957 פורסם המאמר של שני מדענים מהמחלקה למתמטיקה שימושית של מכון ויצמן
Solution of the Boltzmann-Hilbert integral equation II.
The coefficients of viscosity and heat conduction
פתרון המשוואה האינטגרלית של בולצמן-הילברט II מקדמי הצמיגות ומוליכות החום
C. L. Pekeris and Z. Alterman
Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 43, 998-1007 (1957)
https://www.pnas.org/content/43/11/998
ובנובמבר 1962
Eigenvalues and Eigen functions of the linearized Boltzmann Collision Operator for A Maxwell Gas and For a Gas of Rigid Spheres
C. L Pekeris, and Alterman Z, Frankowski K
The Astrophysical Supplement Series 7, 291
https://bit.ly/32Hu6iY
לגבי הכותרת “מתמטיקאים פותרים את משוואת בולצמן בת 140 השנה”
רציתי להפנות לתשומת לב העורך והקוראים את המאמר של פרופסור חיים פקריס ממכון ויצמן אשר פורסם בחודש ספטמבר 1955
SOLUTION OF THE BOLTZMANN-HILBERT INTEGRAL EQUATION
C. L Pekeris
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 41: 661-9.
https://bit.ly/38OWcgc
פאי היתה עוגה טעימה?
מוזר שבולצמן התאבד, הרגיש את הטבע האדם, הפשיט לנו בדרך מדעית את חוקי הטבע. אדם כמוהו קיבל את השראה רק ממחקר מדעי. מרחב העבודה של בולצמן מאפשר לרואת את הפריחה של פיזיקה של היום שקוראים לה ״לא קלסית״. כולם מפגרים, לא כולם מתאבדים.
ארז,
ניתן להסביר בקצרה את הנעשה בדיון זה
השאלה היא האם אתה באמת מתעניין או פשוט מעוניין להביע את מורת רוחך מן הדיון
ואללה – עם היתי יודע על מה אתם מדברים …….
רענן,
לפעמים שינוי הקבוע הפיזיקלי או המקדם יכול לשנות את ההתנהגות של משוואה מלינארית למחזורית לכאוטית. ראה למשל את משוואת טורף -נטרף המפורסמת:
X(t+1)=cXt(xt-1) d
שבה t הוא נקודת הזמן, C הוא המקדם.
כאשר c=0.5 המשוואה מתכנסת לינארית. כאשר c=1 היא מחזורית וכאשר הוא 2 המשוואה כאוטית כלומר רגישה לתנאי ההתחלה ואינה חוזרת על עצמה או מתכנסת לשום ערך כך שלא ניתן ללא חישוב של הנקודות לחזות למשל את X ב t=2000. קל לבדוק, קח אקסל ותנסה.
אהוד
כן זה אני. ואני מסכים יותר עם התיאור של LIZA לגבי מה שאמרתי.
אני מסכים איתך שניתן לרענן לענות על התשובות ששאלו אותו, ובאופן אישי אני לא מסכים איתו לגבי ‘עיקרון הפרפר’ אבל נסיתי להביע את דעתי לגבי מה שהוא מנסה להסביר.
המדע אכן מגדיר את הכאוס, וזאת הלינאריות שבמדע, שהמדע בוחר להגדיר כל דבר.
ברצוני להציג את האמרה “העולם כאוטי והמדע לינארי” באור קצת שונה.
במובן מסוים יש צדק בדברים והכוונה היא לכך:
המדענים בוחרים את קנה המידה בו הם בוחנים תופעות ואת הפרמטרים הרלוונטים לבחינת כל תופעה. כאשר בוחנים את ההשפעה של פעולה כלשהי ניתן לבחון כמה היבטים. אם למשל נסתכל על ההשפעה של הנפת כדור באוויר – ברמה האטומית פעולה זו תגרום לפעולת שרשרת שתגרום לאטומי הכדור להשפיע על אטומי האוויר שישפיעו על אטומים אחרים (שלי, של השולחן לידי וכו וכו). אם לא אניף את הכדור פעולה זו לא תתרחש. כלומר ברמה האטומית העולם יהיה עולם שונה לחלוטין אם אניף את הכדור ואם לוא.
אנו איננו מבחינים בכך מפני שברמת התיאור שלנו את העולם, לדבר אין השפעה מהותית. אבל זו רק בחירה שרירותית של רמת תיאור לתופעות.
במובן זה המדע הוא זה שעושה לינאריזציה.
יכול מאוד להיות שלתופעות אותם אנו מכנים כיום ככאוטיות (כגון מזג האויר), תמצא בעתיד רמת תיאור מתאימה (המסתכלת על פרמטרים מסוימים שאינם ידועים כעת) בה התופעה אינה כאוטית.
כלומר השאלה אם תופעה היא כאוטית או לא קשורה באופן בו אנו בוחרים לתאר אותה
אנונימי (ר*ח רפא*ים?)
איני יכול לדבר בשם רענן אבל נבחן את הטענה “העולם הוא כאוטי והמדע הוא לינארי”.
ראשית המדע אינו לינארי! תורת הכאוס היא חלק מהמדע והיא מגדירה מה הוא כאוס! שנית המדע מתאר את העולם ולכן עליו להיות בעל אותם תכונות של העולם. הטענה הנכונה היא שרוב התופעות מתרחשות בקרוב מצויין באופן לינארי. העובדה אנו יכולים לתאר הרבה מהעולם סביבנו בעזרת חוקי ניוטון, משוואות בולצמן, משוואות מקסוול משוואות שרדינגר כולן משוואות לינאריות! ההצלחה של המשוואות הללו בתיאור העולם מצביעה על כך שהעולם סביבנו הוא בקרוב טוב לינארי. את התיקונים ללינאריות שאותם אנו מזניחים לרוב ניתן להזניח. במערכות מסויימות מאד לא ניתן להזניח הפרעות קטנות לתנאי התחלה, לרוב מדובר במערכות מורכבות דוגמאת מזג האויר אבל לאו דוקא. מערכות אילו רגישות להפרעות קטנות.
נסתכל סביבנו וננסה להעריך מהו מספר המערכות ביום יום שבהן אנו נתקלים אשר איננו יכולים לחשב אותם.
לפי טענת רענן כל נוכחות של הפרעה קטנה יוצרת את “אפקט הפרפר”, אני מניח כי רענן לא טס במטוסים
כי פרפרים באוסטרליה יכולים לגרום להתרסקות המטוס. רענן לא נוסע במכונית כי הרוח יכולה להסיט אותה ממסלולה ורענן מבין כי לא יכול להיות שהעולם קיים מיליארדי שנה כי כל הפרעה קטנה הייתה זורקת אותו זה מכבר לתוך השמש או הרחק ממנה. יכול להיות שלגבי מכוניות ומטוסים הנהג והטיס מתנגדים לאפקט הפרפר ומה לגבי מסלול כדור הארץ. לא נותרה בררה לרענן אלא להניח כי אלוהים דואג לתקן את האפקטים הכאוטיים.
אם הבנתי נכון את רענן הוא מתכוון לכך שהעולם הוא כאוטי והמדע לינארי. לא?
רענן,
המשוואה הבאה איננה לינארית:
Y=AX^2+BX+C (תיאור כללי של מסלול פרבולי)
איננה משוואה לינארית. האם לדעתך היא כאוטית?
חברים:
הרענן הזה פשוט מפגר וחבל על כל אות שמקדישים לו.
אין ספק שלאחר תשובה שקולה, רצינית, משכנעת ומעמיקה כל כך לא נותר לי אלא להודות בטעותי ולפרוש למנזר בודהיסטי שם אוכל לברוח מן הבושה שתהה מנת חלקי בכל מקום אחר…
לנועם וצבי
אתם טועים.
רענן
אתה ממש טועה במרבית דבריך. אמליץ לך לקרוא שוב את הדו שיח בין אהוד ליעל (שמבינים על מה הם מדברים) וכן את תגובותיו של אהוד אליך כיוון שאני מניח שתוכל ללמוד מהם משהו.
על כל פנים, לכל מערכת פיסיקלית ישנן אינספור השפעות שונות. בדרך כלל מרביתן לא חשובות (השפעת הכבידה של כוכב מסויים באנדרומדה על מטוטלת מתמטית) וניתן לעבוד בקירובים שיתנו תוצאות מדוייקות להפליא – בהרבה מאד מקרים, ניתן לעבוד עם משוואות ליניאריות ועדיין לקבל תוצאות מדוייקות למדי, לפעמים לא ניתן, ואז יש צורך לעבוד עם משוואות לא לינאריות.
משוואות לא ליניאריות אינן ערובה ליצירתן של תופעות כאוטיות. קיימות מערכות פיסיקליות רבות המתוארות ע”י משוואות לא ליניאריות שאינן כאוטיות כלל וכלל ולמעשה פעמים רבות פיתרונן מבוסס על כך שבזמנים ארוכים דיים הפתרונות מתכנסים לפתרונות מסוג מסויים (ממש ההיפך מכאוס).
קבוצה אחרת של מערכות כוללת רגישות גדולה מאד לתנאי ההתחלה, אלה מערכות כאוטיות ובהם מתקיים אותו אפקט פרפר. זה ממש לא אומר שכל מערכת פיסיקלית מקיימת את האפקט הזה ואף פיסיקאי לא יסכים איתך על אמירתך כי קיים “עקרון אפקט הפרפר” וכל מערכת פיסיקלית היא בסופו של דבר כאוטית.
אפקט הפרפר הוא אנלוגיה פשטנית ולא מדוייקת שמבהירה רעיון שנכון רק לפעמים (במקרה הזה, אני די חושב שלא).
רענן,
אתה פשוט לא מבין!
יש תופעות לינאריות, יש תופעות לא לינאריות ויש תופעות כאוטיות.
לא כל תופעה לא לינארית היא כאוטית – גם אהוד הסביר לך ואתה מסרב להבין (או לקרוא).
למה לא תקדיש מעט זמן, ותנסה להבין את העניין לפני שהבילבול שלך יבלבל אחרים?
על פניו נראה כאילו חלק מהפיזיקה פועלת באופן לינארי אבל למעשה זה רק כמעט לינארי ולכן זה בעצם כיאוטי.
רענן
קודם כל לא מדובר על תופעות המאמר מדבר על משוואות :
“מתמטיקאים פותרים את משוואת בולצמן בת 140 השנה”.
מעבר לכך לא כל תופעה פיזיקלית היא כאוטית. גם אם כל התופעות ביקום מתוארות על
ידי משוואות לא לינאריות זה לא הופך אותן לכאוטיות.יש איזורים במרחב הפזה שבהן
הקירוב הליניארי עובד היטב ויש אזורים שלא. תסתכל סביבך היקום הוא לא כאוטי אנחנו
מסוגלים לחשב דברים קדימה והרבה מהפיסיקה מתנהגת באופן לינארי.
אהוד
כל תופעה פיזיקלית ביקום היא כיאוטית, אין שום דבר שהוא לינארי במציאות, הלינריות רק מקלה את החישוב כדי לקבל קירוב, ולכן אפקט הפרפר חל על כל דבר ביקום לא רק מזג אוויר.
רענן
אין דבר כזה עיקרון אפקט הפרפר! אפקט הפרפר מדבר על מערכות כאוטיות שבבסיסן משוואות אי-לינאריות. במערכת משוואות לינארית התגובה להפרעה פרופורציונאלית להפרעה מכאן שמם ליניאריות. משוואות בולצמן הן משוואות לינאריות!
כאמור אפקט הפרפר אינו עקרון אלא אפקט המופיע בסוג מסוים של מערכות מערכות כאוטיות כדוגמת מערכות מזג-אויר.
“השפעה של הפרעה התחלתית קטנה בגז היא קצרת חיים ומהר מאוד היא נהפכת לבלתי מורגשת” ? האם זה לא סותר את עיקרון אפקט הפרפר?
בנוסף קצת לא ברור מה זה ההמצאה ופיתוח של “מתמטיקה חדשה” ע”י J. Funct. Anal , ככה המציאו מתמטיקה חדשה, ולא הודיעו לנו?, אבל ברצינות, איזה פיתוחים חדשים אלה?
יעל
את מעלה לטעמי את אחת השאלות החשובות לגבי פיסיקה ויש לה הקשרים רבים לגבי נושא הכתבה.
הפיסיקה לטעמי היא תורת הקירובים. הקירובים הם המאפשרים לנו לפתור בעיות מתמטיות סבוכות ללא פתרון מלא על ידי שימוש באינטואציה פיסיקלית. דוגמא מתמטקאים טרם הוכיחו שתמיד קיים פתרון למשוואת Navier-Stokes בשלושה מימדים או שהפתרון אינו סינגולרי מצד שני פיסיקאים ומהנדסים יודעים לתאר זרימה של נוזלים בהרבה מאד מקרים. הפיסיקה מאפשרת לנו להפריד את העיקר מהתפל. אגב למעונינים מוצע פרס של מיליון דולר להוכחה הנ”ל לגבי Navier-Stokes.
כדי להשוות תאוריה פיסיקלית עם המציאות אנחנו משתמשים בתאוריה כדי להזניח את מה שלא חשוב. דוגמא כדור נופל בהשפעת הגרויטציה של כדור הארץ, האם יש לקחת בחשבון את השפעת הגרויטציה של הירח, מאדים, צדק? התאוריה הפיסיקלית מאפשרת לנו לראות אילו קירובים ניתן לבצע. במקרה הנדון השפעת הירח,מאדים וצדק היא זניחה וניתן להראות זאת באמצעות חוקי ניוטון. גדולתה של הפיסיקה היא ביכולתה להעריך איך יתנהג פתרון של משוואה מתמטית בתנאים מסויימים מבלי שיהיה בידינו הפתרון. ישנן מעט מאד בעיות פיסקליות הניתנות לפתרון אנליטי: אוסילטור הרמוני, בעיה דו גופית, … הגדולה של הפיסיקה היא ביכולתה לפשט בעיות מורכבות על ידי קירובים ולהפוך אותם לבעיות פשוטות ואת היכולת להעריך את התיקונים לפתרון הפשוט. בשפה טכנית הפיסיקה מבוססת על התחום של תורת הפרעות.
נקודה חשובה היא הצידוק של משוואות פיסקליות. נתת דוגמא של חוקי היחסות שהופכים לניוטוניים במהיריות נמוכות. החוקים הפיסיקלים במקרה זה הם חוקי היחסות הפרטית הם מאפשרים לנו במסגרתם לראות מתי חוקי ניוטון יעבדו טוב ופיסיקאים בתור אנשים פרקטיים יעבדו עם חוקי ניוטון במקום עם התיאור המתמטי המלא של הבעיה. ללא תורת היחסות הפרטית חוקי ניוטון מקבלים את התוקף שלהם מהתאמה לניסוי, כאשר ניתן היה לבצע ניסויים מורכבים יותר הסתבר כי כעת את כל סט הניסויים תואמים חוקים כלליים יותר קרי היחסות הפרטית.
לסיכום: הפיסיקה בנויה על קירובים (במסגרת תאוריה פיסיקלית נתונה) כך שהבעיה הופכת לפשוטה דיה אך לא פשוטה מדי! הקרובים הם הכלי של הפיסיקה לתאר את העולם ברמת המורכבות הדרושה.
Make everything as simple as possible, but not simpler.
Albert Einstein
Liza
המוטיבציה של חוקרים היא אכן לנסות לענות על שאלות יחסי סיבה-תוצאה מצד שני השרשרת ההסברית מסתיימת לטעמי בחוק הפיסיקלי. לדוגמא קפלר גילה את שלושת החוקים שו על תנועת כוכבי לכת, ניתן לשאול מה גורם לכוכבי לכת לנוע לפי חוקים אילו ועל כך “עונה” חוק הגרויטציה של ניוטון. לכן התושבה לשאלה מדוע כוכבי כת נעים במסלולים אלפטיים היא חוקי ניוטון.
האם החוק מסביר טוב יותר את הסיבה ומה הסיבה לחוק? לטעמי חוקי טבע הם צורה קומפקטית לאגד תוצאות של הרבה ניסויים. אנסה להסביר את עצמי טוב יותר באמצעות אנלוגיה. תוצאות ניסויים הם כמו נקודות על מערכת צירים, חוק הטבע הוא העקום (פונקציה) המתאר את הנקודות , לדוגמא העקום הקרוב ביותר לכל הנקודות. לאוסף סופי של נקודות ניתן להעביר אינסוף פונקציות כך שכדי לאשש את הפונקציה שנבחרה יש להמשיך את העקום לאיזורים בהם אין נקודות ולהוסיף נקודות (קרי ניסויים נוספים) באזור זה ולבחון את ההתאמה.
מה תפקיד ה”סיפור” הפיסיקלי בתיאור הזה? הסיפור הוא המאפשר לקשר בין ניסיון לפונקציות מתמטיות ולנקודות. דוגמא כדור נופל בהשפעת כוח המשיכה. הסיפור הפיסיקלי מדבר על תכונה של הכדור המסה,
ניתן להתעלם מתכונות אחרות של הכדור: צבעו, צורתו (בקרוב ראשון), החומר ממנו הוא מורכב וכו …
כעת ניתן לכתוב משוואה עבור נקודת מסה שפועל עליה כוח. הכוח של התאוריה הפסיקלית הוא במציאת הפרמטרים הנכונים לתיאור התופעה. דוגמא: ניסויים מלמדים אותנו כי לצבע הכדור אין השפעה על כמה מהר הוא נופל. לסיכום הסיפור מגדיר את המרחב המתמטי שעליו נשאלות השאלות והחוק הפיסיקלי מאגד את התוצאות.
אהוד,
תודה על תשובתך. כאשר אמרתי שאפשר לקרב מטבע לספירה כדורית ניסיתי להציג עמדה. זה כמו לטעון שאם נזניח את מהירות האור ונסתכל רק על אובייקטים איטיים, משוואות היחסות הופכות למכניקה ניוטונית. זה לא אומר שמכניקה ניוטונית נכונה תמיד, ועובדה שהיא לא. היא קירוב טוב למציאות בתנאים ספציפיים.
הפיזיקה הניסיונית עוסקת בעיקר בקירובים והזנחות. או כמו שאצלנו במחלקה נהוג לומר “היחס של פיזיקאים למתמטיקה זה כמו היחס של עורכי דין לספר החוקים. כדאי לדעת אותם וכדאי לדעת איך לעקוף אותם”.
ולענייננו, אני זוכרת משיעורי תרמודינמיקה שהיו שם כמה דברים מטרידים. קירוב קלפרון , קירוב גז אידאלי, קירוב אוסילטור הרמוני, והדובדבן שבקצפת דיאגרמת מעברי פאזה של לחץ כפונקציה של נפח, המרצה בפירוש צייר את הגרף הזה על הלוח ואז הוא סימן בנונשלנטיות את הקוו האמצעי ואמר “זה לא פיסיקלי, ולא באמת קיים במציאות” ותנחש איך פותרים את הבעיה הזו? פשוט עושים קירוב !
אהוד:
אשמח לשמוע את דעתך בנושא יחסי סיבה ותוצאה בפיזיקה והאופן בו הם באים לידי ביטוי במשוואות.
נראה כי יחסים אלו אינם חלק מהפורמליסטיקה המתמטית אך היא חלק בלתי נפרד מהצד הסיפורי של תאוריות פיזיקליות. איך אתה מסביר את זה? האם ניתן למחוק לחלוטין את הסיבתיות מתאוריות פיזיקליות?
נראה כי מצד אחד, אחת המטרות של תאוריה פיזיקלית היא להבין ולחשוף יחסי סיבה-תוצאה, מצד שני נראה כי הדבר כלל לא נחוץ לניסוח מדויק של תאוריה פיזיקלית
האם יש פרקטיקה ניסויית בפיזיקה המנסה לחשוף יחסי סיבה-תוצאה או שמא רק לאושש התאמה למשוואות?
האם יש מקביל בפיזיקה לנסיון להבין באופן כמותי יחסים כאלו כפי שמנסים לעשות למשל ברפואה (כאשר מנסים להבין את הגורם למחלות מסוימות)
יעל
ראשית תודה שהעלית את הנושא שלטעמי הוא נקודה חשובה ביותר. משוואות הן בעלות
התפקיד המרכזי במדע מדוייק. חלק ממגיבי האתר והכוונה אינה אליך אינם מבינים זאת.
מדע מדוייק מורכב ממודל שיכול להכיל צד סיפורי ומלים כגון יקומים מקבילים, חומר אפל, מימדים נוספים ועוד. כל עוד מדובר במילים המודל אינו מדע מדוייק. שלב נוסף בהפיכה למדע מדוייק הוא הרגע בו המודל מתואר בשפה מתמטית קרי משוואות.
כאן עוד מדובר במתמטיקה גרידא ניתן להוכיח כי למשוואות יש פתרון ניתן להוכיח יחידות של הפתרון ניתן למצוא ביטוי אנליטי לפתרון. כל הצעדים הללו הם מתמטיים ואין להם כמעט קשר עם מדע. החלק המדעי מגיע כאשר משווים את הפתרון של המשוואה עם ניסוי! מציאת פתרון אניליטי אינו פיסיקה מדובר שוב במתמטיקה גרידא. המשוואות מקבלות את תוקפן מהשוואה לניסיון בלבד! כאמור פתרון אנילטי אין לו דבר וחצי דבר עם האישוש של המשוואות.
לדוגמא: מציאת פתרון אנליטי למשוואת שרדינגר לא מוכיח את נכונתה כנ”ל למשוואת מקסוול ולעוד משוואות פיסיקליות. האישוש שלהן בא מהשוואה לניסיון!
הקרוב שאת מדברת עליו והבאת כדוגמא את מטבע החמישה שקלים שמקורב כספירה הוא קירוב הנעשה במסגרת של משוואת נתנה כדי לפתור אותן. יותר נוח לפתור בעיה עם סימטריה כדורית. הצלחת הקירוב אינה מעלה או מורידה מכוחה של המשוואה אלא מאששת או פוגמת בהנחות הקירוב. בצורה נאיבית ניתן לחשוב על המשוואות הפיסיקליות כחוקי הטבע. תחת הנחת חוקי טבע מסויימים ניתן להשתמש בקירובים שונים שלהם כדי להשוות לניסיון או לחשב מערכות פרקטיות לדוגמא כורים גרעיניים שכבר הזכרתי.
אגב אם כבר דבר שקורה הרבה פעמים הוא שישנם פתרונות למשוואות הנפסלים כי הם לא פיסיקליים.
יש עוד מספר נקודות חשובות בהקשר של פתרון מדוייק למשוואות שאני מקווה לכתוב עליהן בהמשך.
לא הפחתתי בערכה של משוואת בולצמן, מי כמוני יודעת איזה שימוש נרחב עושים במשוואה זו. רק אמרתי שאין לזלזל בפתרון אנליטי או מתמטי או כל דבר שתורם להוכחת תיאוריה.
גם מטבע של 5 שקל יכול בקירוב טוב להחשב לספירה כדורית, כאשר מחשבים את הקיבול שלו.
ישנם ענפים בתרמודינמיקה שהם במקרה הטוב קירוב נפלא למציאות, ובמקרה הרע, משוואות שעלולות להניב פתרונות לא פיסיקלים.
ליעל פטר
1].אין מדובר כאן על “הוכחה מטמטית” אלא על “פיתרון אנאליטי” למשוואה.
2].העובדה שלמשוואה יש פיתרון אנאליטי אינה מספיקה בכדי לאשר את “נכונותה” הפיסיקאלית.
3].משוואה, או ליתר דיוק, חוק טבע המנוסח כמשוואה, נחשב כ”נכון” מבחינה פיסיקאלית, אם ורק אם,
הוא מתאר בדיוק סטטיסטי סביר, את התצפיות והמדידות הפיסיקאליות.
4].הפיתרון האנליטי יתרונו, שהוא מסיע ומקל בביצוע החישובים.
5].יכולות להיות, וישנן, משוואות מטמטיות נוספות, בעלות פיתרון אנאליטי אך שאינן בעלות מובן או חוקיות פיסיקאלית ובצדן, חוקים פיסיקאליים רבים המתוארים ע”י משוואות שאין ברות פתרונות אנאליטיים אלא קרובים חישוביים בלבד.
6]. משוואת בולצמן אינה משוואה שרירותית לחלוטין אלא, מבוססת על הנחות פיסיקאליות מסויימות. ההנחות הנ”ל גם הן אינן שרירותיות לחלוטין אלא מבוססות על ניסיונות וידע פיסיקאלי קודמים.
זה אכן מצויין במפורש בכתבה.
יעל:
אני שותף להתלהבות אבל לא לסיבה.
העובדה שהמשוואה מתארת את המציאות אינה מסקנה מן ההוכחה המתמטית שבה מדובר כאן (שאינה אלא הוכחה מתמטית של פתרון המשוואה).
זו מסקנה מן הניסויים.
ניסויים אלה בוצעו מזמן וכולם יודעים שהמשוואה עובדת (זה גם כתוב במאמר).
מה שלא ידעו זה איך לחשב לה פתרון מדויק וזה מה שהמתמטיקאים גילו עכשיו.
חשוב להבין שמציאת פתרון מתמטי למשוואה אינה אומרת דבר על התאמתה לתיאור דבר פיזיקלי כלשהו.
מפתיע ומלהיב. תודה על הידיעה גלי.
אהוד,
אם משוואה שרירותית מספיקה לתאר תופעה בעולמנו, אין זה אומר שהיא נכונה, היא יכולה להיות סתם קירוב טוב בתנאים ספציפיים. הוכחה מתמטית גם היא חשובה.
משוואת בולצמן איננה משוואה איזוטרית המשמשת רק לתיאור הדינמיקה של חלקיקי גז. משוואת בולצמן משמשת בחישובי טרנספורט אלקטרונים במוליך,הולכת חום וטרנספורט ניטרונים בכורים. יש הגזמה בטענה כי משוואת בולצמן הינה משוואה בלתי פתירה. משוואת בולצמן מאפשרת חישובי שטף בכורים גרעיניים ובזכות היכולת לפתור אותה ניתן להפעיל כורי כח גרעיניים בביטחה. להבדיל מהמתמטיקה בפיסיקה אין הרבה ענין בפתרון מדוייק של בעיה (זה נחמד שהוא קיים אבל לא הכרחי). למשוואת בולצמן קיימים אינספור קרובים לדוגמא משוואת הדיפוזיה. הקרובים נותנים פתרונות מספקים עבור בעיות ברמה הפרקטית. עם ההתפתחות במחשבים ניתן כיום גם לפתור בעיות סבוכות מתמטיות בזמן מניח את הדעת וגם עובדה זו מורידה מערכם של פתרונות מדוייקים.
לסיכום: משוואת בולצמן היא משוואה מאד חשובה בפיסיקה עם הרבה השלכות פרקטיות.
למשוואת בולצמן ישנם קרובים פיסיקלים רבים (כבר עשרות שנים) המאפשרים פתרון שלה בתנאים מסויימים.
כנראה כי לפתרון המתמטי המדוייק אין השלכות מעשיות רבות זה נחמד שהפתרון נמצא אבל זה יותר בכוון של קוריוז מתמטי.
אני לא חושבת שאני הזכרתי שמשוואת בולצמן היא בעלת 7 ממדים. אבל נכון במאמר שמתאר את התגלית בהודעת האוניברסיטה נאמר שמדובר במשוואה בעלת 7 ממדים. במתמטיקה מדובר לא בממדים מרחביים, אלא הכוונה היא שכדי להגדיר משהו צריך שיהיו לך 7 פרמטרים. ולכן לא מדובר בפתרון שיתן לנו איזה גז מסתורי שלו היכולת לפתוח שער נסתר ליקומים מקבילים בעלי שבעה ממדים. זה משהו מן הסתם הרבה יותר פורמאלי, אבל גם שמאוד מסבך את המשוואה כמו שאתה רואה כאן.
דר. גלי ויינשטיין
כתוב שם שזאת משוואה בעלת 7 מימדים.
תוכלי להסביר מדוע?
תודה.
כתבה מעניינת.
אתה מניח נכון.
מחלקת פן למתמטיקה? אני מניח שמדובר במחלקה למתמטיקה של University of Pennsylvania
רוח רעננה החלה נושבת באתר
תודה לגלי.