השאלה נשלחה בעקבות הטור על השיטה העשרונית ובו סיפורם של תרבויות חסרות בסיס ספירה. "האם יש אנשים שחיים בלי מספרים בכלל?"
יש להניח שהשואל מתכוון למספרים הטבעיים: 1,2,3... משום שעד לפני כמה מאות שנים כל בני האדם הסתדרו בלי המספרים השליליים ורוב בני האדם לא מכירים את המספרים המרוכבים עד עצם היום הזה. המתמטיקאי לאופולד קרונקר קבע כי "האל יצר את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא יציר האדם" אבל המחקר מערער אפילו על חלקת האלוהים האחרונה: גם המספרים הטבעיים עצמם הם יצירה תרבותית.
איך המוח מייצג כמויות
מחקרי מיפוי מוח הראו שיש לנו יכולת לייצוג ספציפי של מספרים קטנים מ-4: תאי עצב שיפעלו כשאנו רואים 2 פריטים אבל יפעלו פחות כשמופיע פריט אחד או שלושה. אבל אין לנו "נוירון 200" או אפילו "נוירון 7" במוח. עצמו עיניים ונסו לדמיין קבוצה של שבעה עצמים. סביר שיצרתם את ה-7 באמצעות קבוצה של 4 וקבוצה של 3 (או שתי שלשות ופריט בודד) ולא 7 עצמים בשורה.
חוק וובר בפסיכולוגיה קובע כי אנו מבחינים בהבדלים יחסיים ולא מוחלטים: נרגיש בקלות בהבדל שבין 3 גרם ל-6 גרם אבל לא נחוש בתוספת המשקל בין 50 ל-53 גרם. בניסוח מתמטי הרי שהתפיסה הכמותית הטבועה בנו לוגריתמית ולא לינארית. המרחק ה"טבעי" שבין 2 ל-4 גדול בהרבה מזה שבין 8 ל-10 וזה שבין 198 ל-200 אפסי. תפיסת הכמות האינטואיטיבית היא זו של סדרי גודל.
כך, לאחר הנצחון על גולית מבטאות הנשים את הערצתן לדוד בסקלה לוגריתמית "ותענינה הנשים המשחקות ותאמרן הכה שאול ב-103 ודוד ב-104” (שמואל א' פרק י"ח פסוק ז') ופונקציה מעריכית משתלבת בשירת האזינו בספר דברים "אֵיכָה יִרְדֹּף 1 103 ו-2 יָנִיסוּ 104". מתבקשת, לכן, השאלה הפרובוקטיבית: האם "200" טבעי לנו יותר מ-π, שורש שתיים או i (שורש מינוס אחד) או שה"טיבעיות" של המספרים הטבעיים תלוית תרבות.
ציר המספרים נולד עם המסחר
ציר המספרים שמרווח קבוע של 1 קוצב אותו מ-0 לאינסוף נולד עם המסחר, הכסף והמיסים. ואכן, את שיטות הספירה הסדורות (בסיס 10 המצרי או בסיס 60 הבבלי) יצרו הציוויליזציות הראשונות שהשתמשו בכסף ונזקקו לספור את הרכוש. בעברית אולי מרמזת על כך הקרבה בין "עשר" ל"עושר". כל עוד חיינו בקבוצות קטנות, המספקות צרכי עצמן מסביבתן הקרובה ומבודדות מחברות אחרות לא היה צורך לדייק. בקבוצת ציידים-לקטים מעין זו מספיקה שפה שיש בה מושגים של יותר – פחות ויחיד-רבים ואין תועלת ממשית מציר מספרים אינסופי מופשט.
חוקרי ארכאו-מתמטיקה טוענים כי התפתחות המושגים המתמטיים התקדמה עם ההתפתחות החומרית שיצרה עזרים מתמטיים כשרשראות חרוזים, חשבוניות או כלי כתיבה. על פי גישה זו החשבוניה ושרשרת החרוזים ששריד לה נותר בשרשרת התפילה המוסלמית – המסבחה (مسبحة) לא רק סייעו לאדם לחשב אלא יצרו ציר המספרים שלנו. בני שבטים כגון ה-Yupno הסופרים בעזרת אברי גוף פתחו שיטות מורכבות לפתור בעיות דוגמת 16-7. ההליך מחייב אותם לצעוד לאחור על פני אברי הגוף השונים מ-16 (המיוצגת אצלם בזרת כף רגל ימין) אחורה כאשר הם מונים בו זמנית את הצעדים על אצבעות הידיים.
מערכת המספרים של בני תרבויות אלו חסרה מאפיין הנראה לנו מובן מאליו: לינאריות. ציר המספרים הקווי (שניתן להאריך ללא גבול) נוצר עם השימוש בעצמים כגון שרשראות חרוזים, צדפים או אסימוני חרס (ששימשו לספירה במסופוטמיה) למניית עצמים.
הצורך בדיוק כמותי התעצם ככל שגדלה המורכבות הכלכלית והחברתית אבל אפילו הרמב"ם מכיר בכך שכשמדובר במספרים גדולים מאבד הדיוק את משמעותו: "יש לשׂכל האנושי גבול, שם הוא נעצר. יש דברים שמתברר לאדם שאי-אפשר להשׂיגם, והוא לא ירגיש את נפשו משתוקקת לדעת אותם. ..כגון שאין אנו יודעים אם מספר כוכבי השמיים זוג או פרט" (מורה נבוכים א'). נכון ל-2020 המספרים הגדולים ביותר שאנחנו נדרשים לדעת בדיוק הם המספרים הראשוניים הענקיים המשמשים להצפנה והם גדולים ממספר כוכבי השמיים אבל גם היכולת שלנו לבטא במדוייק מספרים גדולים מאוד מוגבלת (איננו יודעים למשל מהי הספרה הראשונה במספר גרהאם).
תרבויות שבהן אין צורך בדיוק
אצל ילידי מערב אוסטרליה אין צורך ב"מספר כוכבי השמיים" כדי לחדול מהתשוקה לדיוק. המילים MARAKUJU ו-MARAKUJARRA משמשות לציון "בערך יד אחת" ו"בערך שתי ידיים" כדי להביע גדלים בסביבות ה-5 או בסביבות 10 בלי להידרש להבדל שבין 9 ל-11 למשל, פרט לצעירי השבט ש"התקלקלו" במסחר נראה שאין הדבר מפריע לחיי היומיום.
בעבודתו המונומנטלית של גלנדון לין על המתמטיקה של הילידים באיי האוקיינוס השקט מתועד שבט המכיר את ציר המספרים האינסופי אך מגביל את השימוש בו: אגוזי קוקוס בהם סוחר השבט עם שכניו נספרים בדיוק גם כשמספרם מגיע לאלפים אך עצמים אחרים, לשימוש פנימי, נספרים בשיטות "פרימיטיביות" חסרות דיוק. רוב השפות השבטיות לא טורחות לציין במדויק מספרים גדולים כ-100 או 200.
תרבויות חסרות מספרים עוד יותר מצויות בעומק האמזונס, לבני Mundurucu יש מילים למספרים רק עד 5, והם משתמשים בהן באופן מקורב ונכשלים בחשבון מדויק של מספרים הגדולים מ-4 או 5 ובשבט ה-Piraha המילה "הרבה" מחליפה שלוש וכל מספר גדול יותר. בני השבטים משמשים, לכן, כמעין שפני ניסוי טבעיים לחוקרי התפיסה המתמטית. המחקרים הללו מערערים את המוסכמות בדבר הגבול שבין "טבע" לתרבות וממחישים עד כמה מעצבת השפה את עולמנו ולא רק מתארת אותו.
בני השבטים מצליחים להבדיל בין קבוצות בהתאם למספר הפריטים בהם. לשם כך הם משתמשים בטכניקה בה משתמשים ילדים וקלפנים: יצירת זוגות "אחד לי ואחד לך" כך שהקבוצה הגדולה היא זו שנשארים בה פריטים שאין להם בן זוג. האפשרות להבדיל בין "קצת" ל"הרבה" חשובה בקבלת החלטות והיא משותפת כנראה לכל בני האדם. עם זאת היכולת הזו מוגבלת כשקשה לחבר פיזית או ויזואלית את העצמים לזוגות.
כך, למשל, כשהוצגו לבני ה-Piraha ציורים של שתי קבוצות קוים מאונכים הצליחו הנחקרים לזהות שיוויון מספרי עד ל-9-10 איברים בקבוצה אבל כאשר הוצגה קבוצת קוים מאונכים ומולה צבר נקודות או קוים אופקיים התבלבלו הנשאלים בקבוצות של יותר מ-4. כשהתבקשו להעתיק מהזכרון קבוצת קוים שהוצגה להם הצליחו רק מחצית מהנשאלים לשחזר קבוצה בת 5 איברים ואף לא אחד הצליח לשחזר קבוצה בת 7 קוים.
היכולת הנראית לנו אינטואיטיבית להמשיך במחשבה את ציר המספרים באמצעות צעדים של 1 קדימה ואחורה תלויית תרבות עוד יותר. כשאין שמות למספרים אין אבחנה בהבדלים מספריים: בני השבט לא יבחינו שמספרן של נקודות מצוירות קטן כשימחקו אחת מתוך 10 או לחזות כמה פריטים יהיו אם יוסיפו או יחסרו כמות כלשהי לקבוצה.
ילדים, שפה ומספרים
ילדים לומדים בערך בגיל שנתיים וחצי לדקלם מספרים מ-1 ל-10 אבל תעבור עוד כשנה עד שיוכלו לשייך את המילים לגדלים בעולם הממשי כלומר לבצע מטלה כמו "קח 5 צעצועים". מתברר, אבל, שהשינון הזה חיוני, השפה האנושית מעצבת את המוח ומאלפת אותו לייצוג כמויות בציר שאינו "טבעי" יותר מכל צורת ייצוג אחרת של כמויות.
עלתה בדעתכם שאלה מעניינת, מסקרנת, מוזרה, הזויה או מצחיקה? שלחו אל [email protected]
שאלות ותשובות
מה הם המספרים הטבעיים ומה אמר עליהם קרונקר?
המספרים הטבעיים הם 1, 2, 3 וכן הלאה. המתמטיקאי לאופולד קרונקר קבע כי "האל יצר את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא יציר האדם", אך לפי המאמר גם המספרים הטבעיים הם יצירה תרבותית.
מה קובע חוק וובר ומה הוא מלמד על תפיסת הכמות?
חוק וובר קובע שאנו מבחינים בהבדלים יחסיים ולא מוחלטים, כך שהתפיסה הכמותית הטבועה בנו לוגריתמית ולא לינארית. לכן המרחק ה"טבעי" בין 2 ל-4 גדול בהרבה מזה שבין 198 ל-200.
כיצד נוצר ציר המספרים לפי חוקרי ארכאו-מתמטיקה?
לפי חוקרי ארכאו-מתמטיקה, ציר המספרים נולד עם המסחר, הכסף והמיסים, והתפתח יחד עם עזרים חומריים כמו שרשראות חרוזים, חשבוניות ואסימוני חרס. עזרים אלה לא רק סייעו לחשב אלא יצרו את ציר המספרים שלנו.
מה למדו החוקרים מבני שבט הפיראהא?
בשבט ה-Piraha המילה "הרבה" מחליפה שלוש וכל מספר גדול יותר. הנחקרים זיהו שוויון מספרי בין קבוצות של קווים עד 9-10 איברים, אך התבלבלו כשהקבוצות לא היו מותאמות זו לזו, וכך הדגימו עד כמה השפה מעצבת את התפיסה המתמטית.
מה אמר הרמב"ם על מספר כוכבי השמיים?
הרמב"ם כתב ב"מורה נבוכים" שאין אנו יודעים אם מספר כוכבי השמיים זוגי או אי-זוגי, ושיש לשכל האנושי גבול שבו הוא נעצר.