ביקורת על ספרו של מריו ליביו "חיתוך הזהב: קורותיו של מספר מופלא" – על יחס הזהב, סדרת פיבונצ'י והופעותיהם המפתיעות במתמטיקה, בטבע ובאמנות.
מריו ליביו. תירגם מאנגלית: עמנואל לוטם. הוצאת אריה ניר, 317 עמ', 84 שקלים
אריה רוקח
גיבור הספר הוא המספר הידוע בשם "חיתוך הזהב" (golden ratio), וגדולתו היא בכך שהוא מופיע באין-ספור מקומות בלתי צפויים: בטבע, באמנות, בגיאומטריה ובתורת המספרים. זהו מספר אי-רציונלי (כלומר, אי אפשר לבטאו כשבר של שני מספרים שלמים), בעל אינסוף ספרות שהראשונות שבהן הן 1.61803. הוא העסיק ומעסיק את דמיונם של מדענים ויוצרים במשך תקופה רבה, ועוד ימשיך להעסיק אותם רבות ולהופיע במקומות הבלתי צפויים ביותר.
מספר זה הוא קרוב משפחה של סדרה מפורסמת לא פחות, הידועה בשם "סדרת פיבונצ'י". גם היא מככבת בספר, ולמעשה קשה מאוד להפריד בין שתי הישויות הללו. על כן נפתח בהיבט זה של חיתוך הזהב (מקובל לסמן אותו באות היוונית phi, שנקראת בעברית "פי").
מהי סדרת פיבונצ'י
סדרת פיבונצ'י נקראת על שמו של המתמטיקאי האיטלקי לאונרדו פיזאנו (Leonardo Pisano), בן העיר פיזה, שחי בערך בין 1170 ל-1250. הוא היה בן למשפחת בונאצ'י (Bonacci), והיה הראשון לתאר את הסדרה בספרו Liber Abaci. זוהי סדרת המספרים הבאה: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו. קל לראות שחילוק של מספר במספר שלפניו בסדרה הולך ומתקרב לחיתוך הזהב, למשל 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.615 וכך הלאה. בהקשר הזה ניתן להוכיח שחיתוך הזהב יכול להתקבל על ידי הוספת אחד לשורש של המספר 5, וחלוקה בשתיים. לסדרת פיבונצ'י עצמה יש כל כך הרבה הפתעות וקסמים, עד שייסדו לפני שלושים שנה בערך כתב עת - Fibonacci Quarterly - העוסק אך ורק בקסמים הקשורים בה, שמתגלים שוב ושוב.
קסם אחד הוא מיידי: קחו שני מספרים בסדרה זו, שהם במרחק של שני מקומות זה מזה, למשל: 13 ו-5. הכפילו אותם זה בזה. התוצאה היא 65. קחו עכשיו את המספר שביניהם והעלו אותו בריבוע. התוצאה היא 64, במרחק אחד מ-65. זה עובד לאורך כל הסדרה. לתופעה זו יש שימוש בפרדוקסים ובהטעיות שונים.
סדרת פיבונצ'י ושלשות פיתגוריות
והנה קסם מקסים אחר המובא בספר, והקשור למפגש מוזר נוסף של מספרי פיבונצ'י עם שלשות פיתגוריות. שלשה פיתגורית היא שלשה של מספרים שלמים, כך שריבועו של אחד מהם, בתוספת ריבועו של המספר השני, יוצרים את ריבועו של המספר השלישי.
למשל: השלשה 3, 4, 5 היא שלשה פיתגורית, מכיוון ששלוש בריבוע ועוד ארבע בריבוע הם עשרים וחמש, כלומר חמש בריבוע. והנה, הספר נותן מתכון קסם כיצד לבנות שלשות פיתגוריות על ידי סדרת פיבונצ'י: קחו ארבעה מספרי פיבונצ'י רצופים, למשל: 1, 2, 3, 5. הכפילו את שני החיצוניים: אחד כפול חמש, וקיבלתם חמש.
זהו הראשון בשלשה הפיתגורית הנבנית מול עינינו המשתאות. הכפילו כעת את שני הפנימיים ואת התוצאה הכפילו בשתיים: שתיים מוכפל בשלוש מוכפל בשתיים הם שתים-עשרה. זהו המספר השני בשלשה הפיתגורית. כעת קחו את סכום הריבועים של שני המספרים הפנימיים: שתיים בריבוע ועוד שלוש בריבוע והתוצאה היא שלוש-עשרה, זהו המספר השלישי בשלשה הפיתגורית. ואכן: חמש בריבוע ועוד שתים-עשרה בריבוע הם אכן שלוש-עשרה בריבוע. הנה, כמובטח, קשר מסתורי, מוזר ובלתי צפוי בין שתי ישויות שונות בעולם המספרים: שלשות פיתגוריות ומספרי פיבונצ'י.
תכונת הספרה הראשונה
כאמור, סדרת פיבונצ'י היא כה מדהימה עד שאין טעם, וגם אי אפשר לסקור אפילו חלק זעיר מקסמיה המתמטיים, אבל נתעכב על תכונה מדהימה שלה שהכרתי בזכות הספר הנפלא הזה, ורק בגללה ראוי לקרוא אותו. זוהי תכונת הספרה הראשונה. אם תבדקו את אלפיים המספרים הראשונים בסדרה, כך אומר הספר, תמצאו שהספרה 1 מופיעה כספרה ראשונה ב-30% מהמקרים, הספרה 2 מופיעה כספרה ראשונה ב-17% מהמקרים, הספרה 3 ב-12% מהמקרים, וכך הלאה.
והנה, פרופסור בשם מארק ניגריני (Mark Nigrini) חקר את אוכלוסיותיהן של כשלושת אלפים נפות במפקד האוכלוסין של ארה"ב בשנת 1990. הוא מצא שהספרה 1 מופיעה כספרה ראשונה ב-32% מהמקרים, הספרה 2 ב-17% מהמקרים, הספרה 3 ב-14% מהמקרים – בדיוק אותה התפלגות שתיארנו במספרי פיבונצ'י. זוהי שוב תופעה מוזרה ומסתורית ביותר.
הפיסיקאי פרנק בנפורד (Frank Benford) הכליל את התופעה הזאת לתחומים רבים, וביניהם השטח של אגני ניקוז של נהרות. המוזרות והקסם של מספרי פיבונצ'י אינם נגמרים אפוא לעולם. לא פלא אפוא שיש פילוסופים שטענו כי "מספרי פיבונצ'י הם אבני הבניין של אלוהים".
מספרי פיבונצ'י בטבע
מאוד ייתכן שכך הוא, בפרט שהם לא מופיעים אך ורק במתמטיקה אלא אף בטבע, והדוגמה היפהפייה המובאת בספר (עמ' 119) תוכיח זאת. חוקר הטבע השווייצרי שרל בונה (Charles Bonnet) טבע את המונח פילוטקסיה (phyllotaxis), לגבי סידור העלים על הענף. למשל, עצי התפוח, אלון השעם והאפרסק מצמיחים עלה כל 2/5 סיבוב (שימו לב לכך ש-2 ו-5 הם מספרים בסדרת פיבונצ'י, בדילוג של אחד), בעוד האגס והערבה הבוכייה מצמיחים עלה כל 3/8 סיבוב (ושוב, אלה הם מספרים, בדילוג של אחד, בתוך סדרת פיבונצ'י). כיצד יודע הטבע לנהוג כך?
לעניות דעתי, תשובה לתופעה כזאת אינה בגדר האפשר. אך אפשר לנהוג אחרת: אפשר להניח מראש שמספרי פיבונצ'י צצים בכל מקום בלתי צפוי בטבע ובמתמטיקה, ופשוט לחפש אחריהם. ישנם גם כאלה שטוענים ליחס שכזה בהתנהגות של בורסות. הספר מכיל דוגמאות רבות להימצאות מספרי פיבונצ'י בטבע, במוסיקה, באמנות, בגיאומטריה, בכלכלה, ובקיצור - בכל מקום בלתי צפוי.
יחס הזהב באמנות ובפירמידות
בינתיים, כך בוודאי חשים הקוראים, הזנחנו את חיתוך הזהב, הגיבור האחר של הספר. מה אתו? איפה הוא צץ לו בכל מקום לא צפוי? אל דאגה! גם הוא מופיע בכל פינה באמנות, בטבע ובמתמטיקה.
חוקרי אמנות רבים טוענים שחיתוך הזהב (או יחס הזהב) מבטא את היחס הקלאסי בין אורכו ורוחבו של מלבן ושל צורות נוספות. הם אף טוענים שהיופי בטבע, למשל פנים יפות, מכיל בתוכו את יחס הזהב. המחבר אינו מסכים לכל קביעה כזאת, ואף מתפלמס עמה. כך גם יש הטוענים שממדי הפירמידה הגדולה במצרים נגזרו מתוך יחס הזהב, וגם קביעה זו מנותחת באריכות (אולי מוגזמת קצת) בידי המחבר.
יתרונות וחסרונות הספר
זהו ספר חשוב ומעניין ביותר, ותרגומו של עמנואל לוטם מצוין. בצד זאת, יש כמה חסרונות. מצד אחד הספר מצטט ספרים ומאמרים רבים אך אינו מציין את השמות המקוריים בלועזית, והדבר מקשה על הקוראים לאתר את המקור.
חיסרון אחר הוא העדר הפניה לאתרים באינטרנט, שאף הם מכילים ים בלתי נדלה של חומר. למשל, את המקרה הבא מצאתי באינטרנט והוא נקרא החוק של ז'אן-קלוד פרז (Jean-Claude Perez). הוא חקר את רצף הקוד הגנטי במולקולת האינסולין, המורכבת מ-90 בסיסים ("אותיות"). האותיות האפשריות בקוד הגנטי הן: A, C, G, T. אם סופרים את מספר אותיות T ברצף הגנטי מקבלים 34 אותיות, כאשר סכום שאר האותיות הוא 56. 34 ו-55 הם שני מספרי פיבונצ'י עוקבים.
יתר על כן, כך הוא מצא, אם לוקחים תת-רצף של הקוד הגנטי באינסולין, תופעה זו חוזרת על עצמה: בתת-רצף של 54 אותיות מקבלים סה"כ 22 אותיות T (שזה קרוב ל-21, מספר פיבונצ'י), וסכום שאר האותיות הוא 32, שזה קרוב ל-34, מספר פיבונצ'י העוקב אחרי 21.
עצה פשוטה ביותר למתעניין היא להיעזר במנוע חיפוש ולהקיש את המילה Fibonacci, או המילים golden ratio, ולקבל שפע בלתי נדלה של חומר מרתק.
חיסרון נוסף של הספר הוא העיסוק הארוך מדי בשאלה אם יחס הזהב אכן היה ידוע למצרים ולבבלים ומי גילה אותו לראשונה. אך חיסרון זה מפוצה בהחלט על ידי הפרקים האחרים.
שאלות ותשובות
מהו חיתוך הזהב?
חיתוך הזהב, המכונה גם יחס הזהב, הוא מספר אי-רציונלי שהספרות הראשונות שלו הן 1.61803. אפשר לקבל אותו על ידי הוספת 1 לשורש הריבועי של 5 וחלוקת התוצאה ב-2.
מהי סדרת פיבונצ'י ומה הקשר שלה לחיתוך הזהב?
סדרת פיבונצ'י היא סדרת המספרים 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 וכן הלאה, שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו. כשמחלקים מספר בסדרה במספר שלפניו, התוצאה מתקרבת יותר ויותר לחיתוך הזהב.
מהי תכונת הספרה הראשונה במספרי פיבונצ'י?
לפי הספר, בקרב אלפיים המספרים הראשונים בסדרה הספרה 1 היא הספרה הראשונה בכ-30% מהמספרים, הספרה 2 בכ-17% והספרה 3 בכ-12%. התפלגות דומה נמצאה במספרי התושבים של נפות בארה"ב במפקד האוכלוסין של 1990.
היכן מופיעים מספרי פיבונצ'י בטבע?
דוגמה מהספר היא סידור העלים על הענף: עצי התפוח, אלון השעם והאפרסק מצמיחים עלה כל 2/5 סיבוב, והאגס והערבה הבוכייה מצמיחים עלה כל 3/8 סיבוב. המספרים 2, 3, 5 ו-8 שייכים כולם לסדרת פיבונצ'י.
אילו חסרונות מוצא המבקר בספר?
המבקר מציין שהספר אינו מביא את השמות המקוריים של המקורות שהוא מצטט, אינו מפנה לאתרי אינטרנט, ומאריך מדי בשאלה אם יחס הזהב היה ידוע למצרים ולבבלים. עם זאת, הוא רואה בספר ספר חשוב ומעניין, ואת התרגום של עמנואל לוטם הוא מכנה מצוין.
The Golden Ratio, Mario Livio
מאמריו של אריה רוקח על מספרי פיבונצ'י התפרסמו ב-Fibonacci Quarterly וב"על"ה" - העלון למורי המתמטיקה